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Thermoacoustic Engine Q2

2023-06-15T12:39:17Z

Daniel Pelmentschikov:

==Thermoakustischer Motor==
Der thermoakustische Motor ist ein faszinierendes Gerät, das thermische Energie durch thermoakustische Wellen in mechanische Arbeit umwandelt.

Dieses Phänomen wurde im Rahmen der 16. Problemstellung des IYPT (International Young Physicists‘ Tournament), einem internationalen Physikwettbewerb, von Dalia Abu Ta’a (17), Lilly Roters (17) und Richard Bonello (16) untersucht. Die Aufgabenstellung vom Wettbewerb lautet:

“A piston placed in the open end of a horizontal test tube which has its other end partially filled with steel wool may oscillate when the closed end is heated up.
<nowiki>'''Investigate the phenomenon''' and '''determine the efficiency'''</nowiki> of this engine.”

Und übersetzt:
Ein Kolben, der am offenen Ende eines waagerechten Reagenzglases platziert ist und dessen anderes Ende teilweise mit Stahlwolle gefüllt ist, kann oszillieren, wenn das geschlossene Ende erhitzt wird. <nowiki>'''</nowiki>Untersuchen Sie dieses Phänomen<nowiki>'''</nowiki> und <nowiki>'''</nowiki>bestimmen Sie die Effizienz<nowiki>'''</nowiki> dieses Motors.

Im folgenden Wiki-Eintrag werden Aufbau, Funktionsweise, relevante Parameter, Effizienz, Experimentelle Daten und Schlussfolgerungen des thermoakustischen Motors beschrieben und genauer betrachtet. Wir haben auch besonderen Wert auf die in der Aufgabenstellung gegebene Aufgabe der Untersuchung der im Thermoakustischen Motors ablaufenden Prozesse und der Bestimmung der Effizienz gelegt.

==Aufbau allgemein==
Der Thermoakustische Motor sieht allgemein wie folgt aus und besteht aus bestimmten Grundkomponenten.

[[Datei:Thermoakustischer Motor - Aufbau schema.png|Aufbau eines Thermoakustischen Motors|zentriert|rahmenlos|478x478px]]

Dies Komponenten sind:
*Eine Halb-geschlossene Röhre mit einem Kolben,
*eine Hitze- und Kühlungsquelle,
*ein Stack (Wärmeüberträger) und
*das enthaltene Arbeitsmedium.

Bei richtiger Anordnung der Elemente entsteht ein thermoakustischer Motor.

==Funktionsweise==
Ganz allgemein wird ein Bereich des Motors erhitzt und an einem anderen, örtlich getrennten Bereich wird Wärme entnommen. Durch diese Konstellation entstehen akustische Wellen, die den Kolben antreiben. Energetisch betrachtet wird dementsprechend thermische Energie über akustische Wellen in mechanische Arbeit umgewandelt.
Somit stellen sich aber zwei Fragen:
#Wie wird die thermische Energie der Hitzequelle in akustische Wellen umgewandelt? und
#Wie führt die akustische Welle zur Translation des Kolbens?

===Der Thermoakustische Effekt===
[[Datei:Thermoakustischer Motor - Temperaturengradient.png|rand|rechts|rahmenlos|436x436px]]
Zunächst gilt es zu erklären, wie überhaupt akustische Wellen in dem Motor entstehen, also wie die thermische Energie, die dem System zugefügt wird, in akustische Wellen umgewandelt wird.
Dieser Prozess wird als thermoakustischen Effekt bezeichnet und basiert auf einen Temperaturgradienten, der im System zwischen der Hitzequelle und der Kühlung liegt.
Um zu verstehen, wie die akustischen Wellen dadurch entstehen, müssen wir uns erstmal die allgemeinen Entstehungsgründe ansehen. Die notwendige Bedingung für diesen Prozess ist die lokale Druckänderung eines Gases, die sich innerhalb des Mediums ausbreitet. Meistens entsteht diese durch Kompression, z.B. wird, wenn man die Hände klatscht, eine größe Menge Luft schlagartig verdrängt und es entsteht eine Druckerhöhung in der unmittelbaren Umgebung, die sich radial ausbreitet. Es gibt aber noch andere Wege eine Druckänderung hervorzurufen. Durch eine Temperaturänderung verändert sich nämlich auch der Druck eines Gases. Diese Veränderung kann im Makroskopischen und quasi-statischen mit dem Idealen-Gasgesetz beschrieben werden:

$$p \cdot V = n \cdot R \cdot T$$

p : Druck | V : Volumen | n : stoffmenge | R = Gaskonstante | T : Temperatur

In diesem wird eine Proportionalität vom Druck p zur Temperatur T gegeben. Also führt eine Temperaturänderung zu einer proportionalen Druckänderung.
Zwischen den zwei Temperaturmaxima entsteht ein ineinander überlaufenes Temperaturprofil, welches eine lineare, konduktive Temperaturverbindung zeigt.
[[Datei:Thermoacoustic Engine - temperaturengradient circulation.png|rechts|rahmenlos|430x430px|circulation im thermoakustischen Motor durch den Temperaturengradien]]
Durch diesen Temperaturgradienten entsteht ein Druckgradient. Die Bewegung des Kolben kommt aber nicht durch den konduktiven Teil, sondern durch Konvektion innerhalb des Systems. Diese entsteht, weil die Dichte des Arbeitsmediums auch abhängig von der Temperatur ist, so wird im Allgemeinen die Dichte niedriger mit höherer Temperatur, es entsteht somit eine Auftriebskraft, die zur Zirkulation des Arbeitsmediums führt.

Durch dem Genannten entsteht eine Druckwelle, auch akustische Welle, die im Motor schwingt.
Die thermoakustische Welle reflektiert an einem Ende und überlagert die vorherige Welle, daraus entsteht eine stehende Welle in dem Motor, die dann auch endgültig den Kolben bewegt.

===Translation des Kolbens===
Warum der Kolben durch die Welle bewegt wird, lässt sich sehr leicht mit dem Zusammenhang von Kraft F und Druck p zweigen, denn:
$$F = p \cdot A$$

Somit ist die Kraft F, die auf den Kolben wirkt, der Druck der stehenden Wellen an der Stelle x des Kolbens auf der Fläche A des Kolbens.

In diesem Fall spielt die Trägheit des Kolbens eine entscheidende Rolle, denn der sich bewegende Kolben will seine Bewegung beibehalten, welche kleinere Peaks der stehenden Welle ausgleicht und dem Kolben eine viel geringere Frequenz als der stehende Welle gibt.

Die Welle schwingt mit der Resonanzfrequenz vom Glasrohr, denn bei dieser Frequenz ist die Amplitude der Welle am höchsten und die anderen Frequenzen werden vernachlässigt.

Ein weiteres Phänomen, das die Bewegung des Kolbens limitiert, ist der durchschnittliche Druck in der Röhre. Wenn der Motor gerade nicht läuft, heißt es, dass der Innendruck gleich dem Außendruck ist. Wenn der Kolben sich jedoch heraus bewegt, so verringert sich der durchschnittliche Innendruck und gleicht nicht mehr dem Außendruck aus. Analog dazu gilt, dass wenn der Kolben sich hinein bewegt, so vergrößert sich der durchschnittliche Innendruck und überwiegt den Außendruck. Somit wird es immer schwieriger den Kolben zu bewegen je weiter dieser von der Ausgangslage ist. (Unter der Annahme das der Motor luftdicht ist.)

==Aufbau offenes Ende ==
Für das Erste “poop of concept” und um zu testen welche Frequenzen in der Röhre durch den Thermoakustischen Effekt entstehen, haben wir einen Versuchsaufbau mit einem offenen Ende aufgebaut, um die akustischen Wellen hören und messen zu können.
[[Datei:Thermoacoustic Engine - open end.png|rahmenlos|567x567px|Aufbau: offenes ende|links]]
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Setup Openend.png|rechts|rahmenlos|390x390px|Aufbau zum thermoakustischen Effekt ]]
In unserem realen Aufbau haben wir eine Ölflamme als thermischen Input und ein feuchtes Tuch als den thermischen Output benutzt.

Die resultierende Frequenz, die wir von dem Aufbau messen konnten, war 548 Hz, welches eine Abweichung von nur 2,2% von der ausgerechneten Grundfrequenz des Rohres ist.

==Parameter ==
Ein Hauptteil zum Beschreiben dieses Phänomen ist die Untersuchung, welche Parameter relevant in unserem System sind und welchen Einfluss diese haben. Zur Untersuchung dieser haben wir vielfältige Experimente durchgeführt. Mit den Parametern sind auch effizienzveränderne Parameter zu untersuchen.

In unseren Untersuchungen haben wir folgende Parameter gefunden:
*Temperaturgradient
*Kühl- und Heizplatzierung
*Rohreigenschaften (Länge, Durchmesser)
* Stackeigenschaften (Dichte, Anordnung)
*Arbeitsmedium
*Belastung des Motors

=== Temperaturegradient===
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Thermal picture.jpg|mini|402x402px|Infrarot Bild des thermoakustischen Motors]]
Wie zuvor beschrieben, ist der Temperaturgradient das fundamentale Merkmal des thermoakustischen Motors, hierbei ist nur der Unterschied in Temperatur wichtig, also die Differenz zwischen Temperatur vom Wärme Input und der Temperatur von der Kühlung. Diese Temperaturunterschiede bilden über die ideale Gasgleichung die Amplituden der Welle, d.h. je größer der Unterschied der Temperaturen ist, desto stärker ist die Thermoakustische Welle, die den Kolben antreibt. Somit können wir sagen, dass:

$$\hat{p} = \frac{n \cdot R \cdot (T_H - T_C)}{2 \cdot V}$$
===Stack Eigenschaften===
Der Stack (in unseren Fall Stahlwolle) ist da, um Wärme zu speichern und schnell zu überliefern. Diese zwei Größen, die diese Eigenschaften beschreiben sind Stoffkonstanten und heißen spezifische Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit. Die spezifische Wärmekapazität beschreibt lediglich, wie viel Energie benötigt wird, um einen Stoff einer bestimmten Masse um einen Kelvin zu erhöhen. Die Wärmeleitfähigkeit beschreibt, wieviel Energie pro Sekunde über eine bestimmte Länge bei einer Temperaturdifferenz übertragen wird. Hierfür ist Stahlwolle eine gute Wahl, denn diese hat eine hohe Wärmeleitfähigkeit und eine niedrige spezifische Wärmekapazität, dass heißt, dass die Stahlwolle schnell heiß wird und auch schnell die Wärme überträgt.

Zusätzlich ist die Dichte der Stahlwolle von Bedeutung, denn es gibt eine Wärmepenetrationslänge (Paper), die aussagt, wie weit die Wärme in das Fluid eindringt. Es gilt die Wärmeübertragung zu maximieren, um eine größere Differenz zwischen Warm und Kalt im Fluid zu haben, denn die Wärmedifferenz im Arbeitsmedium ist ausschlaggebend und nicht die Wärme außerhalb, jedoch sollte der Stack möglichst viel Luftfluss zulassen.
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Stack.png|mini|362x362px|Stahlwolle vs. optimaler Stack]]
Ein optimaler Stack wäre eine parallele, horizontale Anordnung von aufeinander gestapelten Metallplatten mit einem konstanten Abstand, der doppelten Wärmepenetrationslänge. Wir haben wegen der Anforderungen der Aufgabenstellung und der leichten Beschaffenheit Stahlwolle benutzt.
Wie dicht gepackt die Stahlwolle sein sollte, können wir ungefähr approximieren, indem wir die Rohdichte eines optimalen Stacks als die Rohdichte für die Stahlwolle nehmen.

===Frequenz===
Die größten Amplituden einer Schwingung entstehen bei der Grundfrequenz und den weiteren harmonischen Frequenzen, deshalb sind hauptsächlich diese erkennbar. Für ein geschlossenes Rohr sind diese mittels folgender Formel auszurechnen:

$$f_n = \frac{n \cdot c}{2 \cdot L}$$

$$f_n$$: nte harmonische Frequenz | c: Schallgeschwindigkeit | L: länge des Rohres
===Rohr Eigenschaften===
Die Eigenschaften des Rohres haben Auswirkung auf die Frequenz und die Wärmeübertragung.
Die Frequenz steht antiproportional zur Länge des Rohrs. Die Dicke des Rohrs, das Material und der Durchmesser des Rohrs haben einen Einfluss auf die Wärmeübertragung

===Arbeitsmedium===
Das Arbeitsmedium hat bestimmte stoffspezifische Eigenschaften, die eine Auswirkung auf die Frequenz, aber auch die Amplitude haben.
Vorerst ändert sich die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien, welche eine direkte Auswirkung auf die Frequenz der internen Welle hat.
Die spezifische Wärmekapazität und die Wärmeleitfähigkeit verändern sich, welches eine Auswirkung auf die Amplitude der internen Welle hat.

==Theorie==
===Interne Welle===
In unserem System haben wir eine Welle, die unterschiedlich viel Energie an den Kolben abgibt, je nachdem, in welcher Phase die Welle ist und wie der Kolben verschoben ist.
Die Welle in dem Motor kann mit der Standard Wellenfunktion: p(x, t) dargestellt werden.
Es entsteht aber auch eine stehende Welle durch die reflektierte Ursprungswelle. Optimal sind die Amplituden der Welle an den Enden des Rohres für eine maximale Energieübertragung. Es ergibt sich damit eine Funktion für eine stehende Welle, die wie folgt aussieht:

$$p(x, t) = 2 \cdot \hat{p} \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot f \cdot t) \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot \frac{x}{c})$$

===Mittlerer Druck===
Wie zuvor erwähnt, limitiert der mittlere Druck die Auslenkung des Kolbens und sollte in der Theorie enthalten sein. Hierfür müssen wir den mittleren Innendruck und Außendruck betrachten. Der mittlere Innendruck lässt sich mit der idealen Gasleichung berechnen:

$$p = \frac{n \cdot R \cdot T}{V}$$

Nun können wir auch den mittleren Druck abhängig von x ausmachen (Der Kolben ist ein Zylinder):

$$p = \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x}$$

Zusammen mit dem mittleren Innen- und Außendruck, lässt sich der mittlere Druck der auf den Kolben wirkt, bestimmen:

$$p_K = \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x} - p_0$$

===Kraftwirkung auf den Kolben===
Mittels aller bisher genannten Formel lässt sich eine endgültige Formel für die Kraft F, die auf den Kolben wirkt, herleiten:

$$F = A \cdot (2 \cdot \hat{p} \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot f \cdot t) \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot \frac{x}{c}) + \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x} - p_0)$$

Oder auch

$$F = A \cdot (2 \cdot \frac{n \cdot R \cdot (T_H - T_C)}{2 \cdot V} \cdot sin(\pi \cdot \frac{c}{L} \cdot t) \cdot cos(\pi \cdot \frac{x}{L}) + \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x} - p_0)$$

Nun kann eine Formel für die Beschleunigung des Kolbens hergeleitet werden:

$$a = \frac{A}{m} \cdot (\frac{n \cdot R \cdot (T_H - T_C)}{V} \cdot sin(\pi \cdot \frac{c}{L} \cdot t) \cdot cos(\pi \cdot \frac{x}{L}) + \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x} - p_0) + a_0$$

Aus dieser Formel lässt sich auch die Auswirkung der verschiedenen Parameter herauslesen.
So bekommen wir Proportionalitäten von zum Beispiel der Frequenz und dem Temperaturgradient zu der Output Leistung.

=== Numerisches Simulieren ===
[[Datei:Themoacoustic Engine - Numerical Simulation.png|links|mini|327x327px|Numerische Simulation eines thermoakustischen Motors]]
Mitteles der vorherermittelten formel kann man die Bewegung des Kolbens Simulieren. Wir haben dies in python gemacht und eine libary benutzt um es zu ploten. Auf der linken Seite ist ein Beispiel mit den Parameterwerten eines unserer Aufbauten. Die Simulation sieht auch recht realitätsnah aus.

==Effizienz==
Die Effizienz berechnet man wie folgt:

<nowiki>$$\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}$$</nowiki>
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Efficiency calc.png|rechts|rahmenlos|347x347px|Effizienzrechnungsgrößen]]
Es gilt auszurechnen, wie viel die Input Leistung in nützliche Output Leistung umgewandelt werden kann. Für den Motor sollte ausgerechnet werden, wie viel an eingegebener thermischer Leistung, in ausgegebener mechanischer Leistung, umgewandelt wird. In unserem Aufbau wandeln wir, wegen der einfachen Messbarkeit, elektrische Leistung über den Motor wieder in elektrische Leistung an und messen somit die Effizienz aus. Also müssen wir auch die Effizienzen von und zu elektrischer Leistung in Betracht ziehen.
Wir gehen also zunächst von zwei Effizienzen aus, einmal die Effizienz, wie viel thermische Energie, die durch die elektrische Leistung erzeugt wird, in das System gelangt und noch wichtiger, wie hoch die Effizienz des Motors selbst ist.

Die Effizienzen haben wir mittels zwei Aufbauten experimentell bestimmt:

===Aufbau Effizienz===
Zunächst haben wir mit dem folgenden Aufbau die Effizienz des gesamten Systems gemessen.
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Efficiency Setup Real.png|rechts|rahmenlos|422x422px|Aufbau des thermoakustischen Motors um Effizienzen zu messen]]
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Efficiency Setup.png|zentriert|rahmenlos|422x422px|Aufbau um Effizienzen zu Messen]]
Bei diesem Aufbau des Motors verwenden wir Stahlwolle als Stack, Außenluft als Kühlung und einen Heizdraht als Wärmequelle. Der Kolben ist mit einem Schwungrad verbunden, auf das Magnete mit wechselnder Polung geklebt sind.
Wir haben Heizdraht verwendet, um die Input Leistung genau bestimmen und ändern zu können. Durch die Einführung einer Spule konnten wir die Output Leistung durch Induktion berechnen und die Belastung des Motors variieren.

Gemessen haben wir den eingehenden Gleichstrom und die Spannung des ausgehenden Stroms. Zusätzlich haben wir den ohmschen Widerstand im Stromkreis der Spule gemessen.
Für die Messungen haben wir einen Voltmeter und einen Mikroohmmeter benutzt.

Die Input Leistung haben wir mittels der Formel für die elektrische Leistung P = U \cdot I ausgerechnet und für die Output Leistung haben wir die Scheinleistung, mittels Nutzen der Effektivwerte berechnen können und mittels der Formel P = \frac{U^2}{R} ausgerechnet.
===Aufbau Input Effizienz===
Für die Messung der Input Effizienz haben wir das Rohr mit Wasser gefüllt und von innen die Temperatur gemessen.
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Input Efficiency .png|zentriert|rahmenlos|597x597px|Aufbau input Effizienz experiment]]
Das Rohr wird auf gewohnte Weise erhitzt und die Temperatur von Wasser wird in dem Rohr gemessen.
Die Input Leistung kann mittels spezifischer Wärmekapazität und der Eigenschaft, dass P = \frac{dE}{dt} bestimmt werden. Die Formel für die Leistung ist also:

$$P = \frac{d}{dt} (T_w(t) \cdot c_H \cdot V \cdot \rho)$$

Zusammen mit der Formel für die Effizienz wurden die gemessenen Daten wie folgt ausgewertet:

$$\eta = \frac{\frac{d}{dt} (T_w(t) \cdot c_H \cdot V \cdot \rho)}{U \cdot I}$$
=== Carnot Efficiency===
Während unserer Untersuchungen sind wir auf die Carnot Effizienz gestoßen, die die maximale Effizienz eines solchen Motors bestimmt. Weil dieses ausführlich in anderen Facharbeiten beschrieben wird, verweisen wir in diesem Fall auf diese. Die maximale Effizienz die ein Motor nach Carnot erreichen kann, ist:

<nowiki>$$\eta = \frac{\dot{W}}{\dot{Q_H}} \leq \frac{T_H - T_C}{T_H}$$</nowiki>

Zu beachten ist, dass die Carnot Effizienz auf Annahmen beruht, wie keine Reibung und keinen Energieverlust.

Diese ist die maximale (unmögliche) Effizienz, die eine auf Hitze basierende Kraftmaschine einnehmen kann. Diese eignet sich also perfekt als Vergleichseffizienz, um die gemessenen Effizienzen mit dem theoretischen Optimum zu vergleichen. Wir können auch sagen, dass unsere Effizienz echt kleiner als diese Effizienz sein muss.

==Daten==
=== Fehlerbetrachtung===
Unsere Fehler haben wir durch einer Standardabweichung berechnet, die von einer Stichprobe ausgeht:

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \cdot \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

===Messreihe: Temperaturgradient ===
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Graph - Temperature Gradient.png|links|rahmenlos]]
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Graph - Temperature Gradient Efficiency.png|rechts|rahmenlos]]
Durch Variation der Input Leistung haben wir den Temperaturgradienten verändert und die resultierende Spannung gemessen.
Ersichtlich ist, dass, wie erwartet, durch Erhöhung der Temperaturdifferenz sich die Output Spannung ebenfalls erhöht. Die Effizienz erhöht sich ebenfalls, wie es bei der Carnot Effizienz auch ist.

===Messreihe: Belastung des Motors===
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Graph Load.png|links|rahmenlos|η - R Diagramm]]
Durch die Erhöhung des ohmschen Widerstands in dem Schaltkreis der Spule erhöht sich die Kraft, die gegen die Bewegung des Flugrades gerichtet ist, somit können wir die Last des Motor verändern. Durch die Last die auf dem Motor wirkt verändert sich die Effizienz wie in dem $\eta$-R Diagram ersichtlich ist.

Bei dem Motor gibt es auch eine optimale Last für eine maximale Effizienz, diese haben wir jedoch in unserem limitierten Messbereich noch nicht gefunden.

===Messreihe: input Effizienz===
[[Datei:Thermoacoustic Engine - Input Efficiency Grapf.png|links|rahmenlos|T-t Grapf]]
Mit dem T-t Grapf, der bei der Erwärmung des Rohres entstanden ist, kann über die Ableitung der des Grapfs mit konstanten multipliziert, die input Effizienz berechnet werden. Dafür haben wir die kurve als linear angenommen, mit einer sehr guten übereinstimmung mit dem Grapf und die Effizienz ausgerechnet.

Als input Effizienz haben wir 56.8% erhalten.

===Maximale Effizienz===
Nach dem abziehen der input Effizienz erhalten wir eine maximale Motoreffizienz von 0,03%, welches verglichen mit den 83,3% der Carnot Effizienz vergleichsweise sehr klein ist. Weitere Verlustquellen in unserem Motor sind die Reibung vom Kolben, übertragungsverluste durch induction und die entstehende thermische Energie im Stromkreis.

== Fazit==
Während der Bearbeitung der Problemstellung des Physikwettbewerbs haben wir das Phänomen gründlich untersucht. Wir haben jegliche Entstehungsursachen und verschiedenste relevante Parameter in Betracht gezogen und untersucht. Wir haben einen funktionierenden Aufbau und die Effizienz dessen experimentell bestimmt. Dazu eine ausführliche mathematische Theorie zu dem Motor aufgestellt die den Einfluss verschiedener Parameter zeigt.

Einige sachen hätten wir besser machen können, vorallem unser Zeitmanagement, denn wir haben uns am Anfang zu lange mit nicht relevanten Aspekten beschäftigt und bei Abgaben zu spät angefangen. Wir hätten auch gerne weite Eigenschaften experimentel untersucht, wie zum Beispiel die Frequenz des Kolbens und die weiteren Grenzen des Phenomens erforscht.

==Erfolge==
GYPT Einzelplatzierung: 7. Platz (Richard)

GYPT Gruppenplatzierung: 3. Preis

== Danksagung ==
Wir bedanken uns bei Herrn Dr. Ebert, Anja Drücker und Timo Huber für ihre Unterstüzung. Wie Theorie besprechungen, Experimentale Hilfen oder auch Vortragshilfen.

== Quellen==
A.W. Avent, C.R. Bowen: “Principles of thermoacoustic energy harvesting” (2015)

G.W. Swift: “Thermoacoustic engines” (1988)

Flying Ball

2023-06-12T14:52:14Z

Daniel Pelmentschikov:

= Thema =
Beim Thema handelt es sich um ein eigenes Projek, welches nicht teil einer Aufgabenstellung eines Wettbewerbes ist. Die Aufgabe lautet:<blockquote>Bauen Sie einen Wurfball, der die geworfene Distanz selbst erkennt und es einem Trainer ermöglicht, Fehler eines Sportlers optimal zu erkennen.</blockquote>Dabei soll der Ball folgende Kriterien erfüllen:

* Er muss die Distanz möglichst genau und sofort erfassen können
* (Der Ball soll möglichst einfach aufgebaut und kostengünstig sein)

= Theorie und Daten =
[[Datei:Image.png|mini|Das Modell eines Beschleunigungssensors]]Wir verwenden digitale MEMS (Micor-Electro-Mechanical System) Sensoren um Änderungen in der Geschwindigkeit zu erkennen. Der Sensor basiert auf dem Newtonschen Trägheitsgesetz:

$$F = m \cdot a$$

Eine aufgehängte Masse verändert im Falle einer Beschleunigung ihre Relativposition zum umgebenden Sensorgehäuse, wodurch ein Messwert aufgezeichnet werden kann. Das einzige Problem hierbei stellt der freie Fall dar, da dabei das gesamte System beschleunigt wird und somit fast kein Positionsunterschied vorhanden ist (Luftwiderstand kann das Gehäuse ausbremsen).

Grundlegend kann die Beschleunigung wie folgt in den resultierenden Weg überführt werden:

<nowiki>$$\Delta v(t) = \int\limits_{t_n}^{t_{n+1}}\Delta a(t) dt $$</nowiki>

<nowiki>$$\Delta s(t) = \int\limits_{t_n}^{t_{n+1}}\Delta v(t) dt $$</nowiki>[[Datei:Image2.png|mini|Numerische Annäherung eines Integrals]]Dies funktioniert allerdings in der Praxis nicht direkt, da ein kleiner Messfehler bei Integration ein größeren nach sich zieht. Zudem liefert der Beschleunigungssensor selbstverständlich keine mathematischen Funktionen.
Stattdessen nutzen wir die Tatsache aus, dass sehr viele Messwerte pro Sekunde aufgenommen werden könnnen, wodurch man mit der Trapezregel sehr viele kleine berechenbare Abschnitte bekommt.

Die zugrundeliegenden (numerische) Ausdrücke lauten:

<nowiki>$$ v_n &= v_{n-1} + \frac{a_n+a_{n-1}}{2} \Delta t $$</nowiki>

<nowiki>$$ s_n &= s_{n-1} + \frac{v_n+v_{n-1}}{2} \Delta t \\ $$</nowiki>

==== Messwerte und deren Verbesserung ====
[[Datei:Image3.png|mini|Messkurve 1 (ungefiltert)]]
Jede Messung einer physikalischen Größe ist aus den verschiedensten Gründen mit Fehlern behaftet. Dies ist bei der Messung von Beschleunigungen keine Ausnahme. Wenn der Beschleunigungssensor einfach nur hingelegt wird ergeben sich nach der Auswertung folgende Werte (Geschwindigkeit und Weg sind beide aufgetragen).
[[Datei:Image4.png|mini|Messkurve 2 (ungefiltert, mit Beschleunigung)]]
Man erkennt, dass das Endergebnis hier über 30 Sekunden 3 Meter Verschiebung ist. Dabei hat sich der Sensor garnicht bewegt, was eigentlich 0 Metern entspräche. Dies könnte man mit dem ''gleitenden Mittelwert'' beheben. Dabei würde man eine Folge von arithmetischen Mitteln der aufeinanderfolgenden Datenpunkte zu einer neuen Datenpunktmenge zusammenfassen. Dies würde allerdings nur in diesem speziellen Fall die beste Lösung darstellen, da sonst Signaltendenzen durch den Durchschnitt verfälscht werden. Deswegen benutzen wir den sog. ''Savitzky-Golay-Filter.'' Im wesentlichen wird damit eine polynomiale Regression über eine Serie von äquidistanten Stützstellen (unsere Messpunkte) erreicht. Dabei werden Anteile von „abweichenden” Messwerten nicht einfach abgeschnitten, sondern fließen in die Berechnung mit ein.
[[Datei:Image5.png|mini|Messkurve 2 (gefiltert)]]
Falls man diesen Filter an diesselben Ausgangswerte anwendet, sieht man, das eine deutliche Verbesserung zu beobachten ist. In blau erkennt man das Rauschen des Beschleunigungsensors, welches dann in die Geschwindigkeit und in den Weg (Grün) überführt wird. Man sieht: Der Messwert beträgt -10 Meter (kann zufällig auch positiv sein).

In der zweiten Messkurve erkennt man auch Zufällige Fehler, da die abgelesenen Werte die gleichen sind. Allerdings wurden sie vom Filter geglättet und wurden nach dem Integrieren wieder verarbeitet, was uns mit einem Fehler von 0,2 Meter lässt. Dies ist für unsere Anwendung optimal. Der Graph ist, wie man an den Werten erkennen kann, gegenüber den vorherigen vergrößert.

Jetzt interessiert uns, wie das Verhalten in einen tatsächlich bewegten System aussehen würde. Dafür haben ein Skateboard mit Motor ausgestattet und haben es auf gerader Bahn beschleunigt und danach bremsen lassen.

Durch Laser-Schranken war abgesichert, dass die tatsächliche Geschwindigkeit uns bekannt ist. Der blaue Graph zeigt den tatsächlichen Verlauf der Geschwindigkeit. In rot erkennt man die gemessene Beschleunigung und orange die gefilterte Beschleunigung. Der grüne Graph stellt die errechnete Geschwindigkeit dar. Man erkennt, dass diese ziemlich nah beianander sind. Bei dem errechneten Weg ergibt sich ein Ergebniss, welches im Durchschnitt 0,15 Meter vom tatsächlichen Wert abweicht.
[[Datei:Image6.png|mini|Messkurve am Skateboard experiment]]

= Aufbau =
GPS-Methode

Die Distanz zu ermitteln die ein Ball geflogen ist, ist nur mit beschleunigungssensoren praktisch nicht machbar. Um die Funktionalität dennoch zu bieten, kann zusätzlich ein GPS-Modul verwendet werden. Der Zeitpunkt des Startes und der Landung des Balles lassen sich mithilfe des Beschleunigungssensors bestimmen. Beim Start wird der Ball durch die Hand des Athleten beschleunigt, wodurch eine erhöhte Beschleunigung zu messen ist. Bei der Landung wird in einem sehr kurzen Zeitintervall der Großteil der kinetischen Energie aus dem Ball genommen, wodurch wieder eine hohe Beschleunigung zu messen ist. Zwischen dem Start und der Landung kann eine nur sehr geringe Beschleunigung gemessen werden, die auf die Rotation des Balles zurückzuführen ist. Die Erdbeschleunigung hat hierbei keinen Einfluss, weil beim freien Fall des Balles, in diesem selbst die Erdbeschleunigung nicht messbar ist. Über das GPS-Modul können dann die Koardinaten beim Start und bei der Landung gemessen werden. Die Distanz zwischen den Koardinaten entspricht dann der Distanz des Fluges.

Genauigkeit von GPS

GPS hat eine absolute Genauigkeit von etwa 7 Metern. Für unsere Anwendung ist diese jedoch irrelevant. Fur uns muss nur der Abstand zwischen Start- und Landekoardinaten der Distanz des Fluges entsprechen. Hierfür ist nur die relative Genauigkeit relevant. Diese hängt vor allem von der Anzahl an Sateliten ab, deren Signal das Modul empfangen kann. Um eine genauigkeit von unter 0.5 Metern zu haben, müssen mindestens etwa 12 Satelliten im Sichtbereich des Empfängers sein.

= Fazit =
Ein solcher Ball ist ein interessantes Projekt was für Kinder gut geeignet ist, um bisschen Physik zu machen, spaß am löten zu haben, etc.. Für seriöse Unternehmer ist es dringend abzuraten sich mit sowas zu beschäftigen. Ein Flying-Ball kostet mindestens das 5-Fache (ohne Mage) eines normalen Balles, was ein reines Mittel- und Zeitverlust ist. Der Finazielle misserfolg in diesem Projekt hatte allerdings auch positive Folgen, durch die wir folgendes gelernt haben:

- Bei wichtigen entscheidungen nicht von persönlichen Einstellung zum Projekt beeinflussen lassen

- Martanalyse

- Zeiteinschätzung

- Wie man Arbeit besser aufteilt und evt. Stückweise von anderen Kindern machen lässt (in Form eines Schülerprojektes, Jugend Forscht, IaC)

= Erfolge =
Unter Vermeidung der Fehler, die in diesem Projekt zugelassen wurden, ist ein neues, besseres und vor allem kommerziell lokrativeres Projekt entstanden: SmartStick. Durch dieses wurde u.a. der durch Flying Ball entstandene finanzielle Schaden abgedeckt.

Jugendforscht 2. Preis Landesrunde (Technik)

Datei:Image6.png

2023-06-12T14:45:57Z

Daniel Pelmentschikov:

dasdsd

Datei:Image5.png

2023-06-12T13:10:00Z

Daniel Pelmentschikov:

asdas

Datei:Image4.png

2023-06-12T13:02:20Z

Daniel Pelmentschikov:

Messkurve 2 (ungefiltert, mit Beschleunigung)

Flying Ball

2023-06-11T20:29:43Z

Daniel Pelmentschikov:

Datei:Image3.png

2023-06-11T20:06:59Z

Daniel Pelmentschikov:

sus amogus

Flying Ball

2023-06-11T19:52:29Z

Daniel Pelmentschikov:

Flying Ball

2023-06-11T19:51:47Z

Daniel Pelmentschikov:

Flying Ball

2023-06-11T19:51:26Z

Daniel Pelmentschikov:

Datei:Image2.png

2023-06-11T19:37:42Z

Daniel Pelmentschikov:

Numerische Annäherung eines Integrals

Flying Ball

2023-06-11T19:32:38Z

Daniel Pelmentschikov:

Flying Ball

2023-06-11T19:32:10Z

Daniel Pelmentschikov:

Flying Ball

2023-06-11T19:31:38Z

Daniel Pelmentschikov:

Flying Ball

2023-06-11T19:19:58Z

Daniel Pelmentschikov: /* Theorie */

Datei:Image.png

2023-06-11T19:19:14Z

Daniel Pelmentschikov:

Das Modell eines Beschleunigungsensors

Flying Ball

2023-06-11T19:18:11Z

Daniel Pelmentschikov:

Flying Ball

2023-06-11T19:13:28Z

Daniel Pelmentschikov:

= Thema =

= Theorie =

= Aufbau =

= Daten =

= Fazit =

= Erfolge =

= Quellen =

Flying Ball

2023-06-11T18:47:47Z

Daniel Pelmentschikov: Erstellt

= Thema =

= Theorie =

= Aufbau =

= Daten =

= Fazit =

= Erfolge =

= Quellen =

Magneto-Mechanischer Oszillator

2023-06-10T16:23:50Z

Daniel Pelmentschikov: Rechtschreibung behoben lol

==Thema==
[[Datei:Gekoppelter Federschwinger Animation.gif|mini|Ungefährer Ablauf des Effekts (eigentlich ist die Schwellung größer, es gibt eine Dämpfung) ]]
''"Secure the lower ends of two identical leaf springs to a non-magnetic base and attach magnets to the upper ends such that they repel and are free to move. Investigate how the movement of the springs depends on relevant parameters."''

Befestigen Sie die unteren Enden zweier identischer Blattfedern an einer nicht magnetischen Basis und befestigen Sie Magnete an den oberen Enden, sodass sie sich abstoßen und sich frei bewegen können. Untersuchen Sie, wie die Bewegung der Federn von relevanten Parametern abhängt.[[Datei:Übersicht der Kräfte MMO.png|mini|Hier sieht man die wirkenden Kräfte, sowie die genannten Parameter]]
==Theorie==
Parameter
Die folgenden Parameter sind benötigt, um den Effekt treffend zu beschreiben:

* die Maße der Feder (Länge, Dicke , Breite, Masse)
* Abstand zwischen den zwei Magneten
* Maße der Magneten (Dipolmoment, Masse)
Die Kräfte die in diesem System wirken, sind:

* Rückstellkraft $$F_R$$
* Magnetkraft $$F_M$$
* Dämpfungskraft $$F_D$$
[[Datei:Schwebung.png|mini|Mit einer Kamera aufgenommenes Schwingverhalten der zwei Federn]]

=== Grundlegende Erklärung ===
Wenn man die Federn auslenkt, so wird potentielle Energie gespeichert. Lässt man sie los, so wird diese um gewandelt, in kinetische Energie, sowie in Wärme (wobei dieser Teil minimal ist), durch die Magneten, die an beiden Federn befestigt sind, kann zudem kinetische Energie zwischen den Federn übertragen werden, sodass sich die beiden Schwingungen überlagern. Je nachdem wie die Federn auslenkt wird kann man verschiedene Schwingungsmuster erkennen, darunter Schwebungen, gedämpfte Kosinusschwingungen sowie komplexere Muster. Je länger die Feder schwingt, desto geringer ist die Frequenz sowie die Amplitude, mit der sie schwingt, da immer mehr Energie an die Luft durch Luftreibung abgegeben wird.

===Die Feder===
Die Feder hat viele Eigenschaften, die für diesen Effekt zu untersuchen sind, hauptsächlich sind jedoch die Biegung der Feder sowie die Rückstellkraft.

==== Die Biegung der Feder ====
Die Biegung der Feder lässt sich genau mithilfe der Balkentheorie beschreiben, jedoch reicht es für uns eine Näherung für diese aufzustellen, um diesen Sachverhalt nicht unnötig komplexer zu machen. Um eine Funktion für die Biegung der Feder $$W(x)$$ zu finden, müssen wir einige Bedingungen aufstellen, welche die gesuchte Funktion erfüllen muss.

# $$ W(0) = 0 $$ Die Biegung am Punkt der Befestigung ist Null.
# $$ W(L) = 1 $$ Am unbefestigten ende der Feder ($$L$$) soll die Auslenkung maximal sein (=1).
# <nowiki>$$ \frac {d^2 W(L)} {{dx}^2} = 0 $$ Die zweite Ableitung an der Stelle L soll gelich Null sein, da die zweite Ableitung der Biegelinie das Biegemoment ist, welches am Rand der Feder null ist, da dieser umgebogen ist.</nowiki>
[[Datei:Plot der Funktion der Biegelinie im Vergleich zur Biegung des Balkens.png|mini|$$W(x) = -13,5~\text{m} \cdot \left(1-\cos\left(\frac \pi 2 \cdot \frac {x} {150~\text{m}}\right)\right)$$ Der Balken ist 1,35 cm ausgelenkt und ist 15 cm lang]]
[[Datei:Rückstellkraft.png|rand|mini|315x315px|Stellt die Rückstellkraft dar, sowie die beim Hooke'schen Gesetz betrachteten Komponenten]]
Die Funktion die wir nach diesen Kriterien gewählt haben ist $$ W(x) = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2L}x\right) $$. Vorab gesagt ist diese Funktion nach den Bedingungen willkürlich gewählt, jedoch beschreibt sie die Biegung des Balken, wie in der Abbildung (rechts) zu erkennen, akkurat.

==== Die Rückstellkraft ====
Die Rückstellkraft lässt sich mithilfe des Hooke'schen Gesetztes beschreiben, jedoch ist zu sagen, dass das Hooke'sche Gesetz den vertikalen Teil der Kraft vernachlässigt, da wir jedoch keine allzugroßen Auslenkungen betrachen, ist dies nicht von großem Belange

$$ F_R = -k \cdot w \quad w\; - $$ Auslenkung

k ist hier die Federkonstante, sie beschreibt die Steife der Feder. Für diese gilt die folgende Formel, welch man sich ausser Balkentheorie herleiten kann:

$$k = \frac{EI}{L^3} \quad E \; $$- Elastizitätsmodul

Das I beschreibt das Axiale Flächenträgheitsmoment, dies ist eine Querschnittsgröße der Feder, und ist von der Dicke sowie der Breite dieser abhängig.

===Die Magnetkraft===

Für die Kraft, die zwischen zwei Dauermagneten wirkt gilt die [https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetisches_Dipolmoment <nowiki>folgende Formel (Quelle: [3]</nowiki>]

$$\begin{equation}
\vec{F}(\vec{r},\vec{m}_1,\vec{m}_2)=\frac{3\mu_0}{4\pi r^4}
\left[
\vec{m}_2(\vec{m}_1\cdot\vec{r}_n)+
\vec{m}_1(\vec{m}_2\cdot\vec{r}_n)+
\vec{r}_n(\vec{m}_1\cdot\vec{m}_2)-
5\vec{r}_n(\vec{m}_1\cdot\vec{r}_n)(\vec{m}_2\cdot\vec{r}_n)0
\right]
\end{equation} \\ m - \text{magnetisches Moment}$$
[[Datei:Diagramm Magnetkraft.png|rand|mini|Plot der Magnetkraft]]
$$\begin{equation} r_n \; - \end{equation} $$ Einheitsvektor der von Magnet 1 zu Magnet 2 zeigt

Diese Formel kann vereinfacht werden, da wir die Bewegung eindimensional betrachten, sodass man die Vektoren als Skalare schreiben kann

$$ F= \frac{3\mu_0 m_1 m_2}{2\pi r^4} $$

Mit dieser Formel lässt sich jedoch keine allgemein lösbare Differenzialgleichung aufstellen, weshalb wir die Magnetkraft für kleine Auslenkungen linearisieren:

$$ F_M = c(d_0 + w_1 + w_2) $$

Wobei $$c$$ den Differenzenquozient zwischen dem maximalen und minimalen Abstand der Magneten darstellt. $$d_0$$ ist der Abstand in Ruhelage zwischen den Magneten

===Vereinfachtes Modell===

Mithilfe dieser Kräfte kann man ein vereinfachtes Modell erstellen, um diesen Effekt zu beschreiben. Hier vernachlässigen wir die Dämpfung und nehmen zudem kleine Auslenkungen an, um lösbare DGLs zu erhalten. Wir werden hier drei Modell einführen, die drei sind von unterschiedlicher Komplexität, wobei das letzte den betrachteten Effekt darstellt. Die anderen zwei sind jedoch für das weitere Verständnis des Ansatzes, welchen wir verwendet haben sinnvoll.
[[Datei:Freie Biegeschwingung2.png|rand|mini|315x315px|Schema einer freien Biegeschwingung]]

==== Freie Biegeschwingung ====
In diesem Fall Betrachen wir die Schwingung einer ungedampften Blattfeder mit Masse am Rand. Um diese zu beschreiben verwenden wir Newton'sche DGLs, welche man erhält, indem man die auf eine Punktmasse wirkenden Kräfte summiert. Das einzige problem ist, dass wir keine Punktmasse haben. Dies kann man jedoch umgehen, indem man eine effektive Masse berechnet, doch mehr dazu später. Da bei der freien Biegeschwingung, die einzige wirkende Kraft die Rückstellkraft ist gilt hier:
[[Datei:Schwingung mit festgemachtem Magneten.png|mini|Schema einer Schwingung mit festgemachtem Magneten]]
$$ F_{ges} = F_R $$

Umgeformt erhalten wir daher:

$$ \ddot{w} + \frac{k}{m}w = 0 $$

Die Lösung dieser DGL würde hierbei so aussehen:

<nowiki>$$w = \hat w \cdot \cos(\omega_F t) \quad \omega_F = \sqrt{\frac{k}{m}} $$</nowiki>

==== Schwingung mit festgemachtem Magneten ====
Hier betrachten wir den Fall, dass man neben der Feder mit magnet einen Magneten festmacht, sodass es auch eine magnetische Kraft gibt, die einwirkt. Daher gilt auch

$$ F_{ges} = F_R +F_M $$

Daraus folgt dann:

$$ \ddot{w} + \frac{k-c}{m}w = 0 $$

Und die Lösung dieser DGL wäre:

<nowiki>$$w = \hat w \cdot \cos(\omega_{FL} t) \quad \omega_{FL} = \sqrt{\frac{k-c}{m}} $$</nowiki>

==== Gekoppelte Schwingung ====
Um die Bewegungsgleichung für den gekoppelten Schwinger zu bestimmen, kann man denselben Ansatz wie im 2. Modell nehmen. Denn wirken auch hier nur die Magnetkraft und die Rückstellkraft, da wir jedoch zwei Federn haben, brauchen wir auch zwei Gleichungen um die Bewegung beider zu beschreiben:

$$F_{ges1}=F_{R1} + F_M \\ F_{ges2}= F_{R2} - F_M $$

Diese würden dann so aussehen:

$$ \ddot{w_1} + \frac{k}{m}w_1 - \frac{c}{m}(w_1+w_2+d_0) \\
\ddot{w_2} + \frac{k}{m}w_2 + \frac{c}{m}(w_1+w_2+d_0)$$

Diese zwei DGLs sind gekoppelt, um diese zu lösen, muss man erstmal die Gleichungen entkoppeln, doch ersparen wir dem Leser dies, da dies nicht dem Verständnis hilft und nur Prahlerei wäre, daher schauen die Lösungen der Gleichungen so aus:

$$w_1=\frac 1 2(A_2\cos(\omega_{+}t)-A_1\cos(\omega_{-}t))+\frac {cd} m\ \\
w_2=\frac 1 2(A_2\cos(\omega_{+}t)+A_1\cos(\omega_{-}t))-\frac {cd} m \\$$

$$ \omega_{-}=\sqrt{\frac{k-2c} m}\\
\omega_{+}=\sqrt{\frac k m} $$[[Datei:Fall a .png|rand|mini|188x188px|Beide Federn werden in die selbe Richtung ausgerenkt]]

$$A_1=\left( \hat{w}_1-\hat{w}_2\right)\\

A_2=\left( \hat{w}_1+\hat{w}_2\right) $$

Hier schwingen die Federn mit zwei Frequenzen, die eine ist hier von der Magnetkraft beeinflusst, die andere nicht.Dies sind die allgemeinen Lösungen der Gleichung, jedoch gibt es noch drei spezifische interessante Fälle, welche man unter bestimmten Anfangsbedingungen erhält.
===== Fall a =====
[[Datei:Fall b.png|mini|189x189px|Die Federn werden in entgegengesetzte Richtungen ausgelenkt ]]
Wenn man die Feder beide Federn gleichzeitig in die selbe Richtung auslenkt, so schwingen die beiden Federn in Phase, die Magnetkraft hat keinen Einfluss. Daher schwingen sie auch nur mit der Frequenz $$\omega_+$$. Hierbei schaut die Bewegungsgleichung so aus:

$$ w_1 = \hat w \cdot \cos(\omega_+ t) = w_2 $$

===== Fall b =====
Wenn man die zwei Federn mit demselben Betrag in eine andere Richtung jedoch auslenkt, so hat die Magnetkraft nun einen Einfluss, denn schwingen die Federn durch diese mit der höheren Frequenz $$\omega_-$$. Außerdem Schwingen sie in Gegenphase, da sie auch entgegengesetzt ausgerenkt wurden.

$$ w_1 =\hat w \cdot \cos(\omega_- t) = -w_2 $$
[[Datei:Gekoppelte Schwingung.png|mini|202x202px|Nur eine Feder wird ausgelenkt]]

===== Fall c =====
Lenkt man nur eine Feder aus, so wird die Energie zwischen den Federn ständig übertragen, sodass die Amplitude immer größer und kleiner wird, man erhält eine Schwebung.

$$ w_1= \hat w \cdot \cos\left(\frac{\omega_- + \omega_+}{2} t\right) \cos\left(\frac{\omega_- - \omega_+}{2} t\right) \\

w_1 =\hat w \cdot \sin\left(\frac{\omega_- + \omega_+}{2} t\right) \sin\left(\frac{\omega_- - \omega_+}{2} t\right) $$

Hier schwingen die Feder mit zwei Frequenzen, wobei die eine die Änderung der Amplitude beeinflusst und die andere die Anzahl an Nulldurchgängen.

=== Die effektive Masse ===
In der bisherigen Modellierung haben wir oft die Mass m verwendet, ohne tiefer auf diese einzugehen. Denn setzt sich m nicht nur aus der Masse der Magneten $$ m_M$$ zusammen, sondern auch noch aus einen Teil der Masse der Feder, der effektiven Masse. Wir habe diese mithilfe der kinetischen Energie berechnet, denn kann man diese nicht nur von einem Punkt aus berechnen, sondern nur die gesamte kinetische Energie des Balkens. Dafür muss man dann ein Integral verwenden, sodass man die Bewegungsenergie über den gesamten Balken summiert. Daher schaut die kinetische Energie so aus:

$$ E_{kin} = \frac {1}{2} \cdot m_M \cdot {v(L)}^2 + \frac {1}{2} \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {v(x)}^2dm $$

Wobei der Integrant $$ dm $$ sich zusammensetzt aus:

$$ dm = \frac {m_F}{L} \cdot dx \qquad m_F - $$ Masse der Feder

Daraus folgt:

$$ E_{kin} = \frac {1}{2} \cdot m_M \cdot {v(L)}^2 + \frac {1}{2} \cdot \frac {m_F}{L} \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {v(x)}^2dx $$

Nun gilt $$ v(x) = \dot{w} $$ und $$w(x,t) = \left(1-\cos\left(\frac{\pi}{2L}x\right)\right) \cdot w_L(t)$$, sodass folgt:

$$ E_{kin} = \frac {1}{2} \cdot m_M \cdot {v(L)}^2 + \frac {1}{2} \cdot \frac {m_F}{L} \cdot {v_L(t)}2 \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {\left(\frac{\pi}{2L} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2L}x\right)\right)^2} dx $$

Umgeformt ergibt sich:

$$E_{kin}= \frac {1}{2} \left(m_M + \left(\frac {3}{2}- \frac {4}{\pi}\right) \cdot m_F\right) \cdot {v_L(t)}^2$$

Sodass man erkennt, dass gilt:

$$m = m_M + \left(\frac {3}{2}- \frac {4}{\pi}\right) \cdot m_F = m_M + 0,227 \cdot m_F$$

=== Dämpfungskraft ===
Bisher haben wir in unserer Modellierung angedampfte Schwingungen betrachtet, dies hat den Grund, dass wir so eine grobe Beschreibung des Effekts erreichen wollten, und diese so einfach wie möglich halten wollte. Dabei hat die Dämpfung natürlich auch einen Einfluss, jedoch besteht der Kern des Effekts in der Wechselwirkung der zwei Federn durch die Magneten. Gäbe es keine Dämpfung, so würde dieser Effekt für immer fortwähren, da wir jedoch diese nicht isolieren, ist die Dauer endlich.
[[Datei:Gedämpfte Schwingung.png|mini|411x411px|Schema einer gedämpften Schwingung. Die Dämpfungskraft wirkt der Rückstellkraft entgegen.]]
Die Dämpfungskraft ist, in unserem Fall, abhängig von der Dämpfung. Je schneller die Feder, desto höher die Dämpfungskraft, desto mehr Energie wird abgegeben. Bei dem Federschwinger entsteht die Dämpfung hauptsächlich durch die Luftreibung. Für die Luftreibung gilt folgende Formel:

$$ F_L = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_{Luft} \cdot A \cdot {v(t)}^2 \qquad A \; - $$ Angriffsfläche

Jedoch gilt diese Formel nur für Körper, die sich an jeder Stelle mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, im unserem Fall jedoch bewegt sich die Feder nicht einheitlich, an der Stelle $$x = 0$$ ist $$v = 0$$, bei $$x = L$$ gilt $$v = \hat v$$. Daher müssen wir in unserem Fall die Dämpfungskraft über den ganzen Balken summieren, wir nehmen das Integral, dieses würdedann so aussehen:

$$ F_D = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_{Luft} \cdot A \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {v(x,t)}^2dx $$

Um dieses Integral zu lösen, können wir auch hier den Ansatz $$ v = \dot w $$ und $$ w(x,t) = W(x) \cdot w_L(t) $$ verwenden, sodass wir folgendes erhalten:

$$ F_D = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_{Luft} \cdot A \cdot {v_L(t)}^2 \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {\left(\frac{\pi}{2L} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2L}x\right)\right)^2} dx $$

Und durch Lösen des Integrals erhält man:

$$ F_D = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_{Luft} \cdot A \cdot \left(\frac {3}{2}- \frac {4}{\pi}\right) \cdot L \cdot {v_L(t)}^2 = \delta \cdot {v_L(t)}^2 $$

=== Vollständiges Modell ===
Nun da wir die Dämpfungskraft haben, können wir diese auch in die Gleichungen integrieren, jedoch wären diese Differentialgleichungen sowieso schon unlösbar, sodass wir auch die eigentliche Formel für die Magnetkraft verwenden können.

Daher gilt für die einfache Biegeschwingung:

$$ \ddot w + \frac {k}{m} w - \frac {\delta}{m} {\dot w}^2 = 0 $$

Für die Biegeschwingung mit festem Magneten gilt:

$$ m \ddot w = - k w + \frac {c_M}{(d_0 + w)^4} + \ {\dot w}^2 \qquad \quad c_M \;- $$ Proportionalitätskonstante für die Magnetkraft

Und für die gekoppelten Biegeschwingungen gilt:

$$m_1 \ddot w_1 = -k{w_1} - \frac {c_M}{(d_0 + w_1 + w_2)^4} + \delta {\dot w_1}^2 \\

m_2 \ddot w_2 = -k{w_2} - \frac {c_M}{(d_0 + w_1 + w_2)^4} + \delta {\dot w_2}^2 $$

Diese DGLs sind nicht lösbar, weshalb wir sie numerisch simuliert haben mithilfe von Octave.
[[Datei:Simulations plot gedämpfte biegeschwinung.png|rand|mini|Ein Simulationsplot einer gedämpften Schwingung über einen Zeitraum von 30s, mit einer Federlänge von 17,5 cm und einer Anfangsauslenkung von 5cm.]]

==== Simulation ====
[[Datei:Auslenkung - Zeit - Diagramm.png|mini|Plot einer Videomessung einer gedämpften Biegeschwingung mit einer Federlänge von 17,5 cm, einer Zeit von 28s und einer Anfangsauslenkung von 3cm]]
Zur Simulation wollten wir ürsprünglich LSODE oder einen anderen Differentialgleichungslöser verwenden, jedoch konnten wir die Gleichungen aufgrund der Potenten nicht aufstellen, sodass wir stattdessen, nach demselben Prinzip haben wir den Prozess für ein kleines Zeitintervall (1ms) linear angenommen, und haben so für viele verschiedene Zeitpunkte den ungefähren Verlauf vorhergesagt.

Dadurch erhalten wir Plots, wie den neben stehenden, jedoch ist die Dämpfung bei diesen sehr gering für den beschriebenen Fall, mögliche Ursprünge dieser Abweichung, sind, dass wir einen Einheitenfehler in der Simulation haben, oder, dass wir einen großen Teil der Dämpfung vernachlässigen, jedoch haben wir den Ursprung des Fehlers noch nicht gefunden.

Bei den zwei anderen Simulationen kam noch dazu, dass die Koeffizienten für die Magnetkraft zu grob und ungenau waren, sodass die Simulation nicht für alle Federlängen und Abstände funktioniert hat, weshalb wir der Meinung sind, dass diese Werte nicht aussagekräftig sind.

==Aufbau==

===Aufbau zur Untersuchung des Effekts ===
Dies ist der Aufbau, mit dem wir diesen Effekt untersucht haben. An diesem kann man sowohl die Länge der Feder, als auch die Distanz zwischen den Federn verändern, sodass man sowohl den Einfluss von Magnetkraft, als auch von der Rückstellkraft gesondert betrachten kann. Der einzige Nachteil an diesem Aufbau ist, das dieser Teils aus Metall besteht, was aufgrund von den Magneten unpassend sein könnte, jedoch sind wir der Meinung, dass dieser Einfluss vernachlässigter ist, da die Magnetkraft mit so einer hohen Potenz abnimmt, sodass sie auf die Metallstäbe keinen Einfluss hat.[[Datei:AufbauMMO.png|mini|450x450px|Aufbau Frequenzmessung]]Um Daten zu sammeln habe wir Hall Sonden in der Nähe der Magneten befestigt, um die Änderung des magnetischen Flusses zu beobachten. Denn konnten wir dies anhand der Vernier - Labquest Technologie sehr einfach und zeiteffizient, zudem konnte wir in der Fourier- Analyse ein höheres Spektrum an Frequenzen betrachten. Dies kam leider auf Kosten davon, dass wir die Auswirkungen auf die Amplitude mit diesen Messungen nicht betrachen können, da die Feldstärke sich nicht linear ändert. Jedoch konnte man dank der hohen Auflösung der Hall Sonden gute Aussagen über die Frequenz treffen, welche wir mithilfe einer Fast - Fourier - Transformation bestimmen konnten.

Um weiterhin eine Aussage über die Dämpfung und die Amplitude der Schwingung treffen zu können, haben wir Videomessungen durchgeführt und diese mithilfe des VIdeotrackingprogramms Tracker ausgewertet. Zur Aufnahme der Videos haben wir die Kamera eines iPhone 11 benutzt und haben diese im Slow - Mo Modus aufgenommen, welcher eine Bildrate von 240 fps liefert.[[Datei:AufbauFederkonstante.jpg|mini|Aufbau zur Messung der Federkonstante]][[Datei:Aufbau Magnetfeldstärke.png|mini|Aufbau für Messung der Magnetkraft]]
===Aufbau zur Messung der Rückstellkraft der Blattfeder ===
Um die Rückstellkraft der Feder zu messen, haben wir mithilfe eines Vernier - Kraftsensors eine Kraft auf die Feder ausgeübt, wodurch auch eine Gegenkraft auf den Sensor wirkte, dabei haben wir die Feder immer genau um einen bestimmten betrag ausgelenkt

=== Aufbau zur Messung der Magnetkraft ===
Um die Magnetkraft zu messen, haben wir auch hier einen Vernier - Kraftsensor benutzt, und einen Magneten an diesen befestigt. Mit dem anderen Magneten sind wir dann dem befestigen näher gekommen, und haben die Distanz zwischen diesen notiert.

==Daten ==
[[Datei:Federkonstante.png|mini|Plot der Federkonstante]]

===Messung der Federkraft===
Um die Daten für die Federkonstante zugerhalten haben wir die folgende Formel angewendet:

$$ k = \frac {F_R}{w} $$

Dies taten wir dann für verschiedne Längen, um zu prüfen ob die von uns dank der Theorie getroffenen Vorhersage stimmt, und dies tut sie in dem on uns bestimmten Bereich.

Der Fehler bei dieser Messung ist sehr gering, denn ist die [https://www.vernier.com/product/dual-range-force-sensor/[1] Abweichung] vom Realwert bei dem Kraftmesser, für eine Kraft unter 50 N, bei 0,05 N (Quelle [1]).

Dank dieser Messung können wir nun mit Sicherheit den Einfluss der Rückstellkraft, auf den Effekt kontrollieren.

===Messung der Magnetkraft===
[[Datei:Diagramm Magnetkraft.png|mini]]
Auch hier stimmt die Theorie nicht schlecht mit unseren Messwerten überein, jedoch waren wir nicht imstande für größere Längen mithilfe des Kraftmessers die Magnetkraft zuberechnen, da diese bei 4cm schon sehr schwach ist, sodass wir bei den letzten Werten ein sehr hohes Rauschen haben, und diese nicht mehr aussagekräftig sind, daher ist unser Koeffizient auch verfälscht, sodass auch unsere Simulation nicht funktioniert.

Rückblickend hätten wir zur Bestimmung des Koeffizienten Hall Sonden verwenden sollen, und mithilfe der [https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetisches_Dipolmoment Formel für die Feldstärke eines Dipols] (Quelle [3]) $$ \vec{B}(\vec{r}) = \frac {\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{3\vec{r}( \vec{m} \vec{r}) -\vec{m} r^2}{r^5} $$ kann man dann das magnetische Moment des Dipols bestimmen, welches die einzige Unbekannte des Koeffizienten ist.

Der Fehler ist der gleiche wie bei der Messung davor. Der Kraftsensor misst auch mit der Genauigkeit $$\pm0.05$$ N(Quelle [1]). Die Distanz zwischen den Magneten können wir auf $$\pm0.5$$ mm genau bestimmen. Insgesammt ist die Messung aber ungenauer, da der Kraftsesnor höhstwahrscheinlich mit Magneten arbeitet, was unsere Messung beeinflussen könnte.

Durch diese Messung ist uns nun bewusst, dass wir den Einfluss der Magnetkraft auf das System mithilfe der Distanz variieren können.

===Untersuchung der Frequenz der Schwingung ===
Um die Frequenz zu untersuchen, haben wir die Federlänge, die Distanz zwischen den Magneten, sowie die Masse der Magneten variiert, sodass wir sowohl den Einfluss der Magnetkraft, als auch den der Rückstellkraft variieren können. Als die Werte, die wir anhand der Theorie bestimmen, haben wir anhand der vereinfachten Theorie berechnet, da diese uns exakte Formel liefert, daher haben wir hier auch nicht die Dämpfung berücksichtigt.

Um die Frequenz der Schwingung zu bestimmen, haben wir eine Fourier Analyse verwendet.

Der Fehler in den folgenden Messdaten bildet sich aus der Ungenauigkeit bei der Bestimmung der Länge der Feder, welche wir auf eine Genauigkeit von $$0,5$$ mm bestimmen können. Eine weitere Quelle für Fehler ist die Fourier - Analyse, welche nur in einem Bereich misst, der halb so ist wie die Messauflösung, sodass wir bei 100 Messungen pro Sekunde eine maximale Frequenz von $$500$$ Hz haben

\begin{align}

\frac{1000~\text{Hz}}{2} &= 500~\text{Hz}\\

\frac{10~\text{Hz}}{500~\text{Hz}} &= \frac{1}{50} = 2\%

\end{align}

Der Fehler ist also $$\pm 2 \%$$. Den Fehler der Hall-Sonde können wir ignorieren, weil dieser nur maximal $$\pm 0.004$$ mT(Quelle [2]) betragen und dies in der Fourier-Analyse nur als rauschen identifiziert wird.

====Der Einfluss der Auslenkung====
Zu Begin haben wir den Einfluss der Auslenkung auf die Frequenz untersucht, und sind zu dem Schluss gekommen, dass die Auslenkung keinen Einfluss auf die Frequenz der Schwingung hat, sodass wir in den weiteren Frequenzuntersuchungen keinen Wert auf die Auslenkung gelegt haben.

====Der Einfluss der Rückstellkraft====
Die Messungen zur Rückstellkraft zeigen, dass mit größerer Federkonstante auch die Frequenz höher wird. So Stimmen die Werte auch überein, der einzige Fehler könnte in der linearen Näherung der Magnetkraft liegen.
[[Datei:Doppelbild errechnete frequenzen.png|zentriert|mini|808x808px|Vergleich theoretischer und errechneter Werte]]

====Der Einfluss der Magnetkraft====
[[Datei:Diagramm für Veränderung der Distanz.png|mini|Frequenzdiagramm für Distanzveränderung]]
Hier erkennt man, dass sich nur eine Frequenz verändert, nämlich $$ \omega_-$$, denn ist nur diese von der Magnetkraft abhängig, dies ist auch gut in den Messwerten erkennbar. Je größer die Distanz ist, desto ähnlicher sind die zwei Frequenzen de Schwingung, denn ist der Einfluss der Magnetkraft, umso geringer., sodass man sagen kann, dass $$ \omega_- $$ gegen $$\omega_+$$ konvergiert.

Die Fehler hierbei sind die gleiche wie beim Experiment zuvor, da wir den Abstand zwischen den Klemmen, die die Federn halten auf $$ \pm 0.5$$ mm genau bestimmen können. Der Fehler der Hall-Sonden wird wie zuvor von der Fourier Analyse als Rauschen aufgenommen und es zählt der Fehler der Fourier-Analyse.

====Einfluss der Masse====
Um die Masse zu variieren, haben wir Knete verwendet, diese haben wir gewogen und an der Feder befestigt. Wir haben dieses Experiment auf zwei Arten vollzogen, einmal haben wir nur eine Masse verändert und einmal beide.

=====Änderung beider Massen=====
Ändert man beide Massen, so besagt unsere Theorie, dass beide Frequenzen geringer werden, nun tun sie das auch wie man im Diagramm sieht.

===== Änderung einer Masse=====
Ändert man nur eine der Masse, so bleibt eine der Frequenzen konstant, während sich die mit steigender Masse, kleiner wird. Diesen Effekt können wir leider nicht mehr mithilfe der Formeln der vereinfachten Theorie.

Als Fehler bleiben die $$2\%$$ der Fourier Analyse bleiben bestehen und der Fehler bei der Abmessung der Masse beträgt c.a. $$\pm 0.01$$ g, da wir die Knete mit einer sehr genauen Waage abgewogen haben, die auf 2 Stellen nach dem Gramm wiegt.
[[Datei:Doppeldiagramm Masse.png|zentriert|mini|819x819px|Frequenzdiagramme für Masseänderung]]

====Weiterer vergleich mit der vereinfachten Theorie====
<nowiki>Zu den vorher erwähnten Untersuchungen, kann man noch zwei interressante Zusammenhänge finden, denn für $$ \omega_- =\sqrt{\frac{k-2c}{m}}\\$$ , $$\omega_+ =\sqrt{\frac{k}{m}}\\$$, die zwei Frequenzen des gekoppelten Oszillators, $$ \omega_f =\sqrt{\frac{k}{m}}\\$$ der Frequenz der freien Biegeschwingung und $$ \omega_{fl} =\sqrt{\frac{k-c}{m}}\\$$ der Frequenz für den Schwinger Mitt festem Magneten gelten folgende zwei zusammenhänge:</nowiki>

$$\omega_+ = \omega_f\\

\omega_- = \omega_{fl}^2-\omega_{f}^2$$
Um dies zu prüfen, habe wir die zwei Frequenzen des gekoppelten Oszillators mithilfe der anderen zwei Frequenzen berechnet.[[Datei:Doppelbild Frequenzvergleich.png|zentriert|mini|809x809px|Vergleich der gemessenen Frequenzen und der Frequenzen der einfachen Oszillatoren]]

==Fazit==
Zur Beschreibung dieses Effekts haben wir die verschiedenen Kräfte betrachtet, und anhand dieser Differentialgleichungen aufgestellt, welche diesen Effekt genau beschreiben. Zudem haben wir auch ein vereinfachtes, lösbares Modell erstellt, um Formel und Vorhersagen über die Frequenz treffen zu können. Da die ursprünglichen Gleichungen nicht lösbar waren, haben wir diese auch simuliert, jedoch sind wir dort nicht allzu weitergekommen, da wir mangelnde Messverfahren für die Bestimmung des Koeffizienten der Magnetkraft verwendet haben, sodass diese größtenteils nicht verwendbar war. Um die Theorie weiter zu stützen, haben wir viele verschiedene Messungen angefertigt, was weitergehend funktioniert hat, auch wenn wir das vollständige Modell nicht prüfen konnten.

Rückblickend hätten wir uns mehr auf die Dämpfung konzentrieren können, sowohl in der Theorie als auch in den Messungen, denn haben wir kaum Untersuchungen zur Dämpfung durchgeführt, und die welche wir hatten, waren ungenügend für diese Facharbeit, um sie zu verwenden. Außerdem sollten wir beim nächsten Mal unsere Werte und unser Messverfahren genauer dokumentieren, damit wir einen besseren Überblick über diese haben.

==Erfolge==
*Jugend Forscht Interdisziplinärer Preis in der Regionalrunde und Teilnahme an der Landesrunde (Egor, Nicolas, Uladzimir)
*13. Platz in der Bundesrunde GYPT(Uladzimir)
*33. Platz in der Bundesrunde GYPT(Nicolas)
*17. Platz in der Bundesrunde GYPT(Daniel)

==Quellen==
[1]https://www.vernier.com/product/dual-range-force-sensor/, 31.Mai 2023

[2] https://www.vernier.com/product/magnetic-field-sensor/, 31. Mai 2023

[3]: https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetisches_Dipolmoment 31. Mai 2023

FAQ

2022-12-01T13:29:30Z

Daniel Pelmentschikov: Rechtschreibung!

'''Muss ich alles allein machen?'''

Muss nicht, kann ja. Sinnvoll sind aber 2 bis 3 Leute pro Projekt. Diese können innerhalb des Jahres auch wechseln - das verkompliziert aber einiges.

'''Die IYPT-Probleme sind zu schwer. Muss ich die nehmen?'''

Eigene Projektideen sind gern gesehen, sollten aber mit den Betreuern abgesprochen werden. Die können Euch auch weiterhelfen, wenn Euch gar nichts einfällt. Wichtig ist, dass das Projekt eine hinreichend breite Untersuchung zulässt - also mindestens 2-3 echte Messreihen. Und es sollte einen gewissen Neuigkeitswert haben. Reine Recherche- oder Bastelprojekte passen nicht.

'''Was ist diese Opposition?'''

In der Opposition kommt es idealerweise zu einer kritischen Diskussion zwischen dem Opponenten und dem Präsentierenden. Dabei zeigt der Opponent durch kritische Fragen, dass er das Thema gut oder sogar besser versteht als der Vortragende. Bleibt sachlich und höflich! Gutes Opponieren ist eine Kunst, die man aber lernen kann.

'''Wozu die Facharbeit?'''

(Das ist keine vollständige Frage!)

Die Facharbeit zeigt den aktuellen Forschungsstand am Ende des ersten Halbjahres und kann als schriftliche Arbeit bei JuFo eingereicht werden. Die Note zählt als Klausurersatzleistung.

'''Muss jeder ein eigenes Laborbuch anlegen?'''

Das Laborbuch gehört zum Projekt nicht zur Person. Es müssen also auch nicht alle Messergebnisse 3 mal abgeschrieben werden. Wichtig ist, dass im Laborbuch erkennbar ist, wer wann mitgearbeitet hat.

'''Was muss in das Laborbuch?'''

Das wird klassisch analog in einem Notizbuch geführt. Für jeden Tag, an dem an einem Versuch/Projekt gearbeitet wurde, müssen Datum, die Teilnehmer, eine grobe Beschreibung der Tätigkeit sowie eventuelle Messergebnisse festgehalten werden. Das Laborbuch soll weniger als lästige Pflicht denn als Gedankenstütze aufgefasst werden. Ein gut geführtes Laborbuch ist eine echte Arbeitshilfe.

'''Wo gibt es Hilfe?'''

Zuerst ist die Seite des [https://gypt.org/aufgaben.html GYPT] hilfreich. Dort gibt es Anregungen zum Starten der Projekte sowie Links und Verweise auf Fachartikel.

'''Ich brauche teure/seltene/komische Materialien/Geräte. Wo bekomme ich die her?'''

Einiges ist in der Schule. Manches kann z.B. aus Unis ausgeliehen werden. Manches muss neu gekauft werden. Fragt dazu einen Betreuer (z.B. den Herrn Ebert). Bei kleinen Dingen (bis 20€) einfach Zweck und Preis angeben. In der Regel gibt es dann ein OK und Ihr könnt das Ding kaufen. Bei Abgabe der Quittung gibt es das Geld zurück. Größere Käufe (bis 100€) können wir übernehmen. Bitte dazu unbedingt eine Bezugsquelle (z.B. Webadresse) mit angeben. Teurere Dinge können auch beschafft werden. Die müssen aber gut begründet werden, weil wir eventuell erst Anträge stellen müssen. Bei diesen werdet Ihr dann mithelfen müssen. Potentiell ist aber Geld da (z.B. durch den Jugend forscht Sponsorpool oder die GFH), also lasst es uns ausgeben.