https://phyxz.herder-oberschule.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=ElliottKHerder Physik-ProjektWiki - Benutzerbeiträge [de]2026-04-06T22:06:12ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.37.2https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3512Ruler Cannon2025-06-15T17:10:28Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns für eine Aufgabe aus dem <br />
<br />
diesjährigen GYPT Aufgabenset entschieden: [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html Problem 7<sup>1</sup>]. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinandergehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball - in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Eigenkraft des Lineals in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$ Resultierende Kraft in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
*a Angriffspunkt von $$F_{Extra}$$ auf dem Lineal in cm<br />
*$$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
<br />
* d Durchmesser des Tischtennisballs in m<br />
<br />
*l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ in °<br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals in $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Flächenträgheitsmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1): <br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$, die durch Masse und Biegung des Lineals entsteht. In dieselbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die zusätzlich am Punkt a (hinter dem Ball) auf das obere Lineal ausgeübt wird. Dadurch ergibt sich die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$, die eine starke Kraft auf den Ball abgibt. Die für den Abflug des Balls entscheidende Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektiv vorwärtsgerichtete Komponente. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Ablauf des Phänomens: <br />
<br />
Wird eine Kraft $$F_{Extra}$$ am Punkt a auf das Lineal ausgeübt, erhöht sich $$F_{Final}$$. Sobald diese die Haftreibung $$F_{F}$$ übersteigt, wird der Ball in Richtung von $$F_{Final}$$ beschleunigt und losgeschleudert. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns zunächst das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, die am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als starr, sodass der erste Abschnitt flach bleibt und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball aufweist. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche, wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt, zu simulieren, mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen. Diese wird durch die Parameter der Kraft, den Druckpunkt a und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermittelt: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
Dann wird die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet, und des [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals. Sie betrachtet auch die Geometrie des Balls in Form des Durchmessers, wodurch eine möglichst genaue Erfassung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im Vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den, mit der Trackerapp ermittelten, Geschwindigkeitswerten vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30 cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60 N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte, um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis zu 60 N gemessen, aber bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60 N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann tauschten wir die Lineale und den Kraftmesser aus. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500 N messen. Damit führten wir alle folgenden Messungen durch. Abb. 4 zeigt unseren Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann führten wir zwei weitere Versuche durch, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentell zu ermitteln. Als erstes bestimmten wir die Federkonstante des Lineals, um später damit die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir befestigten das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch. Dann stellten wir ein Lineal auf, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals montierten wir einen Federkraftmesser und zogen diesen nach oben. Bei bestimmten Höhen maßen wir die Kraft und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ bestimmten wir die Federkonstante.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes bestimmten wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir klebten vier Projektile mit Klebeband aneinander und wogen die Masse dieser Konstruktion. Dann legten wir das Konstrukt auf die Lineale, beschwerten die Konstruktion zusätzlich mit Büchern und Blöcken als zusätzliche Masse und zogen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir maßen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellten die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$. <br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ kommen wir auf 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je größer die Entfernung von Punkt a zum Projektil ist, desto mehr Kraft muss auf die Lineale ausgeübt werden. Wenn die Entfernung sehr kurz ist, benötigt man auch wieder mehr Kraft, da die Kraftausübung auf den Ball erfolgt und dieser sich nicht verformt. Dazwischen gibt es einen optimalen Punkt, wo weniger Kraft nötig ist, um den Ball in Bewegung zu versetzen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht, ist 25 cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim Drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese lag bei 60 N und einige Messungen gingen darüber hinaus. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir erkennen eine Korrelation. Allerdings gibt es einige Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt startete. Außerdem führten wir für den ersten Punkt (38 cm) nur 5 Messungen durch und bei den anderen jeweils 20 Messungen pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden Fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass zwei- bis dreimal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die Gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht diesen Impuls durch langsames Drücken möglichst zu minimieren.<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*dass wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m vorhanden ist.<br />
*dass wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben.<br />
*dass wir beim Tracken der Videos teilweise nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten.<br />
*dass wir den Luftwiderstand bei unserer gesamten Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen.<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählten:<br />
<br />
*die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten.<br />
*die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs.<br />
* die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N.<br />
*die geringe Videoqualität der Videokamera, was das Tracken erschwerte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen.<br />
*die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem, da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten.<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Im letzten Jahr beschäftigten wir uns ausgiebig mit dem Phänomen. Wir fanden heraus, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.<br />
==Erfolge==<br />
Mit unserem Projekt nahmen wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teil, qualifizierten uns aber leider nicht für die nächste Runde. Außerdem nahm hat Elliott an BeGYPT teil, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki><br />
<br />
9: <nowiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force</nowiki><br />
<br />
10: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3511Ruler Cannon2025-06-15T16:16:36Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns für eine Aufgabe aus dem <br />
<br />
diesjährigen GYPT Aufgabenset entschieden: [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html Problem 7<sup>1</sup>]. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinandergehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball - in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Eigenkraft des Lineals in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$ Resultierende Kraft in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser des Tischtennisballs in m<br />
<br />
*l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ in °<br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals in $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Angriffspunkt von $$F_{Extra}$$ auf dem Lineal in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Flächenträgheitsmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1): <br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$, die durch Masse und Biegung des Lineals entsteht. In dieselbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die zusätzlich am Punkt a (hinter dem Ball) auf das obere Lineal ausgeübt wird. Dadurch ergibt sich die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$, die eine starke Kraft auf den Ball abgibt. Die für den Abflug des Balls entscheidende Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektiv vorwärtsgerichtete Komponente. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Ablauf des Phänomens: <br />
<br />
Wird eine Kraft $$F_{Extra}$$ am Punkt a auf das Lineal ausgeübt, erhöht sich $$F_{Final}$$. Sobald diese die Haftreibung $$F_{F}$$ übersteigt, wird der Ball in Richtung von $$F_{Final}$$ beschleunigt und losgeschleudert. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns zunächst das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, die am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als starr, sodass der erste Abschnitt flach bleibt und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball aufweist. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
<br />
Im letzten Jahr haben wir uns mit dem Phänomen ausgiebig beschäftigt. Wir haben herausgefunden, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.<br />
==Erfolge==<br />
Mit unserem Projekt haben wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teilgenommen, haben uns dabei aber leider nicht weiter qualifiziert. Außerdem hat Elliott an BeGYPT teilgenommen, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki><br />
<br />
9: <nowiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force</nowiki><br />
<br />
10: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3490Ruler Cannon2025-06-14T00:58:10Z<p>ElliottK: /* Theorie */</p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns für eine Aufgabe aus dem <br />
<br />
diesjährigen GYPT Aufgabenset entschieden: [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html Problem 7<sup>1</sup>]. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinandergehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball - in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Eigenkraft des Lineals in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$ Resultierende Kraft in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser des Tischtennisballs in m<br />
<br />
*l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$<br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Angriffspunkt von $$F_{Extra}$$ auf dem Lineal in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Flächenträgheitsmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1): <br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Die durch Masse und Biegung des Lineals entsteht. In dieselbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die zusätzlich am Punkt a (hinter dem Ball) auf das obere Lineal ausgeübt wird. Dadurch ergibt sich die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$, die eine starke Kraft auf den Ball abgibt. Die für den Abflug des Balls entscheidende Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektiv vorwärtsgerichtete Komponente. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Ablauf des Phänomens: <br />
<br />
Wird eine Kraft $$F_{Extra}$$ am Punkt a auf das Lineal ausgeübt, erhöht sich $$F_{Final}$$.Sobald diese die Haftreibung $$F_{F}$$ übersteigt, wird der Ball in Richtung von $$F_{Final}$$ beschleunigt und losgeschleudert. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns zunächst das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, die am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als starr, sodass der erste Abschnitt flach bleibt und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball aufweist. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
<br />
Im letzten Jahr haben wir uns mit dem Phänomen ausgiebig beschäftigt. Wir haben herausgefunden, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.<br />
==Erfolge==<br />
Mit unserem Projekt haben wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teilgenommen, haben uns dabei aber leider nicht weiter qualifiziert. Außerdem hat Elliott an BeGYPT teilgenommen, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki><br />
<br />
9: <nowiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force</nowiki><br />
<br />
10: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3489Ruler Cannon2025-06-14T00:52:56Z<p>ElliottK: /* Thema */</p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns für eine Aufgabe aus dem <br />
<br />
diesjährigen GYPT Aufgabenset entschieden: [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html Problem 7<sup>1</sup>]. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinandergehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball - in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Eigenkraft des Lineals in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$ Resultierende Kraft in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser des Tischtennisballs in m<br />
<br />
*l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$<br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Angriffspunkt von $$F_{Extra}$$ auf dem Lineal in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Flächenträgheitsmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1): <br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Die durch Masse und Biegung des Lineals entsteht. In dieselbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die zusätzlich am Punkt a (hinter dem Ball) auf das obere Lineal ausgeübt wird. Dadurch ergibt sich die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$, die eine starke Kraft auf den Ball abgibt. Die für den Abflug des Balls entscheidende Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektiv vorwärtsgerichtete Komponente. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Ablauf des Phänomens: <br />
<br />
Wird eine Kraft $$F_{Extra}$$ am Punkt a auf das Lineal ausgeübt, erhöht sich $$F_{Final}$$.Sobald diese die Haftreibung $$F_{F}$$ übersteigt, wird der Ball in Richtung von $$F_{Final}$$ beschleunigt und losgeschleudert. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
<br />
Im letzten Jahr haben wir uns mit dem Phänomen ausgiebig beschäftigt. Wir haben herausgefunden, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.<br />
==Erfolge==<br />
Mit unserem Projekt haben wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teilgenommen, haben uns dabei aber leider nicht weiter qualifiziert. Außerdem hat Elliott an BeGYPT teilgenommen, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki><br />
<br />
9: <nowiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force</nowiki><br />
<br />
10: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3488Ruler Cannon2025-06-14T00:33:36Z<p>ElliottK: /* Thema */</p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns unsere Aufgabe aus dem diesjährigen GYPT Aufgabenset ausgesucht. Dies war das [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html Problem 7<sup>1</sup>]. Dieses lautet dort:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$ Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
*l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$<br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_{F}$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
<br />
Im letzten Jahr haben wir uns mit dem Phänomen ausgiebig beschäftigt. Wir haben herausgefunden, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.<br />
==Erfolge==<br />
Mit unserem Projekt haben wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teilgenommen, haben uns dabei aber leider nicht weiter qualifiziert. Außerdem hat Elliott an BeGYPT teilgenommen, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki><br />
<br />
9: <nowiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force</nowiki><br />
<br />
10: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3487Ruler Cannon2025-06-14T00:27:39Z<p>ElliottK: /* Thema */</p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns unsere Aufgabe aus dem diesjährigen GYPT Aufgabenset ausgesucht. Dies war das [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html Problem 7<sup>1</sup>]. Dieses lautet dort:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_{F}$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
<br />
Im letzten Jahr haben wir uns mit dem Phänomen ausgiebig beschäftigt. Wir haben herausgefunden, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.<br />
==Erfolge==<br />
Mit unserem Projekt haben wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teilgenommen, haben uns dabei aber leider nicht weiter qualifiziert. Außerdem hat Elliott an BeGYPT teilgenommen, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki><br />
<br />
9: <nowiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force</nowiki><br />
<br />
10: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3486Ruler Cannon2025-06-14T00:23:36Z<p>ElliottK: /* Fazit */</p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_{F}$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
<br />
Im letzten Jahr haben wir uns mit dem Phänomen ausgiebig beschäftigt. Wir haben herausgefunden, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.<br />
==Erfolge==<br />
Mit unserem Projekt haben wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teilgenommen, haben uns dabei aber leider nicht weiter qualifiziert. Außerdem hat Elliott an BeGYPT teilgenommen, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki><br />
<br />
9: <nowiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force</nowiki><br />
<br />
10: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3485Ruler Cannon2025-06-14T00:14:01Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_{F}$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3484Ruler Cannon2025-06-14T00:13:22Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_{F}$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}( {l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}( {l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3483Ruler Cannon2025-06-14T00:12:16Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_{F}$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B \text{l}^2}{2}+2 a F \text{l} - \frac{F \text{l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3482Ruler Cannon2025-06-14T00:11:10Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_{F}$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B \text{l}^2}{2}+2 a F \text{l} - \frac{F \text{l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H} um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3481Ruler Cannon2025-06-14T00:10:50Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_{F}$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B \text{l}^2}{2}+2 a F \text{l} - \frac{F \text{l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H} um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3480Ruler Cannon2025-06-14T00:10:26Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_{F}$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B \text{l}^2}{2}+2 a F \text{l} - \frac{F \text{l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H} um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Plot Federkonstante.png|mini|434x434px|Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
<br />
Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in <br />
<br />
Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.<br />
<br />
Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N<br />
<br />
Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten. <br />
<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N. <br />
<br />
<br />
In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist. <br />
<br />
<br />
<br />
In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.<br />
<br />
<br />
Weitere Fehler sind:<br />
<br />
*Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
*das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben <br />
*das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
*das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
*Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
*Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
*Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
*Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen ==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:Plot_Federkonstante.png&diff=3475Datei:Plot Federkonstante.png2025-06-13T23:19:31Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div>Plot der gemessenen Federkonstante</div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3474Ruler Cannon2025-06-13T23:00:56Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G} nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_F$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B \text{l}^2}{2}+2 a F \text{l} - \frac{F \text{l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H} um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
<br />
0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des berechnen. Dieses gibt uns die Formel:<br />
<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07. <br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3473Ruler Cannon2025-06-13T22:32:45Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*$$F_F$$ Reibungskraft in N<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball in m<br />
<br />
* l Punkt am Ende des Lineals in cm<br />
<br />
* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg<br />
<br />
* α Öffnungswinkel in °<br />
<br />
* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}<br />
* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G} nach Unten und die Normalkraft $$F_{N} nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_F$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: <br />
<br />
<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B \text{l}^2}{2}+2 a F \text{l} - \frac{F \text{l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit]]<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale. <br />
<br />
<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D]]Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:<br />
<br />
Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.<br />
<br />
Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.<br />
<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten|390x390px]]<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
<br />
0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des berechnen. Dieses gibt uns die Formel:<br />
<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3471Ruler Cannon2025-06-13T22:11:21Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei: <br />
<br />
*F<sub>Zusatz</sub> Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*F<sub>R</sub> Reibungskraft<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> Masse des Tischtennisballs<br />
<br />
* α Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils m s<br />
* a Punkt, wo F<sub>Zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* l Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in N m2<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G} nach Unten und die Normalkraft $$F_{N} nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .<br />
<br />
Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_F$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: <br />
<br />
<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:<br />
<br />
$$w_{II}^{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B \text{l}^2}{2}+2 a F \text{l} - \frac{F \text{l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$<br />
<br />
und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3466Ruler Cannon2025-06-13T21:50:24Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem versuch sind hierbei: <br />
<br />
*F<sub>Zusatz</sub> Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*F<sub>R</sub> Reibungskraft<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> Masse des Tischtennisballs<br />
<br />
* α Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils m s<br />
* a Punkt, wo F<sub>Zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* l Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in N m2<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb.4 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft nach Unten und die Normalkraft nach Oben. Schräg von oben wirkt F<sub>Lineal</sub> . Diese Kraft kommt allein durch das Gewicht und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls F<sub>zusatz</sub> also die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal Auswirken, wodurch die resultierende Kraft F<sub>Lineal+zusatz</sub> Schräg nach vorne wirkt, wie in Abb.4 dargestellt. Die für den Abflug des Balles Verantwortliche Kraft F<sub>Final</sub> ist die effektive Kraft, die Tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte F<sub>R</sub> zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu dem Ball, in die Andere Richtung als F<sub>Final</sub> .<br />
<br />
Das Phänomen findet nun statt, indem F<sub>zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und F<sub>Final</sub> steigt. Wenn F<sub>Final</sub> größer als F<sub>R</sub> wird, fliegt der Ball nach vorne in Richtung F<sub>Final</sub> los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: <br />
<br />
<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot \left(\left(-Bl+2aF\right)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6}\right)$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen(os) so niedrig, dass der Winkel Theta zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] und der Definition von Geschwindigkeit die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln: <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3464Ruler Cannon2025-06-13T21:48:31Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem versuch sind hierbei: <br />
<br />
*F<sub>Zusatz</sub> Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*F<sub>R</sub> Reibungskraft<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> Masse des Tischtennisballs<br />
<br />
* α Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils m s<br />
* a Punkt, wo F<sub>Zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* l Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in N m2<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb.4 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft nach Unten und die Normalkraft nach Oben. Schräg von oben wirkt F<sub>Lineal</sub> . Diese Kraft kommt allein durch das Gewicht und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls F<sub>zusatz</sub> also die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal Auswirken, wodurch die resultierende Kraft F<sub>Lineal+zusatz</sub> Schräg nach vorne wirkt, wie in Abb.4 dargestellt. Die für den Abflug des Balles Verantwortliche Kraft F<sub>Final</sub> ist die effektive Kraft, die Tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte F<sub>R</sub> zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu dem Ball, in die Andere Richtung als F<sub>Final</sub> .<br />
<br />
Das Phänomen findet nun statt, indem F<sub>zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und F<sub>Final</sub> steigt. Wenn F<sub>Final</sub> größer als F<sub>R</sub> wird, fliegt der Ball nach vorne in Richtung F<sub>Final</sub> los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: <br />
<br />
<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot \left(\left(-Bl+2aF\right)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6}\right)$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,29 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -2,95 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,55 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,23 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,64 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,30 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,68 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen(os) so niedrig, dass der Winkel Theta zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] und der Definition von Geschwindigkeit die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln: <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3461Ruler Cannon2025-06-13T21:45:12Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem versuch sind hierbei: <br />
<br />
*F<sub>Zusatz</sub> Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*F<sub>R</sub> Reibungskraft<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> Masse des Tischtennisballs<br />
<br />
* α Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils m s<br />
* a Punkt, wo F<sub>Zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* l Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in N m2<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb.4 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft nach Unten und die Normalkraft nach Oben. Schräg von oben wirkt F<sub>Lineal</sub> . Diese Kraft kommt allein durch das Gewicht und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls F<sub>zusatz</sub> also die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal Auswirken, wodurch die resultierende Kraft F<sub>Lineal+zusatz</sub> Schräg nach vorne wirkt, wie in Abb.4 dargestellt. Die für den Abflug des Balles Verantwortliche Kraft F<sub>Final</sub> ist die effektive Kraft, die Tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte F<sub>R</sub> zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu dem Ball, in die Andere Richtung als F<sub>Final</sub> .<br />
<br />
Das Phänomen findet nun statt, indem F<sub>zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und F<sub>Final</sub> steigt. Wenn F<sub>Final</sub> größer als F<sub>R</sub> wird, fliegt der Ball nach vorne in Richtung F<sub>Final</sub> los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final$$}, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: <br />
<br />
<br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,29 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -2,95 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,55 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,23 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,64 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,30 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,68 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen(os) so niedrig, dass der Winkel Theta zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] und der Definition von Geschwindigkeit die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln: <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3460Ruler Cannon2025-06-13T21:43:58Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem versuch sind hierbei: <br />
<br />
*F<sub>Zusatz</sub> Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*F<sub>R</sub> Reibungskraft<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> Masse des Tischtennisballs<br />
<br />
* α Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils m s<br />
* a Punkt, wo F<sub>Zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* l Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in N m2<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb.4 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft nach Unten und die Normalkraft nach Oben. Schräg von oben wirkt F<sub>Lineal</sub> . Diese Kraft kommt allein durch das Gewicht und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls F<sub>zusatz</sub> also die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal Auswirken, wodurch die resultierende Kraft F<sub>Lineal+zusatz</sub> Schräg nach vorne wirkt, wie in Abb.4 dargestellt. Die für den Abflug des Balles Verantwortliche Kraft F<sub>Final</sub> ist die effektive Kraft, die Tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte F<sub>R</sub> zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu dem Ball, in die Andere Richtung als F<sub>Final</sub> .<br />
<br />
Das Phänomen findet nun statt, indem F<sub>zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und F<sub>Final</sub> steigt. Wenn F<sub>Final</sub> größer als F<sub>R</sub> wird, fliegt der Ball nach vorne in Richtung F<sub>Final</sub> los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final} dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final$$}, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: <br />
<br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,29 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -2,95 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,55 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,23 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,64 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,30 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,68 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen(os) so niedrig, dass der Winkel Theta zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] und der Definition von Geschwindigkeit die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln: <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3457Ruler Cannon2025-06-13T21:41:36Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem versuch sind hierbei: <br />
<br />
*F<sub>Zusatz</sub> Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*F<sub>R</sub> Reibungskraft<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> Masse des Tischtennisballs<br />
<br />
* α Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils m s<br />
* a Punkt, wo F<sub>Zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* l Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in N m2<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb.4 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft nach Unten und die Normalkraft nach Oben. Schräg von oben wirkt F<sub>Lineal</sub> . Diese Kraft kommt allein durch das Gewicht und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls F<sub>zusatz</sub> also die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal Auswirken, wodurch die resultierende Kraft F<sub>Lineal+zusatz</sub> Schräg nach vorne wirkt, wie in Abb.4 dargestellt. Die für den Abflug des Balles Verantwortliche Kraft F<sub>Final</sub> ist die effektive Kraft, die Tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte F<sub>R</sub> zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu dem Ball, in die Andere Richtung als F<sub>Final</sub> .<br />
<br />
Das Phänomen findet nun statt, indem F<sub>zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und F<sub>Final</sub> steigt. Wenn F<sub>Final</sub> größer als F<sub>R</sub> wird, fliegt der Ball nach vorne in Richtung F<sub>Final</sub> los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final} dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final$$}, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: <br />
<br />
<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{l}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{{l}^2}+\frac{Fa^2}{3{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$ w_{I}(l)&=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
$$w_{II}(l)&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot \left(\left(-Bl+2aF\right)\frac{l^2}{2}-\frac{Fl^3}{6}-\frac{Fa^2l}{2}+\frac{Fa^3}{6}\right)$$<br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,29 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -2,95 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,55 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,23 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,64 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,30 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,68 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen(os) so niedrig, dass der Winkel Theta zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] und der Definition von Geschwindigkeit die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln: <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3456Ruler Cannon2025-06-13T21:38:39Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem versuch sind hierbei: <br />
<br />
*F<sub>Zusatz</sub> Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*F<sub>R</sub> Reibungskraft<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> Masse des Tischtennisballs<br />
<br />
* α Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils m s<br />
* a Punkt, wo F<sub>Zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* l Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in N m2<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb.4 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft nach Unten und die Normalkraft nach Oben. Schräg von oben wirkt F<sub>Lineal</sub> . Diese Kraft kommt allein durch das Gewicht und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls F<sub>zusatz</sub> also die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal Auswirken, wodurch die resultierende Kraft F<sub>Lineal+zusatz</sub> Schräg nach vorne wirkt, wie in Abb.4 dargestellt. Die für den Abflug des Balles Verantwortliche Kraft F<sub>Final</sub> ist die effektive Kraft, die Tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte F<sub>R</sub> zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu dem Ball, in die Andere Richtung als F<sub>Final</sub> .<br />
<br />
Das Phänomen findet nun statt, indem F<sub>zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und F<sub>Final</sub> steigt. Wenn F<sub>Final</sub> größer als F<sub>R</sub> wird, fliegt der Ball nach vorne in Richtung F<sub>Final</sub> los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final} dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final$$}, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|495x495px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: <br />
<br />
$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$<br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$ w_{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot \left(\left(-Bl+2aF\right)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6}\right)$$<br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,29 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -2,95 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,55 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,23 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,64 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,30 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,68 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen(os) so niedrig, dass der Winkel Theta zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] und der Definition von Geschwindigkeit die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln: <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3455Ruler Cannon2025-06-13T21:33:56Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem versuch sind hierbei: <br />
<br />
*F<sub>Zusatz</sub> Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*F<sub>R</sub> Reibungskraft<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> Masse des Tischtennisballs<br />
<br />
* α Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils m s<br />
* a Punkt, wo F<sub>Zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* l Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in N m2<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb.4 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft nach Unten und die Normalkraft nach Oben. Schräg von oben wirkt F<sub>Lineal</sub> . Diese Kraft kommt allein durch das Gewicht und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls F<sub>zusatz</sub> also die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal Auswirken, wodurch die resultierende Kraft F<sub>Lineal+zusatz</sub> Schräg nach vorne wirkt, wie in Abb.4 dargestellt. Die für den Abflug des Balles Verantwortliche Kraft F<sub>Final</sub> ist die effektive Kraft, die Tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte F<sub>R</sub> zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu dem Ball, in die Andere Richtung als F<sub>Final</sub> .<br />
<br />
Das Phänomen findet nun statt, indem F<sub>zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und F<sub>Final</sub> steigt. Wenn F<sub>Final</sub> größer als F<sub>R</sub> wird, fliegt der Ball nach vorne in Richtung F<sub>Final</sub> los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final} dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$.[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final$$}, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|513x513px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: <br />
<br />
<nowiki>$$ B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$</nowiki><br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
$$ w_{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
<nowiki>$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot \left(\left(-Bl+2aF\right)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6}\right)$$</nowiki><br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -\frac{-1}{w_{II}^}=os(l), da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|$$\frac{-1}{775137} \approx -1,29 \cdot 10^{-6}$$<br />
|$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{340659} \approx -2,95 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{219642} \approx -4,55 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{236538} \approx -4,23 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{215590} \approx -4,64 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{232692} \approx -4,30 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|$$\frac{-1}{271977} \approx -3,68 \cdot 10^{-6}$$ <br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen(os) so niedrig, dass der Winkel Theta zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] und der Definition von Geschwindigkeit die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln: <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3454Ruler Cannon2025-06-13T21:15:38Z<p>ElliottK: /* Theorie */</p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst beginnen wir mit der [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>1</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter bei unserem versuch sind hierbei: <br />
<br />
*F<sub>Zusatz</sub> Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
*F<sub>R</sub> Reibungskraft<br />
<br />
* d Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> Masse des Tischtennisballs<br />
<br />
* α Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils m s<br />
* a Punkt, wo F<sub>Zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird in cm<br />
* l Lineal länge in m<br />
* E Elastizitätsmodul des Lineals in N m2<br />
* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup><br />
[[Datei:Skitze der Kräfte.png|mini|480x480px|Abb.4 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]<br />
Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:<br />
<br />
Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft nach Unten und die Normalkraft nach Oben. Schräg von oben wirkt F<sub>Lineal</sub> . Diese Kraft kommt allein durch das Gewicht und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls F<sub>zusatz</sub> also die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal Auswirken, wodurch die resultierende Kraft F<sub>Lineal+zusatz</sub> Schräg nach vorne wirkt, wie in Abb.4 dargestellt. Die für den Abflug des Balles Verantwortliche Kraft F<sub>Final</sub> ist die effektive Kraft, die Tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte F<sub>R</sub> zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu dem Ball, in die Andere Richtung als F<sub>Final</sub> .<br />
<br />
Das Phänomen findet nun statt, indem F<sub>zusatz</sub> auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und F<sub>Final</sub> steigt. Wenn F<sub>Final</sub> größer als F<sub>R</sub> wird, fliegt der Ball nach vorne in Richtung F<sub>Final</sub> los. <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden. <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final} dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$.[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|516x516px]]Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft $$F_{Final$$}, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
[[Datei:Skizze Biegelinien.png|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen|mini|513x513px|Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: (Formel für B)<br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet (-1/w´=os), da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des [https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul E-Moduls<sup>4</sup>], welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und [https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmomentes<sup>5</sup>], welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt: <br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|Druckpunkt<br />
|38cm<br />
|39cm<br />
|40cm<br />
|41cm<br />
|42cm<br />
|43cm<br />
|44cm<br />
|45cm<br />
|-<br />
|Steigung os<br />
|<nowiki>-1/ 775137</nowiki><br />
|<nowiki>-1/ 500892</nowiki><br />
|<nowiki>-1/ 340659</nowiki><br />
|<nowiki>-1/ 219642</nowiki><br />
|<nowiki>-1/ 236538</nowiki><br />
|<nowiki>-1/ 215590</nowiki><br />
|<nowiki>-1/ 232692</nowiki><br />
|<nowiki>-1/ 271977</nowiki><br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen(os) so niedrig, dass der Winkel Theta zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.<br />
<br />
Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] und der Definition von Geschwindigkeit die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln: <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>7</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
<br />
Unsere Fehlerbetrachtung:<br />
[[Datei:Kraft Bei Plastikliealen.png|mini|433x433px|Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen]]<br />
[[Datei:Vergleich Kraft und Geschwindigkeit 2.png|mini|445x445px|Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit]]<br />
[[Datei:Vergleich Geschwindigkeit gemessen vs Berechnet.png|mini|421x421px|Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet]]<br />
Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:<br />
<br />
* Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m<br />
* das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren<br />
* das wir F<sub>zusatz</sub> nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben<br />
* das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten<br />
* das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten<br />
<br />
Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:<br />
<br />
* Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten<br />
* Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N<br />
* Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen<br />
* Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann<br />
<br />
Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben. <br />
<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki><br />
<br />
5: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki><br />
<br />
6: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
7: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3409Ruler Cannon2025-06-13T16:01:06Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst die [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>5</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter:<br />
<br />
* F<sub>Zusatz</sub> – Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> – Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> –Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
<br />
* d –Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l –Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> – Masse des Tischtennisballs <br />
<br />
* α –Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ – Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D– Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* Ejection velocity of projectile m s <br />
* Point of exerted force on ruler in cm <br />
* Ruler length in m <br />
* Young´s Modulus of ruler in N m2 <br />
* Quadratic area moment of ruler in m4 <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt(a), an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball: <br />
<br />
Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft dar[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|330x330px]]Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom<br />
<br />
<br />
Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
<br />
* Die Finalkraft ergibt sich als:<br />
* Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
* Die Menge an Finalkraft, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Druckpunkt ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie miteinzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den grundlegenden Gleichungen <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki> für Biegelinien lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: (Formel für B)<br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die Orthogonale <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki> Gerade dazu betrachtet (-1/w´=os), da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des E-Moduls, welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki> und Flächenträgheitsmomentes <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki> , welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>1</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3408Ruler Cannon2025-06-13T15:58:48Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst die [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html GYPT Aufgabe<sup>5</sup>]:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter:<br />
<br />
* F<sub>Zusatz</sub> – Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> – Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> –Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
<br />
* d –Durchmesser von Tischtennisball<br />
<br />
* l –Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> – Masse des Tischtennisballs <br />
<br />
* α –Öffnungswinkel<br />
<br />
* θ – Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D– Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup> <br />
* Ejection velocity of projectile m s <br />
* Point of exerted force on ruler in cm <br />
* Ruler length in m <br />
* Young´s Modulus of ruler in N m2 <br />
* Quadratic area moment of ruler in m4 <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt(a), an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball: <br />
<br />
Im Bild ist $\alpha$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $F_{Extra}$ und $F_{Ruler}$[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png|mini|Erste Theorie zur Modellierung|330x330px]]Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$<br />
*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
*Die Menge an Finalkraft, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom<br />
<br />
<br />
Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
<br />
* Die Finalkraft ergibt sich als:<br />
* Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
* Die Menge an Finalkraft, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Druckpunkt ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie miteinzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den grundlegenden Gleichungen <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki> für Biegelinien lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: (Formel für B)<br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die Orthogonale <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki> Gerade dazu betrachtet (-1/w´=os), da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des E-Moduls, welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki> und Flächenträgheitsmomentes <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki> , welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>1</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki><br />
<br />
2: <nowiki>https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip</nowiki><br />
<br />
3: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki><br />
<br />
4: <nowiki>https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:AlteTheorie_RulerCannon.png&diff=3395Datei:AlteTheorie RulerCannon.png2025-06-13T14:51:25Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div>Bild unserer alten Theorie</div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3393Ruler Cannon2025-06-13T14:42:36Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst die IYPT Aufgabe:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter:<br />
<br />
* F<sub>Zusatz</sub> – Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N<br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> – Linealeigenkraft in N<br />
<br />
* F<sub>Final</sub> – Kraft, die nach vorne wirkt in N<br />
<br />
* d – Durchmesser von Tischtennisball <br />
<br />
* l – Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> – Masse des Tischtennisballs <br />
<br />
* α – Öffnungswinkel <br />
<br />
* θ – Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D– Federkonstante des Lineals<br />
<br />
* <br />
<br />
• A � Cross-sectional area of projectile in m2 • v � Ejection velocity of projectile m s • a � Point of exerted force on ruler in cm • l � Ruler length in m • E � Young´s Modulus of ruler in N m2 • I � Quadratic area moment of ruler in m4 <br />
<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
<br />
Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt(a), an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball:<br />
<br />
<br />
Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:<br />
<br />
* Die Finalkraft ergibt sich als:<br />
* Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert<br />
* Die Menge an Finalkraft, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Druckpunkt ab<br />
<br />
Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar. <br />
<br />
Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie miteinzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den grundlegenden Gleichungen <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie</nowiki> für Biegelinien lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: (Formel für B)<br />
<br />
Für den ersten Teil unseres Lineals:<br />
<br />
Für den zweiten Teil:<br />
<br />
Die Größen in den Gleichungen:<br />
<br />
Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die Orthogonale <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität</nowiki> Gerade dazu betrachtet (-1/w´=os), da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:<br />
<br />
Zur Berechnung:<br />
<br />
Diese Theorie betrachtet nun in Form des E-Moduls, welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul</nowiki> und Flächenträgheitsmomentes <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment</nowiki> , welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist. <br />
<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Versuch zur bestimmung der Federkonstante.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante]]<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
[[Datei:Reibungskräfte.png|mini|Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>1</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
<br />
Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen. <br />
<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:Aufbau_RulerCannon.png&diff=3391Datei:Aufbau RulerCannon.png2025-06-13T14:34:05Z<p>ElliottK: </p>
<hr />
<div>Unser Aufbau zum Abschuss des Projektils</div>ElliottKhttps://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ruler_Cannon&diff=3383Ruler Cannon2025-06-13T13:30:45Z<p>ElliottK: /* Aufbau */</p>
<hr />
<div><br />
==Thema==<br />
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$<br />
<br />
Worum geht es bei unserem Projekt?<br />
<br />
Zu erst die IYPT Aufgabe:<br />
<br />
Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.<br />
<br />
Das bedeutet übersetzt:<br />
<br />
Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.<br />
<br />
Wichtige Parameter:<br />
<br />
* F<sub>Zusatz</sub> – Kraft, welche auf Lineal gegeben wird <br />
<br />
* F<sub>Lineal</sub> – Linealeigenkraft <br />
<br />
* F<sub>Final</sub> – Kraft, die nach vorne wirkt <br />
<br />
* d – Durchmesser von Tischtennisball <br />
<br />
* l – Abstand zwischen P<sub>Z</sub> und Ende des Lineals <br />
<br />
* m<sub>TTBall</sub> – Masse des Tischtennisballs <br />
<br />
* α – Öffnungswinkel <br />
<br />
* θ – Winkel zwischen F<sub>Final</sub> und F<sub>Zusatz+Lineal</sub> <br />
<br />
* D– Federkonstante des Lineals<br />
==Theorie==<br />
Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.<br />
==Aufbau==<br />
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.<br />
<br />
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.<br />
[[Datei:Abb Federkonstante 2.png|mini|396x396px|Abb.1 Versuch zur Bestimmung der Federkonstante]]<br />
<br />
Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:<br />
<br />
# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.<br />
# Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.<br />
<br />
<br />
Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:<br />
<br />
BildAufbau + Skizze<br />
<br />
<br />
Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:<br />
<br />
Skizze:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz Hookeschen Gesetz<sup>1</sup>] berechnen. Dieses gibt uns die Formel: <br />
<br />
[[Datei:Skizze aufbau .png|alternativtext=Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft, teilweise haben wir den Punkt geändert, von wo wir gedrückt haben, Teilweise auch die lineale oder wo der Ball im Lineal lag|mini|446x446px|Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft]]<br />
D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m . <br />
<br />
<br />
<br />
Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.<br />
<br />
<br />
==Daten==<br />
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!<br />
==Fazit==<br />
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.<br />
==Erfolge==<br />
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?<br />
==Quellen==<br />
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!<br />
<br />
1: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz</nowiki></div>ElliottK