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Vibraflame: Sound vs. Fire

2025-06-30T21:33:06Z

EmilP: /* Daten */

In diesen Artikel wird das Projekt "Vibraflame" von Miron Goldstein und Emil Petrow Präsentiert. Wir haben im Schuljahr 2024/25 das GYPT Projekt 12 "[https://www.gypt.org/aufgaben-archiv/12-sound-versus-fire.html Sound vs. Fire]". Bearbeitet.

Link bis ende 2025: [https://www.gypt.org/aufgaben/12-sound-versus-fire.html Sound vs. Fire]

==Thema==
[[Datei:SoundvsFire.png|mini|272x272px|Beispiel des Versuches]]
Eine kleine Flamme kann durch Schall gelöscht werden. Untersuchen Sie die Parameter der Flamme sowie die Eigenschaften des Schalls, die darüber entscheiden, ob die Flamme gelöscht wird. Diese Leitfrage begleitete uns durch das Schuljahr.

Während des Jahres haben wir jedoch auch viel gelernt. So haben wir zum Beispiel erforscht, wie der Lautsprecher die Kerze auspustet. Dies passiert dadurch, dass die Flamme durch den Ton in Schwingung gerät. Dabei pendelt die Kerze immer stärker (mit größer werdenden Entfernungen) um den Docht herum. Ab einem bestimmten Zeitpunkt ist die Kerze jedoch so weit vom Docht entfernt, dass die Brennstoffzufuhr zu lange wegbleibt. Somit geht die Kerze aus. Außerdem haben wir gelernt, dass schon kleinste Änderungen am Versuchsaufbau die Ergebnisse stark veränderten. Somit schafften wir es leider nicht, unsere Ergebnisse reproduzierbar zu machen.

Den oben genannten Effekt definieren wir damit, wenn die Kerze weniger als eine halbe Sekunde benötigt, um zu erlöschen.
==Theorie==

Eine Kerze brennt durch einen kombinierten physikalisch-chemischen Prozess. Beim Anzünden wird der Docht, der in der Regel aus Baumwolle besteht, durch die Flamme erhitzt. Die Hitze schmilzt das feste Wachs, welches meist aus Paraffin oder Stearin besteht. Dieses flüssige Wachs steigt aufgrund der Kapillarwirkung im Docht nach oben. Am oberen Ende des Dochtes wird das flüssige Wachs durch die hohe Temperatur in Wachsdampf umgewandelt. Dieser gasförmige Brennstoff reagiert dann mit Sauerstoff aus der umgebenden Luft. Der chemische Verbrennungsprozess setzt Energie frei, die als Wärme und Licht wahrgenommen wird. Innerhalb der Flamme werden Kohlenstoffpartikel sehr stark erhitzt. Sie erzeugen das charakteristische gelbliche Licht der Kerze. Ein Lautsprecher emittiert Schallwellen. Diese bringen die Luftteilchen zum Schwingen. Außerdem beginnt die Kerze zu schwingen. Durch die Teilchenbewegung wird die benötigte Brennstoffzufuhr, die die Flamme zum Brennen braucht nicht mehr gegeben, da die Flamme vom Docht wegbewegt wird. Sobald der Brennstoff weg ist, wird der Kreis gebrochen, der eine Kerze am Brennen hält. In Abbildung 1 sieht man, wie die brennende Flamme vom Lautsprecher wegbewegt wird. Sobald die Flamme vollständig vom Docht entfernt ist, erlischt die Flamme (innerhalb von ein paar Millisekunden) und die Kerze geht aus. Dies funktioniert nur unter gewissen Bedingungen, die wir teilweise herausgefunden haben.

==Aufbau==
[[Datei:Setupvorne.jpeg|mini|Gerichteter Lautsprecher von vorne. Zu sehen: Pappring (zum "lenken" des Sounds) + Box]]

Unser Aufbau ist in drei Teilen seit Beginn unserer Forschungen identisch aufgebaut. Dies ist einerseits die Kerze. Wir wollten diese eigentlich auch variieren, um den Einfluss der Zusammensetzung zu testen, doch dies haben wir nicht geschafft. Außerdem haben wir unseren Frequenzgenerator seit Beginn nicht verändert. Bei diesem handelt es sich um ein Handy. Dabei nutzen wir die App "Phyphox". Das Handy hat den großen Vorteil, dass es sehr einfach zu transportieren ist. Jedoch haben wir auch einiges an unserem Aufbau verändert und verbessert. Der dritte durchgehende Bestandteil ist der Verstärker. Dieser hatte zwei große Vorteile. Einerseits konnten wir damit verschiedene Lautsprecher ohne großen Aufwand nutzen. Andererseits hatte er den großen Vorteil, dass man durch den Verstärker die Lautstärke deutlich genauer einstellen zu können. Dies hatte den großen Vorteil, dass wir vergleichbare Werte bei Frequenzen erzeugen konnten.[[Datei:Aufbau-Sound-vs-fire.png|mini|298x298px|Grundlegender Aufbau aller unserer Versuche]]
Jedoch haben wir auch über das Jahr einiges am Versuch verändert. So zum Beispiel den Lautsprecher. Zu Beginn des Jahres haben wir mit einem Lautsprecher begonnen, welcher offen war. Da wir mit dem Schwierigkeiten hatten, das Experiment erfolgreich und wiederholbar durchzuführen, wechselten wir zu einem größeren Lautsprecher mit mehr Power. Dieser wies jedoch vor allem zwei große Probleme auf. Einerseits konnten wir die Lautstärke nur schlecht einstellen. Dies lag daran, dass wir den Lautsprecher mit Mischpult benutzt hatten, und sich damit keine wirkliche Konstanz entwickeln lies. Außerdem hatte er auch das Problem, dass die Kerze trotz Werten, bei denen der Versuch zuvor funktioniert hatte, nicht ausging. Diese Probleme lösten wir, indem wir uns einen Lautsprecher selbst bauten. Dieser besteht aus einem kleinem Lautsprecher und einer Dose. Dabei haben wir den Boden der Dose durch den Lautsprecher ersetzt. Außerdem haben wir den Deckel mit Karton so umfunktioniert, dass ein gerichteter Lautsprecher entsteht. Mit diesem Aufbau haben wir bis zum Ende des Jahres weitergearbeitet. Außerdem haben wir uns während des Jahres ein Dezibelmessgerät zugelegt. Zuvor haben wir ein Handy genutzt um die Lautstärke zu bestimmen. Jedoch wurden wir darauf hingewiesen, dass die Werte nicht realistisch seien. Außerdem konnten wir das eingebaute Mikrofon nicht kalibrieren, wodurch wir uns zu einem Dezibelmessgerät entschieden haben. Für einen Versuch haben wir ebenfalls eine Highspeedkamera der Schule genutzt. Da es dabei um die Anzahl an Fotos pro Sekunde geht, ist das genaue Modell irrelevant.
==Daten==
[[Datei:SoundvsFire V1 1.png|mini|272x272px|Versuch 1: Frequenzgrenze beim Ausgehen der Flamme]]
Wir haben über das Jahr hinweg mehrere Versuche gemacht. Drei davon wollen wir hier nochmal aufzeigen und analysieren. Dabei gehen wir auf die Geschwindigkeit des Ausgehens, die Grenze bis zu welcher Frequenz die Kerze ausgeht und wie sich diese Grenze bei verschiedenen Schalldruckpegeln verhält ein.

Als erstes gehen wir auf die Ergebnisse der Frequenzgrenze ein. Dabei haben wir herausgefunden, dass die Grenze sehr punktuell verläuft. (Siehe Abbildung) Dazu sind wir die einzelnen Frequenzen durchgegangen und haben jeweils ausprobiert, ob die Kerze an bleibt oder ausgeht. Unser Ergebnis kann man damit erklären, wie die Kerze schwingt. Bei höheren Frequenzen schwingen die Luftteilchen immer schneller. Somit schwingt die Kerze auch immer schneller um den Docht herum. Ab einer bestimmten Frequenz ist die Dauer durch eine höhere Geschwindigkeit jedoch so lang, dass der Kerze der Brennstoff fehlt.
[[Datei:SoundvsFire V2 Teil mit F.png|mini|269x269px|Versuch 2: Dauer des Ausgehens bei verschiedenen Frequenzen]]
In einem weiteren Versuch testeten wir, wie lange die Kerze bei verschiedenen Frequenzen benötigt, um komplett zu erlöschen. Dabei schauten wir uns den Bereich zwischen 125 Hz und 150 Hz an. Um an die Messwerte zu kommen, haben wir die den Versuch mit einer High-speed-Kamera aufgenommen und später ausgewertet. Aus den Datenreihen konnten wir keine große Veränderung der Zeit des Ausgehens feststellen. Dabei kann man sehen, dass die Dauer bei allen Werten maximal 0,45 Sekunden war. Jedoch müssen wir auch sagen, dass alle Werte bei einer Frequenz von 145 Hz in einem deutlich engeren Bereich waren als bei allen anderen untersuchten Frequenzen. Dieses Verhalten müsste nochmal mit weiteren Messungen überprüft werden.

Bei dem letzten Versuch, den wir hier zeigen, haben wir gemessen, wie sich die oben beschriebene Frequenzgrenze zu verschiedenen Schalldruckpegeln verhält. Dabei konnten wir ein insgesamt linear steigendes Verhalten feststellen. Dieses haben wir in dem nebenstehenden Diagramm verdeutlicht. Es ist gut zu erkennen, der Frequenzbereich in dem die Kerze ausgeht mit steigendem Schalldruckpegel zunimmt.
[[Datei:Auswertung verschiedene Schalldruckpegel linear.png|mini|270x270px|Versuch 3: Verhältnis zwischen Schalldruckpegel und oberer Frequenzgrenze]]
Insgesamt muss man jedoch auch einige Fehler beachten. So haben wir beispielsweise gelernt, dass schon minimale Änderungen am Versuchsaufbau die Ergebnisse schon stark verändern. Außerdem mussten wir teilweise die Kerze austauschen. Dadurch konnten wir nicht genau sagen, ob die Kerze an der selben Stelle wie davor stand. Ebenfalls veränderte sich die Höhe der Kerze und damit auch der Abstand zum Lautsprecher. Theoretisch gesehen handelt es sich hierbei nur um einen Unterschied von maximal einem halben Zentimeter. Da jedoch schon kleine Veränderungen wie diese große Auswirkungen auf die Ergebnisse haben (siehe oben), sollte es auf jeden Fall in der Fehlerauswertung benannt werden.

==Fazit==

Unser Projekt hat gezeigt, wie präzise Luftdruckänderungen, erzeugt durch die Schwingungen eines Lautsprechers, physikalische Effekte wie das Löschen einer Flamme hervorrufen können. Dabei haben wir nicht nur Einblicke in die Funktionsweise von Schall und dessen Wechselwirkung mit der Umgebung gewonnen, sondern auch gelernt, wie sensibel Experimente auf die kleinsten Änderungen reagieren. Der zuverlässige Aufbau und die Reproduzierbarkeit der Messungen stellten dabei eine zentrale Herausforderung dar. Was auch interessant war, war, dass ein gerichteter Lautsprecher eine viel größere Wirkung zeigte als eine Frequenzänderung und wir so auch auf höheren Frequenzen arbeiten können. Außerdem haben wir festgestellt, dass größer nicht immer besser bedeutet und dass ein kleiner Lautsprecher völlig ausreichend ist und eine große Box nicht genommen werden muss. Diese war beim Durchführen ebenfalls eher hinderlich als förderlich. Wir konnten einerseits feststellen, dass es einen genauen Wert gibt, bis zu dem man eine Kerze mit Schall löschen kann. Außerdem haben wir gelernt, dass die Dauer des Ausgehens nicht von der Frequenz abhängig ist und bei unserem phänomen kein wichtiger aspekt ist aktuell. Aus unserem dritten Versuch konnten wir herausfinden, dass das Verhältnis zwischen der oberen Frequenzgrenze und dem Schalldruckpegel sehr wahrscheinlich linear ist.
==Erfolge==
Während des Schuljahres haben wir beim Jugend-Forscht Wettbewerb erfolgreich teilgenommen und im Regionalwettbewerb Berlin-Mitte einen dritten Platz erreicht.

== Quellen ==
https://www.youtube.com/watch?feature=shared&v=tX6XSs2T5Go

https://praxistipps.chip.de/kerze-online-anzuenden-das-steckt-dahinter_116201

https://www.gypt.org/aufgaben/12-sound-versus-fire.html

https://www1.wdr.de/radio/wdr2/themen/frag-doch-mal-die-maus/feuer-pusten-100.html

https://letstalkscience.ca/educational-resources/backgrounders/what-sound-and-how-do-we-hear-it

https://de.wikipedia.org/wiki/Schalldruckpegel
== Danksagungen ==
Ein großes Dankeschön geht an Herrn Ebert. Ohne diesen wäre es nicht möglich gewesen, die Forschung durchzuführen. Außerdem half uns dieser, notwendige Materialien aus der Schule nutzen zu können. Er half uns ebenfalls, Geld zu bekommen, um Geräte wie das Dezibelmessgerät zu besorgen.

Ebenfalls danken wir Herrn Höfler. Dieser half uns vor allem am Anfang beim Nutzen des großen Lautsprechers. Außerdem beriet er uns bei Fragen.

Des Weiteren danken wir Lilly und anderen studentischen Hilfskräften, welche uns das ganze Jahr bei Fragen halfen und uns Hilfestellung gaben, als wir welche brauchten. Außerdem danken wir den anderen Kursteilnehmern. Diese halfen mit kritischen Fragen und teilweise auch seelisch.

Datei:Auswertung verschiedene Schalldruckpegel linear.png

2025-06-30T21:30:52Z

EmilP:

Hallo

Vibraflame: Sound vs. Fire

2025-06-29T21:56:43Z

EmilP:

In diesen Artikel wird das Projekt "Vibraflame" von Miron Goldstein und Emil Petrow Präsentiert. Wir haben im Schuljahr 2024/25 das GYPT Projekt 12 "[https://www.gypt.org/aufgaben-archiv/12-sound-versus-fire.html Sound vs. Fire]". Bearbeitet.

Link bis ende 2025: [https://www.gypt.org/aufgaben/12-sound-versus-fire.html Sound vs. Fire]

==Thema==
[[Datei:SoundvsFire.png|mini|272x272px|Beispiel des Versuches]]
Eine kleine Flamme kann durch Schall gelöscht werden. Untersuchen Sie die Parameter der Flamme sowie die Eigenschaften des Schalls, die darüber entscheiden, ob die Flamme gelöscht wird. Diese Leitfrage begleitete uns durch das Schuljahr.

Während des Jahres haben wir jedoch auch viel gelernt. So haben wir zum Beispiel erforscht, wie der Lautsprecher die Kerze auspustet. Dies passiert dadurch, dass die Flamme durch den Ton in Schwingung gerät. Dabei pendelt die Kerze immer stärker (mit größer werdenden Entfernungen) um den Docht herum. Ab einem bestimmten Zeitpunkt ist die Kerze jedoch so weit vom Docht entfernt, dass die Brennstoffzufuhr zu lange wegbleibt. Somit geht die Kerze aus. Außerdem haben wir gelernt, dass schon kleinste Änderungen am Versuchsaufbau die Ergebnisse stark veränderten. Somit schafften wir es leider nicht, unsere Ergebnisse reproduzierbar zu machen.
==Theorie==

Eine Kerze brennt durch einen kombinierten physikalisch-chemischen Prozess. Beim Anzünden wird der Docht, der in der Regel aus Baumwolle besteht, durch die Flamme erhitzt. Die Hitze schmilzt das feste Wachs, welches meist aus Paraffin oder Stearin besteht. Dieses flüssige Wachs steigt aufgrund der Kapillarwirkung im Docht nach oben. Am oberen Ende des Dochtes wird das flüssige Wachs durch die hohe Temperatur in Wachsdampf umgewandelt. Dieser gasförmige Brennstoff reagiert dann mit Sauerstoff aus der umgebenden Luft. Der chemische Verbrennungsprozess setzt Energie frei, die als Wärme und Licht wahrgenommen wird. Innerhalb der Flamme werden Kohlenstoffpartikel sehr stark erhitzt. Sie erzeugen das charakteristische gelbliche Licht der Kerze. Ein Lautsprecher emittiert Schallwellen. Diese bringen die Luftteilchen zum Schwingen. Außerdem beginnt die Kerze zu schwingen. Durch die Teilchenbewegung wird die benötigte Brennstoffzufuhr, die die Flamme zum Brennen braucht nicht mehr gegeben, da die Flamme vom Docht wegbewegt wird. Sobald der Brennstoff weg ist, wird der Kreis gebrochen, der eine Kerze am Brennen hält. In Abbildung 1 sieht man, wie die brennende Flamme vom Lautsprecher wegbewegt wird. Sobald die Flamme vollständig vom Docht entfernt ist, erlischt die Flamme (innerhalb von ein paar Millisekunden) und die Kerze geht aus. Dies funktioniert nur unter gewissen Bedingungen, die wir teilweise herausgefunden haben.

==Aufbau==
[[Datei:Setupvorne.jpeg|mini|Gerichteter Lautsprecher von vorne. Zu sehen: Pappring (zum "lenken" des Sounds) + Box]]

Unser Aufbau ist in drei Teilen seit Beginn unserer Forschungen identisch aufgebaut. Dies ist einerseits die Kerze. Wir wollten diese eigentlich auch variieren, um den Einfluss der Zusammensetzung zu testen, doch dies haben wir nicht geschafft. Außerdem haben wir unseren Frequenzgenerator seit Beginn nicht verändert. Bei diesem handelt es sich um ein Handy. Dabei nutzen wir die App "Phyphox". Das Handy hat den großen Vorteil, dass es sehr einfach zu transportieren ist. Jedoch haben wir auch einiges an unserem Aufbau verändert und verbessert. Der dritte durchgehende Bestandteil ist der Verstärker. Dieser hatte zwei große Vorteile. Einerseits konnten wir damit verschiedene Lautsprecher ohne großen Aufwand nutzen. Andererseits hatte er den großen Vorteil, dass man durch den Verstärker die Lautstärke deutlich genauer einstellen zu können. Dies hatte den großen Vorteil, dass wir vergleichbare Werte bei Frequenzen erzeugen konnten.[[Datei:Aufbau-Sound-vs-fire.png|mini|298x298px|Grundlegender Aufbau aller unserer Versuche]]
Jedoch haben wir auch über das Jahr einiges am Versuch verändert. So zum Beispiel den Lautsprecher. Zu Beginn des Jahres haben wir mit einem Lautsprecher begonnen, welcher offen war. Da wir mit dem Schwierigkeiten hatten, das Experiment erfolgreich und wiederholbar durchzuführen, wechselten wir zu einem größeren Lautsprecher mit mehr Power. Dieser wies jedoch vor allem zwei große Probleme auf. Einerseits konnten wir die Lautstärke nur schlecht einstellen. Dies lag daran, dass wir den Lautsprecher mit Mischpult benutzt hatten, und sich damit keine wirkliche Konstanz entwickeln lies. Außerdem hatte er auch das Problem, dass die Kerze trotz Werten, bei denen der Versuch zuvor funktioniert hatte, nicht ausging. Diese Probleme lösten wir, indem wir uns einen Lautsprecher selbst bauten. Dieser besteht aus einem kleinem Lautsprecher und einer Dose. Dabei haben wir den Boden der Dose durch den Lautsprecher ersetzt. Außerdem haben wir den Deckel mit Karton so umfunktioniert, dass ein gerichteter Lautsprecher entsteht. Mit diesem Aufbau haben wir bis zum Ende des Jahres weitergearbeitet. Außerdem haben wir uns während des Jahres ein Dezibelmessgerät zugelegt. Zuvor haben wir ein Handy genutzt um die Lautstärke zu bestimmen. Jedoch wurden wir darauf hingewiesen, dass die Werte nicht realistisch seien. Außerdem konnten wir das eingebaute Mikrofon nicht kalibrieren, wodurch wir uns zu einem Dezibelmessgerät entschieden haben. Für einen Versuch haben wir ebenfalls eine Highspeedkamera der Schule genutzt. Da es dabei um die Anzahl an Fotos pro Sekunde geht, ist das genaue Modell irrelevant.
==Daten==
[[Datei:SoundvsFire V1 1.png|mini|310x310px|Versuch 1: Frequenzgrenze beim Ausgehen der Flamme]]
Wir haben über das Jahr hinweg mehrere Versuche gemacht. Drei davon wollen wir hier nochmal aufzeigen und analysieren. Dabei gehen wir auf die Geschwindigkeit des Ausgehens, die Grenze bis zu welcher Frequenz die Kerze ausgeht und wie sich diese Grenze bei verschiedenen Schalldruckpegeln verhält ein.

Als erstes gehen wir auf die Ergebnisse der Frequenzgrenze ein. Dabei haben wir herausgefunden, dass die Grenze sehr punktuell verläuft. (Siehe Abbildung) Dazu sind wir die einzelnen Frequenzen durchgegangen und haben jeweils ausprobiert, ob die Kerze an bleibt oder ausgeht. Unser Ergebnis kann man damit erklären, wie die Kerze schwingt. Bei höheren Frequenzen schwingen die Luftteilchen immer schneller. Somit schwingt die Kerze auch immer schneller um den Docht herum. Ab einer bestimmten Frequenz ist die Dauer durch eine höhere Geschwindigkeit jedoch so lang, dass der Kerze der Brennstoff fehlt.
[[Datei:SoundvsFire V2 Teil mit F.png|mini|308x308px|Versuch 2: Dauer des Ausgehens bei verschiedenen Frequenzen]]
In einem weiteren Versuch testeten wir, wie lange die Kerze bei verschiedenen Frequenzen benötigt, um komplett zu erlöschen. Dabei schauten wir uns den Bereich zwischen 125 Hz und 150 Hz an. Um an die Messwerte zu kommen, haben wir die den Versuch mit einer High-speed-Kamera aufgenommen und später ausgewertet. Aus den Datenreihen konnten wir keine große Veränderung der Zeit des Ausgehens feststellen. Dabei kann man sehen, dass die Dauer bei allen Werten maximal 0,45 Sekunden war. Jedoch müssen wir auch sagen, dass alle Werte bei einer Frequenz von 145 Hz in einem deutlich engeren Bereich waren als bei allen anderen untersuchten Frequenzen. Dieses Verhalten müsste nochmal mit weiteren Messungen überprüft werden.

Bei dem letzten Versuch, den wir hier zeigen, haben wir gemessen, wie sich die oben beschriebene Frequenzgrenze zu verschiedenen Schalldruckpegeln verhält. Dabei konnten wir ein insgesamt linear steigendes Verhalten feststellen. Dieses haben wir in dem nebenstehenden Diagramm verdeutlichen. Dabei erkennt man, wie die

==Fazit==

Unser Projekt hat gezeigt, wie präzise Luftdruckänderungen, erzeugt durch die Schwingungen eines Lautsprechers, physikalische Effekte wie das Löschen einer Flamme hervorrufen können. Dabei haben wir nicht nur Einblicke in die Funktionsweise von Schall und dessen Wechselwirkung mit der Umgebung gewonnen, sondern auch gelernt, wie sensibel Experimente auf die kleinsten Änderungen reagieren. Der zuverlässige Aufbau und die Reproduzierbarkeit der Messungen stellten dabei eine zentrale Herausforderung dar. Was auch interessant war, war, dass ein gerichteter Lautsprecher eine viel größere Wirkung zeigte als eine Frequenzänderung und wir so auch auf höheren Frequenzen arbeiten können. Außerdem haben wir festgestellt, dass größer nicht immer besser bedeutet und dass ein kleiner Lautsprecher völlig ausreichend ist und eine große Box nicht genommen werden muss. Diese war beim Durchführen ebenfalls eher hinderlich als förderlich. Wir konnten einerseits feststellen, dass es einen genauen Wert gibt, bis zu dem man eine Kerze mit Schall löschen kann. Außerdem haben wir gelernt, dass die Dauer des Ausgehens nicht von der Frequenz abhängig ist und bei unserem phänomen kein wichtiger aspekt ist aktuell. Aus unserem dritten Versuch konnten wir herausfinden, dass das Verhältnis zwischen der oberen Frequenzgrenze und dem Schalldruckpegel sehr wahrscheinlich linear ist.
==Erfolge==
Während des Schuljahres haben wir beim Jugend-Forscht Wettbewerb erfolgreich teilgenommen und im Regionalwettbewerb Berlin-Mitte einen dritten Platz erreicht.

== Quellen ==
https://www.youtube.com/watch?feature=shared&v=tX6XSs2T5Go

https://praxistipps.chip.de/kerze-online-anzuenden-das-steckt-dahinter_116201

https://www.gypt.org/aufgaben/12-sound-versus-fire.html

https://www1.wdr.de/radio/wdr2/themen/frag-doch-mal-die-maus/feuer-pusten-100.html

https://letstalkscience.ca/educational-resources/backgrounders/what-sound-and-how-do-we-hear-it

https://de.wikipedia.org/wiki/Schalldruckpegel
== Danksagungen ==
Ein großes Dankeschön geht an Herrn Ebert. Ohne diesen wäre es nicht möglich gewesen, die Forschung durchzuführen. Außerdem half uns dieser, notwendige Materialien aus der Schule nutzen zu können. Er half uns ebenfalls, Geld zu bekommen, um Geräte wie das Dezibelmessgerät zu besorgen.

Ebenfalls danken wir Herrn Höfler. Dieser half uns vor allem am Anfang beim Nutzen des großen Lautsprechers. Außerdem beriet er uns bei Fragen.

Des Weiteren danken wir Lilly und anderen studentischen Hilfskräften, welche uns das ganze Jahr bei Fragen halfen und uns Hilfestellung gaben, als wir welche brauchten. Außerdem danken wir den anderen Kursteilnehmern. Diese halfen mit kritischen Fragen und teilweise auch seelisch.

Vibraflame: Sound vs. Fire

2025-06-29T18:21:49Z

2025-06-19T13:00:58Z

2025-06-12T11:58:09Z

EmilP:

Ein Aufbau unseres Versuches :D

Vibraflame: Sound vs. Fire

2025-05-21T16:16:55Z

EmilP:

In diesen Artikel wird das Projekt "Vibraflame" von [[Index.php?title=Benutzer:Miron Goldstein|Miron Goldstein]] und [[Index.php?title=Benutzer:Emil Petrow|Emil Petrow]] Präsentiert. Wir haben im Schuljahr 2024/25 das GYPT Projekt 12 "[https://www.gypt.org/aufgaben-archiv/12-sound-versus-fire.html Sound vs. Fire]". Bearbeitet.

Link bis ende 2025: [https://www.gypt.org/aufgaben/12-sound-versus-fire.html Sound vs. Fire]

==Thema==

Bei unserem Projekt haben wir mithilfe eines Lautsprechers eine Kerze oder eine Ethanollampe gelöscht. Dabei haben wir festgestellt, dass das Löschen nicht so leicht ist wie es scheint. Außerdem haben wir erkannt, dass viele verschiedene Parameter Einfluss auf die Funktion des Experiments haben.
==Theorie==
Eine Kerze brennt durch einen kombinierten physikalisch-chemischen Prozess. Beim Anzünden wird der Docht, der in der Regel aus Baumwolle besteht, durch die Flamme erhitzt. Die Hitze schmilzt das feste Wachs, welches meist aus Paraffin oder Stearin besteht. Dieses flüssige Wachs steigt aufgrund der Kapillarwirkung im Docht nach oben. Am oberen Ende des Dochtes wird das flüssige Wachs durch die hohe Temperatur in Wachsdampf umgewandelt. Dieser gasförmige Brennstoff reagiert dann mit Sauerstoff aus der Abbildung 1: Ausschnitt unseres Versuches umgebenden Luft. Der chemische Verbrennungsprozess setzt Energie frei, die als Wärme und Licht wahrgenommen wird. Innerhalb der Flamme werden Kohlenstoffpartikel sehr stark erhitzt. Sie erzeugen das charakteristische gelbliche Licht der Kerze. Ein Lautsprecher emittiert Schallwellen, diese bringen die Luftteilchen zum Schwingen. Durch die Teilchenbewegung wird die benötigte Brennstoffzufuhr, die die Flamme zum Brennen braucht nicht mehr gegeben, da die Flamme vom Docht wegbewegt wird. Sobald der Brennstoff weg ist, wird der Kreis gebrochen, der eine Kerze am Brennen hält. In Abbildung 1 sieht man, wie die brennende Flamme vom Lautsprecher wegbewegt wird. Sobald die Flamme vollständig vom Docht entfernt ist, erlischt die Flamme (innerhalb von ein paar Millisekunden) und die Kerze geht aus. Dies funktioniert nur unter gewissen Bedingungen, die wir in dieser Facharbeit durch Experimente herausfinden wollen.

==Aufbau==
<code>Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.</code>

<code>Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.</code>

Anfangs haben wir für unseren versuch einen großen lautsprecher genutzt allerdings haben wir festgestellt das so ein großes ding nicht besonders notwendig ist und der schall sich in alle richtungen ausbreitet sodass wir uns stattdessen für ein kleineren lautsprecher genommen haben den wir in eine richtung gerichtet haben. Dieser erwies sich als zuverlässig aber nicht leistungsstark

==Daten==

<code>Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!</code>
==Fazit==

<code>Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.</code>
==Erfolge==
Wir haben beim Jugend Forscht Teilgenommen und einen 3. Preis gewonnen.

== Quellen ==
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!
== Danksagungen ==
Ein ganz großes Dankeschön geht natürlich an Herr Ebert ohne den es nicht möglich wäre dieses Projekt durchzuführen.

Gummiband

2024-06-10T05:00:19Z

EmilP: /* Aufbau Cw Wert: */

==Thema==
Ein Gummiband kann eine längere Strecke fliegen, wenn es beim Schuss ungleichmäßig gestreckt wird, wodurch es sich während des Fluges dreht. Wir sollen die Distanz, welche ein Gummiband mit Spin zurücklegen kann, optimieren, sodass die Distanz möglichst groß ist. Unter der Distanz verstehen wir hier die Distanz vom Punkt, wo das Gummiband los geschossen wurde zum Ausgangspunkt, wo das Gummi landet. Wir meinen damit nicht die Flugbahn, da diese zu schwer zu messen wäre. Zudem wird das Gummi immer parallel zum Boden geschossen, da wir uns auf den Spin fokussieren.

Dieser Versuch hat mit Kräften und Luftwiderstand zutun. Daraus schließend ist dieses Projekt Teil des Themenfeldes Mechanik.

=== Grundlegende Erklärung ===
Wenn man einem Gummiband Spin gibt (beide Seiten ungleichmäßig streckt), so fängt es an, im Flug zu rotieren. Durch diese Rotation tritt ein Effekt ein, welcher dafür sorgt, dass das Gummi in einer stabilen Position fliegt, da durch diese Stabilität Störungen das Gummi weniger stark beim Flug beeinflussen. Diese Position, in die sich das Gummi begibt, minimiert ebenfalls die Angriffsfläche für die Luft beim Flug, wodurch der Luftwiderstand bedeutend reduziert wird. Ohne spin, überschlägt es sich im Flug, wodurch nicht nur der Luftwiderstand größer wird, sondern auch Energie in dieser Bewegung des Überschlagens selbst verloren geht.
==Parameter==
Zunächst einmal fangen wir mit den relevanten Parametern an, die das Phänomen allgemein beeinflussen:

-Die Federfunktion L*n+b des Gummis

-Die Abschusshöhe des Gummis über dem Boden h

-Der Winkel φ, in dem das Gummi in die Luft geschossen wird

-Der Radius des Gummis r

-Die Dicke des Gummis rh

-Die Masse des Gummis m

-Die minimale Rotationsgeschwindigkeit für einen Stabilen Flug Vmin

-2-Fache Längendifferenz zwischen den einzelnen Seiten(Spin) U

-Optische Längendifferenz zur Ausgangslage U

-Die Luftwiderstandsbeiwerte Cw2 und Cw3

Konstanten:

-Luftdichte P

-Erdbeschleunigung g

== Theorie ==
===Energiebetrachtung===

Um diesen Effekt zu untersuchen, werden wir über eine Energiebetrachtung gehen. Daher müssen wir zunächst einmal die potentielle Energie bestimmen, welche im Gummi vorliegt im gestreckten Zustand.

Hierfür muss erstmal der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung des Gummis und der Kraft, welche auf das Gummi ausgewirkt wird ermittelt werden.

Der Ideale Graph für diesen Zusammenhang ist folgender:

[[Datei:Screenshot 2024-04-30 224311.png|rahmenlos|alternativtext=.|.]]

Hier lässt sich schnell erkennen, dass das Hooksche Gesetz hier nichtzutreffend ist, da der Zusammenhang nicht linear ist.
Daher wird der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung und der daraus resultierenden Kraft in der Form F=ΔL*m+b dargestellt.
Um die Werte von n und k zu bestimmen, werden versuche durchgeführt (Mehr dazu im Versuch-Abschnitt). Dieser Term wird den Linearen Abschnitt annähern.

Ein Gummi ist von den Physikalischen Eigenschaften her sehr Feder-ähnlich.

Die gespeicherte potentielle Energie in einer Feder wird durch den Folgenden Ausdruck beschrieben:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 103837.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck basiert auf dem Hookschen Gesetz, nach welchem die Kraft F durch eine Längenänderung von K*L verursacht wird. L ist hier die Längenänderung.

Da dieses Gummi aber nicht sehr zutreffend durch das Hooksche Gesetz beschrieben werden kann (siehe oben), muss ein neuer Term für die Energie gefunden werden, welcher auf dem oben definierten Term für den Zusammenhang zwischen der Kraft F und der Längenausdehnung L.

Um dies herauszufinden, können folgende Schritte durchgeführt werden:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104633.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck beschreibt die Energie eines gleichförmig gestreckten Gummis. In unserem Projekt, wird das Gummi jedoch ungleichmäßig gestreckt. Daher wird die Energie der Einzelnen Seiten addiert, wobei eine Seite L+U lang ist, die andere Seite L-U. Da wir hier die einzelnen Seiten betrachten, müssen alle Terme jeweils halbiert werden.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104919.png|rahmenlos|529x529px]]

Dies ist die potentielle Energie, welche sich im gespannten Gummi befindet. Wird dieses nun losgelassen, wird diese Energie in Kinetische Energie umgewandelt.

Diese Energie verteilt sich auf die Schussenergie Eschuss und die Rotationsenergie Erot. Die Schussenergie ist hierbei also die Energie, welche für das vorwärts-schießen verantwortlich ist und Erot die Energie, welche für die Rotation verantwortlich ist.

Beide Seiten des Gummis haben eine bestimmte Energie menge. Die Schuss-Energie ist hier die Energie, welche beide Seiten gemeinsam haben, d.h. 2 mal die Energie, welche in der kürzeren Seite vorliegt.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105648.png|alternativtext=.|rahmenlos]]

Nun fehlt nur noch die Rotationsenergie, welche die Differenz der Gesamtenergie und der Schussenergie ist (Energieerhaltung):

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105736.png|rahmenlos|508x508px]]

Aus diesen Energien können nun die Geschwindigkeiten berechnet werden. Für die Rotationsgeschwindigkeit gilt:

[[Datei:Bild 2024-06-05 155647289.png|rahmenlos|340x340px]]

<nowiki>\begin{equation}
\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}} = V_{rot}
\end{equation}</nowiki>

Auch die Anfangsgeschwindigkeit des Gummis beim Flug kann durch die beteiligte Energie berechnet werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162520727.png|rahmenlos|295x295px]]

===Flug kein Luftwiderstand===

[[Datei:Bild 2024-06-02 114333231.png|rechts|rahmenlos|541x541px]]
Links befindet sich eine Grobe Skizze der Flugbahn des Gummis.

Zunächst einmal muss die Fallzeit bestimmt werden, nach welcher das Gummi auf den Boden auftrifft.

Das Gummi wird durch die Erdanziehungskraft auf den Boden gezogen. Bis es auf den Boden auftrifft, muss es die Höhe h zurücklegen.

Wir können den Zusammenhang zwischen der Zeit und den obigen Größen durch die allgemeine Weg-Beschleunigung Formel ausdrücken, wobei die Beschleunigung a die Erdbeschleunigung g ist.

[[Datei:Bild 2024-06-02 115312156.png|rahmenlos|405x405px]]

Das Gummi würde nun t Sekunden lang mit V0 fliegen, d.h. wäre die zurückgelegte Distanz

[[Datei:Bild 2024-06-05 162742163.png|rahmenlos|355x355px]]

Dies berücksichtigt zwar nicht den Luftwiderstand, jedoch wird im Folgenden mit dieser Basis gearbeitet.

=== Luftwiderstand ===

Die allgemeine Formel für die Luftwiderstandskraft ist

[[Datei:Bild 2024-06-05 161328876.png|rahmenlos|458x458px]]

Im folgenden wird eine Funktion V(t) gesucht:

[[Datei:Bild 2024-06-05 161533534.png|rahmenlos]]

Diese Funktion beschreibt die Geschwindigkeit über die Zeit durch den Geschwindigkeitsverlust durch den Luftwiderstand.

Um nun auf die Distanz zu kommen, muss diese Funktion nach der Zeit t integriert werden. T ist hier nur eine Hilfsvariable.

[[Datei:Bild 2024-06-02 122816276.png|rahmenlos|231x231px]]

Diese Formel beschreibt die zurückgelegte Distanz eines Gummis mit den beinhalteten Größen.

Nun können die bereits bekannten Terme für t und V0 eingesetzt werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162957296.png|rahmenlos|408x408px]]

Der Luftwiderstand von der Fallbewegung des Gummis wird hier vernachlässigt, da es, eigenen Simulationen zufolge, selbst mit einem unrealistisch großem Luftwiderstand einer Abweichung von unter 0.5% unterliegt. Beim Miteinbeziehen des Abschusswinkels wird dies jedoch geändert werden müssen.

==== Veränderung des Luftwiderstandsbeiwertes ====
Rotiert das Gummi schneller, so fliegt es stabiler und reduziert die Angriffsfläche für die Luft weiter. Rotiert es langsamer, rotiert es Chaotisch und die Angriffsfläche für die Luft vergrößert sich signifikant.

Wir vermuten, dass dieser Zusammenhang abfallend exponentiell ist, d.h. wirken niedrige Rotationsgeschwindigkeiten effizienter, als hohe im Bezug auf die Energie, welche in sie reingesteckt wurde und der Auswirkung auf die Flugweite des Gummis. Diesen Zusammenhang wollen wir durch eine Funktion β(t) festhalten:

[[Datei:Bild 2024-06-02 183715904.png|rahmenlos]]

Dies ist eine allgemeine Exponentialfunktion. Sie wird vorerst von Vrot abhängig gemacht, um die Terme kürzer zu machen. Es wird später wieder eingesetzt. β1 markiert hier das Minimum, an das sich die Funktion annähert.

[[Datei:Bild 2024-06-02 184600363.png|rahmenlos|663x663px]]

Dies können wir nun für f einsetzen.

Jetzt setzen wir Vrot auf Vmin. Diesem Wert wird definitionsgemäß β1 zugeordnet:
\begin{equation}
\beta(V_{min}) = \beta_1 = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{n \cdot V_{min}}
\end{equation}

Dies formen wir nun nach n um und setzen dies dann wieder in die ursprüngliche Funktion ein und fassen zusammen:

\begin{equation}
n = \ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{1}{V_{min}}
\end{equation}
\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{\left(\ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{V_{rot}}{V_{min}}\right)}
\end{equation}

Jetzt kann man folgende Eigenschaft einer Exponentialfunktion nutzen:

[[Datei:Bild 2024-06-02 185231881.png|rahmenlos]]

Hierfür müssen natürlich beide β-Werte bekannt sein, jedoch vereinfacht es die Gleichung auf jeden fall, wenn man es für β2 einsetzt:

\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{V_{rot}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Nun muss nur noch für Vrot eingesetzt werden, um die Funktion wieder abhängig von U zu machen:

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{m}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Dies ist die fertige Funktion für Beta. Die Beta Werte werden durch ein Programm so gewählt, dass die Theoretischen Messwerte mit echten Messwerten übereinstimmen. Daher bezieht sie auch andere Arten von Energieverlusten mit ein.

Dies setzen wir nun in die Formel für die Flugweite des Gummis anstelle von β ein:

\begin{equation}
\frac{1}{\beta} \cdot \ln\left(1 + \beta \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta(U)} \cdot \ln\left(1 + \beta(U) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)} \cdot \ln\left(1 + \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

Dies ist die Endformel, wenn der Abschusswinkel nicht berücksichtigt wird. Eine Luftreibung für die Rotation wird vernachlässigt, da diese irrelevant gering ist.

'=== Miteinbeziehuhng des Abschusswinkels: ===

[[Datei:Bild 2024-06-03 211542546.png|mini]]

Wie sich die Distanz unter einem Abschusswinkel verändert, lässt sich durch Trigonometrie und einer Veränderung des Terms für die Fallzeit T erfassen.

Um dies zu machen, kann die Anfangsgeschwindigkeit nicht mehr als Absolut betrachtet werden, stattdessen muss die Richtung beachtet werden.

Gegeben ist die Anfangsgeschwindigkeit V0, es gilt folgendes:

\begin{equation}
V_h = \sin(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

\begin{equation}
V_d = \cos(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

Dies sind die Geschwindigkeiten, mit denen sich das Gummi in die jeweiligen Richtungen bewegt. Da das Gummi jetzt nach oben geschossen wird, muss auch die Fall/Flugzeit neu berechnet werden. Diese wird in 2 Teile Zerlegt:

# Die Zeit, nach welcher Vh bei 0 liegt
# Die Zeit, welche das Gummi nun braucht um die nach 1. erreichte höhe wieder runterzufallen.

Berechnen wir nun erstens:

Gegeben sei Folgende Formel für V(t) unter einem Luftwiderstand:

\begin{equation}
v(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t}
\end{equation}

Übertragen auf diesen Term, sieht sie so aus:

\begin{equation}
vh(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

Der neue Term, welcher subtrahieret wird beschreibt die Gravitationskraft.
Nun wird der Term 0 gesetzt und nach t1 aufgelöst:
\begin{equation}
0 = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_1 = -\frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} + \sqrt{\left( \frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3}}
\end{equation}</nowiki>

Mit der Zeit t1, können wir jetzt mithilfe der untenstehenden Formel berechnen, wie hoch das Gummi hierbei gekommen ist.

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln(1 + \beta3 \cdot V0 \cdot t)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h
\end{equation}

Jetzt berechnen wir die Zeit, welches das Gummi zum herunterfallen benötigt, mithilfe dieser Formel:

<nowiki>\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}
\end{equation}.
Wir setzen ein:
\begin{equation}
t_2 = \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

\begin{equation}
t_{ges} = t_1 + t_2
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_{ges} = \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) + \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

Nun muss nur noch '''alles''' in die eigentliche Formel für die Distanz eingesetzt werden:

\usepackage{amsmath}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(t)} \ln \left( 1 + \beta(t) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot V_0 \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 V_h \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_h \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 V_{h0} \left( -\frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}

D(U) = \frac{1}{\beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right)} \ln \left( 1 + \beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)}

\end{equation}

Oben steht die Finale Formel, jedoch übersteigt dessen länge anscheinend die Kapazität, jedoch kann man hier den Code kopieren. In ihr ist alles berücksichtigt, außer der Luftwiderstand des Falles, da dies Simulationen zufolge einen unter 1% Fehler ergeben hat.

In die letzte oben abgebildete Gleichung müsste nur noch die β(U) Funktion eingesetzt werden. Sie kann Theoretisch die Flugdistanz des Gummis vorhersagen

Um jetzt das Ideale U zu finden, für welches das Gummi am weitesten fliegt, müsste man diese Funktion ableiten und 0 setzen. Dies wäre hier jetzt aber viel zu über kompliziert. D.h. lassen wir dies jetzt sein. Für einen Abschusswinkel von 0, für welchen eine simplere Formel gilt, konnten wir dies jedoch durchführen mithilfe eines Programms.

Um auch den idealen Schuss-Winkel zusammen mit dem Spin zu bestimmen, sollte man idealerweise ein Programm nutzen, da der Theoretische Aufwand hierfür sonst zu groß wäre.

==== Theoretische Ergebnisse ====
Für einen Abschusswinkel von 0 haben wir mithilfe von Excel einen Graphen erstellt, von D(Vrot)
[[Datei:Screenshot 2024-05-02 065703.png|mini|665x665px]]
Auf der X-Achse ist Vrot in m/s abgebildet, auf der Y-Achse die Flugweite in m. Man sieht hier, dass es ein Ideales U gibt, für welches die Distanz am höchsten ist. Es sagt auch vorher, dass die Ideale Rotationsgeschwindigkeit bei ungefähr 30m/s liegt.

Dieser Graph entstand für ein Blaues Gummi, welches auf 14,9cm gespannt wurde.

Darunter nochmals über dem Spin U aufgetragen.

[[Datei:Screenshot 2024-06-05 212328.png|mini|665x665px]]

'''Magnus Effekt'''

Der Magnus Effekt ist eine Kraft, welche auf das Gummi wird, wenn es sich dreht. Diese Kraft bewegt das Gummi senkrecht von der Flugrichtung zur Seite. Hierzu könnte ich jetzt auch sehr viel schreiben, jedoch ist dies überflüssig, da es für unser Szenario nicht relevant genug ist, und daher kaum bis garkeinen Einfluss auf unsere Messungen hatte, da unsere Messapparatur zu ungenau ist und daher auch alles unnötig komplizierter machen würde. Man sollte dessen Existenz jedoch trotzdem im Hinterkopf behalten, da es für eine Tiefgründigere Theorie relevant wäre.

==Aufbau==

=== Der Lego-Apparat ===
Unsere Idee beim Aufbau waren Einfach reproduzierbare Ergebnisse mit einem einfach veränderbaren Aufbau um variablen wie Abschusshöhe, Spin, Energieeinfluss in das Gummi (aka Spannungslänge) und eventuell Abschusswinkel problemlos verändern zu können. Der Aufbau sollte Außerdem stabil und handlich sein, damit keine logistischen Probleme auftreten und um größere Spannungen durch unterschiedliche Spins und Spannungen der Gummis auszuhalten.

==== Erster Versuch: ====
Unser erster Aufbau war fehlerhaft, hatte aber schon erste Eigenschaften unseres finalen Aufbaus. Wir haben Lego als Material gewählt, da es sehr stabil ist, wir viel Variation und Möglichkeiten für den Aufbau haben, es nach Versuchen sich nicht verändert und da wir Parameter beliebig verändern können (z.B. Spin/ Winkel/ Wie sehr die das Gummi gespannt ist).
[[Datei:LegoFlasch.jpg|mini|Erster Aufbau des Lego-Apparats]]

==== Zweiter Versuch: ====
Unser zweiter Aufbau ist unser finaler Aufbau. Das Gummi wird über das Drehbare Glied A und das Stationäre Glied B gespannt. Das Glied B ist so geformt, dass wenn das Glied A nach unten Weggezogen wird, das Gummi möglichst wenig aufgehalten wird (wenn das Gummi das Glied B überhaupt berührt). Er wird an der hohlstelle C an den Tisch angebracht um Verschiebungen zu vermeiden. Wenn Der Apparat geschossen wird, wird das Glied A nach unten herausgezogen. Da das Glied a und die Öffnung im Lego Apparat die gleiche Form haben, kann Das Gummi nicht weiter nach unten mit rutschen und wird daher sobald das Glied A komplett innerhalb/unter dem Lego-Apparat ist, abgefeuert.
[[Datei:BeschriftetLego Apparat Aufbau.jpg|mini|Bild Lego-Apparat]]

Das Glied A ist drehbar, so kann jeder beliebige Spin erreicht werden. Die Spins wurden Durch farbliche Markierungen am Gummi und Am Glied A sichtbar und rekreierbar gemacht. Der Apparat ist stabil genug um das Gummi in jede Richtung mit jedem Winkel zu schießen.

=== Aufbau Federkonstante ===
Um die Komplette Energie im Gummi beim Abschuss zu bestimmen, muss die Federkonstante bestimmt werden.

==== Versuch 1: ====
Unser erster Versuch die Federkonstante zu bestimmen, war die Aufnahme einer Kamera mit den Messwerten eines Kraftmessers zu vergleichen, welche beide genommen werden während ein Gummi stetig gestreckt wird. Dies führte zu mehreren Problemen mit der Überlappung von beiden Graphen und so zu nicht aussagekräftigen Ergebnissen. Das größte Problem war, dass wir die Aufnahme fehlerhafter weise nicht gleichzeitig gestartet hatten und wir so Probleme mit der Synchronisierung hatten. Des weiteren war es fast Unmöglich das Gummi gleichmäßig zu strecken, weswegen Messfehler enorm wurden.
[[Datei:FederkonstanteAufbauFalsch.jpg|mini|Federkonstante erster Versuch]]

==== Versuch 2: ====
Für den zweiten Versuch entschieden wir uns für einen sehr viel simpleren Aufbau, indem wir 5 unterschiedliche Gewichte, 100g, 200g, 300g, 400g und 500g an das Gummiband gehängt haben und mit einem Lineal die Längendifferenz gemessen. Wir haben diesen Vorgang mit 3 Unterschiedlichen Gummis wiederholt, jeweils mit einer unterschiedlichen Reihenfolge der Gewichte um das Ausleiern der Gummis zu minimieren.

[[Datei:Federkonstante(1).jpg|mini|Federkonstante Aufbau]]

=== Aufbau Cw Wert: ===
Um den Cw Wert des Gummis herauszufinden, haben wir einen Föhn fixiert und einen experimentellen Lufttunnel gebaut welcher über dem Föhn platziert. Der Lufttunnel wurde gebaut indem indem mehrere Strohhalme in ein geordnetes Muster gebracht wurden. Danach wurden sie von einem Klebebandzusammengeklebt wurden. danach wurde ein Trichter am einen Ende mit Pappe gebaut um die Luft in den Lufttunnel zu lenken. Dies garantiert, dass die Luft gleichmäßig auf das Gummi bläst. Das Gummi wurde an 2 Fäden angebracht und es wurde an dem punkt niedrigsten gemessen, den das Gummi in einer limitierten Zeitspanne erreicht. Gemessen wurde hier die Windgeschwindigkeit, wenn es auch einigermaßen stehen bleibt.
[[Datei:CW-WERT.jpg|mini|Cw-Wert Aufbau]]

==Daten und Vergleich==

===Federkonstante===

In Bezug auf die Federkonstante haben wir mit dem Aufbau (1) für ein blaues Gummi folgende Daten aufgenommen:

[[Datei:Bild 2024-06-04 204510250.png|rahmenlos|500x500px]]

Jede Punktfarbe ist ein Datensatz. Um hierdraus die Federfunktion zu bestimmen, werden wir jeweils eine Ausgleichs Gerade durch die Punkte legen und von diesen dann den Durchschnitt errechnen.

[[Datei:Bild 2024-06-04 205525100.png|rahmenlos|980x980px]]

Blau1(L)=0.49*L

Blau2(L)=0.69*L-1.1

Blau3(L)=0.48*L-0.42

'''Blau(L)=0.553*L-0.5'''

Hier ist Grün:

[[Datei:Bild 2024-06-04 212343246.png|rahmenlos|815x815px]]

Grün1(L)=0.88*L-1.27

Grün2(L)=0.74*L-1.46

Grün3(L)=0.57*L

'''Grün'''(L)= 0.73*L-9.91

===Beta-Werte Messungen===

Mit dem Aufbau für die Beta-Messungen haben wir folgende Messergebnisse erzielen können:

Für Beta 1 und Beta2 haben wir jeweils 2 Geschwindigkeiten gemessen, welche wir dann in Beta-Werte umgerechnet haben. Wir haben von den Geschwindigkeiten auch den Durchschnitt berechnet und haben dessen Beta-Wert verwendet.

[[Datei:Umrechnung.jpg|mini|So wurde V umgerechnet in Beta]]

'''Beta 1:'''

V1=7,8m/s β=0,161/m

V2=8m/s β=0,153/m

'''Vd=7,9m/s β=0,157'''

'''Beta2'''

V1=6,3m/s β=0,247

V2=5,9m/s β=0,282

'''Vd=6,1m/s β=0,264'''

===Flugdistanz Messungen===

Im folgenden unsere Messungen für die Flugdistanz eines Gummis:

Parameter:

Federfunktion: 0.553*L-0.5

Masse: 0.4g/0.0004Kg

Höhe: 0.78m

Vmin: 24m/s

a: 0

Abschusswinkel: 0°
[[Datei:Bild 2024-06-06 192748434.png|mini|443x443px|Messwerte mit Fehlerbalken]]
L: 0,099m
Rechts stehend befinden sich unsere Messwerte. Auch wenn die Parameter, unter denen dieses Gummi geschossen wurden anders sind als die, vom Idealen Graphen, so weisen sie doch Gemeinsamkeiten auf. Zum Beispiel hat man hier die These bestätigt, dass es ein Ideales U gibt und in welcher Größenordnung das Ideale U in der Regel liegt (für fast alle realistischen Parameter im niedrigen einstelligen Bereich.

Die Fehlerbalken basieren auf der Durchschnittlichen Abweichung zum Mittelwert der einzelnen Datenreihen. Die Fehlerbalken sind dann dessen Durchschnitt.

Hier rechts der direkte Vergleich. In blau ist der Theoretisch vorhergesagte Graph für die entsprechenden Parameter, in Orange mit Fehlerbalken unsere Messungen. Wie man sehen kann, passt das Theoretisch vorhergesagte Ergebnis relativ gut zum eigentlichen Ergebnis, auch wenn es Teilweise etwas knapp ist.

Der Theoretische Graph sagt voraus, dass das Gummi für einen Spin von U=2,6 am weitesten fliegt, was auch in etwa zu den Messungen passt.
[[Datei:Screenshot 2024-06-08 120216.png|mini|445x445px|Messwerte mit Theoretischen Graph von durchschnittlichen Betas]]
Zwar berücksichtigt die Theorie nicht die Tatsache, dass das Überschlagen selbst des Gummis auch an Geschwindigkeit verliert, jedoch weist die Tatsache, dass die gemessenen Beta-Werte trotzdem passen darauf hin, dass dies nur sekundär ist. Würde man dies berücksichtigen, so wäre der Graph vor Vmin etwas tiefer gelegen. Die Differenz zwischen dem neuen Theoretischen Graphen und dem Alten würde vermutlich eine Exponentialfunktion, welche ab Vmin bei 0 läge und in negative X-Richtung gehend exponentiell größer werden würde.

[[Datei:Screenshot 2024-06-08 164137.png|mini|451x451px|Hier mit allen Beta-Kombinationen und Durchschnitt]]

==Fazit==
Zusammenfassend können wir sagen, dass der Ideale Spin, für welchen das Gummi am weitesten fliegt, von den einzelnen Parametern abhängt. Weicht man vom Idealen U ab, so fliegt das Gummi weniger weit. Dieses Ideale U existiert auch für jedes Gummi. Wir konnten das Ideale U für ein bestimmtes Gummi berechnen und auch experimentell nachweisen. Zudem wurden alle relevanten Parameter berücksichtigt.

==Danksagung==
Wir bedanken uns für die viele Mithilfe von Herrn Dr. Ebert, welcher uns Verbesserungsvorschläge und Kritik gegeben hat. Außerdem hat er uns Platz und Material für die Umsetzung organisiert und Tipps gegeben, was man ändern kann, um bessere Ergebnisse zu erlangen. Des weiteren half er uns bei der Theorie und bei Fragen.

Ebenfalls bedanken wir uns bei Fabian Schmitt und Antonia Macha, welche ebenfalls bei obengenannten Punkten halfen und mit Herrn Ebert zusammen unser Projekt betreut haben.

==Erfolge==

Wir haben dieses Jahr an der regionalen Runde des GYPT teilgenommen. Eine Teilnahme bei Jugend Forscht konnte leider nicht erfolgen. Grund hierfür war ein Problem bei der Anmeldung.

==Quellen==

*https://www.gypt.org/aufgaben/04-shooting-rubber-band.html

Gummiband

2024-06-10T04:59:24Z

EmilP: /* Beta-Werte Messungen */

==Thema==
Ein Gummiband kann eine längere Strecke fliegen, wenn es beim Schuss ungleichmäßig gestreckt wird, wodurch es sich während des Fluges dreht. Wir sollen die Distanz, welche ein Gummiband mit Spin zurücklegen kann, optimieren, sodass die Distanz möglichst groß ist. Unter der Distanz verstehen wir hier die Distanz vom Punkt, wo das Gummiband los geschossen wurde zum Ausgangspunkt, wo das Gummi landet. Wir meinen damit nicht die Flugbahn, da diese zu schwer zu messen wäre. Zudem wird das Gummi immer parallel zum Boden geschossen, da wir uns auf den Spin fokussieren.

Dieser Versuch hat mit Kräften und Luftwiderstand zutun. Daraus schließend ist dieses Projekt Teil des Themenfeldes Mechanik.

=== Grundlegende Erklärung ===
Wenn man einem Gummiband Spin gibt (beide Seiten ungleichmäßig streckt), so fängt es an, im Flug zu rotieren. Durch diese Rotation tritt ein Effekt ein, welcher dafür sorgt, dass das Gummi in einer stabilen Position fliegt, da durch diese Stabilität Störungen das Gummi weniger stark beim Flug beeinflussen. Diese Position, in die sich das Gummi begibt, minimiert ebenfalls die Angriffsfläche für die Luft beim Flug, wodurch der Luftwiderstand bedeutend reduziert wird. Ohne spin, überschlägt es sich im Flug, wodurch nicht nur der Luftwiderstand größer wird, sondern auch Energie in dieser Bewegung des Überschlagens selbst verloren geht.
==Parameter==
Zunächst einmal fangen wir mit den relevanten Parametern an, die das Phänomen allgemein beeinflussen:

-Die Federfunktion L*n+b des Gummis

-Die Abschusshöhe des Gummis über dem Boden h

-Der Winkel φ, in dem das Gummi in die Luft geschossen wird

-Der Radius des Gummis r

-Die Dicke des Gummis rh

-Die Masse des Gummis m

-Die minimale Rotationsgeschwindigkeit für einen Stabilen Flug Vmin

-2-Fache Längendifferenz zwischen den einzelnen Seiten(Spin) U

-Optische Längendifferenz zur Ausgangslage U

-Die Luftwiderstandsbeiwerte Cw2 und Cw3

Konstanten:

-Luftdichte P

-Erdbeschleunigung g

== Theorie ==
===Energiebetrachtung===

Um diesen Effekt zu untersuchen, werden wir über eine Energiebetrachtung gehen. Daher müssen wir zunächst einmal die potentielle Energie bestimmen, welche im Gummi vorliegt im gestreckten Zustand.

Hierfür muss erstmal der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung des Gummis und der Kraft, welche auf das Gummi ausgewirkt wird ermittelt werden.

Der Ideale Graph für diesen Zusammenhang ist folgender:

[[Datei:Screenshot 2024-04-30 224311.png|rahmenlos|alternativtext=.|.]]

Hier lässt sich schnell erkennen, dass das Hooksche Gesetz hier nichtzutreffend ist, da der Zusammenhang nicht linear ist.
Daher wird der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung und der daraus resultierenden Kraft in der Form F=ΔL*m+b dargestellt.
Um die Werte von n und k zu bestimmen, werden versuche durchgeführt (Mehr dazu im Versuch-Abschnitt). Dieser Term wird den Linearen Abschnitt annähern.

Ein Gummi ist von den Physikalischen Eigenschaften her sehr Feder-ähnlich.

Die gespeicherte potentielle Energie in einer Feder wird durch den Folgenden Ausdruck beschrieben:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 103837.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck basiert auf dem Hookschen Gesetz, nach welchem die Kraft F durch eine Längenänderung von K*L verursacht wird. L ist hier die Längenänderung.

Da dieses Gummi aber nicht sehr zutreffend durch das Hooksche Gesetz beschrieben werden kann (siehe oben), muss ein neuer Term für die Energie gefunden werden, welcher auf dem oben definierten Term für den Zusammenhang zwischen der Kraft F und der Längenausdehnung L.

Um dies herauszufinden, können folgende Schritte durchgeführt werden:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104633.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck beschreibt die Energie eines gleichförmig gestreckten Gummis. In unserem Projekt, wird das Gummi jedoch ungleichmäßig gestreckt. Daher wird die Energie der Einzelnen Seiten addiert, wobei eine Seite L+U lang ist, die andere Seite L-U. Da wir hier die einzelnen Seiten betrachten, müssen alle Terme jeweils halbiert werden.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104919.png|rahmenlos|529x529px]]

Dies ist die potentielle Energie, welche sich im gespannten Gummi befindet. Wird dieses nun losgelassen, wird diese Energie in Kinetische Energie umgewandelt.

Diese Energie verteilt sich auf die Schussenergie Eschuss und die Rotationsenergie Erot. Die Schussenergie ist hierbei also die Energie, welche für das vorwärts-schießen verantwortlich ist und Erot die Energie, welche für die Rotation verantwortlich ist.

Beide Seiten des Gummis haben eine bestimmte Energie menge. Die Schuss-Energie ist hier die Energie, welche beide Seiten gemeinsam haben, d.h. 2 mal die Energie, welche in der kürzeren Seite vorliegt.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105648.png|alternativtext=.|rahmenlos]]

Nun fehlt nur noch die Rotationsenergie, welche die Differenz der Gesamtenergie und der Schussenergie ist (Energieerhaltung):

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105736.png|rahmenlos|508x508px]]

Aus diesen Energien können nun die Geschwindigkeiten berechnet werden. Für die Rotationsgeschwindigkeit gilt:

[[Datei:Bild 2024-06-05 155647289.png|rahmenlos|340x340px]]

<nowiki>\begin{equation}
\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}} = V_{rot}
\end{equation}</nowiki>

Auch die Anfangsgeschwindigkeit des Gummis beim Flug kann durch die beteiligte Energie berechnet werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162520727.png|rahmenlos|295x295px]]

===Flug kein Luftwiderstand===

[[Datei:Bild 2024-06-02 114333231.png|rechts|rahmenlos|541x541px]]
Links befindet sich eine Grobe Skizze der Flugbahn des Gummis.

Zunächst einmal muss die Fallzeit bestimmt werden, nach welcher das Gummi auf den Boden auftrifft.

Das Gummi wird durch die Erdanziehungskraft auf den Boden gezogen. Bis es auf den Boden auftrifft, muss es die Höhe h zurücklegen.

Wir können den Zusammenhang zwischen der Zeit und den obigen Größen durch die allgemeine Weg-Beschleunigung Formel ausdrücken, wobei die Beschleunigung a die Erdbeschleunigung g ist.

[[Datei:Bild 2024-06-02 115312156.png|rahmenlos|405x405px]]

Das Gummi würde nun t Sekunden lang mit V0 fliegen, d.h. wäre die zurückgelegte Distanz

[[Datei:Bild 2024-06-05 162742163.png|rahmenlos|355x355px]]

Dies berücksichtigt zwar nicht den Luftwiderstand, jedoch wird im Folgenden mit dieser Basis gearbeitet.

=== Luftwiderstand ===

Die allgemeine Formel für die Luftwiderstandskraft ist

[[Datei:Bild 2024-06-05 161328876.png|rahmenlos|458x458px]]

Im folgenden wird eine Funktion V(t) gesucht:

[[Datei:Bild 2024-06-05 161533534.png|rahmenlos]]

Diese Funktion beschreibt die Geschwindigkeit über die Zeit durch den Geschwindigkeitsverlust durch den Luftwiderstand.

Um nun auf die Distanz zu kommen, muss diese Funktion nach der Zeit t integriert werden. T ist hier nur eine Hilfsvariable.

[[Datei:Bild 2024-06-02 122816276.png|rahmenlos|231x231px]]

Diese Formel beschreibt die zurückgelegte Distanz eines Gummis mit den beinhalteten Größen.

Nun können die bereits bekannten Terme für t und V0 eingesetzt werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162957296.png|rahmenlos|408x408px]]

Der Luftwiderstand von der Fallbewegung des Gummis wird hier vernachlässigt, da es, eigenen Simulationen zufolge, selbst mit einem unrealistisch großem Luftwiderstand einer Abweichung von unter 0.5% unterliegt. Beim Miteinbeziehen des Abschusswinkels wird dies jedoch geändert werden müssen.

==== Veränderung des Luftwiderstandsbeiwertes ====
Rotiert das Gummi schneller, so fliegt es stabiler und reduziert die Angriffsfläche für die Luft weiter. Rotiert es langsamer, rotiert es Chaotisch und die Angriffsfläche für die Luft vergrößert sich signifikant.

Wir vermuten, dass dieser Zusammenhang abfallend exponentiell ist, d.h. wirken niedrige Rotationsgeschwindigkeiten effizienter, als hohe im Bezug auf die Energie, welche in sie reingesteckt wurde und der Auswirkung auf die Flugweite des Gummis. Diesen Zusammenhang wollen wir durch eine Funktion β(t) festhalten:

[[Datei:Bild 2024-06-02 183715904.png|rahmenlos]]

Dies ist eine allgemeine Exponentialfunktion. Sie wird vorerst von Vrot abhängig gemacht, um die Terme kürzer zu machen. Es wird später wieder eingesetzt. β1 markiert hier das Minimum, an das sich die Funktion annähert.

[[Datei:Bild 2024-06-02 184600363.png|rahmenlos|663x663px]]

Dies können wir nun für f einsetzen.

Jetzt setzen wir Vrot auf Vmin. Diesem Wert wird definitionsgemäß β1 zugeordnet:
\begin{equation}
\beta(V_{min}) = \beta_1 = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{n \cdot V_{min}}
\end{equation}

Dies formen wir nun nach n um und setzen dies dann wieder in die ursprüngliche Funktion ein und fassen zusammen:

\begin{equation}
n = \ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{1}{V_{min}}
\end{equation}
\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{\left(\ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{V_{rot}}{V_{min}}\right)}
\end{equation}

Jetzt kann man folgende Eigenschaft einer Exponentialfunktion nutzen:

[[Datei:Bild 2024-06-02 185231881.png|rahmenlos]]

Hierfür müssen natürlich beide β-Werte bekannt sein, jedoch vereinfacht es die Gleichung auf jeden fall, wenn man es für β2 einsetzt:

\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{V_{rot}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Nun muss nur noch für Vrot eingesetzt werden, um die Funktion wieder abhängig von U zu machen:

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{m}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Dies ist die fertige Funktion für Beta. Die Beta Werte werden durch ein Programm so gewählt, dass die Theoretischen Messwerte mit echten Messwerten übereinstimmen. Daher bezieht sie auch andere Arten von Energieverlusten mit ein.

Dies setzen wir nun in die Formel für die Flugweite des Gummis anstelle von β ein:

\begin{equation}
\frac{1}{\beta} \cdot \ln\left(1 + \beta \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta(U)} \cdot \ln\left(1 + \beta(U) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)} \cdot \ln\left(1 + \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

Dies ist die Endformel, wenn der Abschusswinkel nicht berücksichtigt wird. Eine Luftreibung für die Rotation wird vernachlässigt, da diese irrelevant gering ist.

'=== Miteinbeziehuhng des Abschusswinkels: ===

[[Datei:Bild 2024-06-03 211542546.png|mini]]

Wie sich die Distanz unter einem Abschusswinkel verändert, lässt sich durch Trigonometrie und einer Veränderung des Terms für die Fallzeit T erfassen.

Um dies zu machen, kann die Anfangsgeschwindigkeit nicht mehr als Absolut betrachtet werden, stattdessen muss die Richtung beachtet werden.

Gegeben ist die Anfangsgeschwindigkeit V0, es gilt folgendes:

\begin{equation}
V_h = \sin(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

\begin{equation}
V_d = \cos(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

Dies sind die Geschwindigkeiten, mit denen sich das Gummi in die jeweiligen Richtungen bewegt. Da das Gummi jetzt nach oben geschossen wird, muss auch die Fall/Flugzeit neu berechnet werden. Diese wird in 2 Teile Zerlegt:

# Die Zeit, nach welcher Vh bei 0 liegt
# Die Zeit, welche das Gummi nun braucht um die nach 1. erreichte höhe wieder runterzufallen.

Berechnen wir nun erstens:

Gegeben sei Folgende Formel für V(t) unter einem Luftwiderstand:

\begin{equation}
v(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t}
\end{equation}

Übertragen auf diesen Term, sieht sie so aus:

\begin{equation}
vh(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

Der neue Term, welcher subtrahieret wird beschreibt die Gravitationskraft.
Nun wird der Term 0 gesetzt und nach t1 aufgelöst:
\begin{equation}
0 = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_1 = -\frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} + \sqrt{\left( \frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3}}
\end{equation}</nowiki>

Mit der Zeit t1, können wir jetzt mithilfe der untenstehenden Formel berechnen, wie hoch das Gummi hierbei gekommen ist.

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln(1 + \beta3 \cdot V0 \cdot t)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h
\end{equation}

Jetzt berechnen wir die Zeit, welches das Gummi zum herunterfallen benötigt, mithilfe dieser Formel:

<nowiki>\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}
\end{equation}.
Wir setzen ein:
\begin{equation}
t_2 = \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

\begin{equation}
t_{ges} = t_1 + t_2
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_{ges} = \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) + \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

Nun muss nur noch '''alles''' in die eigentliche Formel für die Distanz eingesetzt werden:

\usepackage{amsmath}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(t)} \ln \left( 1 + \beta(t) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot V_0 \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 V_h \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_h \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 V_{h0} \left( -\frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}

D(U) = \frac{1}{\beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right)} \ln \left( 1 + \beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)}

\end{equation}

Oben steht die Finale Formel, jedoch übersteigt dessen länge anscheinend die Kapazität, jedoch kann man hier den Code kopieren. In ihr ist alles berücksichtigt, außer der Luftwiderstand des Falles, da dies Simulationen zufolge einen unter 1% Fehler ergeben hat.

In die letzte oben abgebildete Gleichung müsste nur noch die β(U) Funktion eingesetzt werden. Sie kann Theoretisch die Flugdistanz des Gummis vorhersagen

Um jetzt das Ideale U zu finden, für welches das Gummi am weitesten fliegt, müsste man diese Funktion ableiten und 0 setzen. Dies wäre hier jetzt aber viel zu über kompliziert. D.h. lassen wir dies jetzt sein. Für einen Abschusswinkel von 0, für welchen eine simplere Formel gilt, konnten wir dies jedoch durchführen mithilfe eines Programms.

Um auch den idealen Schuss-Winkel zusammen mit dem Spin zu bestimmen, sollte man idealerweise ein Programm nutzen, da der Theoretische Aufwand hierfür sonst zu groß wäre.

==== Theoretische Ergebnisse ====
Für einen Abschusswinkel von 0 haben wir mithilfe von Excel einen Graphen erstellt, von D(Vrot)
[[Datei:Screenshot 2024-05-02 065703.png|mini|665x665px]]
Auf der X-Achse ist Vrot in m/s abgebildet, auf der Y-Achse die Flugweite in m. Man sieht hier, dass es ein Ideales U gibt, für welches die Distanz am höchsten ist. Es sagt auch vorher, dass die Ideale Rotationsgeschwindigkeit bei ungefähr 30m/s liegt.

Dieser Graph entstand für ein Blaues Gummi, welches auf 14,9cm gespannt wurde.

Darunter nochmals über dem Spin U aufgetragen.

[[Datei:Screenshot 2024-06-05 212328.png|mini|665x665px]]

'''Magnus Effekt'''

Der Magnus Effekt ist eine Kraft, welche auf das Gummi wird, wenn es sich dreht. Diese Kraft bewegt das Gummi senkrecht von der Flugrichtung zur Seite. Hierzu könnte ich jetzt auch sehr viel schreiben, jedoch ist dies überflüssig, da es für unser Szenario nicht relevant genug ist, und daher kaum bis garkeinen Einfluss auf unsere Messungen hatte, da unsere Messapparatur zu ungenau ist und daher auch alles unnötig komplizierter machen würde. Man sollte dessen Existenz jedoch trotzdem im Hinterkopf behalten, da es für eine Tiefgründigere Theorie relevant wäre.

==Aufbau==

=== Der Lego-Apparat ===
Unsere Idee beim Aufbau waren Einfach reproduzierbare Ergebnisse mit einem einfach veränderbaren Aufbau um variablen wie Abschusshöhe, Spin, Energieeinfluss in das Gummi (aka Spannungslänge) und eventuell Abschusswinkel problemlos verändern zu können. Der Aufbau sollte Außerdem stabil und handlich sein, damit keine logistischen Probleme auftreten und um größere Spannungen durch unterschiedliche Spins und Spannungen der Gummis auszuhalten.

==== Erster Versuch: ====
Unser erster Aufbau war fehlerhaft, hatte aber schon erste Eigenschaften unseres finalen Aufbaus. Wir haben Lego als Material gewählt, da es sehr stabil ist, wir viel Variation und Möglichkeiten für den Aufbau haben, es nach Versuchen sich nicht verändert und da wir Parameter beliebig verändern können (z.B. Spin/ Winkel/ Wie sehr die das Gummi gespannt ist).
[[Datei:LegoFlasch.jpg|mini|Erster Aufbau des Lego-Apparats]]

==== Zweiter Versuch: ====
Unser zweiter Aufbau ist unser finaler Aufbau. Das Gummi wird über das Drehbare Glied A und das Stationäre Glied B gespannt. Das Glied B ist so geformt, dass wenn das Glied A nach unten Weggezogen wird, das Gummi möglichst wenig aufgehalten wird (wenn das Gummi das Glied B überhaupt berührt). Er wird an der hohlstelle C an den Tisch angebracht um Verschiebungen zu vermeiden. Wenn Der Apparat geschossen wird, wird das Glied A nach unten herausgezogen. Da das Glied a und die Öffnung im Lego Apparat die gleiche Form haben, kann Das Gummi nicht weiter nach unten mit rutschen und wird daher sobald das Glied A komplett innerhalb/unter dem Lego-Apparat ist, abgefeuert.
[[Datei:BeschriftetLego Apparat Aufbau.jpg|mini|Bild Lego-Apparat]]

Das Glied A ist drehbar, so kann jeder beliebige Spin erreicht werden. Die Spins wurden Durch farbliche Markierungen am Gummi und Am Glied A sichtbar und rekreierbar gemacht. Der Apparat ist stabil genug um das Gummi in jede Richtung mit jedem Winkel zu schießen.

=== Aufbau Federkonstante ===
Um die Komplette Energie im Gummi beim Abschuss zu bestimmen, muss die Federkonstante bestimmt werden.

==== Versuch 1: ====
Unser erster Versuch die Federkonstante zu bestimmen, war die Aufnahme einer Kamera mit den Messwerten eines Kraftmessers zu vergleichen, welche beide genommen werden während ein Gummi stetig gestreckt wird. Dies führte zu mehreren Problemen mit der Überlappung von beiden Graphen und so zu nicht aussagekräftigen Ergebnissen. Das größte Problem war, dass wir die Aufnahme fehlerhafter weise nicht gleichzeitig gestartet hatten und wir so Probleme mit der Synchronisierung hatten. Des weiteren war es fast Unmöglich das Gummi gleichmäßig zu strecken, weswegen Messfehler enorm wurden.
[[Datei:FederkonstanteAufbauFalsch.jpg|mini|Federkonstante erster Versuch]]

==== Versuch 2: ====
Für den zweiten Versuch entschieden wir uns für einen sehr viel simpleren Aufbau, indem wir 5 unterschiedliche Gewichte, 100g, 200g, 300g, 400g und 500g an das Gummiband gehängt haben und mit einem Lineal die Längendifferenz gemessen. Wir haben diesen Vorgang mit 3 Unterschiedlichen Gummis wiederholt, jeweils mit einer unterschiedlichen Reihenfolge der Gewichte um das Ausleiern der Gummis zu minimieren.

[[Datei:Federkonstante(1).jpg|mini|Federkonstante Aufbau]]

=== Aufbau Cw Wert: ===
Um den Cw Wert des Gummis herauszufinden, haben wir einen Föhn fixiert und einen experimentellen Lufttunnel gebaut welcher über dem Föhn platziert. Der Lufttunnel wurde gebaut indem indem mehrere Strohhalme in ein geordnetes Muster gebracht wurden. Danach wurden sie von einem Klebebandzusammengeklebt wurden. danach wurde ein Trichter am einen Ende mit Pappe gebaut um die Luft in den Lufttunnel zu lenken. Dies garantiert, dass die Luft gleichmäßig auf das Gummi bläst. Das Gummi wurde an 2 Fäden angebracht und es wurde an dem punkt niedrigsten gemessen, den das Gummi in einer limitierten Zeitspanne erreicht. Gemessen wurde hier die Windgeschwindigkeit.
[[Datei:CW-WERT.jpg|mini|Cw-Wert Aufbau]]

==Daten und Vergleich==

===Federkonstante===

In Bezug auf die Federkonstante haben wir mit dem Aufbau (1) für ein blaues Gummi folgende Daten aufgenommen:

[[Datei:Bild 2024-06-04 204510250.png|rahmenlos|500x500px]]

Jede Punktfarbe ist ein Datensatz. Um hierdraus die Federfunktion zu bestimmen, werden wir jeweils eine Ausgleichs Gerade durch die Punkte legen und von diesen dann den Durchschnitt errechnen.

[[Datei:Bild 2024-06-04 205525100.png|rahmenlos|980x980px]]

Blau1(L)=0.49*L

Blau2(L)=0.69*L-1.1

Blau3(L)=0.48*L-0.42

'''Blau(L)=0.553*L-0.5'''

Hier ist Grün:

[[Datei:Bild 2024-06-04 212343246.png|rahmenlos|815x815px]]

Grün1(L)=0.88*L-1.27

Grün2(L)=0.74*L-1.46

Grün3(L)=0.57*L

'''Grün'''(L)= 0.73*L-9.91

===Beta-Werte Messungen===

Mit dem Aufbau für die Beta-Messungen haben wir folgende Messergebnisse erzielen können:

Für Beta 1 und Beta2 haben wir jeweils 2 Geschwindigkeiten gemessen, welche wir dann in Beta-Werte umgerechnet haben. Wir haben von den Geschwindigkeiten auch den Durchschnitt berechnet und haben dessen Beta-Wert verwendet.

[[Datei:Umrechnung.jpg|mini|So wurde V umgerechnet in Beta]]

'''Beta 1:'''

V1=7,8m/s β=0,161/m

V2=8m/s β=0,153/m

'''Vd=7,9m/s β=0,157'''

'''Beta2'''

V1=6,3m/s β=0,247

V2=5,9m/s β=0,282

'''Vd=6,1m/s β=0,264'''

===Flugdistanz Messungen===

Im folgenden unsere Messungen für die Flugdistanz eines Gummis:

Parameter:

Federfunktion: 0.553*L-0.5

Masse: 0.4g/0.0004Kg

Höhe: 0.78m

Vmin: 24m/s

a: 0

Abschusswinkel: 0°
[[Datei:Bild 2024-06-06 192748434.png|mini|443x443px|Messwerte mit Fehlerbalken]]
L: 0,099m
Rechts stehend befinden sich unsere Messwerte. Auch wenn die Parameter, unter denen dieses Gummi geschossen wurden anders sind als die, vom Idealen Graphen, so weisen sie doch Gemeinsamkeiten auf. Zum Beispiel hat man hier die These bestätigt, dass es ein Ideales U gibt und in welcher Größenordnung das Ideale U in der Regel liegt (für fast alle realistischen Parameter im niedrigen einstelligen Bereich.

Die Fehlerbalken basieren auf der Durchschnittlichen Abweichung zum Mittelwert der einzelnen Datenreihen. Die Fehlerbalken sind dann dessen Durchschnitt.

Hier rechts der direkte Vergleich. In blau ist der Theoretisch vorhergesagte Graph für die entsprechenden Parameter, in Orange mit Fehlerbalken unsere Messungen. Wie man sehen kann, passt das Theoretisch vorhergesagte Ergebnis relativ gut zum eigentlichen Ergebnis, auch wenn es Teilweise etwas knapp ist.

Der Theoretische Graph sagt voraus, dass das Gummi für einen Spin von U=2,6 am weitesten fliegt, was auch in etwa zu den Messungen passt.
[[Datei:Screenshot 2024-06-08 120216.png|mini|445x445px|Messwerte mit Theoretischen Graph von durchschnittlichen Betas]]
Zwar berücksichtigt die Theorie nicht die Tatsache, dass das Überschlagen selbst des Gummis auch an Geschwindigkeit verliert, jedoch weist die Tatsache, dass die gemessenen Beta-Werte trotzdem passen darauf hin, dass dies nur sekundär ist. Würde man dies berücksichtigen, so wäre der Graph vor Vmin etwas tiefer gelegen. Die Differenz zwischen dem neuen Theoretischen Graphen und dem Alten würde vermutlich eine Exponentialfunktion, welche ab Vmin bei 0 läge und in negative X-Richtung gehend exponentiell größer werden würde.

[[Datei:Screenshot 2024-06-08 164137.png|mini|451x451px|Hier mit allen Beta-Kombinationen und Durchschnitt]]

==Fazit==
Zusammenfassend können wir sagen, dass der Ideale Spin, für welchen das Gummi am weitesten fliegt, von den einzelnen Parametern abhängt. Weicht man vom Idealen U ab, so fliegt das Gummi weniger weit. Dieses Ideale U existiert auch für jedes Gummi. Wir konnten das Ideale U für ein bestimmtes Gummi berechnen und auch experimentell nachweisen. Zudem wurden alle relevanten Parameter berücksichtigt.

==Danksagung==
Wir bedanken uns für die viele Mithilfe von Herrn Dr. Ebert, welcher uns Verbesserungsvorschläge und Kritik gegeben hat. Außerdem hat er uns Platz und Material für die Umsetzung organisiert und Tipps gegeben, was man ändern kann, um bessere Ergebnisse zu erlangen. Des weiteren half er uns bei der Theorie und bei Fragen.

Ebenfalls bedanken wir uns bei Fabian Schmitt und Antonia Macha, welche ebenfalls bei obengenannten Punkten halfen und mit Herrn Ebert zusammen unser Projekt betreut haben.

==Erfolge==

Wir haben dieses Jahr an der regionalen Runde des GYPT teilgenommen. Eine Teilnahme bei Jugend Forscht konnte leider nicht erfolgen. Grund hierfür war ein Problem bei der Anmeldung.

==Quellen==

*https://www.gypt.org/aufgaben/04-shooting-rubber-band.html

2024-06-09T19:36:39Z

EmilP: /* Fazit */

==Thema==
Ein Gummiband kann eine längere Strecke fliegen, wenn es beim Schuss ungleichmäßig gestreckt wird, wodurch es sich während des Fluges dreht. Wir sollen die Distanz, welche ein Gummiband mit Spin zurücklegen kann, optimieren, sodass die Distanz möglichst groß ist. Unter der Distanz verstehen wir hier die Distanz vom Punkt, wo das Gummiband los geschossen wurde zum Ausgangspunkt, wo das Gummi landet. Wir meinen damit nicht die Flugbahn, da diese zu schwer zu messen wäre. Zudem wird das Gummi immer parallel zum Boden geschossen, da wir uns auf den Spin fokussieren.

Dieser Versuch hat mit Kräften und Luftwiderstand zutun. Daraus schließend ist dieses Projekt Teil des Themenfeldes Mechanik.

'''Grundlegende Erklärung'''

Wenn man einem Gummiband Spin gibt (beide Seiten ungleichmäßig streckt), so fängt es an, im Flug zu rotieren. Durch diese Rotation tritt ein Effekt ein, welcher dafür sorgt, dass das Gummi in einer stabilen Position fliegt, da durch diese Stabilität Störungen das Gummi weniger stark beim Flug beeinflussen.

Diese Position, in die sich das Gummi begibt, minimiert ebenfalls die Angriffsfläche für die Luft beim Flug, wodurch der Luftwiderstand bedeutend reduziert wird.
==Parameter==
Zunächst einmal fangen wir mit den relevanten Parametern an, die das Phänomen allgemein beeinflussen:

-Die Federfunktion L*n+b des Gummis

-Die Abschusshöhe des Gummis über dem Boden h

Der Winkel φ, in dem das Gummi in die Luft geschossen wird

-Der Radius des Gummis r

-Die Dicke des Gummis rh

-Die Masse des Gummis m

-Die minimale Rotationsgeschwindigkeit für einen Stabilen Flug Vmin

-2-Fache Längendifferenz zwischen den einzelnen Seiten(Spin) U

-Optische Längendifferenz zur Ausgangslage U

-Die Luftwiderstandsbeiwerte Cw2 und Cw3

Konstanten:
-Luftdichte P

-Erdbeschleunigung g

===Flugphasen===

== Theorie ==
===Energiebetrachtung===

Um diesen Effekt zu untersuchen, werden wir über eine Energiebetrachtung gehen. Daher müssen wir zunächst einmal die potentielle Energie bestimmen, welche im Gummi vorliegt im gestreckten Zustand.

Hierfür muss erstmal der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung des Gummis und der Kraft, welche auf das Gummi ausgewirkt wird ermittelt werden.

Der Ideale Graph für diesen Zusammenhang ist folgender:

[[Datei:Screenshot 2024-04-30 224311.png|rahmenlos|alternativtext=.|.]]

Hier lässt sich schnell erkennen, dass das Hooksche Gesetz hier nichtzutreffend ist, da der Zusammenhang nicht linear ist.
Daher wird der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung und der daraus resultierenden Kraft in der Form F=ΔL*m+b dargestellt.
Um die Werte von n und k zu bestimmen, werden versuche durchgeführt (Mehr dazu im Versuch-Abschnitt). Dieser Term wird den Linearen Abschnitt annähern.

Ein Gummi ist von den Physikalischen Eigenschaften her sehr Feder-ähnlich.

Die gespeicherte potentielle Energie in einer Feder wird durch den Folgenden Ausdruck beschrieben:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 103837.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck basiert auf dem Hookschen Gesetz, nach welchem die Kraft F durch eine Längenänderung von K*L verursacht wird. L ist hier die Längenänderung.

Da dieses Gummi aber nicht sehr zutreffend durch das Hooksche Gesetz beschrieben werden kann (siehe oben), muss ein neuer Term für die Energie gefunden werden, welcher auf dem oben definierten Term für den Zusammenhang zwischen der Kraft F und der Längenausdehnung L.

Um dies herauszufinden, können folgende Schritte durchgeführt werden:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104633.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck beschreibt die Energie eines gleichförmig gestreckten Gummis. In unserem Projekt, wird das Gummi jedoch ungleichmäßig gestreckt. Daher wird die Energie der Einzelnen Seiten addiert, wobei eine Seite L+U lang ist, die andere Seite L-U. Da wir hier die einzelnen Seiten betrachten, müssen alle Terme jeweils halbiert werden.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104919.png|rahmenlos|529x529px]]

Dies ist die potentielle Energie, welche sich im gespannten Gummi befindet. Wird dieses nun losgelassen, wird diese Energie in Kinetische Energie umgewandelt.

Diese Energie verteilt sich auf die Schussenergie Eschuss und die Rotationsenergie Erot. Die Schussenergie ist hierbei also die Energie, welche für das vorwärts-schießen verantwortlich ist und Erot die Energie, welche für die Rotation verantwortlich ist.

Beide Seiten des Gummis haben eine bestimmte Energie menge. Die Schuss-Energie ist hier die Energie, welche beide Seiten gemeinsam haben, d.h. 2 mal die Energie, welche in der kürzeren Seite vorliegt.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105648.png|alternativtext=.|rahmenlos]]

Nun fehlt nur noch die Rotationsenergie, welche die Differenz der Gesamtenergie und der Schussenergie ist (Energieerhaltung):

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105736.png|rahmenlos|508x508px]]

Aus diesen Energien können nun die Geschwindigkeiten berechnet werden. Für die Rotationsgeschwindigkeit gilt:

[[Datei:Bild 2024-06-05 155647289.png|rahmenlos|340x340px]]

<nowiki>\begin{equation}
\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}} = V_{rot}
\end{equation}</nowiki>

Auch die Anfangsgeschwindigkeit des Gummis beim Flug kann durch die beteiligte Energie berechnet werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162520727.png|rahmenlos|295x295px]]

===Flug kein Luftwiderstand===

[[Datei:Bild 2024-06-02 114333231.png|rechts|rahmenlos|541x541px]]
Links befindet sich eine Grobe Skizze der Flugbahn des Gummis.

Zunächst einmal muss die Fallzeit bestimmt werden, nach welcher das Gummi auf den Boden auftrifft.

Das Gummi wird durch die Erdanziehungskraft auf den Boden gezogen. Bis es auf den Boden auftrifft, muss es die Höhe h zurücklegen.

Wir können den Zusammenhang zwischen der Zeit und den obigen Größen durch die allgemeine Weg-Beschleunigung Formel ausdrücken, wobei die Beschleunigung a die Erdbeschleunigung g ist.

[[Datei:Bild 2024-06-02 115312156.png|rahmenlos|405x405px]]

Das Gummi würde nun t Sekunden lang mit V0 fliegen, d.h. wäre die zurückgelegte Distanz

[[Datei:Bild 2024-06-05 162742163.png|rahmenlos|355x355px]]

Dies berücksichtigt zwar nicht den Luftwiderstand, jedoch wird im Folgenden mit dieser Basis gearbeitet.

=== Luftwiderstand ===

Die allgemeine Formel für die Luftwiderstandskraft ist

[[Datei:Bild 2024-06-05 161328876.png|rahmenlos|458x458px]]

Im folgenden wird eine Funktion V(t) gesucht:

[[Datei:Bild 2024-06-05 161533534.png|rahmenlos]]

Diese Funktion beschreibt die Geschwindigkeit über die Zeit durch den Geschwindigkeitsverlust durch den Luftwiderstand.

Um nun auf die Distanz zu kommen, muss diese Funktion nach der Zeit t integriert werden. T ist hier nur eine Hilfsvariable.

[[Datei:Bild 2024-06-02 122816276.png|rahmenlos|231x231px]]

Diese Formel beschreibt die zurückgelegte Distanz eines Gummis mit den beinhalteten Größen.

Nun können die bereits bekannten Terme für t und V0 eingesetzt werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162957296.png|rahmenlos|408x408px]]

Der Luftwiderstand von der Fallbewegung des Gummis wird hier vernachlässigt, da es, eigenen Simulationen zufolge, selbst mit einem unrealistisch großem Luftwiderstand einer Abweichung von unter 0.5% unterliegt. Beim Miteinbeziehen des Abschusswinkels wird dies jedoch geändert werden müssen.

'''Veränderung des Luftwiderstandsbeiwertes'''

Rotiert das Gummi schneller, so fliegt es stabiler und reduziert die Angriffsfläche für die Luft weiter. Rotiert es langsamer, rotiert es Chaotisch und die Angriffsfläche für die Luft vergrößert sich signifikant.

Wir vermuten, dass dieser Zusammenhang abfallend exponentiell ist, d.h. wirken niedrige Rotationsgeschwindigkeiten effizienter, als hohe im Bezug auf die Energie, welche in sie reingesteckt wurde und der Auswirkung auf die Flugweite des Gummis. Diesen Zusammenhang wollen wir durch eine Funktion β(t) festhalten:

[[Datei:Bild 2024-06-02 183715904.png|rahmenlos]]

Dies ist eine allgemeine Exponentialfunktion. Sie wird vorerst von Vrot abhängig gemacht, um die Terme kürzer zu machen. Es wird später wieder eingesetzt. β1 markiert hier das Minimum, an das sich die Funktion annähert.

[[Datei:Bild 2024-06-02 184600363.png|rahmenlos|663x663px]]

Dies können wir nun für f einsetzen.

Jetzt setzen wir Vrot auf Vmin. Diesem Wert wird definitionsgemäß β1 zugeordnet:
\begin{equation}
\beta(V_{min}) = \beta_1 = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{n \cdot V_{min}}
\end{equation}

Dies formen wir nun nach n um und setzen dies dann wieder in die ursprüngliche Funktion ein und fassen zusammen:

\begin{equation}
n = \ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{1}{V_{min}}
\end{equation}
\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{\left(\ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{V_{rot}}{V_{min}}\right)}
\end{equation}

Jetzt kann man folgende Eigenschaft einer Exponentialfunktion nutzen:

[[Datei:Bild 2024-06-02 185231881.png|rahmenlos]]

Hierfür müssen natürlich beide β-Werte bekannt sein, jedoch vereinfacht es die Gleichung auf jeden fall, wenn man es für β2 einsetzt:

\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{V_{rot}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Nun muss nur noch für Vrot eingesetzt werden, um die Funktion wieder abhängig von U zu machen:

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{m}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Dies ist die fertige Funktion für Beta. Die Beta Werte werden durch ein Programm so gewählt, dass die Theoretischen Messwerte mit echten Messwerten übereinstimmen. Daher bezieht sie auch andere Arten von Energieverlusten mit ein.

Dies setzen wir nun in die Formel für die Flugweite des Gummis anstelle von β ein:

\begin{equation}
\frac{1}{\beta} \cdot \ln\left(1 + \beta \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta(U)} \cdot \ln\left(1 + \beta(U) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)} \cdot \ln\left(1 + \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

Dies ist die Endformel, wenn der Abschusswinkel nicht berücksichtigt wird. Eine Luftreibung für die Rotation wird vernachlässigt, da diese irrelevant gering ist.

'=== Miteinbeziehuhng des Abschusswinkels: ===

[[Datei:Bild 2024-06-03 211542546.png|mini]]

Wie sich die Distanz unter einem Abschusswinkel verändert, lässt sich durch Trigonometrie und einer Veränderung des Terms für die Fallzeit T erfassen.

Um dies zu machen, kann die Anfangsgeschwindigkeit nicht mehr als Absolut betrachtet werden, stattdessen muss die Richtung beachtet werden.

Gegeben ist die Anfangsgeschwindigkeit V0, es gilt folgendes:

\begin{equation}
V_h = \sin(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

\begin{equation}
V_d = \cos(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

Dies sind die Geschwindigkeiten, mit denen sich das Gummi in die jeweiligen Richtungen bewegt. Da das Gummi jetzt nach oben geschossen wird, muss auch die Fall/Flugzeit neu berechnet werden. Diese wird in 2 Teile Zerlegt:

# Die Zeit, nach welcher Vh bei 0 liegt
# Die Zeit, welche das Gummi nun braucht um die nach 1. erreichte höhe wieder runterzufallen.

Berechnen wir nun erstens:

Gegeben sei Folgende Formel für V(t) unter einem Luftwiderstand:

\begin{equation}
v(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t}
\end{equation}

Übertragen auf diesen Term, sieht sie so aus:

\begin{equation}
vh(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

Der neue Term, welcher subtrahieret wird beschreibt die Gravitationskraft.
Nun wird der Term 0 gesetzt und nach t1 aufgelöst:
\begin{equation}
0 = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_1 = -\frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} + \sqrt{\left( \frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3}}
\end{equation}</nowiki>

Mit der Zeit t1, können wir jetzt mithilfe der untenstehenden Formel berechnen, wie hoch das Gummi hierbei gekommen ist.

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln(1 + \beta3 \cdot V0 \cdot t)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h
\end{equation}

Jetzt berechnen wir die Zeit, welches das Gummi zum herunterfallen benötigt, mithilfe dieser Formel:

<nowiki>\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}
\end{equation}.
Wir setzen ein:
\begin{equation}
t_2 = \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

\begin{equation}
t_{ges} = t_1 + t_2
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_{ges} = \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) + \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

Nun muss nur noch '''alles''' in die eigentliche Formel für die Distanz eingesetzt werden:

\usepackage{amsmath}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(t)} \ln \left( 1 + \beta(t) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot V_0 \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 V_h \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_h \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 V_{h0} \left( -\frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}

D(U) = \frac{1}{\beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right)} \ln \left( 1 + \beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)}

\end{equation}

Oben steht die Finale Formel, jedoch übersteigt dessen länge anscheinend die Kapazität, jedoch kann man hier den Code kopieren. In ihr ist alles berücksichtigt, außer der Luftwiderstand des Falles, da dies Simulationen zufolge einen unter 1% Fehler ergeben hat.

In die letzte oben abgebildete Gleichung müsste nur noch die β(U) Funktion eingesetzt werden. Sie kann Theoretisch die Flugdistanz des Gummis vorhersagen

Um jetzt das Ideale U zu finden, für welches das Gummi am weitesten fliegt, müsste man diese Funktion ableiten und 0 setzen. Dies wäre hier jetzt aber viel zu über kompliziert. D.h. lassen wir dies jetzt sein. Für einen Abschusswinkel von 0, für welchen eine simplere Formel gilt, konnten wir dies jedoch durchführen mithilfe eines Programms.

Um auch den idealen Schuss-Winkel zusammen mit dem Spin zu bestimmen, sollte man idealerweise ein Programm nutzen, da der Theoretische Aufwand hierfür sonst zu groß wäre.

'''Theoretische Ergebnisse'''

Für einen Abschusswinkel von 0 haben wir mithilfe von Excel einen Graphen erstellt, von D(Vrot)
[[Datei:Screenshot 2024-05-02 065703.png|mini|665x665px]]
Auf der X-Achse ist Vrot in m/s abgebildet, auf der Y-Achse die Flugweite in m. Man sieht hier, dass es ein Ideales U gibt, für welches die Distanz am höchsten ist. Es sagt auch vorher, dass die Ideale Rotationsgeschwindigkeit bei ungefähr 30m/s liegt.

Dieser Graph entstand für ein Blaues Gummi, welches auf 14,9cm gespannt wurde.

Darunter nochmals über dem Spin U aufgetragen.

[[Datei:Screenshot 2024-06-05 212328.png|mini|665x665px]]

'''Magnus Effekt'''

Der Magnus Effekt ist eine Kraft, welche auf das Gummi wird, wenn es sich dreht. Diese Kraft bewegt das Gummi senkrecht von der Flugrichtung zur Seite. Hierzu könnte ich jetzt auch sehr viel schreiben, jedoch ist dies überflüssig, da es für unser Szenario nicht relevant genug ist, und daher kaum bis garkeinen Einfluss auf unsere Messungen hatte, da unsere Messapparatur zu ungenau ist und daher auch alles unnötig komplizierter machen würde. Man sollte dessen Existenz jedoch trotzdem im Hinterkopf behalten, da es für eine Tiefgründigere Theorie relevant wäre.

==Aufbau==

Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

'''Mach mal doch diesen Aufbau mit den Betawerten rein'''

==Daten und Vergleich==

===Federkonstante===

In Bezug auf die Federkonstante haben wir mit dem Aufbau (1) für ein blaues Gummi folgende Daten aufgenommen:

[[Datei:Bild 2024-06-04 204510250.png|rahmenlos|500x500px]]

Jede Punktfarbe ist ein Datensatz. Um hierdraus die Federfunktion zu bestimmen, werden wir jeweils eine Ausgleichs Gerade durch die Punkte legen und von diesen dann den Durchschnitt errechnen.

[[Datei:Bild 2024-06-04 205525100.png|rahmenlos|980x980px]]

Blau1(L)=0.49*L

Blau2(L)=0.69*L-1.1

Blau3(L)=0.48*L-0.42

'''Blau(L)=0.553*L-0.5'''

Hier ist Grün:

[[Datei:Bild 2024-06-04 212343246.png|rahmenlos|815x815px]]

Grün1(L)=0.88*L-1.27

Grün2(L)=0.74*L-1.46

Grün3(L)=0.57*L

'''Grün'''(L)= 0.73*L-9.91

===Beta-Werte Messungen===

Mit dem Aufbau für die Beta-Messungen haben wir folgende Messergebnisse erzielen können:

Für Beta 1 und Beta2 haben wir jeweils 2 Geschwindigkeiten gemessen, welche wir dann in Beta-Werte umgerechnet haben. Wir haben von den Geschwindigkeiten auch den Durchschnitt berechnet und haben dessen Beta-Wert verwendet.

'''Beta 1:'''

V1=7,8m/s β=0,161/m

V2=8m/s β=0,153/m

'''Vd=7,9m/s β=0,157'''

'''Beta2'''

V1=6,3m/s β=0,247

V2=5,9m/s β=0,282

'''Vd=6,1m/s β=0,264'''

===Flugdistanz Messungen===

Im folgenden unsere Messungen für die Flugdistanz eines Gummis:

Parameter:

Federfunktion: 0.553*L-0.5

Masse: 0.4g/0.0004Kg

Höhe: 0.78m

Vmin: 24m/s

a: 0

Abschusswinkel: 0°
[[Datei:Bild 2024-06-06 192748434.png|mini|443x443px|Messwerte mit Fehlerbalken]]
L: 0,099m
Rechts stehend befinden sich unsere Messwerte. Auch wenn die Parameter, unter denen dieses Gummi geschossen wurden anders sind als die, vom Idealen Graphen, so weisen sie doch Gemeinsamkeiten auf. Zum Beispiel hat man hier die These bestätigt, dass es ein Ideales U gibt und in welcher Größenordnung das Ideale U in der Regel liegt (für fast alle realistischen Parameter im niedrigen einstelligen Bereich.

Die Fehlerbalken basieren auf der Durchschnittlichen Abweichung zum Mittelwert der einzelnen Datenreihen. Die Fehlerbalken sind dann dessen Durchschnitt.

Hier rechts der direkte Vergleich. In blau ist der Theoretisch vorhergesagte Graph für die entsprechenden Parameter, in Orange mit Fehlerbalken unsere Messungen. Wie man sehen kann, passt das Theoretisch vorhergesagte Ergebnis relativ gut zum eigentlichen Ergebnis, auch wenn es Teilweise etwas knapp ist.

Der Theoretische Graph sagt voraus, dass das Gummi für einen Spin von U=2,6 am weitesten fliegt, was auch in etwa zu den Messungen passt.
[[Datei:Screenshot 2024-06-08 120216.png|mini|445x445px|Messwerte mit Theoretischen Graph von durchschnittlichen Betas]]
Zwar berücksichtigt die Theorie nicht die Tatsache, dass das Überschlagen selbst des Gummis auch an Geschwindigkeit verliert, jedoch weist die Tatsache, dass die gemessenen Beta-Werte trotzdem passen darauf hin, dass dies nur sekundär ist. Würde man dies berücksichtigen, so wäre der Graph vor Vmin etwas tiefer gelegen. Die Differenz zwischen dem neuen Theoretischen Graphen und dem Alten würde vermutlich eine Exponentialfunktion, welche ab Vmin bei 0 läge und in negative X-Richtung gehend exponentiell größer werden würde.

[[Datei:Screenshot 2024-06-08 164137.png|mini|451x451px|Hier mit allen Beta-Kombinationen und Durchschnitt]]

==Fazit==
Zusammenfassend können wir sagen, dass es möglich ist, die Entfernung eines ungleich gespannten Gummis zu bestimmen. Daraus ist es natürlich möglich, ein optimales Verhältnis für eine möglichst weite Distanz zu bekommen. Bei Versuchen haben wir ebenfalls eine maximale Distanz bekommen. Diese liegt bei ca 2,25 cm Längendifferenz zwischen den Seiten und einer Entfernung von ca 680 cm. Aber wir konnten kein genaues Maximum bestimmen, da wir dafür zu wenig Messdaten haben.

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge==

Wir haben dieses Jahr an der regionalen Runde des GYPT teilgenommen. Eine Teilnahme bei Jugend Forscht konnte leider nicht erfolgen. Grund hierfür war ein Problem bei der Anmeldung.

==Quellen==

*https://www.gypt.org/aufgaben/04-shooting-rubber-band.html

Gummiband

2024-06-09T19:28:20Z

EmilP: /* Fazit */

==Thema==
Ein Gummiband kann eine längere Strecke fliegen, wenn es beim Schuss ungleichmäßig gestreckt wird, wodurch es sich während des Fluges dreht. Wir sollen die Distanz, welche ein Gummiband mit Spin zurücklegen kann, optimieren, sodass die Distanz möglichst groß ist. Unter der Distanz verstehen wir hier die Distanz vom Punkt, wo das Gummiband los geschossen wurde zum Ausgangspunkt, wo das Gummi landet. Wir meinen damit nicht die Flugbahn, da diese zu schwer zu messen wäre. Zudem wird das Gummi immer parallel zum Boden geschossen, da wir uns auf den Spin fokussieren.

Dieser Versuch hat mit Kräften und Luftwiderstand zutun. Daraus schließend ist dieses Projekt Teil des Themenfeldes Mechanik.

'''Grundlegende Erklärung'''

Wenn man einem Gummiband Spin gibt (beide Seiten ungleichmäßig streckt), so fängt es an, im Flug zu rotieren. Durch diese Rotation tritt ein Effekt ein, welcher dafür sorgt, dass das Gummi in einer stabilen Position fliegt, da durch diese Stabilität Störungen das Gummi weniger stark beim Flug beeinflussen.

Diese Position, in die sich das Gummi begibt, minimiert ebenfalls die Angriffsfläche für die Luft beim Flug, wodurch der Luftwiderstand bedeutend reduziert wird.
==Parameter==
Zunächst einmal fangen wir mit den relevanten Parametern an, die das Phänomen allgemein beeinflussen:

-Die Federfunktion L*n+b des Gummis

-Die Abschusshöhe des Gummis über dem Boden h

Der Winkel φ, in dem das Gummi in die Luft geschossen wird

-Der Radius des Gummis r

-Die Dicke des Gummis rh

-Die Masse des Gummis m

-Die minimale Rotationsgeschwindigkeit für einen Stabilen Flug Vmin

-2-Fache Längendifferenz zwischen den einzelnen Seiten(Spin) U

-Optische Längendifferenz zur Ausgangslage U

-Die Luftwiderstandsbeiwerte Cw2 und Cw3

Konstanten:
-Luftdichte P

-Erdbeschleunigung g

===Flugphasen===

== Theorie ==
===Energiebetrachtung===

Um diesen Effekt zu untersuchen, werden wir über eine Energiebetrachtung gehen. Daher müssen wir zunächst einmal die potentielle Energie bestimmen, welche im Gummi vorliegt im gestreckten Zustand.

Hierfür muss erstmal der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung des Gummis und der Kraft, welche auf das Gummi ausgewirkt wird ermittelt werden.

Der Ideale Graph für diesen Zusammenhang ist folgender:

[[Datei:Screenshot 2024-04-30 224311.png|rahmenlos|alternativtext=.|.]]

Hier lässt sich schnell erkennen, dass das Hooksche Gesetz hier nichtzutreffend ist, da der Zusammenhang nicht linear ist.
Daher wird der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung und der daraus resultierenden Kraft in der Form F=ΔL*m+b dargestellt.
Um die Werte von n und k zu bestimmen, werden versuche durchgeführt (Mehr dazu im Versuch-Abschnitt). Dieser Term wird den Linearen Abschnitt annähern.

Ein Gummi ist von den Physikalischen Eigenschaften her sehr Feder-ähnlich.

Die gespeicherte potentielle Energie in einer Feder wird durch den Folgenden Ausdruck beschrieben:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 103837.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck basiert auf dem Hookschen Gesetz, nach welchem die Kraft F durch eine Längenänderung von K*L verursacht wird. L ist hier die Längenänderung.

Da dieses Gummi aber nicht sehr zutreffend durch das Hooksche Gesetz beschrieben werden kann (siehe oben), muss ein neuer Term für die Energie gefunden werden, welcher auf dem oben definierten Term für den Zusammenhang zwischen der Kraft F und der Längenausdehnung L.

Um dies herauszufinden, können folgende Schritte durchgeführt werden:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104633.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck beschreibt die Energie eines gleichförmig gestreckten Gummis. In unserem Projekt, wird das Gummi jedoch ungleichmäßig gestreckt. Daher wird die Energie der Einzelnen Seiten addiert, wobei eine Seite L+U lang ist, die andere Seite L-U. Da wir hier die einzelnen Seiten betrachten, müssen alle Terme jeweils halbiert werden.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104919.png|rahmenlos|529x529px]]

Dies ist die potentielle Energie, welche sich im gespannten Gummi befindet. Wird dieses nun losgelassen, wird diese Energie in Kinetische Energie umgewandelt.

Diese Energie verteilt sich auf die Schussenergie Eschuss und die Rotationsenergie Erot. Die Schussenergie ist hierbei also die Energie, welche für das vorwärts-schießen verantwortlich ist und Erot die Energie, welche für die Rotation verantwortlich ist.

Beide Seiten des Gummis haben eine bestimmte Energie menge. Die Schuss-Energie ist hier die Energie, welche beide Seiten gemeinsam haben, d.h. 2 mal die Energie, welche in der kürzeren Seite vorliegt.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105648.png|alternativtext=.|rahmenlos]]

Nun fehlt nur noch die Rotationsenergie, welche die Differenz der Gesamtenergie und der Schussenergie ist (Energieerhaltung):

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105736.png|rahmenlos|508x508px]]

Aus diesen Energien können nun die Geschwindigkeiten berechnet werden. Für die Rotationsgeschwindigkeit gilt:

[[Datei:Bild 2024-06-05 155647289.png|rahmenlos|340x340px]]

<nowiki>\begin{equation}
\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}} = V_{rot}
\end{equation}</nowiki>

Auch die Anfangsgeschwindigkeit des Gummis beim Flug kann durch die beteiligte Energie berechnet werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162520727.png|rahmenlos|295x295px]]

===Flug kein Luftwiderstand===

[[Datei:Bild 2024-06-02 114333231.png|rechts|rahmenlos|541x541px]]
Links befindet sich eine Grobe Skizze der Flugbahn des Gummis.

Zunächst einmal muss die Fallzeit bestimmt werden, nach welcher das Gummi auf den Boden auftrifft.

Das Gummi wird durch die Erdanziehungskraft auf den Boden gezogen. Bis es auf den Boden auftrifft, muss es die Höhe h zurücklegen.

Wir können den Zusammenhang zwischen der Zeit und den obigen Größen durch die allgemeine Weg-Beschleunigung Formel ausdrücken, wobei die Beschleunigung a die Erdbeschleunigung g ist.

[[Datei:Bild 2024-06-02 115312156.png|rahmenlos|405x405px]]

Das Gummi würde nun t Sekunden lang mit V0 fliegen, d.h. wäre die zurückgelegte Distanz

[[Datei:Bild 2024-06-05 162742163.png|rahmenlos|355x355px]]

Dies berücksichtigt zwar nicht den Luftwiderstand, jedoch wird im Folgenden mit dieser Basis gearbeitet.

=== Luftwiderstand ===

Die allgemeine Formel für die Luftwiderstandskraft ist

[[Datei:Bild 2024-06-05 161328876.png|rahmenlos|458x458px]]

Im folgenden wird eine Funktion V(t) gesucht:

[[Datei:Bild 2024-06-05 161533534.png|rahmenlos]]

Diese Funktion beschreibt die Geschwindigkeit über die Zeit durch den Geschwindigkeitsverlust durch den Luftwiderstand.

Um nun auf die Distanz zu kommen, muss diese Funktion nach der Zeit t integriert werden. T ist hier nur eine Hilfsvariable.

[[Datei:Bild 2024-06-02 122816276.png|rahmenlos|231x231px]]

Diese Formel beschreibt die zurückgelegte Distanz eines Gummis mit den beinhalteten Größen.

Nun können die bereits bekannten Terme für t und V0 eingesetzt werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162957296.png|rahmenlos|408x408px]]

Der Luftwiderstand von der Fallbewegung des Gummis wird hier vernachlässigt, da es, eigenen Simulationen zufolge, selbst mit einem unrealistisch großem Luftwiderstand einer Abweichung von unter 0.5% unterliegt. Beim Miteinbeziehen des Abschusswinkels wird dies jedoch geändert werden müssen.

'''Veränderung des Luftwiderstandsbeiwertes'''

Rotiert das Gummi schneller, so fliegt es stabiler und reduziert die Angriffsfläche für die Luft weiter. Rotiert es langsamer, rotiert es Chaotisch und die Angriffsfläche für die Luft vergrößert sich signifikant.

Wir vermuten, dass dieser Zusammenhang abfallend exponentiell ist, d.h. wirken niedrige Rotationsgeschwindigkeiten effizienter, als hohe im Bezug auf die Energie, welche in sie reingesteckt wurde und der Auswirkung auf die Flugweite des Gummis. Diesen Zusammenhang wollen wir durch eine Funktion β(t) festhalten:

[[Datei:Bild 2024-06-02 183715904.png|rahmenlos]]

Dies ist eine allgemeine Exponentialfunktion. Sie wird vorerst von Vrot abhängig gemacht, um die Terme kürzer zu machen. Es wird später wieder eingesetzt. β1 markiert hier das Minimum, an das sich die Funktion annähert.

[[Datei:Bild 2024-06-02 184600363.png|rahmenlos|663x663px]]

Dies können wir nun für f einsetzen.

Jetzt setzen wir Vrot auf Vmin. Diesem Wert wird definitionsgemäß β1 zugeordnet:
\begin{equation}
\beta(V_{min}) = \beta_1 = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{n \cdot V_{min}}
\end{equation}

Dies formen wir nun nach n um und setzen dies dann wieder in die ursprüngliche Funktion ein und fassen zusammen:

\begin{equation}
n = \ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{1}{V_{min}}
\end{equation}
\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{\left(\ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{V_{rot}}{V_{min}}\right)}
\end{equation}

Jetzt kann man folgende Eigenschaft einer Exponentialfunktion nutzen:

[[Datei:Bild 2024-06-02 185231881.png|rahmenlos]]

Hierfür müssen natürlich beide β-Werte bekannt sein, jedoch vereinfacht es die Gleichung auf jeden fall, wenn man es für β2 einsetzt:

\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{V_{rot}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Nun muss nur noch für Vrot eingesetzt werden, um die Funktion wieder abhängig von U zu machen:

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{m}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Dies ist die fertige Funktion für Beta. Die Beta Werte werden durch ein Programm so gewählt, dass die Theoretischen Messwerte mit echten Messwerten übereinstimmen. Daher bezieht sie auch andere Arten von Energieverlusten mit ein.

Dies setzen wir nun in die Formel für die Flugweite des Gummis anstelle von β ein:

\begin{equation}
\frac{1}{\beta} \cdot \ln\left(1 + \beta \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta(U)} \cdot \ln\left(1 + \beta(U) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)} \cdot \ln\left(1 + \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

Dies ist die Endformel, wenn der Abschusswinkel nicht berücksichtigt wird. Eine Luftreibung für die Rotation wird vernachlässigt, da diese irrelevant gering ist.

'=== Miteinbeziehuhng des Abschusswinkels: ===

[[Datei:Bild 2024-06-03 211542546.png|mini]]

Wie sich die Distanz unter einem Abschusswinkel verändert, lässt sich durch Trigonometrie und einer Veränderung des Terms für die Fallzeit T erfassen.

Um dies zu machen, kann die Anfangsgeschwindigkeit nicht mehr als Absolut betrachtet werden, stattdessen muss die Richtung beachtet werden.

Gegeben ist die Anfangsgeschwindigkeit V0, es gilt folgendes:

\begin{equation}
V_h = \sin(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

\begin{equation}
V_d = \cos(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

Dies sind die Geschwindigkeiten, mit denen sich das Gummi in die jeweiligen Richtungen bewegt. Da das Gummi jetzt nach oben geschossen wird, muss auch die Fall/Flugzeit neu berechnet werden. Diese wird in 2 Teile Zerlegt:

# Die Zeit, nach welcher Vh bei 0 liegt
# Die Zeit, welche das Gummi nun braucht um die nach 1. erreichte höhe wieder runterzufallen.

Berechnen wir nun erstens:

Gegeben sei Folgende Formel für V(t) unter einem Luftwiderstand:

\begin{equation}
v(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t}
\end{equation}

Übertragen auf diesen Term, sieht sie so aus:

\begin{equation}
vh(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

Der neue Term, welcher subtrahieret wird beschreibt die Gravitationskraft.
Nun wird der Term 0 gesetzt und nach t1 aufgelöst:
\begin{equation}
0 = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_1 = -\frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} + \sqrt{\left( \frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3}}
\end{equation}</nowiki>

Mit der Zeit t1, können wir jetzt mithilfe der untenstehenden Formel berechnen, wie hoch das Gummi hierbei gekommen ist.

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln(1 + \beta3 \cdot V0 \cdot t)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h
\end{equation}

Jetzt berechnen wir die Zeit, welches das Gummi zum herunterfallen benötigt, mithilfe dieser Formel:

<nowiki>\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}
\end{equation}.
Wir setzen ein:
\begin{equation}
t_2 = \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

\begin{equation}
t_{ges} = t_1 + t_2
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_{ges} = \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) + \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

Nun muss nur noch '''alles''' in die eigentliche Formel für die Distanz eingesetzt werden:

\usepackage{amsmath}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(t)} \ln \left( 1 + \beta(t) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot V_0 \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 V_h \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_h \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 V_{h0} \left( -\frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}

D(U) = \frac{1}{\beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right)} \ln \left( 1 + \beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)}

\end{equation}

Oben steht die Finale Formel, jedoch übersteigt dessen länge anscheinend die Kapazität, jedoch kann man hier den Code kopieren. In ihr ist alles berücksichtigt, außer der Luftwiderstand des Falles, da dies Simulationen zufolge einen unter 1% Fehler ergeben hat.

In die letzte oben abgebildete Gleichung müsste nur noch die β(U) Funktion eingesetzt werden. Sie kann Theoretisch die Flugdistanz des Gummis vorhersagen

Um jetzt das Ideale U zu finden, für welches das Gummi am weitesten fliegt, müsste man diese Funktion ableiten und 0 setzen. Dies wäre hier jetzt aber viel zu über kompliziert. D.h. lassen wir dies jetzt sein. Für einen Abschusswinkel von 0, für welchen eine simplere Formel gilt, konnten wir dies jedoch durchführen mithilfe eines Programms.

Um auch den idealen Schuss-Winkel zusammen mit dem Spin zu bestimmen, sollte man idealerweise ein Programm nutzen, da der Theoretische Aufwand hierfür sonst zu groß wäre.

'''Theoretische Ergebnisse'''

Für einen Abschusswinkel von 0 haben wir mithilfe von Excel einen Graphen erstellt, von D(Vrot)
[[Datei:Screenshot 2024-05-02 065703.png|mini|665x665px]]
Auf der X-Achse ist Vrot in m/s abgebildet, auf der Y-Achse die Flugweite in m. Man sieht hier, dass es ein Ideales U gibt, für welches die Distanz am höchsten ist. Es sagt auch vorher, dass die Ideale Rotationsgeschwindigkeit bei ungefähr 30m/s liegt.

Dieser Graph entstand für ein Blaues Gummi, welches auf 14,9cm gespannt wurde.

Darunter nochmals über dem Spin U aufgetragen.

[[Datei:Screenshot 2024-06-05 212328.png|mini|665x665px]]

'''Magnus Effekt'''

Der Magnus Effekt ist eine Kraft, welche auf das Gummi wird, wenn es sich dreht. Diese Kraft bewegt das Gummi senkrecht von der Flugrichtung zur Seite. Hierzu könnte ich jetzt auch sehr viel schreiben, jedoch ist dies überflüssig, da es für unser Szenario nicht relevant genug ist, und daher kaum bis garkeinen Einfluss auf unsere Messungen hatte, da unsere Messapparatur zu ungenau ist und daher auch alles unnötig komplizierter machen würde. Man sollte dessen Existenz jedoch trotzdem im Hinterkopf behalten, da es für eine Tiefgründigere Theorie relevant wäre.

==Aufbau==

Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

'''Mach mal doch diesen Aufbau mit den Betawerten rein'''

==Daten und Vergleich==

===Federkonstante===

In Bezug auf die Federkonstante haben wir mit dem Aufbau (1) für ein blaues Gummi folgende Daten aufgenommen:

[[Datei:Bild 2024-06-04 204510250.png|rahmenlos|500x500px]]

Jede Punktfarbe ist ein Datensatz. Um hierdraus die Federfunktion zu bestimmen, werden wir jeweils eine Ausgleichs Gerade durch die Punkte legen und von diesen dann den Durchschnitt errechnen.

[[Datei:Bild 2024-06-04 205525100.png|rahmenlos|980x980px]]

Blau1(L)=0.49*L

Blau2(L)=0.69*L-1.1

Blau3(L)=0.48*L-0.42

'''Blau(L)=0.553*L-0.5'''

Hier ist Grün:

[[Datei:Bild 2024-06-04 212343246.png|rahmenlos|815x815px]]

Grün1(L)=0.88*L-1.27

Grün2(L)=0.74*L-1.46

Grün3(L)=0.57*L

'''Grün'''(L)= 0.73*L-9.91

===Beta-Werte Messungen===

Mit dem Aufbau für die Beta-Messungen haben wir folgende Messergebnisse erzielen können:

Für Beta 1 und Beta2 haben wir jeweils 2 Geschwindigkeiten gemessen, welche wir dann in Beta-Werte umgerechnet haben. Wir haben von den Geschwindigkeiten auch den Durchschnitt berechnet und haben dessen Beta-Wert verwendet.

'''Beta 1:'''

V1=7,8m/s β=0,161/m

V2=8m/s β=0,153/m

'''Vd=7,9m/s β=0,157'''

'''Beta2'''

V1=6,3m/s β=0,247

V2=5,9m/s β=0,282

'''Vd=6,1m/s β=0,264'''

===Flugdistanz Messungen===

Im folgenden unsere Messungen für die Flugdistanz eines Gummis:

Parameter:

Federfunktion: 0.553*L-0.5

Masse: 0.4g/0.0004Kg

Höhe: 0.78m

Vmin: 24m/s

a: 0

Abschusswinkel: 0°
[[Datei:Bild 2024-06-06 192748434.png|mini|443x443px|Messwerte mit Fehlerbalken]]
L: 0,099m
Rechts stehend befinden sich unsere Messwerte. Auch wenn die Parameter, unter denen dieses Gummi geschossen wurden anders sind als die, vom Idealen Graphen, so weisen sie doch Gemeinsamkeiten auf. Zum Beispiel hat man hier die These bestätigt, dass es ein Ideales U gibt und in welcher Größenordnung das Ideale U in der Regel liegt (für fast alle realistischen Parameter im niedrigen einstelligen Bereich.

Die Fehlerbalken basieren auf der Durchschnittlichen Abweichung zum Mittelwert der einzelnen Datenreihen. Die Fehlerbalken sind dann dessen Durchschnitt.

Hier rechts der direkte Vergleich. In blau ist der Theoretisch vorhergesagte Graph für die entsprechenden Parameter, in Orange mit Fehlerbalken unsere Messungen. Wie man sehen kann, passt das Theoretisch vorhergesagte Ergebnis relativ gut zum eigentlichen Ergebnis, auch wenn es Teilweise etwas knapp ist.

Der Theoretische Graph sagt voraus, dass das Gummi für einen Spin von U=2,6 am weitesten fliegt, was auch in etwa zu den Messungen passt.
[[Datei:Screenshot 2024-06-08 120216.png|mini|445x445px|Messwerte mit Theoretischen Graph von durchschnittlichen Betas]]
Zwar berücksichtigt die Theorie nicht die Tatsache, dass das Überschlagen selbst des Gummis auch an Geschwindigkeit verliert, jedoch weist die Tatsache, dass die gemessenen Beta-Werte trotzdem passen darauf hin, dass dies nur sekundär ist. Würde man dies berücksichtigen, so wäre der Graph vor Vmin etwas tiefer gelegen. Die Differenz zwischen dem neuen Theoretischen Graphen und dem Alten würde vermutlich eine Exponentialfunktion, welche ab Vmin bei 0 läge und in negative X-Richtung gehend exponentiell größer werden würde.

[[Datei:Screenshot 2024-06-08 164137.png|mini|451x451px|Hier mit allen Beta-Kombinationen und Durchschnitt]]

==Fazit==
Zusammenfassend können wir sagen, dass es möglich ist, die Entfernung eines ungleich gespannten Gummis zu bestimmen. Daraus ist es natürlich möglich, ein optimales Verhältnis für eine möglichst weite Distanz zu bekommen. Bei Versuchen haben wir ebenfalls eine maximale Distanz bekommen. Diese liegt bei ca 2,25 cm Längendifferenz zwischen den Seiten. Aber wir konnten kein genaues Maximum bestimmen, da wir

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge==

Wir haben dieses Jahr an der regionalen Runde des GYPT teilgenommen. Eine Teilnahme bei Jugend Forscht konnte leider nicht erfolgen. Grund hierfür war ein Problem bei der Anmeldung.

==Quellen==

*https://www.gypt.org/aufgaben/04-shooting-rubber-band.html

Gummiband

2024-06-09T19:26:09Z

EmilP: /* Flugphasen */

==Thema==
Ein Gummiband kann eine längere Strecke fliegen, wenn es beim Schuss ungleichmäßig gestreckt wird, wodurch es sich während des Fluges dreht. Wir sollen die Distanz, welche ein Gummiband mit Spin zurücklegen kann, optimieren, sodass die Distanz möglichst groß ist. Unter der Distanz verstehen wir hier die Distanz vom Punkt, wo das Gummiband los geschossen wurde zum Ausgangspunkt, wo das Gummi landet. Wir meinen damit nicht die Flugbahn, da diese zu schwer zu messen wäre. Zudem wird das Gummi immer parallel zum Boden geschossen, da wir uns auf den Spin fokussieren.

Dieser Versuch hat mit Kräften und Luftwiderstand zutun. Daraus schließend ist dieses Projekt Teil des Themenfeldes Mechanik.

'''Grundlegende Erklärung'''

Wenn man einem Gummiband Spin gibt (beide Seiten ungleichmäßig streckt), so fängt es an, im Flug zu rotieren. Durch diese Rotation tritt ein Effekt ein, welcher dafür sorgt, dass das Gummi in einer stabilen Position fliegt, da durch diese Stabilität Störungen das Gummi weniger stark beim Flug beeinflussen.

Diese Position, in die sich das Gummi begibt, minimiert ebenfalls die Angriffsfläche für die Luft beim Flug, wodurch der Luftwiderstand bedeutend reduziert wird.
==Parameter==
Zunächst einmal fangen wir mit den relevanten Parametern an, die das Phänomen allgemein beeinflussen:

-Die Federfunktion L*n+b des Gummis

-Die Abschusshöhe des Gummis über dem Boden h

-Der Winkel φ, in dem das Gummi in die Luft geschossen wird

-Der Radius des Gummis r

-Die Dicke des Gummis rh

-Die Masse des Gummis m

-Die minimale Rotationsgeschwindigkeit für einen Stabilen Flug Vmin

-2-Fache Längendifferenz zwischen den einzelnen Seiten(Spin) U

-Optische Längendifferenz zur Ausgangslage U

-Die Luftwiderstandsbeiwerte Cw2 und Cw3

Die relevanten Konstanten sind:

-Luftdichte P

-Erdbeschleunigung g

===Flugphasen===

== Theorie ==
===Energiebetrachtung===

Um diesen Effekt zu untersuchen, werden wir über eine Energiebetrachtung gehen. Daher müssen wir zunächst einmal die potentielle Energie bestimmen, welche im Gummi vorliegt im gestreckten Zustand.

Hierfür muss erstmal der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung des Gummis und der Kraft, welche auf das Gummi ausgewirkt wird ermittelt werden.

Der Ideale Graph für diesen Zusammenhang ist folgender:

[[Datei:Screenshot 2024-04-30 224311.png|rahmenlos|alternativtext=.|.]]

Hier lässt sich schnell erkennen, dass das Hooksche Gesetz hier nichtzutreffend ist, da der Zusammenhang nicht linear ist.
Daher wird der Zusammenhang zwischen der Längenausdehnung und der daraus resultierenden Kraft in der Form F=ΔL*m+b dargestellt.
Um die Werte von n und k zu bestimmen, werden versuche durchgeführt (Mehr dazu im Versuch-Abschnitt). Dieser Term wird den Linearen Abschnitt annähern.

Ein Gummi ist von den Physikalischen Eigenschaften her sehr Feder-ähnlich.

Die gespeicherte potentielle Energie in einer Feder wird durch den Folgenden Ausdruck beschrieben:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 103837.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck basiert auf dem Hookschen Gesetz, nach welchem die Kraft F durch eine Längenänderung von K*L verursacht wird. L ist hier die Längenänderung.

Da dieses Gummi aber nicht sehr zutreffend durch das Hooksche Gesetz beschrieben werden kann (siehe oben), muss ein neuer Term für die Energie gefunden werden, welcher auf dem oben definierten Term für den Zusammenhang zwischen der Kraft F und der Längenausdehnung L.

Um dies herauszufinden, können folgende Schritte durchgeführt werden:

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104633.png|rahmenlos]]

Dieser Ausdruck beschreibt die Energie eines gleichförmig gestreckten Gummis. In unserem Projekt, wird das Gummi jedoch ungleichmäßig gestreckt. Daher wird die Energie der Einzelnen Seiten addiert, wobei eine Seite L+U lang ist, die andere Seite L-U. Da wir hier die einzelnen Seiten betrachten, müssen alle Terme jeweils halbiert werden.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 104919.png|rahmenlos|529x529px]]

Dies ist die potentielle Energie, welche sich im gespannten Gummi befindet. Wird dieses nun losgelassen, wird diese Energie in Kinetische Energie umgewandelt.

Diese Energie verteilt sich auf die Schussenergie Eschuss und die Rotationsenergie Erot. Die Schussenergie ist hierbei also die Energie, welche für das vorwärts-schießen verantwortlich ist und Erot die Energie, welche für die Rotation verantwortlich ist.

Beide Seiten des Gummis haben eine bestimmte Energie menge. Die Schuss-Energie ist hier die Energie, welche beide Seiten gemeinsam haben, d.h. 2 mal die Energie, welche in der kürzeren Seite vorliegt.

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105648.png|alternativtext=.|rahmenlos]]

Nun fehlt nur noch die Rotationsenergie, welche die Differenz der Gesamtenergie und der Schussenergie ist (Energieerhaltung):

[[Datei:Screenshot 2024-06-02 105736.png|rahmenlos|508x508px]]

Aus diesen Energien können nun die Geschwindigkeiten berechnet werden. Für die Rotationsgeschwindigkeit gilt:

[[Datei:Bild 2024-06-05 155647289.png|rahmenlos|340x340px]]

<nowiki>\begin{equation}
\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}} = V_{rot}
\end{equation}</nowiki>

Auch die Anfangsgeschwindigkeit des Gummis beim Flug kann durch die beteiligte Energie berechnet werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162520727.png|rahmenlos|295x295px]]

===Flug kein Luftwiderstand===

[[Datei:Bild 2024-06-02 114333231.png|rechts|rahmenlos|541x541px]]
Links befindet sich eine Grobe Skizze der Flugbahn des Gummis.

Zunächst einmal muss die Fallzeit bestimmt werden, nach welcher das Gummi auf den Boden auftrifft.

Das Gummi wird durch die Erdanziehungskraft auf den Boden gezogen. Bis es auf den Boden auftrifft, muss es die Höhe h zurücklegen.

Wir können den Zusammenhang zwischen der Zeit und den obigen Größen durch die allgemeine Weg-Beschleunigung Formel ausdrücken, wobei die Beschleunigung a die Erdbeschleunigung g ist.

[[Datei:Bild 2024-06-02 115312156.png|rahmenlos|405x405px]]

Das Gummi würde nun t Sekunden lang mit V0 fliegen, d.h. wäre die zurückgelegte Distanz

[[Datei:Bild 2024-06-05 162742163.png|rahmenlos|355x355px]]

Dies berücksichtigt zwar nicht den Luftwiderstand, jedoch wird im Folgenden mit dieser Basis gearbeitet.

=== Luftwiderstand ===

Die allgemeine Formel für die Luftwiderstandskraft ist

[[Datei:Bild 2024-06-05 161328876.png|rahmenlos|458x458px]]

Im folgenden wird eine Funktion V(t) gesucht:

[[Datei:Bild 2024-06-05 161533534.png|rahmenlos]]

Diese Funktion beschreibt die Geschwindigkeit über die Zeit durch den Geschwindigkeitsverlust durch den Luftwiderstand.

Um nun auf die Distanz zu kommen, muss diese Funktion nach der Zeit t integriert werden. T ist hier nur eine Hilfsvariable.

[[Datei:Bild 2024-06-02 122816276.png|rahmenlos|231x231px]]

Diese Formel beschreibt die zurückgelegte Distanz eines Gummis mit den beinhalteten Größen.

Nun können die bereits bekannten Terme für t und V0 eingesetzt werden:

[[Datei:Bild 2024-06-05 162957296.png|rahmenlos|408x408px]]

Der Luftwiderstand von der Fallbewegung des Gummis wird hier vernachlässigt, da es, eigenen Simulationen zufolge, selbst mit einem unrealistisch großem Luftwiderstand einer Abweichung von unter 0.5% unterliegt. Beim Miteinbeziehen des Abschusswinkels wird dies jedoch geändert werden müssen.

'''Veränderung des Luftwiderstandsbeiwertes'''

Rotiert das Gummi schneller, so fliegt es stabiler und reduziert die Angriffsfläche für die Luft weiter. Rotiert es langsamer, rotiert es Chaotisch und die Angriffsfläche für die Luft vergrößert sich signifikant.

Wir vermuten, dass dieser Zusammenhang abfallend exponentiell ist, d.h. wirken niedrige Rotationsgeschwindigkeiten effizienter, als hohe im Bezug auf die Energie, welche in sie reingesteckt wurde und der Auswirkung auf die Flugweite des Gummis. Diesen Zusammenhang wollen wir durch eine Funktion β(t) festhalten:

[[Datei:Bild 2024-06-02 183715904.png|rahmenlos]]

Dies ist eine allgemeine Exponentialfunktion. Sie wird vorerst von Vrot abhängig gemacht, um die Terme kürzer zu machen. Es wird später wieder eingesetzt. β1 markiert hier das Minimum, an das sich die Funktion annähert.

[[Datei:Bild 2024-06-02 184600363.png|rahmenlos|663x663px]]

Dies können wir nun für f einsetzen.

Jetzt setzen wir Vrot auf Vmin. Diesem Wert wird definitionsgemäß β1 zugeordnet:
\begin{equation}
\beta(V_{min}) = \beta_1 = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{n \cdot V_{min}}
\end{equation}

Dies formen wir nun nach n um und setzen dies dann wieder in die ursprüngliche Funktion ein und fassen zusammen:

\begin{equation}
n = \ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{1}{V_{min}}
\end{equation}
\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = a \cdot \beta_1 + (\beta_2 - a \cdot \beta_1) \cdot e^{\left(\ln\left(\frac{\beta_1 \cdot (1 - a)}{\beta_2 - a \cdot \beta_1}\right) \cdot \frac{V_{rot}}{V_{min}}\right)}
\end{equation}

Jetzt kann man folgende Eigenschaft einer Exponentialfunktion nutzen:

[[Datei:Bild 2024-06-02 185231881.png|rahmenlos]]

Hierfür müssen natürlich beide β-Werte bekannt sein, jedoch vereinfacht es die Gleichung auf jeden fall, wenn man es für β2 einsetzt:

\begin{equation}
\beta(V_{rot}) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{V_{rot}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Nun muss nur noch für Vrot eingesetzt werden, um die Funktion wieder abhängig von U zu machen:

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{m}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

Dies ist die fertige Funktion für Beta. Die Beta Werte werden durch ein Programm so gewählt, dass die Theoretischen Messwerte mit echten Messwerten übereinstimmen. Daher bezieht sie auch andere Arten von Energieverlusten mit ein.

Dies setzen wir nun in die Formel für die Flugweite des Gummis anstelle von β ein:

\begin{equation}
\frac{1}{\beta} \cdot \ln\left(1 + \beta \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\beta(U) = \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta(U)} \cdot \ln\left(1 + \beta(U) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{1}{\beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right)} \cdot \ln\left(1 + \beta_1 \cdot \left( a + (b - a) \cdot \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot (b \cdot U + L \cdot m \cdot U)}{M}}}{V_{min}}} \right) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot (L - U)^2 + 2 \cdot b \cdot (L - U)}{M}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\right)
\end{equation}

Dies ist die Endformel, wenn der Abschusswinkel nicht berücksichtigt wird. Eine Luftreibung für die Rotation wird vernachlässigt, da diese irrelevant gering ist.

'=== Miteinbeziehuhng des Abschusswinkels: ===

[[Datei:Bild 2024-06-03 211542546.png|mini]]

Wie sich die Distanz unter einem Abschusswinkel verändert, lässt sich durch Trigonometrie und einer Veränderung des Terms für die Fallzeit T erfassen.

Um dies zu machen, kann die Anfangsgeschwindigkeit nicht mehr als Absolut betrachtet werden, stattdessen muss die Richtung beachtet werden.

Gegeben ist die Anfangsgeschwindigkeit V0, es gilt folgendes:

\begin{equation}
V_h = \sin(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

\begin{equation}
V_d = \cos(\varphi) \cdot V_0
\end{equation}

Dies sind die Geschwindigkeiten, mit denen sich das Gummi in die jeweiligen Richtungen bewegt. Da das Gummi jetzt nach oben geschossen wird, muss auch die Fall/Flugzeit neu berechnet werden. Diese wird in 2 Teile Zerlegt:

# Die Zeit, nach welcher Vh bei 0 liegt
# Die Zeit, welche das Gummi nun braucht um die nach 1. erreichte höhe wieder runterzufallen.

Berechnen wir nun erstens:

Gegeben sei Folgende Formel für V(t) unter einem Luftwiderstand:

\begin{equation}
v(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t}
\end{equation}

Übertragen auf diesen Term, sieht sie so aus:

\begin{equation}
vh(t) = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

Der neue Term, welcher subtrahieret wird beschreibt die Gravitationskraft.
Nun wird der Term 0 gesetzt und nach t1 aufgelöst:
\begin{equation}
0 = \frac{1}{\frac{1}{V_h} + \beta3 \cdot t_1} - 9.81 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_1
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_1 = -\frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} + \sqrt{\left( \frac{1}{2 \cdot V_h \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3}}
\end{equation}</nowiki>

Mit der Zeit t1, können wir jetzt mithilfe der untenstehenden Formel berechnen, wie hoch das Gummi hierbei gekommen ist.

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln(1 + \beta3 \cdot V0 \cdot t)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h
\end{equation}

Jetzt berechnen wir die Zeit, welches das Gummi zum herunterfallen benötigt, mithilfe dieser Formel:

<nowiki>\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}
\end{equation}.
Wir setzen ein:
\begin{equation}
t_2 = \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

\begin{equation}
t_{ges} = t_1 + t_2
\end{equation}

<nowiki>\begin{equation}
t_{ges} = \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) + \sqrt{\frac{2 \left( \frac{1}{\beta3} \ln \left( 1 + \beta3 \cdot Vh0 \cdot \left( -\frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \cdot Vh0 \cdot \beta3} \right)^2 + \frac{1}{g \cdot \beta3} } \right) \right) + h \right)}{g}}
\end{equation}</nowiki>

Nun muss nur noch '''alles''' in die eigentliche Formel für die Distanz eingesetzt werden:

\usepackage{amsmath}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(t)} \ln \left( 1 + \beta(t) \cdot V_d \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot V_0 \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \cdot t \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \cdot \left( \cos(\phi) \cdot \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 V_h \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_h \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 V_{h0} \left( -\frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 V_{h0} \beta_3} \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}
D(U) = \frac{1}{\beta(U)} \ln \left( 1 + \beta(U) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} \cdot 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)
\end{equation}

\begin{equation}

D(U) = \frac{1}{\beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right)} \ln \left( 1 + \beta_1 \left( a + (b - a) \left( \frac{1 - a}{b - a} \right)^{ \frac{\sqrt{ \frac{2 (b U + L m U)}{M} }}{V_{min}} } \right) \left( \cos(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \right) \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + \sqrt{ \frac{2 \left( \frac{1}{\beta_3} \ln \left( 1 + \beta_3 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \left( -\frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } + \sqrt{ \left( \frac{1}{2 \sin(\phi) \sqrt{ \frac{m (L - U)^2 + 2 b (L - U)}{M} } \beta_3 } \right)^2 + \frac{1}{g \beta} 3 } \right) + h \right) \right)}{g} } \right)}

\end{equation}

Oben steht die Finale Formel, jedoch übersteigt dessen länge anscheinend die Kapazität, jedoch kann man hier den Code kopieren. In ihr ist alles berücksichtigt, außer der Luftwiderstand des Falles, da dies Simulationen zufolge einen unter 1% Fehler ergeben hat.

In die letzte oben abgebildete Gleichung müsste nur noch die β(U) Funktion eingesetzt werden. Sie kann Theoretisch die Flugdistanz des Gummis vorhersagen

Um jetzt das Ideale U zu finden, für welches das Gummi am weitesten fliegt, müsste man diese Funktion ableiten und 0 setzen. Dies wäre hier jetzt aber viel zu über kompliziert. D.h. lassen wir dies jetzt sein. Für einen Abschusswinkel von 0, für welchen eine simplere Formel gilt, konnten wir dies jedoch durchführen mithilfe eines Programms.

Um auch den idealen Schuss-Winkel zusammen mit dem Spin zu bestimmen, sollte man idealerweise ein Programm nutzen, da der Theoretische Aufwand hierfür sonst zu groß wäre.

'''Theoretische Ergebnisse'''

Für einen Abschusswinkel von 0 haben wir mithilfe von Excel einen Graphen erstellt, von D(Vrot)
[[Datei:Screenshot 2024-05-02 065703.png|mini|665x665px]]
Auf der X-Achse ist Vrot in m/s abgebildet, auf der Y-Achse die Flugweite in m. Man sieht hier, dass es ein Ideales U gibt, für welches die Distanz am höchsten ist. Es sagt auch vorher, dass die Ideale Rotationsgeschwindigkeit bei ungefähr 30m/s liegt.

Dieser Graph entstand für ein Blaues Gummi, welches auf 14,9cm gespannt wurde.

Darunter nochmals über dem Spin U aufgetragen.

[[Datei:Screenshot 2024-06-05 212328.png|mini|665x665px]]

'''Magnus Effekt'''

Der Magnus Effekt ist eine Kraft, welche auf das Gummi wird, wenn es sich dreht. Diese Kraft bewegt das Gummi senkrecht von der Flugrichtung zur Seite. Hierzu könnte ich jetzt auch sehr viel schreiben, jedoch ist dies überflüssig, da es für unser Szenario nicht relevant genug ist, und daher kaum bis garkeinen Einfluss auf unsere Messungen hatte, da unsere Messapparatur zu ungenau ist und daher auch alles unnötig komplizierter machen würde. Man sollte dessen Existenz jedoch trotzdem im Hinterkopf behalten, da es für eine Tiefgründigere Theorie relevant wäre.

==Aufbau==

Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

'''Mach mal doch diesen Aufbau mit den Betawerten rein'''

==Daten und Vergleich==

===Federkonstante===

In Bezug auf die Federkonstante haben wir mit dem Aufbau (1) für ein blaues Gummi folgende Daten aufgenommen:

[[Datei:Bild 2024-06-04 204510250.png|rahmenlos|500x500px]]

Jede Punktfarbe ist ein Datensatz. Um hierdraus die Federfunktion zu bestimmen, werden wir jeweils eine Ausgleichs Gerade durch die Punkte legen und von diesen dann den Durchschnitt errechnen.

[[Datei:Bild 2024-06-04 205525100.png|rahmenlos|980x980px]]

Blau1(L)=0.49*L

Blau2(L)=0.69*L-1.1

Blau3(L)=0.48*L-0.42

'''Blau(L)=0.553*L-0.5'''

Hier ist Grün:

[[Datei:Bild 2024-06-04 212343246.png|rahmenlos|815x815px]]

Grün1(L)=0.88*L-1.27

Grün2(L)=0.74*L-1.46

Grün3(L)=0.57*L

'''Grün'''(L)= 0.73*L-9.91

===Beta-Werte Messungen===

Mit dem Aufbau für die Beta-Messungen haben wir folgende Messergebnisse erzielen können:

Für Beta 1 und Beta2 haben wir jeweils 2 Geschwindigkeiten gemessen, welche wir dann in Beta-Werte umgerechnet haben. Wir haben von den Geschwindigkeiten auch den Durchschnitt berechnet und haben dessen Beta-Wert verwendet.

'''Beta 1:'''

V1=7,8m/s β=0,161/m

V2=8m/s β=0,153/m

'''Vd=7,9m/s β=0,157'''

'''Beta2'''

V1=6,3m/s β=0,247

V2=5,9m/s β=0,282

'''Vd=6,1m/s β=0,264'''

===Flugdistanz Messungen===

Im folgenden unsere Messungen für die Flugdistanz eines Gummis:

Parameter:

Federfunktion: 0.553*L-0.5

Masse: 0.4g/0.0004Kg

Höhe: 0.78m

Vmin: 24m/s

a: 0

Abschusswinkel: 0°
[[Datei:Bild 2024-06-06 192748434.png|mini|443x443px|Messwerte mit Fehlerbalken]]
L: 0,099m
Rechts stehend befinden sich unsere Messwerte. Auch wenn die Parameter, unter denen dieses Gummi geschossen wurden anders sind als die, vom Idealen Graphen, so weisen sie doch Gemeinsamkeiten auf. Zum Beispiel hat man hier die These bestätigt, dass es ein Ideales U gibt und in welcher Größenordnung das Ideale U in der Regel liegt (für fast alle realistischen Parameter im niedrigen einstelligen Bereich.

Die Fehlerbalken basieren auf der Durchschnittlichen Abweichung zum Mittelwert der einzelnen Datenreihen. Die Fehlerbalken sind dann dessen Durchschnitt.

Hier rechts der direkte Vergleich. In blau ist der Theoretisch vorhergesagte Graph für die entsprechenden Parameter, in Orange mit Fehlerbalken unsere Messungen. Wie man sehen kann, passt das Theoretisch vorhergesagte Ergebnis relativ gut zum eigentlichen Ergebnis, auch wenn es Teilweise etwas knapp ist.

Der Theoretische Graph sagt voraus, dass das Gummi für einen Spin von U=2,6 am weitesten fliegt, was auch in etwa zu den Messungen passt.
[[Datei:Screenshot 2024-06-08 120216.png|mini|445x445px|Messwerte mit Theoretischen Graph von durchschnittlichen Betas]]
Zwar berücksichtigt die Theorie nicht die Tatsache, dass das Überschlagen selbst des Gummis auch an Geschwindigkeit verliert, jedoch weist die Tatsache, dass die gemessenen Beta-Werte trotzdem passen darauf hin, dass dies nur sekundär ist. Würde man dies berücksichtigen, so wäre der Graph vor Vmin etwas tiefer gelegen. Die Differenz zwischen dem neuen Theoretischen Graphen und dem Alten würde vermutlich eine Exponentialfunktion, welche ab Vmin bei 0 läge und in negative X-Richtung gehend exponentiell größer werden würde.

[[Datei:Screenshot 2024-06-08 164137.png|mini|451x451px|Hier mit allen Beta-Kombinationen und Durchschnitt]]

==Fazit==
Zusammenfassend können wir sagen, dass es möglich ist, die Entfernung eines ungleich gespannten Gummis zu bestimmen. Daraus ist es natürlich möglich, ein optimales Verhältnis für eine möglichst weite Distanz zu bekommen.

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge==

Wir haben dieses Jahr an der regionalen Runde des GYPT teilgenommen. Eine Teilnahme bei Jugend Forscht konnte leider nicht erfolgen. Grund hierfür war ein Problem bei der Anmeldung.

==Quellen==

*https://www.gypt.org/aufgaben/04-shooting-rubber-band.html