https://phyxz.herder-oberschule.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Fabian+Schmitt+%28Sch%C3%BCler%2Ain%29 2026-04-06T19:44:19Z Benutzerbeiträge MediaWiki 1.37.2 https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=How_to_GYPT&diff=874 2023-05-13T13:45:02Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Generelles */</p> <hr /> <div>Seit jeher fragen sich angehende Jungforschende, die einzig relevante Frage: '''How to [[GYPT]]?''' Wir, Fabian Schmitt und Robin Schulze-Tammena, haben uns dieser Aufgabe verschrieben und wollen deshalb mit diesem Artikel mehr und weniger ernst gemeinte Tipps geben.<br /> <br /> == Generelles ==<br /> Die Gruppenfindung am Anfang des Schuljahres ist dein erster Schritt in die Richtung einer erfolgreichen GYPT-Teilnahme. Sorge dafür, dass in deinem Team zwischen 2 und 3 Personen sind und ihr beide gut zusammenarbeiten könnt, denn die Teamarbeit wird ein Jahr lang dauern und ihr wollt nicht ein komplett anderes Mindset als eure Mitarbeitenden besitzen.<br /> <br /> == Projektwahl ==<br /> Die Projektwahl ist der erste Schritt, um am GYPT teilzunehmen. Dazu muss man einfach nur eins der 17 vorgeschlagenen Projekte auswählen und anfangen, es zu bearbeiten? Nein. Die Projektauswahl ist extrem wichtig, denn davon hängt dein '''gesamtes restliches Jahr''' ab. Wenn ihr ein &quot;falsches&quot; Projekt auswählt, werdet ihr das gesamte Jahr lang unglücklich sein. Und so übertrieben es klingt, es ist wahr. <br /> <br /> ==== Vorbereitung ====<br /> Um das richtige Projekt zu wählen solltet ihr als Erstes versuchen, das Phänomen zu reproduzieren. Dies ist essenziell, denn ihr könnt es euch zeitlich nicht leisten, länger als 2-3 Termine darauf zu vergeuden, den Aufbau zu reproduzieren. Wenn die Reproduktion des Phänomens gelungen ist, sollte man sich Gedanken darüber machen, wie man den Aufbau perfektionieren bzw. reproduzierbar machen kann. Wenn ihr eine Idee dafür habt, dann ist dies optimal.<br /> <br /> Als Zweites sollte man sich die Theorie ansehen, die euch auf der [https://www.gypt.org/aufgaben.html GYPT-Homepage] gegeben wird, und versuchen, die Grundlegende Erklärung des Effektes zu verstehen. Wenn ihr das Thema niemals verstehen werdet, dann lohnt es sich nicht dieses Projekt zu bearbeiten. Jedoch besitzt fast jedes Projekt eine große Herausforderung in dem theoretischen Teil und man darf nicht zu schnell aufgeben, denn jedes Projekt muss erarbeitet werden.<br /> <br /> ==== Präferenzen ====<br /> Jeder besitzt für physikalische Projekte seine Vorzüge. Manche Menschen mögen das oft experimentelle Fluiddynamik, andere eher die Theorielastige Kinematik. Es ist wichtig, dass ihr euch als Vorbereitung auf die Projektwahl bewusst macht, welche Präferenzen ihr besitzt, und dementsprechend die Projekte eingrenzen könnt. Hier sind häufige Eigenschaften von den Projekttypen: <br /> <br /> * '''Sand:''' Bitte tut euch das nicht an. Niemals. Die Experimente sind fast immer aufwendig und die Theorie dazu wollt ihr nicht machen. <br /> * '''Sound:''' Wenn ihr das macht, werdet ihr von jeder Person im Kurs gehasst werden (und ihr euch für die Entscheidung vielleicht auch dann irgendwann), doch abgesehen von der offensichtlichen Nervigkeit sind Messwertaufnahme, Theorie und Experimente oft sehr gut realisierbar. <br /> * '''Mechanikprojekte:''' Mechanikprobleme bieten das Potential, vollständig bearbeitet werden zu können, was das Ziel von jeder Bearbeitung ist und in saftigen Theoriekeulen resultiert. Leider ist dies oft mit großen theoretischen Hürden verbunden und die Experimente können von gut machbar zu sehr schwer auswertbar variieren. Wenn ihr euch die Theorie zutraut und vielleicht eine automatische Messwertaufnahme erarbeitet habt, ist dies euer Projekt. <br /> * '''Optik:''' Optik ist theoretisch fast immer sehr einfach, doch die Experimente können aufwendig und die Messwertaufnahme schwierig werden, jedoch ist es meistens eine sehr gute Wahl für jeden. <br /> * '''Fluiddynamik:''' Tut euch die Experimente einfach nicht an, und dazu Theorie zu verstehen ist wirklich wirklich aufwendig. <br /> ** Generell sind Experimente mit zu viel Wasser nicht empfehlenswert. <br /> ** Oberflächenspannung ist wirklich kein nettes Thema, dazu Theorie aufzutreiben ist gottlos. <br /> * '''Elektrotechnik:''' Wenn man keinen Zugang zu der Elektronik hat dann kann man es direkt vergessen, doch an sich sehr machbar. <br /> * '''Kernphysik:''' kommt nicht dran, wäre aber bestimmt strahlend. <br /> * '''Zufallsexperimente:''' Wenn ihr keine Automatisierung des Zufallsversuches besitzt, dann wird es euch nicht zu Freude verhelfen. <br /> <br /> Ich hoffe, dass die Komplexität der Projektwahl nun jedem verständlich ist.<br /> <br /> == Projektbearbeitung ==<br /> Auch die Projektbearbeitung ist nicht so straight forward wie man es sich denken könnte und es gilt eine Menge zu beachten, um am Ende ein möglichst gutes Ergebnis und eine gelungene Bearbeitung zu besitzen.<br /> <br /> ==== Aufbau ====<br /> Früh einen reproduzierbaren und zuverlässigen Aufbau zu besitzen, der '''der Aufgabenstellung entspricht''' und bei dem Parametervariation möglich ist, ist eines der relevantesten Kriterien, da dadurch deine zukünftige Auswertung schneller möglich ist und du der Aufgabenstellung gerecht werden kannst mit deinem Aufbau. Der Aufbau ist als '''das Erste''', über das sich Gedanken gemacht werden sollte (nachdem man die Grundlegende Erklärung verstanden hat...). Wenn erkannt wird, dass Teile für den Aufbau fehlen, muss sich darüber Gedanken gemacht werden, wie man diese möglichst schnell (z.B. über Jugend Forscht Förderanträge) bekommen kann.<br /> <br /> ==== Messdatenaufnahme ====<br /> Messdatenaufnahme sowie alles Relevante sollte '''immer''' im Laborbuch festgehalten werden, es wird euch am Ende viele Nerven kosten, wenn ihr dies nicht ordentlich gemacht habt. Immer alle Parameter, Titel und Ergebnisse festhalten sowie Aufbauten beschreiben / Fotos machen. Ihr werdet '''niemals''' ein Objekt, mit dem ihr experimentiert habt, wegwerfen. Euer digitales Ablagesystem sollte ebenfalls geordnet sein (z.B. nach Datum oder variierten Parameter), diese Ordnung ist sehr wichtig. Nichts ist ärgerlicher als Verwechselungen von Messdatenreihen.<br /> <br /> ==== Theorie ====<br /> Das Wichtigste ist, dass ihr eure eigene Theorie versteht. Wenn dies nicht gegeben ist (und ihr die einfach nur aus einem Paper kopiert habt, ohne sie zu verstehen), dann wird dies auffallen und euer Eigenanteil angezweifelt werden. Das will man wirklich nicht. Wenn ihr dann auch noch zusätzlich zu einem Vergleich von Theorie und Messwerten die Theorie mit Simulationen vergleichen könnt seid ihr ganz weit vorne.<br /> <br /> == Vortrag ==<br /> Der Vortrag, den ihr im [[GYPT]] halten müsst, wird sich von jedem Vortrag unterscheiden, den ihr je gehalten habt. Relevant ist, dass ihr nach jedem Detail gefragt werden könnt, euch für alles rechtfertigen werden müsst und für alles angegriffen werden werdet. Ihr müsst beweisen, dass ihr euer Thema vollständig verstanden habt. Daher haben wir einige Tipps und Tricks für euch gesammelt, um den Vortrag möglichst gut zu machen:<br /> <br /> * '''Appendix:''' Der Appendix ist jene Sektion des Vortrages, die ihr nicht vorstellt, aber bei Nachfragen dann ggf. benutzen könnt, um zu zeiegn, dass auch dieser Fakt berücksichtigt wurde. Und als Einschüchterung sollte der Appendix möglichst groß sein (fügt einfach am Ende ein paar leere Seiten ein, wenn dann dort im Appendix noch 20 Seiten sind, wirkt das sehr beeindruckend).<br /> * '''Theorie-Keulen:''' Theorie Keulen sind sehr auf die Theorie fokussierte Vorträge mit wenigen Experimenten. Diese kommen in der Bundesrunde deutlich besser als reine Experimentierprojekte dran, trotzdem sollten unbedingt Experimente dabei sein.<br /> * '''Trinken:''' Trinken ist wirklich hilfreich und sollte von euch durchgeführt werden.<br /> * '''Folien:''' Auch wenn es schwierig sein kann, solltet ihr ca. 2 Folien pro Minute benutzen, deren Qualität hoch sein muss. Macht die Folien nicht zu voll, gebt Quellen an und nennt jeweils genutzte Parameter. Grafiken, Bilder, Darstellungen und Skizzen können und müssen in jeder Präsentation genutzt werden.<br /> * '''Personal Impression:''' Die Juroren werden euch dafür einen Punkt geben (bzw. abziehen), wie ihr euch verhaltet. Aggressives Verhalten wird oft negativ bewertet, also seid stets höflich und antwortet mit nicht zu vielen ausschweifen.<br /> * '''Zeitmanagement:''' Das Zeitmanagement ist wichtiger als bei vielen anderen Wettbewerben, zwischen 11:30 min und 12:00 min fertig zu werden ist wichtig und wird euch positiv angerechnet, also überlegt euch eine Strategie, wie ihr das durchführen könnt (oder übt halt öfter)<br /> * '''LaTeX:'''Wahre Gigachads nutzen LaTeX (Overleaf). Schöner kann es halt mit Powerpoint werden, und man kann die Formeln in Word mit LaTeX Syntax schreiben und in Powerpoint rüberkopieren.<br /> * '''Aufbau:''' Ein kohärenter Aufbau mit einem klar erkennbaren roten Faden ist '''ULTRA GEIL.''' Wenn ihr diesen nicht habt werdet ihr Abzüge erhalten.<br /> * '''Fluiddynamik:''' Falls ihr ein Fluiddynamikprojekt habt werdet ihr wahrscheinlich nach der Reynoldszahl gefragt werden, also baut dies in die Präsentation ein oder besitzt dafür eine Appendix-Folie.<br /> * '''Opposition:''' Wenn du merkst, dass dein Opponent keine Fragen hat, sei ehrenvoll und rede lange, damit zeigst du dein Wissen und Verständnis gefahrenfrei. Wenn jedoch der Opponent eine Frage ungenau stellt, tue so als hättest du die Frage nicht verstanden, das lässt den Opponenten schlecht darstehen (oder antworte auf eine andere Frage, damit dich dein Opponent unterbrechen muss und wirke dabei unschuldig).<br /> * '''[[Kraftvektoren]]:''' Die Chance das jemand überall korrekt die Kraftvektoren eingezeichnet hat, geht gegen null. Nochmal an die Tafel zeichnen lassen (dass ihr dann die 3 Eigenschaften von Kraftvektoren kennt ist aber essenziell).<br /> * '''Ende der Oppositionszeit:''' Wenn Opponent nur noch 1 halbe Minute Zeit hat, hol aus und rede möglichst lange, damit er sein Zeitlimit überschreitet. Dies wird dir als Vortragenden nicht negativ angerechnet und der Opponent muss dich dann unterbrechen. <br /> <br /> == Opposition ==<br /> Auch die Opposition kann einem anfangs sehr kompliziert vorkommen, denn immer Punkte, die angreifbar sind, in einem fremden Projekt, kann sehr kompliziert sein. Daher haben wir auch hierfür eine Praktische Liste zusammengestellt, wie ihr eure Opposition verbessern könnt:<br /> <br /> * Nicht lachen, Juroren hassen diesen Trick und tragen es einem echt nach (Btw auch wenn die Juroren lachen, ziehen sie dir Punkte für Lacher ab)<br /> * Gutes Englisch wird belohnt<br /> * Seid Höflich und nicht zu aggressiv, auch wenn ihr angreifen und diskutieren müsst<br /> * Viele Juroren sind nicht so tief im Projekt wie ihr, wenn ihr es opponiert. Also hört nicht auf nachzuhaken, wenn der Vortragende etwas Dummes sagt, '''sondern stell das auch heraus'''. '''Eigene Meinung''' und '''Verbesserungsvorschläge''' sind unabdingbar.<br /> * Anfängliche Zusammenfassung und ein Abschluss in der Opposition mit Fazit kommen sehr gut an (und wenn du wenig hast, verlängere diese beiden Punkte)<br /> * Für das Abschlussstatement kann dein Teamkamerad mitschreiben, damit du es schnell zusammenfassen kannst</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=How_to_GYPT&diff=873 2023-05-13T13:43:09Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): Fast alles verbessert.</p> <hr /> <div>Seit jeher fragen sich angehende Jungforschende, die einzig relevante Frage: '''How to [[GYPT]]?''' Wir, Fabian Schmitt und Robin Schulze-Tammena, haben uns dieser Aufgabe verschrieben und wollen deshalb mit diesem Artikel mehr und weniger ernst gemeinte Tipps geben.<br /> <br /> == Generelles ==<br /> <br /> == Projektwahl ==<br /> Die Projektwahl ist der erste Schritt, um am GYPT teilzunehmen. Dazu muss man einfach nur eins der 17 vorgeschlagenen Projekte auswählen und anfangen, es zu bearbeiten? Nein. Die Projektauswahl ist extrem wichtig, denn davon hängt dein '''gesamtes restliches Jahr''' ab. Wenn ihr ein &quot;falsches&quot; Projekt auswählt, werdet ihr das gesamte Jahr lang unglücklich sein. Und so übertrieben es klingt, es ist wahr. <br /> <br /> ==== Vorbereitung ====<br /> Um das richtige Projekt zu wählen solltet ihr als Erstes versuchen, das Phänomen zu reproduzieren. Dies ist essenziell, denn ihr könnt es euch zeitlich nicht leisten, länger als 2-3 Termine darauf zu vergeuden, den Aufbau zu reproduzieren. Wenn die Reproduktion des Phänomens gelungen ist, sollte man sich Gedanken darüber machen, wie man den Aufbau perfektionieren bzw. reproduzierbar machen kann. Wenn ihr eine Idee dafür habt, dann ist dies optimal.<br /> <br /> Als Zweites sollte man sich die Theorie ansehen, die euch auf der [https://www.gypt.org/aufgaben.html GYPT-Homepage] gegeben wird, und versuchen, die Grundlegende Erklärung des Effektes zu verstehen. Wenn ihr das Thema niemals verstehen werdet, dann lohnt es sich nicht dieses Projekt zu bearbeiten. Jedoch besitzt fast jedes Projekt eine große Herausforderung in dem theoretischen Teil und man darf nicht zu schnell aufgeben, denn jedes Projekt muss erarbeitet werden.<br /> <br /> ==== Präferenzen ====<br /> Jeder besitzt für physikalische Projekte seine Vorzüge. Manche Menschen mögen das oft experimentelle Fluiddynamik, andere eher die Theorielastige Kinematik. Es ist wichtig, dass ihr euch als Vorbereitung auf die Projektwahl bewusst macht, welche Präferenzen ihr besitzt, und dementsprechend die Projekte eingrenzen könnt. Hier sind häufige Eigenschaften von den Projekttypen: <br /> <br /> * '''Sand:''' Bitte tut euch das nicht an. Niemals. Die Experimente sind fast immer aufwendig und die Theorie dazu wollt ihr nicht machen. <br /> * '''Sound:''' Wenn ihr das macht, werdet ihr von jeder Person im Kurs gehasst werden (und ihr euch für die Entscheidung vielleicht auch dann irgendwann), doch abgesehen von der offensichtlichen Nervigkeit sind Messwertaufnahme, Theorie und Experimente oft sehr gut realisierbar. <br /> * '''Mechanikprojekte:''' Mechanikprobleme bieten das Potential, vollständig bearbeitet werden zu können, was das Ziel von jeder Bearbeitung ist und in saftigen Theoriekeulen resultiert. Leider ist dies oft mit großen theoretischen Hürden verbunden und die Experimente können von gut machbar zu sehr schwer auswertbar variieren. Wenn ihr euch die Theorie zutraut und vielleicht eine automatische Messwertaufnahme erarbeitet habt, ist dies euer Projekt. <br /> * '''Optik:''' Optik ist theoretisch fast immer sehr einfach, doch die Experimente können aufwendig und die Messwertaufnahme schwierig werden, jedoch ist es meistens eine sehr gute Wahl für jeden. <br /> * '''Fluiddynamik:''' Tut euch die Experimente einfach nicht an, und dazu Theorie zu verstehen ist wirklich wirklich aufwendig. <br /> ** Generell sind Experimente mit zu viel Wasser nicht empfehlenswert. <br /> ** Oberflächenspannung ist wirklich kein nettes Thema, dazu Theorie aufzutreiben ist gottlos. <br /> * '''Elektrotechnik:''' Wenn man keinen Zugang zu der Elektronik hat dann kann man es direkt vergessen, doch an sich sehr machbar. <br /> * '''Kernphysik:''' kommt nicht dran, wäre aber bestimmt strahlend. <br /> * '''Zufallsexperimente:''' Wenn ihr keine Automatisierung des Zufallsversuches besitzt, dann wird es euch nicht zu Freude verhelfen. <br /> <br /> Ich hoffe, dass die Komplexität der Projektwahl nun jedem verständlich ist.<br /> <br /> == Projektbearbeitung ==<br /> Auch die Projektbearbeitung ist nicht so straight forward wie man es sich denken könnte und es gilt eine Menge zu beachten, um am Ende ein möglichst gutes Ergebnis und eine gelungene Bearbeitung zu besitzen.<br /> <br /> ==== Aufbau ====<br /> Früh einen reproduzierbaren und zuverlässigen Aufbau zu besitzen, der '''der Aufgabenstellung entspricht''' und bei dem Parametervariation möglich ist, ist eines der relevantesten Kriterien, da dadurch deine zukünftige Auswertung schneller möglich ist und du der Aufgabenstellung gerecht werden kannst mit deinem Aufbau. Der Aufbau ist als '''das Erste''', über das sich Gedanken gemacht werden sollte (nachdem man die Grundlegende Erklärung verstanden hat...). Wenn erkannt wird, dass Teile für den Aufbau fehlen, muss sich darüber Gedanken gemacht werden, wie man diese möglichst schnell (z.B. über Jugend Forscht Förderanträge) bekommen kann.<br /> <br /> ==== Messdatenaufnahme ====<br /> Messdatenaufnahme sowie alles Relevante sollte '''immer''' im Laborbuch festgehalten werden, es wird euch am Ende viele Nerven kosten, wenn ihr dies nicht ordentlich gemacht habt. Immer alle Parameter, Titel und Ergebnisse festhalten sowie Aufbauten beschreiben / Fotos machen. Ihr werdet '''niemals''' ein Objekt, mit dem ihr experimentiert habt, wegwerfen. Euer digitales Ablagesystem sollte ebenfalls geordnet sein (z.B. nach Datum oder variierten Parameter), diese Ordnung ist sehr wichtig. Nichts ist ärgerlicher als Verwechselungen von Messdatenreihen.<br /> <br /> ==== Theorie ====<br /> Das Wichtigste ist, dass ihr eure eigene Theorie versteht. Wenn dies nicht gegeben ist (und ihr die einfach nur aus einem Paper kopiert habt, ohne sie zu verstehen), dann wird dies auffallen und euer Eigenanteil angezweifelt werden. Das will man wirklich nicht. Wenn ihr dann auch noch zusätzlich zu einem Vergleich von Theorie und Messwerten die Theorie mit Simulationen vergleichen könnt seid ihr ganz weit vorne.<br /> <br /> == Vortrag ==<br /> Der Vortrag, den ihr im [[GYPT]] halten müsst, wird sich von jedem Vortrag unterscheiden, den ihr je gehalten habt. Relevant ist, dass ihr nach jedem Detail gefragt werden könnt, euch für alles rechtfertigen werden müsst und für alles angegriffen werden werdet. Ihr müsst beweisen, dass ihr euer Thema vollständig verstanden habt. Daher haben wir einige Tipps und Tricks für euch gesammelt, um den Vortrag möglichst gut zu machen:<br /> <br /> * '''Appendix:''' Der Appendix ist jene Sektion des Vortrages, die ihr nicht vorstellt, aber bei Nachfragen dann ggf. benutzen könnt, um zu zeiegn, dass auch dieser Fakt berücksichtigt wurde. Und als Einschüchterung sollte der Appendix möglichst groß sein (fügt einfach am Ende ein paar leere Seiten ein, wenn dann dort im Appendix noch 20 Seiten sind, wirkt das sehr beeindruckend).<br /> * '''Theorie-Keulen:''' Theorie Keulen sind sehr auf die Theorie fokussierte Vorträge mit wenigen Experimenten. Diese kommen in der Bundesrunde deutlich besser als reine Experimentierprojekte dran, trotzdem sollten unbedingt Experimente dabei sein.<br /> * '''Trinken:''' Trinken ist wirklich hilfreich und sollte von euch durchgeführt werden.<br /> * '''Folien:''' Auch wenn es schwierig sein kann, solltet ihr ca. 2 Folien pro Minute benutzen, deren Qualität hoch sein muss. Macht die Folien nicht zu voll, gebt Quellen an und nennt jeweils genutzte Parameter. Grafiken, Bilder, Darstellungen und Skizzen können und müssen in jeder Präsentation genutzt werden.<br /> * '''Personal Impression:''' Die Juroren werden euch dafür einen Punkt geben (bzw. abziehen), wie ihr euch verhaltet. Aggressives Verhalten wird oft negativ bewertet, also seid stets höflich und antwortet mit nicht zu vielen ausschweifen.<br /> * '''Zeitmanagement:''' Das Zeitmanagement ist wichtiger als bei vielen anderen Wettbewerben, zwischen 11:30 min und 12:00 min fertig zu werden ist wichtig und wird euch positiv angerechnet, also überlegt euch eine Strategie, wie ihr das durchführen könnt (oder übt halt öfter)<br /> * '''LaTeX:'''Wahre Gigachads nutzen LaTeX (Overleaf). Schöner kann es halt mit Powerpoint werden, und man kann die Formeln in Word mit LaTeX Syntax schreiben und in Powerpoint rüberkopieren.<br /> * '''Aufbau:''' Ein kohärenter Aufbau mit einem klar erkennbaren roten Faden ist '''ULTRA GEIL.''' Wenn ihr diesen nicht habt werdet ihr Abzüge erhalten.<br /> * '''Fluiddynamik:''' Falls ihr ein Fluiddynamikprojekt habt werdet ihr wahrscheinlich nach der Reynoldszahl gefragt werden, also baut dies in die Präsentation ein oder besitzt dafür eine Appendix-Folie.<br /> * '''Opposition:''' Wenn du merkst, dass dein Opponent keine Fragen hat, sei ehrenvoll und rede lange, damit zeigst du dein Wissen und Verständnis gefahrenfrei. Wenn jedoch der Opponent eine Frage ungenau stellt, tue so als hättest du die Frage nicht verstanden, das lässt den Opponenten schlecht darstehen (oder antworte auf eine andere Frage, damit dich dein Opponent unterbrechen muss und wirke dabei unschuldig).<br /> * '''[[Kraftvektoren]]:''' Die Chance das jemand überall korrekt die Kraftvektoren eingezeichnet hat, geht gegen null. Nochmal an die Tafel zeichnen lassen (dass ihr dann die 3 Eigenschaften von Kraftvektoren kennt ist aber essenziell).<br /> * '''Ende der Oppositionszeit:''' Wenn Opponent nur noch 1 halbe Minute Zeit hat, hol aus und rede möglichst lange, damit er sein Zeitlimit überschreitet. Dies wird dir als Vortragenden nicht negativ angerechnet und der Opponent muss dich dann unterbrechen. <br /> <br /> == Opposition ==<br /> Auch die Opposition kann einem anfangs sehr kompliziert vorkommen, denn immer Punkte, die angreifbar sind, in einem fremden Projekt, kann sehr kompliziert sein. Daher haben wir auch hierfür eine Praktische Liste zusammengestellt, wie ihr eure Opposition verbessern könnt:<br /> <br /> * Nicht lachen, Juroren hassen diesen Trick und tragen es einem echt nach (Btw auch wenn die Juroren lachen, ziehen sie dir Punkte für Lacher ab)<br /> * Gutes Englisch wird belohnt<br /> * Seid Höflich und nicht zu aggressiv, auch wenn ihr angreifen und diskutieren müsst<br /> * Viele Juroren sind nicht so tief im Projekt wie ihr, wenn ihr es opponiert. Also hört nicht auf nachzuhaken, wenn der Vortragende etwas Dummes sagt, '''sondern stell das auch heraus'''. '''Eigene Meinung''' und '''Verbesserungsvorschläge''' sind unabdingbar.<br /> * Anfängliche Zusammenfassung und ein Abschluss in der Opposition mit Fazit kommen sehr gut an (und wenn du wenig hast, verlängere diese beiden Punkte)<br /> * Für das Abschlussstatement kann dein Teamkamerad mitschreiben, damit du es schnell zusammenfassen kannst</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=How_to_GYPT&diff=870 2023-05-11T13:50:17Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Präferenzen */</p> <hr /> <div>Seit jeher fragen sich angehende Jungforschende, die einzig relevante Frage: '''How to [[GYPT]]?''' Wir, Fabian Schmitt und Robin Schulze-Tammena, haben uns dieser Aufgabe verschrieben und wollen deshalb mit diesem Artikel mehr und weniger ernst gemeinte Tipps geben.<br /> <br /> == Generelles ==<br /> <br /> == Projektwahl ==<br /> Die Projektwahl ist der erste Schritt, um am GYPT teilzunehmen. Dazu muss man einfach nur eins der 17 vorgeschlagenen Projekte auswählen und anfangen, es zu bearbeiten? Nein. Die Projektauswahl ist extrem wichtig, denn davon hängt dein '''gesamtes restliches Jahr''' ab. Wenn ihr ein &quot;falsches&quot; Projekt auswählt, werdet ihr das gesamte Jahr lang unglücklich sein. Und so übertrieben es klingt, es ist wahr. <br /> <br /> ==== Vorbereitung ====<br /> Um das richtige Projekt zu wählen solltet ihr als Erstes versuchen, das Phänomen zu reproduzieren. Dies ist essenziell, denn ihr könnt es euch zeitlich nicht leisten, länger als 2-3 Termine darauf zu vergeuden, den Aufbau zu reproduzieren. Wenn die Reproduktion des Phänomens gelungen ist, sollte man sich Gedanken darüber machen, wie man den Aufbau perfektionieren bzw. reproduzierbar machen kann. Wenn ihr eine Idee dafür habt, dann ist dies optimal.<br /> <br /> Als Zweites sollte man sich die Theorie ansehen, die euch auf der [https://www.gypt.org/aufgaben.html GYPT-Homepage] gegeben wird, und versuchen, die Grundlegende Erklärung des Effektes zu verstehen. Wenn ihr das Thema niemals verstehen werdet, dann lohnt es sich nicht dieses Projekt zu bearbeiten. Jedoch besitzt fast jedes Projekt eine große Herausforderung in dem theoretischen Teil und man darf nicht zu schnell aufgeben, denn jedes Projekt muss erarbeitet werden.<br /> <br /> ==== Präferenzen ====<br /> Jeder besitzt für physikalische Projekte seine Vorzüge. Manche Menschen mögen das oft experimentelle Fluiddynamik, andere eher die Theorielastige Kinematik. Es ist wichtig, dass ihr euch als Vorbereitung auf die Projektwahl bewusst macht, welche Präferenzen ihr besitzt, und dementsprechend die Projekte eingrenzen könnt. Hier sind häufige Eigenschaften von den Projekttypen: <br /> <br /> * '''Sand:''' Bitte tut euch das nicht an. Niemals. Die Experimente sind fast immer aufwendig und die Theorie dazu wollt ihr nicht machen. <br /> * '''Sound:''' Wenn ihr das macht, werdet ihr von jeder Person im Kurs gehasst werden (und ihr euch für die Entscheidung vielleicht auch dann irgendwann), doch abgesehen von der offensichtlichen Nervigkeit sind Messwertaufnahme, Theorie und Experimente oft sehr gut realisierbar. <br /> * '''Mechanikprojekte:''' Mechanikprobleme bieten das Potential, vollständig bearbeitet werden zu können, was das Ziel von jeder Bearbeitung ist und in saftigen Theoriekeulen resultiert. Leider ist dies oft mit großen theoretischen Hürden verbunden und die Experimente können von gut machbar zu sehr schwer auswertbar variieren. Wenn ihr euch die Theorie zutraut und vielleicht eine automatische Messwertaufnahme erarbeitet habt, ist dies euer Projekt. <br /> * '''Optik:''' Optik ist theoretisch fast immer sehr einfach, doch die Experimente können aufwendig und die Messwertaufnahme schwierig werden, jedoch ist es meistens eine sehr gute Wahl für jeden. <br /> * '''Fluiddynamik:''' Tut euch die Experimente einfach nicht an, und dazu Theorie zu verstehen ist wirklich wirklich aufwendig. <br /> ** Generell sind Experimente mit zu viel Wasser nicht empfehlenswert. <br /> ** Oberflächenspannung ist wirklich kein nettes Thema, dazu Theorie aufzutreiben ist gottlos. <br /> * '''Elektrotechnik:''' Wenn man keinen Zugang zu der Elektronik hat dann kann man es direkt vergessen, doch an sich sehr machbar. <br /> * '''Kernphysik:''' kommt nicht dran, wäre aber bestimmt strahlend. <br /> * '''Zufallsexperimente:''' Wenn ihr keine Automatisierung des Zufallsversuches besitzt, dann wird es euch nicht zu Freude verhelfen. <br /> <br /> Ich hoffe, dass die Komplexität der Projektwahl nun jedem verständlich ist.<br /> <br /> == Projektbearbeitung ==<br /> <br /> == Vortrag ==<br /> Was ist der Vortrag?<br /> <br /> == Opposition ==<br /> Was ist die Opposition?</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=How_to_GYPT&diff=863 2023-05-11T13:17:47Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Projektwahl */</p> <hr /> <div>Seit jeher fragen sich angehende Jungforschende, die einzig relevante Frage: '''How to [[GYPT]]?''' Wir, Fabian Schmitt und Robin Schulze-Tammena, haben uns dieser Aufgabe verschrieben und wollen deshalb mit diesem Artikel mehr und weniger ernst gemeinte Tipps geben.<br /> <br /> == Generelles ==<br /> <br /> == Projektwahl ==<br /> Die Projektwahl ist der erste Schritt, um am GYPT teilzunehmen. Dazu muss man einfach nur eins der 17 vorgeschlagenen Projekte auswählen und anfangen, es zu bearbeiten? Nein. Die Projektauswahl ist extrem wichtig, denn davon hängt dein '''gesamtes restliches Jahr''' ab. Wenn ihr ein &quot;falsches&quot; Projekt auswählt, werdet ihr das gesamte Jahr lang unglücklich sein. Und so übertrieben es klingt, es ist wahr. <br /> <br /> ==== Vorbereitung ====<br /> Um das richtige Projekt zu wählen solltet ihr als Erstes versuchen, das Phänomen zu reproduzieren. Dies ist essenziell, denn ihr könnt es euch zeitlich nicht leisten, länger als 2-3 Termine darauf zu vergeuden, den Aufbau zu reproduzieren. Wenn die Reproduktion des Phänomens gelungen ist, sollte man sich Gedanken darüber machen, wie man den Aufbau perfektionieren bzw. reproduzierbar machen kann. Wenn ihr eine Idee dafür habt, dann ist dies optimal.<br /> <br /> Als Zweites sollte man sich die Theorie ansehen, die euch auf der [https://www.gypt.org/aufgaben.html GYPT-Homepage] gegeben wird, und versuchen, die Grundlegende Erklärung des Effektes zu verstehen. Wenn ihr das Thema niemals verstehen werdet, dann lohnt es sich nicht dieses Projekt zu bearbeiten. Jedoch besitzt fast jedes Projekt eine große Herausforderung in dem theoretischen Teil und man darf nicht zu schnell aufgeben, denn jedes Projekt muss erarbeitet werden.<br /> <br /> ==== Präferenzen ====<br /> Jeder besitzt für physikalische Projekte seine Vorzüge. <br /> <br /> == Projektbearbeitung ==<br /> <br /> == Vortrag ==<br /> Was ist der Vortrag?<br /> <br /> == Opposition ==<br /> Was ist die Opposition?</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=How_to_GYPT&diff=860 2023-05-06T15:24:44Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Seit jeher fragen sich angehende Jungforschende, die einzig relevante Frage: '''How to [[GYPT]]?''' Wir, Fabian Schmitt und Robin Schulze-Tammena, haben uns dieser Aufgabe verschrieben und wollen deshalb mit diesem Artikel mehr und weniger ernst gemeinte Tipps geben.<br /> <br /> == Generelles ==<br /> <br /> == Projektwahl ==<br /> <br /> == Projektbearbeitung ==<br /> <br /> == Vortrag ==<br /> Was ist der Vortrag?<br /> <br /> == Opposition ==<br /> Was ist die Opposition?</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=How_to_GYPT&diff=859 2023-05-04T17:00:03Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vortrag */</p> <hr /> <div>Seit jeher fragen sich angehende Jungforschende, die einzig relevante Frage: '''How to GYPT?''' Wir, Fabian Schmitt und Robin Schulze-Tammena, haben uns dieser Aufgabe verschrieben und wollen deshalb mit diesem Artikel mehr und weniger ernst gemeinte Tipps geben.<br /> <br /> == Generelles ==<br /> <br /> == Projektwahl ==<br /> <br /> == Projektbearbeitung ==<br /> <br /> == Vortrag ==<br /> Was ist der Vortrag?<br /> <br /> == Opposition ==<br /> Was ist die Opposition?</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=How_to_GYPT&diff=858 2023-05-04T16:57:55Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Seit jeher fragen sich angehende Jungforschende, die einzig relevante Frage: '''How to GYPT?''' Wir, Fabian Schmitt und Robin Schulze-Tammena, haben uns dieser Aufgabe verschrieben und wollen deshalb mit diesem Artikel mehr und weniger ernst gemeinte Tipps geben.<br /> <br /> == Generelles ==<br /> <br /> == Projektwahl ==<br /> <br /> == Projektbearbeitung ==<br /> <br /> == Vortrag ==<br /> <br /> == Opposition ==</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=How_to_GYPT&diff=857 2023-05-04T13:34:56Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Seit jeher fragen sich angehende Jungforschende, die einzig relevante Frage: '''How to GYPT?''' Wir, Fabian Schmitt und Robin Schulze-Tammena, haben uns dieser Aufgabe verschrieben und wollen deshalb mit diesem Artikel mehr und weniger ernst gemeinte Tipps geben.<br /> <br /> <br /> <br /> Diese Seite wird lustig...<br /> <br /> Macht mal Struktur und so</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Three-Sided_Dice&diff=837 2023-03-27T13:12:36Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Unterschiedlicher Untergrund */</p> <hr /> <div>In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Laplace Coin Flip&quot; von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.<br /> =='''Thema'''==<br /> Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:<br /> <br /> ''&quot; To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?&quot;''<br /> <br /> Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.<br /> == '''Theorie''' ==<br /> Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz. <br /> [[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]<br /> <br /> ==== 2-Dimensionaler Ansatz====<br /> Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]<br /> <br /> ==== 3-Dimensionaler Ansatz ====<br /> Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.<br /> <br /> Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.<br /> <br /> ==== Gibbsverteilung====<br /> [[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]<br /> [[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]<br /> Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.<br /> <br /> Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> $$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$<br /> <br /> Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur Eliminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.<br /> <br /> Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:<br /> <br /> $$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$<br /> <br /> $${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$<br /> <br /> $$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält, denn veränderte Parameter des Wurfes und des Wurfobjektes können zu einem unterschiedlichen Einfluss der Fläche auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung führen.<br /> <br /> Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.<br /> <br /> Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> $$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$<br /> <br /> Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.<br /> <br /> Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.<br /> <br /> ====Maximum-Likelihood-Funktion====<br /> Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutz$$^{[3]}$$.<br /> <br /> Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.<br /> <br /> $$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$<br /> <br /> Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.<br /> <br /> == '''Aufbau''' ==<br /> <br /> ==== Zylinder ====<br /> Zunächst hatten wir sowohl Holzzylinder als auch Hohlzylinder ausprobiert, jedoch mussten wir beide Zylinderreihen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen. <br /> <br /> Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe zu Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:<br /> [[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]&lt;!-- schöner formatieren --&gt;<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> !Radius $$r$$ in $$cm$$<br /> !Höhe $$h$$ in $$cm$$<br /> !$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis<br /> !Material<br /> |-<br /> |$$0,75$$<br /> |$$0,6$$<br /> |$$0,8$$<br /> |Edelstahl / POM<br /> |-<br /> |$$0,75$$<br /> |$$0,75$$<br /> |$$1,0$$<br /> |Edelstahl / POM<br /> |-<br /> |$$0,75$$<br /> |$$0,88$$<br /> |$$1,17$$<br /> |Edelstahl / POM<br /> |-<br /> |$$0,75$$<br /> |$$0,96$$<br /> |$$1,28$$<br /> |Edelstahl / POM<br /> |-<br /> |$$0,75$$<br /> |$$1,12$$<br /> |$$1,49$$<br /> |Edelstahl / POM<br /> |}<br /> <br /> ==== Wurfmaschinen ====<br /> Um unseren Zylinder auf gleiche Weise werfen zu können, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen. <br /> =====Coin-Slider=====<br /> [[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]<br /> Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen kann, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekommt der Zylinder eine bestimmte Rotation und fällt dann zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch genug ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments zu sehr bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. <br /> ===== Coin-Flipper=====<br /> [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]<br /> Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden. <br /> <br /> == '''Daten'''==<br /> Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 13000 Würfe geworfen.<br /> <br /> ===Unterschiedliche Höhen ===<br /> [[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]<br /> Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Abwurfhöhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.<br /> <br /> Das Ergebnis ist:<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> !Abwurfhöhe in $$m$$<br /> !Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel <br /> ! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis<br /> |-<br /> |$$0,8$$<br /> |($$1,2$$; $$30,0$$)<br /> |$$1,27$$<br /> |-<br /> | $$1,0$$<br /> |($$1,5$$; $$30,0$$)<br /> |$$1,21$$<br /> |-<br /> |$$1,2$$ <br /> | ($$1,7$$; $$29,8$$)<br /> |$$1,16$$<br /> |}<br /> Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder öfter springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.<br /> [[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]<br /> <br /> === Unterschiedlicher Untergrund===<br /> Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht<br /> <br /> Das Ergebnis ist:<br /> [[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> !Oberfläche <br /> !Wurfmaschine <br /> !Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel<br /> !Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis<br /> |-<br /> |Teppich<br /> |Coin-Flipper<br /> |($$1,5$$; $$30,0$$) <br /> | $$1,21$$ <br /> |-<br /> | Linoleum<br /> |Coin-Flipper<br /> |($$1,5$$; $$3,2$$)<br /> |$$0,80$$<br /> |-<br /> |Teppich<br /> |Coin-Slider<br /> |($$1,4$$; $$27,2$$)<br /> |$$1,20$$<br /> |-<br /> |Linoleum<br /> |Coin-Slider<br /> |($$1,9$$; $$8,1$$)<br /> |$$0,91$$<br /> |}<br /> Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt. <br /> ===Unterschiedliche Zylindermaterialien===<br /> [[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]<br /> Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von $$1,0$$ $$m$$ Höhe fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.<br /> Das Ergebnis ist:<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> !Material <br /> !Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel <br /> ! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis<br /> |-<br /> |Edelstahl<br /> |($$1,5$$; $$3,2$$)<br /> |$$0,8$$<br /> |-<br /> |POM <br /> | ($$1,8$$; $$16,6$$)<br /> |$$1,05$$<br /> |}<br /> Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf das $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM. <br /> <br /> === Unterschiedliche Skalierung ===<br /> [[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]<br /> Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM Zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen. <br /> <br /> Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert. <br /> <br /> === Keine Sprünge ===<br /> [[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]<br /> Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: Wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist. <br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-Dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch Sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Fehlerbetrachtung ===<br /> <br /> ==== Tschebyscheff Ungleichung ====<br /> Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung$$^{[5]}$$ genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt: <br /> <br /> $$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$N = 200$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> $$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} &lt; \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.<br /> <br /> ==== Messfehler ====<br /> Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.<br /> <br /> Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss. <br /> <br /> == '''Fazit'''==<br /> Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> !Zylindermaterial<br /> !Abwurfhöhe in $$m$$<br /> !Untergrund<br /> !Wurfgerät<br /> !$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis<br /> |-<br /> |POM<br /> |$$1,0$$ <br /> <br /> |Linoleum <br /> | Coin-Flipper<br /> |$$1,05$$<br /> |-<br /> |Edelstahl<br /> |$$1,0$$<br /> <br /> |Linoleum<br /> |Coin-Flipper<br /> | $$0,80$$<br /> |-<br /> |Edelstahl<br /> |$$1,0$$<br /> <br /> |Teppich<br /> |Coin-Flipper<br /> |$$1,21$$<br /> |}<br /> &lt;nowiki&gt;Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. &lt;/nowiki&gt;<br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> <br /> *Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)<br /> *GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian &amp; Philipp)<br /> *GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian &amp; Philipp)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian &amp; Philipp)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)<br /> *Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)<br /> <br /> == '''Quellen''' ==<br /> <br /> * [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y<br /> * [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik<br /> * [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo<br /> * [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY<br /> * [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)<br /> <br /> * <br /> <br /> =='''Danksagung'''==<br /> Wir bedanken uns bei: <br /> <br /> *[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente<br /> *[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder<br /> *[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie<br /> *DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern<br /> *Tom Haas und Mohammad-Taha Abdollahnia für ihre Hilfe bei ca. 1000 Würfen<br /> <br /> * <br /> <br /> [[Kategorie:Mechanik]]<br /> [[Kategorie:Stochastik]]<br /> [[Kategorie:GYPT]]</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=836 2023-03-24T21:54:48Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersagen für die Ferritstange */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt &quot;Ball on Ferrite Rod&quot; (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab, wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, er also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld im Ferritstab aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material und $$L$$ die Länge des Stabes ist. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man sich das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19$$kHz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplettiert. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies trotzdem in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau aufgrund der Nichtreproduzierbarkeit für Versuche ungeeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Membran mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20$$kHz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$ (positive Geschwindigkeit).<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass beim Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet, in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0,2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese die höchste Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder erlangt werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> ==== Videotracking ====<br /> Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($$v_{max}$$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     <br /> <br /> ==== Audiotracking ====<br /> Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebenfalls alle $$v_{max}$$ und alle Maxima berechnen. <br /> <br /> Probleme hierbei bereitet vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte für $$\alpha$$: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029$$.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> [[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]<br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten ===<br /> Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.<br /> <br /> Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.<br /> <br /> Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.<br /> <br /> Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.<br /> <br /> == Vorhersagen für die Ferritstange ==<br /> [[Datei:F19k 0 2.png|mini|333x333px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> [[Datei:F19ka0 8.png|mini|334x334px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,8$$]]<br /> Da wir eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie- und Messdaten mit dem Proxy feststellen können, lässt sich behaupten, dass wir die zu entstehenden Daten mittels unserer Theorie relative präzise vorhersagen können. Dafür müssen wir nur die Eigenschaften des Ferritstabes berücksichtigen.<br /> <br /> === Eigenschaften des Ferritstabs ===<br /> Der Ferritstab besitzt einige Eigenschaften, die ihn vom Proxy unterscheiden, vor allem was die Frequenz und die Auslenkung betrifft. Die Frequenz $$f$$ unseres Ferritstabes beträgt $$\approx 20$$kHz, die Auslenkung ungefähr $$0,01$$mm und er besitzt einen experimentell ermittelten Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$ von $$0,74$$ mit einer Standardabweichung von $$\sigma = 0,074$$. <br /> [[Datei:F15ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=15$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Durch die Variation der Ferritstablänge kann ihre Grundfrequenz verändert werden, weshalb sie dann mit einer anderen Frequenz schwingen würde. Des Weiteren bleibt die Auslenkung des Ferritstabs ungefähr gleich, obwohl sie natürlich von der Ferritstablänge abhängt. Der Restitutionskoeffizient hängt Primär von dem Material des Balls ab und dieses kann sehr einfach variiert werden. <br /> <br /> Also kann man nun mittels unserer Theorie vorhersagen, wie sich der Ball mit bestimmten Eigenschaften auf der Ferritstange verhalten wird.<br /> === Variation von $$\alpha$$ ===<br /> An dieser Reihe an Darstellungen zeigt sich die Auswirkung eines erhöhten $$\alpha$$. Man kann sehr klar erkennen, dass der Anstieg des Graphen immer größer wird, je höher das $$\alpha$$ ist. Das liegt daran, dass $$\alpha$$ in der Vorhersage $$v_{n+1} = u \cdot (1+\alpha) -v_n \cdot \alpha$$ durch den Ausdruck $$v_n \cdot \alpha$$ als Anstieg der Funktion fungiert, die die obere Gerade bildet, und der Term $$u \cdot (1+\alpha)$$ bildet den y-Achsenabschnitt. <br /> <br /> Außerdem kann man erkennen, dass folgender Zusammenhang gilt: $$\alpha \uparrow \uparrow v_{n+1}$$. Dieser Zusammenhang ist relativ trivial, da mit höheren Restitutionskoeffizienten die Energie, die der Ball wieder für den nächsten Sprung bekommt, deutlich höher als bei niedrigen $$\alpha$$ ist. <br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Für hohe $$\alpha$$, bei denen sehr viel Energie wieder in das System zurück gegeben wird, erkennt man, dass die Werte für $$v_{n+1}$$ durch eine untere Gerade begrenzt werden. Das lässt sich dadurch erklären, dass bei solch hohen $$\alpha$$ bei schon hohen $$v_n$$s so viel Energie im Sprung vorhanden ist, sodass dieser gar nicht auf eine Geschwindigkeit von $$0 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ abgebremst werden kann. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Variation von $$f$$ ===<br /> [[Datei:F23ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=23$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Nicht nur der Restitutionskoeffizient kann verändert werden, auch die Grundfrequenz des Ferritstabs lässt sich durch eine Änderung der Länge des Stabs erreichen. Aus diesem Grund haben wir theoretisch die Frequenzvariation durchgeführt. <br /> <br /> Die Frequenz des Ferritstabs hängt wiefolgt von der Stablänge ab: $$\frac{v}{2 \cdot L}$$. Somit ergibt sich der Zusammenhang, dass mit steigendem $$f$$ auch die Geschwindigkeit der Membran zunimmt, was dazu führt, dass sich der Wert für $$u_{max}$$ erhöht. <br /> <br /> Aus einem höheren $$u_{max}$$ folgt, dass der y-Achsenabschnitt der begrenzenden Gerade ansteigt sowie der Anstieg zunimmt. Außerdem ergibt sich durch eine höhere Membrangeschwindigkeit, dass die maximal erreichbaren Geschwindigkeiten trivialer Weise ansteigen.<br /> <br /> =='''Fazit'''==<br /> Wir haben lange versucht ein Experimentieraufbau mit einem Ferritstab zu entwerfen, um der GYPT Aufgabe exakt zu entsprechen. Hierbei sind wir allerdings nach vielen Versuchen dennoch gescheitert, trotz Hilfe vieler Personen, sodass wir uns entschieden haben diesen durch einen Proxy zu ersetzen. Für diesen haben wir anschließend einen Versuchsaufbau konstruiert und uns Gedanken zur Messdatengenerierung gemacht, sodass wir fast sofort in der Lage waren, mit dem Proxy tatsächliche Messdaten zu erheben. Ebenfalls haben wir eine Theorie aufgestellt und diese mit Messdaten verglichen. Dabei sind wir zu dem Schluss gekommen, dass unsere Theorie realitätsgetreu ist und somit das Sprungverhalten vorhersagen kann.<br /> <br /> Rückblickend ist es etwas schade, dass wir den Ferritstab nicht zum Laufen bekommen haben, da dieser nicht perfekt durch einen Proxy ersetzbar ist und wir somit kleinere Abweichungen in Kauf nehmen mussten. Ebenfalls hätten wir gerne mehr Messdaten erhoben und diese vor allem auch mit der Möglichkeit des Audiotrackings umgesetzt und nicht nur mit dem Videotracking. Zusätzlich dazu wäre es auch schön gewesen wenn wir mehrere Messreihen mit unterschiedlichen Parametern gemessen hätten.<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp, Johann)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> Wir bedanken uns bei:<br /> <br /> * Herrn Ebert für seine Unterstützung bezüglich der MOSFETS und der Besorgung der Ferritstäbe<br /> * Anja Dücker für die Hilfe mit unserem Aufbau bezüglich des Schaltkreises<br /> * Der TU Berlin für die Hilfe mit unserem Aufbau<br /> * Johann Fried für seine mentale Unterstützung und unfreiwillige Hilfe beim Videotracking<br /> * Jolanda Fehlinger für die Unterstützung unseres Projektes<br /> <br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=835 2023-03-23T13:40:49Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Daten */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt &quot;Ball on Ferrite Rod&quot; (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab, wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, er also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld im Ferritstab aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material und $$L$$ die Länge des Stabes ist. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man sich das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19$$kHz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplettiert. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies trotzdem in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau aufgrund der Nichtreproduzierbarkeit für Versuche ungeeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Membran mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20$$kHz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$ (positive Geschwindigkeit).<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass beim Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet, in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0,2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese die höchste Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder erlangt werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> ==== Videotracking ====<br /> Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($$v_{max}$$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     <br /> <br /> ==== Audiotracking ====<br /> Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebenfalls alle $$v_{max}$$ und alle Maxima berechnen. <br /> <br /> Probleme hierbei bereitet vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte für $$\alpha$$: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029$$.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> [[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]<br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten ===<br /> Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.<br /> <br /> Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.<br /> <br /> Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.<br /> <br /> Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.<br /> <br /> == Vorhersagen für die Ferritstange ==<br /> [[Datei:F19k 0 2.png|mini|333x333px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> [[Datei:F19ka0 8.png|mini|334x334px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> Da wir eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie- und Messdaten mit dem Proxy feststellen können, lässt sich behaupten, dass wir die zu entstehenden Daten mittels unserer Theorie relative präzise vorhersagen können. Dafür müssen wir nur die Eigenschaften des Ferritstabes berücksichtigen.<br /> <br /> === Eigenschaften des Ferritstabs ===<br /> Der Ferritstab besitzt einige Eigenschaften, die ihn vom Proxy unterscheiden, vor allem was die Frequenz und die Auslenkung betrifft. Die Frequenz $$f$$ unseres Ferritstabes beträgt $$\approx 20$$kHz, die Auslenkung ungefähr $$0,01$$mm und er besitzt einen experimentell ermittelten Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$ von $$0,74$$ mit einer Standardabweichung von $$\sigma = 0,074$$. <br /> [[Datei:F15ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=15$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Durch die Variation der Ferritstablänge kann ihre Grundfrequenz verändert werden, weshalb sie dann mit einer anderen Frequenz schwingen würde. Des Weiteren bleibt die Auslenkung des Ferritstabs ungefähr gleich, obwohl sie natürlich von der Ferritstablänge abhängt. Der Restitutionskoeffizient hängt Primär von dem Material des Balls ab und dieses kann sehr einfach variiert werden. <br /> <br /> Also kann man nun mittels unserer Theorie vorhersagen, wie sich der Ball mit bestimmten Eigenschaften auf der Ferritstange verhalten wird.<br /> === Variation von $$\alpha$$ ===<br /> An dieser Reihe an Darstellungen zeigt sich die Auswirkung eines erhöhten $$\alpha$$. Man kann sehr klar erkennen, dass der Anstieg des Graphen immer größer wird, je höher das $$\alpha$$ ist. Das liegt daran, dass $$\alpha$$ in der Vorhersage $$v_{n+1} = u \cdot (1+\alpha) -v_n \cdot \alpha$$ durch den Ausdruck $$v_n \cdot \alpha$$ als Anstieg der Funktion fungiert, die die obere Gerade bildet, und der Term $$u \cdot (1+\alpha)$$ bildet den y-Achsenabschnitt. <br /> <br /> Außerdem kann man erkennen, dass folgender Zusammenhang gilt: $$\alpha \uparrow \uparrow v_{n+1}$$. Dieser Zusammenhang ist relativ trivial, da mit höheren Restitutionskoeffizienten die Energie, die der Ball wieder für den nächsten Sprung bekommt, deutlich höher als bei niedrigen $$\alpha$$ ist. <br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Für hohe $$\alpha$$, bei denen sehr viel Energie wieder in das System zurück gegeben wird, erkennt man, dass die Werte für $$v_{n+1}$$ durch eine untere Gerade begrenzt werden. Das lässt sich dadurch erklären, dass bei solch hohen $$\alpha$$ bei schon hohen $$v_n$$s so viel Energie im Sprung vorhanden ist, sodass dieser gar nicht auf eine Geschwindigkeit von $$0 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ abgebremst werden kann. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Variation von $$f$$ ===<br /> [[Datei:F23ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=23$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Nicht nur der Restitutionskoeffizient kann verändert werden, auch die Grundfrequenz des Ferritstabs lässt sich durch eine Änderung der Länge des Stabs erreichen. Aus diesem Grund haben wir theoretisch die Frequenzvariation durchgeführt. <br /> <br /> Die Frequenz des Ferritstabs hängt wiefolgt von der Stablänge ab: $$\frac{v}{2 \cdot L}$$. Somit ergibt sich der Zusammenhang, dass mit steigendem $$f$$ auch die Geschwindigkeit der Membran zunimmt, was dazu führt, dass sich der Wert für $$u_{max}$$ erhöht. <br /> <br /> Aus einem höheren $$u_{max}$$ folgt, dass der y-Achsenabschnitt der begrenzenden Gerade ansteigt sowie der Anstieg zunimmt. Außerdem ergibt sich durch eine höhere Membrangeschwindigkeit, dass die maximal erreichbaren Geschwindigkeiten trivialer Weise ansteigen.<br /> <br /> =='''Fazit'''==<br /> Wir haben lange versucht ein Experimentieraufbau mit einem Ferritstab zu entwerfen, um der GYPT Aufgabe exakt zu entsprechen. Hierbei sind wir allerdings nach vielen Versuchen dennoch gescheitert, trotz Hilfe vieler Personen, sodass wir uns entschieden haben diesen durch einen Proxy zu ersetzen. Für diesen haben wir anschließend einen Versuchsaufbau konstruiert und uns Gedanken zur Messdatengenerierung gemacht, sodass wir fast sofort in der Lage waren, mit dem Proxy tatsächliche Messdaten zu erheben. Ebenfalls haben wir eine Theorie aufgestellt und diese mit Messdaten verglichen. Dabei sind wir zu dem Schluss gekommen, dass unsere Theorie realitätsgetreu ist und somit das Sprungverhalten vorhersagen kann.<br /> <br /> Rückblickend ist es etwas schade, dass wir den Ferritstab nicht zum Laufen bekommen haben, da dieser nicht perfekt durch einen Proxy ersetzbar ist und wir somit kleinere Abweichungen in Kauf nehmen mussten. Ebenfalls hätten wir gerne mehr Messdaten erhoben und diese vor allem auch mit der Möglichkeit des Audiotrackings umgesetzt und nicht nur mit dem Videotracking. Zusätzlich dazu wäre es auch schön gewesen wenn wir mehrere Messreihen mit unterschiedlichen Parametern gemessen hätten.<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp, Johann)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> Wir bedanken uns bei:<br /> <br /> * Herrn Ebert für seine Unterstützung bezüglich der MOSFETS und der Besorgung der Ferritstäbe<br /> * Anja Dücker für die Hilfe mit unserem Aufbau bezüglich des Schaltkreises<br /> * Der TU Berlin für die Hilfe mit unserem Aufbau<br /> * Johann Fried für seine mentale Unterstützung und unfreiwillige Hilfe beim Videotracking<br /> * Jolanda Fehlinger für die Unterstützung unseres Projektes<br /> <br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=834 2023-03-23T13:29:04Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt &quot;Ball on Ferrite Rod&quot; (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab, wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, er also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld im Ferritstab aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material und $$L$$ die Länge des Stabes ist. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man sich das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19$$kHz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplettiert. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies trotzdem in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau aufgrund der Nichtreproduzierbarkeit für Versuche ungeeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Membran mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20$$kHz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$ (positive Geschwindigkeit).<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass beim Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet, in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0,2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese die höchste Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder erlangt werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> ==== Videotracking ====<br /> Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($$v_{max}$$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     <br /> <br /> ==== Audiotracking ====<br /> Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebenfalls alle $$v_{max}$$ und alle Maxima berechnen. <br /> <br /> Probleme hierbei bereitet vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte für $$\alpha$$: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029$$.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> [[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]<br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.<br /> <br /> Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.<br /> <br /> Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.<br /> <br /> Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.<br /> <br /> == Vorhersagen für die Ferritstange ==<br /> [[Datei:F19k 0 2.png|mini|333x333px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> [[Datei:F19ka0 8.png|mini|334x334px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> Da wir eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie- und Messdaten mit dem Proxy feststellen konnten, lässt sich behaupten, dass wir die zu entstehenden Daten mittels unserer Theorie relative präzise vorhersagen können. Dafür müssen wir nur die Eigenschaften des Ferritstabes berücksichtigen.<br /> <br /> === Eigenschaften des Ferritstabs ===<br /> Der Ferritstab besitzt einige Eigenschaften, die ihn vom Proxy unterscheiden, vor allem was die Frequenz und die Auslenkung betrifft. Die Frequenz $$f$$ unseres Ferritstabes beträgt $$20$$kHz, die Auslenkung ungefähr $$0,01$$mm und sie besitzt einen experimentell ermittelten Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$ von $$0.74$$ mit einer Standardabweichung von $$\sigma = 0,074$$. <br /> [[Datei:F15ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=15$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Durch die Variation der Ferritstablänge kann ihre Grundfrequenz verändert werden, weshalb sie dann mit einer anderen Frequenz schwingen wird. Des Weiteren bleibt die Auslenkung des Ferritstabs ungefähr gleich, obwohl sie natürlich von der Ferritstablänge abhängt. Der Restitutionskoeffizient hängt Primär von dem Material des Balls ab und dieses kann sehr einfach variiert werden. <br /> <br /> Also kann man nun mittels unserer Theorie vorhersagen, wie sich der Ball mit bestimmten Eigenschaften auf der Ferritstange verhalten wird.<br /> === Variation von $$\alpha$$ ===<br /> Mit dieser Reihe an Darstellungen zeigt sich die Auswirkung eines erhöhten $$\alpha$$. Man kann sehr klar erkennen, dass der Anstieg des Graphen immer größer wird, je höher das $$\alpha$$ ist. Das liegt daran, dass $$\alpha$$ in der Vorhersage $$v_{n+1} = u \cdot (1+\alpha) -v_n \cdot \alpha$$ durch den Ausdruck $$v_n \cdot \alpha$$ als Anstieg der Funktion fungiert, die die obere Gerade bildet, und der Term $$u \cdot (1+\alpha)$$ bildet den y-Achsenabschnitt. <br /> <br /> Außerdem kann man erkennen, dass folgender Zusammenhang gilt: $$\alpha \uparrow \uparrow v_{n+1}$$. Dieser Zusammenhang ist relativ trivial, da mit höheren Restitutionskoeffizienten die Energie, die der Ball wieder für den nächsten Sprung bekommt, deutlich höher als bei niedrigen $$\alpha$$ ist. <br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Für hohe $$\alpha$$, bei denen sehr viel Energie wieder in das System zurück gegeben wird, erkennt man, dass die Werte für $$v_{n+1}$$ durch eine untere Gerade begrenzt werden. Das lässt sich dadurch erklären, dass bei solch hohen $$\alpha$$ bei schon hohen $$v_n$$s schon so viel Energie im Sprung vorhanden ist, sodass dieser gar nicht auf eine Geschwindigkeit von $$0 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ abgebremst werden kann. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Variation von $$f$$ ===<br /> [[Datei:F23ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=23$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Nicht nur der Restitutionskoeffizient kann verändert werden, auch die Grundfrequenz des Ferritstabs lässt sich durch eine Änderung der Länge des Stabs erreichen. Aus diesem Grund haben wir theoretisch die Frequenzvariation durchgeführt. <br /> <br /> Die Frequenz des Ferritstabs hängt wiefolgt von der Stablänge ab: $$\frac{v}{2 \cdot L}$$. Somit ergibt sich der Zusammenhang, dass mit steigendem $$f$$ auch die Geschwindigkeit der Membran zunimmt, was dazu führt, dass sich der Wert für $$u_{max}$$ erhöht. <br /> <br /> Aus einem höheren $$u_{max}$$ folgt, dass der y-Achsenabschnitt der begrenzenden Gerade ansteigt sowie der Anstieg zunimmt. Außerdem ergibt sich durch eine höhere Membrangeschwindigkeit, dass die maximal erreichbaren Geschwindigkeiten trivialer Weise ansteigen.<br /> <br /> =='''Fazit'''==<br /> Wir haben lange versucht ein Experimentieraufbau mit einem Ferritstab zu entwerfen, um der GYPT Aufgabe exakt zu entsprechen. Hierbei sind wir allerdings nach vielen Versuchen dennoch gescheitert trotz Hilfe vieler Personen, sodass wir uns entschieden haben dieses durch einen Proxy zu ersetzen. Für diesen haben wir anschließend einen Versuchsaufbau konstruiert und uns Gedanken zur Messdatengenerierung gemacht, sodass wir fast sofort in der Lage waren mit dem Proxy tatsächliche Messdaten zu erheben. Ebenfalls haben wir eine Theorie aufgestellt und diese mit Messdaten verglichen. Dabei sind wir zu dem Schluss gekommen, dass unsere Theorie realitätsgetreu ist und somit das Sprungverhalten vorhersagen kann.<br /> <br /> Rückblickend ist es etwas schade, dass wir den Ferritstab nicht zum laufen bekommen haben, da dieser nicht perfekt durch einen Proxy ersetzbar ist und wir somit kleinere Abweichungen in Kauf nehmen mussten. Ebenfalls hätten wir gerne mehr Messdaten erhoben und diese vorallem auch mit der Möglichkeit des Audiotrackings umgesetzt und nicht nur mit dem Videotracking. Zusätzlich dazu wäre es auch schön gewesen wenn wir mehrere Messreihen mit unterschiedlichen Parametern gemessen hätten.<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Projekt%C3%BCbersicht&diff=833 2023-03-23T13:06:38Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>{| class=&quot;wikitable sortable&quot;<br /> !Schuljahr<br /> !Projektname<br /> !Bearbeitet von<br /> !Wettbewerbe und Erfolge<br /> !Tags<br /> |-<br /> |2022/23<br /> |[[Thermoacoustic Engine]]<br /> |Lara Hermes, Katharina Horn-Phenix, Rasmus Stegelmann<br /> |Jugend Forscht: 1. Platz Regionalwettbewerb (Physik)<br /> BeGYPT Einzelplatzierungen <br /> <br /> GYPT Einzelplatzierungen<br /> <br /> GYPT Teamwertung Silber-Medallie<br /> |Thermodynamik, Akustik<br /> |-<br /> |2022/23 <br /> |[[Ball on a Ferrite Rod|Ball on Ferrite Rod]]<br /> |Fabian Schmitt, Philipp Werner <br /> |Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb (Physik)<br /> BeGYPT Einzelplatzierung 2<br /> <br /> BeGYPT Gruppenplatzierung 1<br /> <br /> GYPT Einzelplatzierung 17<br /> | Mechanik, Stochastik<br /> |-<br /> |2021/22<br /> |[[Die perfekte Sandburg]]<br /> |Lara Hermes,<br /> Rasmus Stengelmann,<br /> <br /> Felix-Ramón Sindermann<br /> |Jugend-Forscht: 2. Platz Landeswettbewerb (Geo- und Raumwissenschaften)<br /> | Granulare Materie, Kapillareffekt<br /> |-<br /> |2021/22<br /> |[[Three-Sided Dice]]<br /> |Fabian Schmitt,<br /> Philipp Werner,<br /> <br /> Hanyang Lu<br /> |Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb (Mathematik/Informatik)<br /> GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11<br /> <br /> GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7<br /> <br /> BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3<br /> <br /> BeGYPT Gruppenplatzierungen 1<br /> <br /> Bronzemedaille im AYPT 2022<br /> | Mechanik, Stochastik<br /> |-<br /> |2021/22<br /> |[[Boycott Effect]]<br /> |Antonia Macha,<br /> Katharina Horn-Phenix<br /> |Jugend Forscht: 1. Platz Landeswettbewerb (Physik),<br /> GYPT: Best Report, Erstplatzierung (Einzel), Silber-Medaille (Team),<br /> <br /> Silber-Medaille im IYPT 2022<br /> |Fluiddynamik, Konvektion, Sedimentation<br /> |-<br /> |2021/22<br /> |[[Musterprojekt]] (Vorlage)<br /> |Dr. Falk Ebert<br /> |Vorlage für Projekteinträge des Wikis<br /> |<br /> |-<br /> |2018/19<br /> |[[Filling up a bottle]]<br /> |Timo Huber<br /> |GYPT: Best Report, Top 10 Einzelwertung<br /> |Fluidmechanik, Frequenzanalyse<br /> |-<br /> |2017/18<br /> |[[Untersuchung des Magnus-Effekts und Bau eines Flettner-Flugzeugs]]<br /> |Timo Huber <br /> |Jugend Forscht: 1. Platz Landeswettbewerb (Physik)<br /> |Fluidmechanik, Modellbau<br /> |}</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=832 2023-03-23T13:05:43Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt &quot;Ball on Ferrite Rod&quot; (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> ==== Videotracking ====<br /> Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     <br /> <br /> ==== Audiotracking ====<br /> Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen. <br /> <br /> Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> [[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]<br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.<br /> <br /> Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.<br /> <br /> Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.<br /> <br /> Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.<br /> <br /> == Vorhersagen für die Ferritstange ==<br /> [[Datei:F19k 0 2.png|mini|333x333px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> [[Datei:F19ka0 8.png|mini|334x334px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> Da wir eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie- und Messdaten mit dem Proxy feststellen konnten, lässt sich behaupten, dass wir die zu entstehenden Daten mittels unserer Theorie relative präzise vorhersagen können. Dafür müssen wir nur die Eigenschaften des Ferritstabes berücksichtigen.<br /> <br /> === Eigenschaften des Ferritstabs ===<br /> Der Ferritstab besitzt einige Eigenschaften, die ihn vom Proxy unterscheiden, vor allem was die Frequenz und die Auslenkung betrifft. Die Frequenz $$f$$ unseres Ferritstabes beträgt $$20$$kHz, die Auslenkung ungefähr $$0,01$$mm und sie besitzt einen experimentell ermittelten Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$ von $$0.74$$ mit einer Standardabweichung von $$\sigma = 0,074$$. <br /> [[Datei:F15ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=15$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Durch die Variation der Ferritstablänge kann ihre Grundfrequenz verändert werden, weshalb sie dann mit einer anderen Frequenz schwingen wird. Des Weiteren bleibt die Auslenkung des Ferritstabs ungefähr gleich, obwohl sie natürlich von der Ferritstablänge abhängt. Der Restitutionskoeffizient hängt Primär von dem Material des Balls ab und dieses kann sehr einfach variiert werden. <br /> <br /> Also kann man nun mittels unserer Theorie vorhersagen, wie sich der Ball mit bestimmten Eigenschaften auf der Ferritstange verhalten wird.<br /> === Variation von $$\alpha$$ ===<br /> Mit dieser Reihe an Darstellungen zeigt sich die Auswirkung eines erhöhten $$\alpha$$. Man kann sehr klar erkennen, dass der Anstieg des Graphen immer größer wird, je höher das $$\alpha$$ ist. Das liegt daran, dass $$\alpha$$ in der Vorhersage $$v_{n+1} = u \cdot (1+\alpha) -v_n \cdot \alpha$$ durch den Ausdruck $$v_n \cdot \alpha$$ als Anstieg der Funktion fungiert, die die obere Gerade bildet, und der Term $$u \cdot (1+\alpha)$$ bildet den y-Achsenabschnitt. <br /> <br /> Außerdem kann man erkennen, dass folgender Zusammenhang gilt: $$\alpha \uparrow \uparrow v_{n+1}$$. Dieser Zusammenhang ist relativ trivial, da mit höheren Restitutionskoeffizienten die Energie, die der Ball wieder für den nächsten Sprung bekommt, deutlich höher als bei niedrigen $$\alpha$$ ist. <br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Für hohe $$\alpha$$, bei denen sehr viel Energie wieder in das System zurück gegeben wird, erkennt man, dass die Werte für $$v_{n+1}$$ durch eine untere Gerade begrenzt werden. Das lässt sich dadurch erklären, dass bei solch hohen $$\alpha$$ bei schon hohen $$v_n$$s schon so viel Energie im Sprung vorhanden ist, sodass dieser gar nicht auf eine Geschwindigkeit von $$0 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ abgebremst werden kann. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Variation von $$f$$ ===<br /> [[Datei:F23ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=23$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Nicht nur der Restitutionskoeffizient kann verändert werden, auch die Grundfrequenz des Ferritstabs lässt sich durch eine Änderung der Länge des Stabs erreichen. Aus diesem Grund haben wir theoretisch die Frequenzvariation durchgeführt. <br /> <br /> Die Frequenz des Ferritstabs hängt wiefolgt von der Stablänge ab: $$\frac{v}{2 \cdot L}$$. Somit ergibt sich der Zusammenhang, dass mit steigendem $$f$$ auch die Geschwindigkeit der Membran zunimmt, was dazu führt, dass sich der Wert für $$u_{max}$$ erhöht. <br /> <br /> Aus einem höheren $$u_{max}$$ folgt, dass der y-Achsenabschnitt der begrenzenden Gerade ansteigt sowie der Anstieg zunimmt. Außerdem ergibt sich durch eine höhere Membrangeschwindigkeit, dass die maximal erreichbaren Geschwindigkeiten trivialer Weise ansteigen.<br /> <br /> =='''Fazit'''==<br /> Wir haben lange versucht ein Experimentieraufbau mit einem Ferritstab zu entwerfen, um der GYPT Aufgabe exakt zu entsprechen. Hierbei sind wir allerdings nach vielen Versuchen dennoch gescheitert trotz Hilfe vieler Personen, sodass wir uns entschieden haben dieses durch einen Proxy zu ersetzen. Für diesen haben wir anschließend einen Versuchsaufbau konstruiert und uns Gedanken zur Messdatengenerierung gemacht, sodass wir fast sofort in der Lage waren mit dem Proxy tatsächliche Messdaten zu erheben. Ebenfalls haben wir eine Theorie aufgestellt und diese mit Messdaten verglichen. Dabei sind wir zu dem Schluss gekommen, dass unsere Theorie realitätsgetreu ist und somit das Sprungverhalten vorhersagen kann.<br /> <br /> Rückblickend ist es etwas schade, dass wir den Ferritstab nicht zum laufen bekommen haben, da dieser nicht perfekt durch einen Proxy ersetzbar ist und wir somit kleinere Abweichungen in Kauf nehmen mussten. Ebenfalls hätten wir gerne mehr Messdaten erhoben und diese vorallem auch mit der Möglichkeit des Audiotrackings umgesetzt und nicht nur mit dem Videotracking. Zusätzlich dazu wäre es auch schön gewesen wenn wir mehrere Messreihen mit unterschiedlichen Parametern gemessen hätten.<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=822 2023-03-16T14:51:13Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Variation von $$\alpha$$ */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> ==== Videotracking ====<br /> Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     <br /> <br /> ==== Audiotracking ====<br /> Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen. <br /> <br /> Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> [[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]<br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.<br /> <br /> Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.<br /> <br /> Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.<br /> <br /> Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.<br /> <br /> == Vorhersagen für die Ferritstange ==<br /> [[Datei:F19k 0 2.png|mini|333x333px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> [[Datei:F19ka0 8.png|mini|334x334px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> Da wir eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie- und Messdaten mit dem Proxy feststellen konnten, lässt sich behaupten, dass wir die zu entstehenden Daten mittels unserer Theorie relative präzise vorhersagen können. Dafür müssen wir nur die Eigenschaften des Ferritstabes berücksichtigen.<br /> <br /> === Eigenschaften des Ferritstabs ===<br /> Der Ferritstab besitzt einige Eigenschaften, die ihn vom Proxy unterscheiden, vor allem was die Frequenz und die Auslenkung betrifft. Die Frequenz $$f$$ unseres Ferritstabes beträgt $$20$$kHz, die Auslenkung ungefähr $$0,01$$mm und sie besitzt einen experimentell ermittelten Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$ von $$0.74$$ mit einer Standardabweichung von $$\sigma = 0,074$$. <br /> [[Datei:F15ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=15$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Durch die Variation der Ferritstablänge kann ihre Grundfrequenz verändert werden, weshalb sie dann mit einer anderen Frequenz schwingen wird. Des Weiteren bleibt die Auslenkung des Ferritstabs ungefähr gleich, obwohl sie natürlich von der Ferritstablänge abhängt. Der Restitutionskoeffizient hängt Primär von dem Material des Balls ab und dieses kann sehr einfach variiert werden. <br /> <br /> Also kann man nun mittels unserer Theorie vorhersagen, wie sich der Ball mit bestimmten Eigenschaften auf der Ferritstange verhalten wird.<br /> === Variation von $$\alpha$$ ===<br /> Mit dieser Reihe an Darstellungen zeigt sich die Auswirkung eines erhöhten $$\alpha$$. Man kann sehr klar erkennen, dass der Anstieg des Graphen immer größer wird, je höher das $$\alpha$$ ist. Das liegt daran, dass $$\alpha$$ in der Vorhersage $$v_{n+1} = u \cdot (1+\alpha) -v_n \cdot \alpha$$ durch den Ausdruck $$v_n \cdot \alpha$$ als Anstieg der Funktion fungiert, die die obere Gerade bildet, und der Term $$u \cdot (1+\alpha)$$ bildet den y-Achsenabschnitt. <br /> <br /> Außerdem kann man erkennen, dass folgender Zusammenhang gilt: $$\alpha \uparrow \uparrow v_{n+1}$$. Dieser Zusammenhang ist relativ trivial, da mit höheren Restitutionskoeffizienten die Energie, die der Ball wieder für den nächsten Sprung bekommt, deutlich höher als bei niedrigen $$\alpha$$ ist. <br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Für hohe $$\alpha$$, bei denen sehr viel Energie wieder in das System zurück gegeben wird, erkennt man, dass die Werte für $$v_{n+1}$$ durch eine untere Gerade begrenzt werden. Das lässt sich dadurch erklären, dass bei solch hohen $$\alpha$$ bei schon hohen $$v_n$$s schon so viel Energie im Sprung vorhanden ist, sodass dieser gar nicht auf eine Geschwindigkeit von $$0 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ abgebremst werden kann. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Variation von $$f$$ ===<br /> [[Datei:F23ka0 74.png|mini|333x333px|$$f=23$$kHz und $$\alpha=0,74$$]]<br /> Nicht nur der Restitutionskoeffizient kann verändert werden, auch die Grundfrequenz des Ferritstabs lässt sich durch eine Änderung der Länge des Stabs erreichen. Aus diesem Grund haben wir theoretisch die Frequenzvariation durchgeführt. <br /> <br /> Die Frequenz des Ferritstabs hängt wiefolgt von der Stablänge ab: $$\frac{v}{2 \cdot L}$$. Somit ergibt sich der Zusammenhang, dass mit steigendem $$f$$ auch die Geschwindigkeit der Membran zunimmt, was dazu führt, dass sich der Wert für $$u_{max}$$ erhöht. <br /> <br /> Aus einem höheren $$u_{max}$$ folgt, dass der y-Achsenabschnitt der begrenzenden Gerade ansteigt sowie der Anstieg zunimmt. Außerdem ergibt sich durch eine höhere Membrangeschwindigkeit, dass die maximal erreichbaren Geschwindigkeiten trivialer Weise ansteigen.<br /> <br /> =='''Fazit'''==<br /> Wir haben lange versucht ein Experimentieraufbau mit einem Ferritstab zu entwerfen, um der GYPT Aufgabe exakt zu entsprechen. Hierbei sind wir allerdings nach vielen Versuchen dennoch gescheitert trotz Hilfe vieler Personen, sodass wir uns entschieden haben dieses durch einen Proxy zu ersetzen. Für diesen haben wir anschließend einen Versuchsaufbau konstruiert und uns Gedanken zur Messdatengenerierung gemacht, sodass wir fast sofort in der Lage waren mit dem Proxy tatsächliche Messdaten zu erheben. Ebenfalls haben wir eine Theorie aufgestellt und diese mit Messdaten verglichen. Dabei sind wir zu dem Schluss gekommen, dass unsere Theorie realitätsgetreu ist und somit das Sprungverhalten vorhersagen kann.<br /> <br /> Rückblickend ist es etwas schade, dass wir den Ferritstab nicht zum laufen bekommen haben, da dieser nicht perfekt durch einen Proxy ersetzbar ist und wir somit kleinere Abweichungen in Kauf nehmen mussten. Ebenfalls hätten wir gerne mehr Messdaten erhoben und diese vorallem auch mit der Möglichkeit des Audiotrackings umgesetzt und nicht nur mit dem Videotracking. Zusätzlich dazu wäre es auch schön gewesen wenn wir mehrere Messreihen mit unterschiedlichen Parametern gemessen hätten.<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:F23ka0_74.png&diff=818 2023-03-16T14:37:24Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>f=23kHz und alpha=0,74</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:F15ka0_74.png&diff=817 2023-03-16T14:35:59Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>f=15kHz und alpha=0,47</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=810 2023-03-16T14:12:13Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Variation von $$\alpha$$ */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> ==== Videotracking ====<br /> Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     <br /> <br /> ==== Audiotracking ====<br /> Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen. <br /> <br /> Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> [[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]<br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.<br /> <br /> Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.<br /> <br /> Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.<br /> <br /> Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.<br /> <br /> == Vorhersagen für die Ferritstange ==<br /> Da wir eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie- und Messdaten mit dem Proxy feststellen konnten, lässt sich behaupten, dass wir die zu entstehenden Daten mittels unserer Theorie relative präzise vorhersagen können. Dafür müssen wir nur die Eigenschaften des Ferritstabes berücksichtigen.<br /> <br /> === Eigenschaften des Ferritstabs ===<br /> Der Ferritstab besitzt einige Eigenschaften, die ihn vom Proxy unterscheiden, vor allem was die Frequenz und die Auslenkung betrifft. Die Frequenz $$f$$ unseres Ferritstabes beträgt $$20$$kHz, die Auslenkung ungefähr $$0,01$$mm und sie besitzt einen experimentell ermittelten Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$ von $$0.74$$ mit einer Standardabweichung von $$\sigma = 0,074$$. <br /> <br /> Durch die Variation der Ferritstablänge kann ihre Grundfrequenz verändert werden, weshalb sie dann mit einer anderen Frequenz schwingen wird. Des Weiteren bleibt die Auslenkung des Ferritstabs ungefähr gleich, obwohl sie natürlich von der Ferritstablänge abhängt. Der Restitutionskoeffizient hängt Primär von dem Material des Balls ab und dieses kann sehr einfach variiert werden. <br /> <br /> Also kann man nun mittels unserer Theorie vorhersagen, wie sich der Ball mit bestimmten Eigenschaften auf der Ferritstange verhalten wird.[[Datei:F19k 0 2.png|mini|333x333px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> === Variation von $$\alpha$$ ===<br /> Mit dieser Reihe an Darstellungen zeigt sich die Auswirkung eines erhöhten $$\alpha$$. Man kann sehr klar erkennen, dass der Anstieg des Graphen immer größer wird, je höher das $$\alpha$$ ist. Das liegt daran, dass $$\alpha$$ in der Vorhersage $$v_{n+1} = u \cdot (1+\alpha) -v_n \cdot \alpha$$ durch den Ausdruck $$v_n \cdot \alpha$$ als Anstieg der Funktion fungiert, die die obere Gerade bildet, und der Term $$u \cdot (1+\alpha)$$ bildet den y-Achsenabschnitt. <br /> <br /> Außerdem kann man erkennen, dass folgender Zusammenhang gilt: $$\alpha \uparrow \uparrow v_{n+1}$$. Dieser Zusammenhang ist relativ trivial, da mit höheren Restitutionskoeffizienten die Energie, die der Ball wieder für den nächsten Sprung bekommt, deutlich höher als bei niedrigen $$\alpha$$ ist. <br /> [[Datei:F19ka0 8.png|mini|334x334px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> &lt;nowiki&gt;Für hohe $$\alpha$$, bei denen sehr viel Energie wieder in das System zurück gegeben wird, erkennt man, dass die Werte für $$v_{n+1}$$ durch eine untere Gerade begrenzt werden. Das lässt sich dadurch erklären, dass bei solch hohen $$\alpha$$ bei schon hohen $$v_n$$s schon so viel Energie im Sprung vorhanden ist, sodass dieser gar nicht auf eine Geschwindigkeit von $$0 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ abgebremst werden kann. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> =='''Fazit'''==<br /> Wir haben lange versucht ein Experimentieraufbau mit einem Ferritstab zu entwerfen, um der GYPT Aufgabe exakt zu entsprechen. Hierbei sind wir allerdings nach vielen Versuchen dennoch gescheitert trotz Hilfe vieler Personen, sodass wir uns entschieden haben dieses durch einen Proxy zu ersetzen. Für diesen haben wir anschließend einen Versuchsaufbau konstruiert und uns Gedanken zur Messdatengenerierung gemacht, sodass wir fast sofort in der Lage waren mit dem Proxy tatsächliche Messdaten zu erheben. Ebenfalls haben wir eine Theorie aufgestellt und diese mit Messdaten verglichen. Dabei sind wir zu dem Schluss gekommen, dass unsere Theorie realitätsgetreu ist und somit das Sprungverhalten vorhersagen kann.<br /> <br /> Rückblickend ist es etwas schade, dass wir den Ferritstab nicht zum laufen bekommen haben, da dieser nicht perfekt durch einen Proxy ersetzbar ist und wir somit kleinere Abweichungen in Kauf nehmen mussten. Ebenfalls hätten wir gerne mehr Messdaten erhoben und diese vorallem auch mit der Möglichkeit des Audiotrackings umgesetzt und nicht nur mit dem Videotracking. Zusätzlich dazu wäre es auch schön gewesen wenn wir mehrere Messreihen mit unterschiedlichen Parametern gemessen hätten.<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:F19ka0_8.png&diff=809 2023-03-16T14:11:41Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>f=19kHz und alpha=0,8</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=807 2023-03-16T14:05:29Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersagen für die Ferritstange */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> ==== Videotracking ====<br /> Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     <br /> <br /> ==== Audiotracking ====<br /> Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen. <br /> <br /> Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> [[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]<br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.<br /> <br /> Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.<br /> <br /> Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.<br /> <br /> Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.<br /> <br /> == Vorhersagen für die Ferritstange ==<br /> Da wir eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie- und Messdaten mit dem Proxy feststellen konnten, lässt sich behaupten, dass wir die zu entstehenden Daten mittels unserer Theorie relative präzise vorhersagen können. Dafür müssen wir nur die Eigenschaften des Ferritstabes berücksichtigen.<br /> <br /> === Eigenschaften des Ferritstabs ===<br /> Der Ferritstab besitzt einige Eigenschaften, die ihn vom Proxy unterscheiden, vor allem was die Frequenz und die Auslenkung betrifft. Die Frequenz $$f$$ unseres Ferritstabes beträgt $$20$$kHz, die Auslenkung ungefähr $$0,01$$mm und sie besitzt einen experimentell ermittelten Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$ von $$0.74$$ mit einer Standardabweichung von $$\sigma = 0,074$$. <br /> <br /> Durch die Variation der Ferritstablänge kann ihre Grundfrequenz verändert werden, weshalb sie dann mit einer anderen Frequenz schwingen wird. Des Weiteren bleibt die Auslenkung des Ferritstabs ungefähr gleich, obwohl sie natürlich von der Ferritstablänge abhängt. Der Restitutionskoeffizient hängt Primär von dem Material des Balls ab und dieses kann sehr einfach variiert werden. <br /> <br /> Also kann man nun mittels unserer Theorie vorhersagen, wie sich der Ball mit bestimmten Eigenschaften auf der Ferritstange verhalten wird.<br /> <br /> === Variation von $$\alpha$$ ===<br /> [[Datei:F19k 0 2.png|mini|333x333px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]<br /> Mit dieser Reihe an Darstellungen zeigt sich die Auswirkung eines erhöhten $$\alpha$$. Man kann sehr klar erkennen, dass der Anstieg des Graphen immer größer wird, je höher das $$\alpha$$ ist. Das liegt daran, dass $$\alpha$$ in der Vorhersage $$v_{n+1} = u \cdot (1+\alpha) -v_n \cdot \alpha$$ durch den Ausdruck $$v_n \cdot \alpha$$ als Anstieg der Funktion fungiert, die die obere Gerade bildet, und der Term $$u \cdot (1+\alpha)$$ bildet den y-Achsenabschnitt. <br /> <br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:F19k_0_2.png&diff=804 2023-03-16T13:59:23Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Theoriedaten für f=19kHz und alpha=0,2</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=803 2023-03-16T13:54:13Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersagen für die Ferritstange */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> ==== Videotracking ====<br /> Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     <br /> <br /> ==== Audiotracking ====<br /> Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen. <br /> <br /> Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> [[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]<br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.<br /> <br /> Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.<br /> <br /> Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.<br /> <br /> Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.<br /> <br /> == Vorhersagen für die Ferritstange ==<br /> Da wir eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie- und Messdaten mit dem Proxy feststellen konnten, lässt sich behaupten, dass wir die zu entstehenden Daten mittels unserer Theorie relative präzise vorhersagen können. Dafür müssen wir nur die Eigenschaften des Ferritstabes berücksichtigen.<br /> <br /> === Eigenschaften des Ferritstabs ===<br /> Der Ferritstab besitzt einige Eigenschaften, die ihn vom Proxy unterscheiden, vor allem was die Frequenz und die Auslenkung betrifft. Die Frequenz $$f$$ unseres Ferritstabes beträgt $$20$$kHz, die Auslenkung ungefähr $$0,01$$mm und sie besitzt einen experimentell ermittelten Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$ von $$0.74$$ mit einer Standardabweichung von $$\sigma = 0,074$$. <br /> <br /> Durch die Variation der Ferritstablänge kann ihre Grundfrequenz verändert werden, weshalb sie dann mit einer anderen Frequenz schwingen wird. Des Weiteren bleibt die Auslenkung des Ferritstabs ungefähr gleich, obwohl sie natürlich von der Ferritstablänge abhängt. Der Restitutionskoeffizient hängt Primär von dem Material des Balls ab und dieses kann sehr einfach variiert werden. <br /> <br /> Also kann man nun mittels unserer Theorie vorhersagen, wie sich der Ball mit bestimmten Eigenschaften auf der Ferritstange verhalten wird.<br /> <br /> === Variation von $$\alpha$$ ===<br /> <br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=796 2023-03-16T13:37:44Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> ==== Videotracking ====<br /> Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     <br /> <br /> ==== Audiotracking ====<br /> Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen. <br /> <br /> Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> <br /> == Vorhersagen für die Ferritstange ==<br /> <br /> === Eigenschaften des Ferritstabs ===<br /> <br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=787 2023-03-12T10:49:39Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersage der Theorie */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=786 2023-03-12T10:47:41Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersage der Theorie */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt, Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu errecihen, wo diese am Meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

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<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersage der Theorie */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese &quot;limitierende Gerade&quot; besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt, Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu errecihen, wo diese am Meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=784 2023-03-12T10:46:03Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersage der Theorie */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt, Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu errecihen, wo diese am Meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen. <br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=783 2023-03-12T10:45:37Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersage der Theorie */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> [[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]<br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von 0,51, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden. <br /> <br /> Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt, Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu errecihen, wo diese am Meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen.<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=782 2023-03-12T10:36:36Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersage der Theorie */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.<br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> <br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreciht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=781 2023-03-12T10:36:16Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersage der Theorie */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$. <br /> <br /> Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann. <br /> <br /> Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreciht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=780 2023-03-12T10:31:56Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Vorhersage der Theorie */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> [[Datei:IntersectionBallMembrane.png|mini|338x338px|Zusammenprall von Ball und Membran]]<br /> Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?<br /> [[Datei:Schattenbereich.png|mini|358x358px|Darstellung des Landebereiches]]<br /> <br /> <br /> Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:Schattenbereich.png&diff=779 2023-03-12T10:26:27Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Zeigt, wo der Ball landen kann, und den Schattenbereich.</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:IntersectionBallMembrane.png&diff=778 2023-03-12T10:20:46Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Darstellung der Kollision des Balls mit der Membran.</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=777 2023-03-12T10:19:02Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Geschwindigkeitsberechnung */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution<br /> *[7] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=776 2023-03-12T10:16:17Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Geschwindigkeitsberechnung */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=775 2023-03-12T10:14:25Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Geschwindigkeitsberechnung */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> &lt;nowiki&gt;Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=774 2023-03-11T22:40:44Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Geschwindigkeitsberechnung */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> [[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls]]<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. <br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:Relative_Geschwindigkeiten_des_Balls.png&diff=773 2023-03-11T22:15:41Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Eine Graphik der relativen Geschwindigkeit des Balls vor und nach dem Sprung.</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=772 2023-03-11T22:14:32Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Beschreibung des Falls */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=771 2023-03-11T22:12:46Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Bewegung der Membran */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> &lt;nowiki&gt;Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$.&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=770 2023-03-11T22:09:05Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Parameter und Variablen */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \dot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$.<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=769 2023-03-11T21:55:03Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Bewegung der Membran */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|380x380px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung <br /> <br /> $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. <br /> <br /> Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: <br /> <br /> $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=768 2023-03-11T21:54:26Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Bewegung der Membran */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> <br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> [[Datei:Ball und Membran.png|mini|380x380px|Variablen von Membran und Ball]]<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:Ball_und_Membran.png&diff=767 2023-03-11T21:53:57Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Darstellung der Variablen bezüglich des Balls und der Membran.</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=766 2023-03-11T21:52:43Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Bewegung der Membran */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> <br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: $$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=765 2023-03-11T21:52:24Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Bewegung der Membran */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> <br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung $$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$. Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen: $$u(t) = dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=764 2023-03-11T21:44:11Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Parameter und Variabeln */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variablen ====<br /> [[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]<br /> Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.<br /> <br /> * Membran:<br /> ** Frequenz $$f$$<br /> ** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$<br /> ** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$<br /> * Ball:<br /> ** Masse $$m$$<br /> ** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$<br /> <br /> Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:<br /> <br /> * Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$<br /> * Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$<br /> <br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:Parameter.png&diff=763 2023-03-11T21:39:41Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Auflistung der Parameter als Graphik</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Ball_on_a_Ferrite_Rod&diff=762 2023-03-11T16:53:02Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): /* Bewegungen des Balls */</p> <hr /> <div><br /> In diesem Artikel wird das Projekt &quot;Ball on a Ferrite Rod&quot; von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.<br /> <br /> =='''Thema'''==<br /> ''&quot;A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon.&quot;''<br /> <br /> Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.<br /> =='''Ferritstab'''==<br /> [[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]<br /> === Längenänderung ===<br /> Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch. <br /> <br /> === Grundfrequenz ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. &lt;/nowiki&gt;[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]<br /> <br /> Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.<br /> <br /> Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.<br /> <br /> === Anregung mit Schwingkreis ===<br /> &lt;nowiki&gt;Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert). <br /> <br /> Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet. <br /> <br /> === Einführung des Proxys ===<br /> Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.<br /> <br /> == '''Bewegungen des Balls''' ==<br /> [[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]<br /> <br /> === Grundlegende Erklärung ===<br /> Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Start''':&lt;/u&gt; Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Flugphase''':&lt;/u&gt; Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Landung''':&lt;/u&gt; Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.<br /> <br /> === Theorie ===<br /> <br /> ==== Parameter und Variabeln ====<br /> <br /> ==== Bewegung der Membran ====<br /> <br /> ==== Beschreibung des Falls ====<br /> <br /> ==== Geschwindigkeitsberechnung ====<br /> <br /> === Vorhersage der Theorie ===<br /> <br /> =='''Setup'''==<br /> [[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]<br /> [[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]<br /> <br /> === Aufbau ===<br /> Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.<br /> <br /> === Messdatenauswertung ===<br /> <br /> =='''Daten'''==<br /> <br /> === Ermittelung des Restitutionskoeffizienten ===<br /> Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. &lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt. <br /> <br /> Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> === Geschwindigkeiten ===<br /> Nach der Theorie gilt:<br /> <br /> $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br /> $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:<br /> <br /> $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$<br /> <br />                 <br /> <br /> Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.<br /> <br /> Nach unserer Theorie formen die Werte <br /> <br /> $$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$<br /> <br /> eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.<br /> [[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]<br /> <br /> <br /> Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.<br /> === Vergleich von Theorie und Messdaten: ===<br /> =='''Fazit'''==<br /> <br /> =='''Erfolge'''==<br /> Wir haben folgende Erfolge errungen:<br /> *Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)<br /> *GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)<br /> *BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)<br /> *BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)<br /> =='''Quellen'''==<br /> <br /> * [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion <br /> *[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance<br /> *[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements <br /> *[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]<br /> *[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]<br /> *[6] <br /> <br /> *<br /> =='''Danksagung'''==<br /> *</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in) https://phyxz.herder-oberschule.de/index.php?title=Datei:Basic_explanation_2.png&diff=761 2023-03-11T16:43:36Z

<p>Fabian Schmitt (Schüler*in): </p> <hr /> <div>Eine Darstellung eines Ballsprunges</div>

Fabian Schmitt (Schüler*in)