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Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T22:38:49Z

LinusK:

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $$k$$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I \cdot N}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben als:

$$\mathbf{\Phi}=$$ \begin{pmatrix}

\varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_N

\end{pmatrix}

$$\mathbf{K}=$$ \begin{pmatrix}

\frac{mgl+kl}{I} & \frac{-kl}{I} & 0 & ... & 0 \\ \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & \frac{-kl}{I} ... & 0\\ 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \frac{-kl}{I} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+kl}{I}

\end{pmatrix}

Dies erlaub uns unsere Bewegungsgleichungen umzuschreiben als:

\[\mathbf{\ddot\Phi} = -\mathbf{K\Phi}\]

Um nun die Normalmodi der Bewegung zu untersuchen setzten wir $$\mathbf{\Phi}=\mathbf{A} \cdot e^{i \omega t + \phi}$$ und erhalten

\[- \omega^2 \mathbf{A} = -\mathbf{KA},\]

\[(\mathbf{K}-\omega^2 \mathbf{I})\mathbf{A} = 0.\]

Somit können wir die Frequenzen der Pendel durch die Eigenwerte der Kopplungsmatrix $$K$$ bestimmen als:

\[f_p = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\omega_0^2 + \frac{24 \mu_0 \mu^2 l^2}{\pi d^5 I}\left( 1-\cos(\frac{p \pi}{N+1}) \right)},\]

mit

\[\omega_0 = \frac{g}{l_c}.\]

Wir können ebenfalls die relativen Amplituden der Pendel durch die Eigenvektoren vorhersagen als:

\[v_p = \sin(\frac{kp \pi}{N+1}),\]

was es uns erlaub Eigenmodi zu simulieren.

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
[[Datei:Ganzes Setup.png|mini|Ganzes Setup]]
[[Datei:Pendel.png|links|mini|230x230px|Pendel]]
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
[[Datei:Magnetic release.png|mini|Magnetic release]]
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

====Magnetisierungsmessung====
[[Datei:Magnetisierungsmessung.png|mini|Magnetisierungsmessung]]
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

====Reibungsmessung====
[[Datei:Reibungsmessung.png|mini|293x293px|Reibungsmessung]]
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

====Vergleich von simulierter und reeller Bewegung====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
[[Datei:3-Pendel-Aufbau.png|mini|3-Pendel-Aufbau]]

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
==Daten==

=== Magnetfeldsmessung ===

[[Datei:De magnetic dipole field comparison.png|mini|ohne|Magnetfeld auf verschiedenen Distanzen]]

Um die Magnetstärke anzupassen, maßen wir für verschiedene Distanzen die Magnetfeldflussdichte und fitten eine Formfunktion an diese Messung. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurve unserer gefitteten Formfunktion.

=== Reibungsmessung ===

[[Datei:De good friction fitting.png|mini|ohne|Peaks der Schwingung eines Pendels]]

Um die Reibungskonstante zu ermitteln, nahmen wir den Winkel eines einzelnen Pendels über Zeit auf. Danach haben wir die Peaks betrachtet und die Reibungskonstanten gefittet. Die Punkte entsprechen den Peaks, die wir gemessen haben, und die Kurve
der Formfunktion mit gefitteten Reibungskonstanten.

===Vorhersage der Bewegung===
[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation|250x250px]]
[[Datei:Laenge.png|mini|Pendellängenvariation|250x250px]][[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung|250x250px]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation|250x250px]]
[[Datei:Magnete.png|mini|Magnetisierungvariation|250x250px]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest|250x250px]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

===Vorhersage der Eigenfrequenzen===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

===Veranschaulichung===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

====Theoretische Fehler====

=====Magnetisierungsachse=====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

=====Linearisation bei Frequenzenbetrachtung=====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

==Fazit und Ausblick==

===Vergleich mit normalem Newton-Pendel===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T20:18:22Z

LinusK: /* Analytische Frequenztheorie */

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $$k$$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I \cdot N}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben als:

$$\mathbf{\Phi}=$$ \begin{pmatrix}

\varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_N

\end{pmatrix}

$$\mathbf{K}=$$ \begin{pmatrix}

\frac{mgl+kl}{I} & \frac{-kl}{I} & 0 & ... & 0 \\ \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & \frac{-kl}{I} ... & 0\\ 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \frac{-kl}{I} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+kl}{I}

\end{pmatrix}

Dies erlaub uns unsere Bewegungsgleichungen umzuschreiben als:

\[\mathbf{\ddot\Phi} = -\mathbf{K\Phi}\]

Um nun die Normalmodi der Bewegung zu untersuchen setzten wir $$\mathbf{\Phi}=\mathbf{A} \cdot e^{i \omega t + \phi}$$ und erhalten

\[- \omega^2 \mathbf{A} = -\mathbf{KA},\]

\[(\mathbf{K}-\omega^2 \mathbf{I})\mathbf{A} = 0.\]

Somit können wir die Frequenzen der Pendel durch die Eigenwerte der Kopplungsmatrix $$K$$ bestimmen als:

\[f_p = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\omega_0^2 + \frac{24 \mu_0 \mu^2 l^2}{\pi d^5 I}\left( 1-\cos(\frac{p \pi}{N+1}) \right)},\]

mit

\[\omega_0 = \frac{g}{l_c}.\]

Wir können ebenfalls die relativen Amplituden der Pendel durch die Eigenvektoren vorhersagen als:

\[v_p = \sin(\frac{kp \pi}{N+1}),\]

was es uns erlaub Eigenmodi zu simulieren.

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
[[Datei:Ganzes Setup.png|mini|Ganzes Setup]]
[[Datei:Pendel.png|links|mini|230x230px|Pendel]]
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
[[Datei:Magnetic release.png|mini|Magnetic release]]
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

====Magnetisierungsmessung====
[[Datei:Magnetisierungsmessung.png|mini|Magnetisierungsmessung]]
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

====Reibungsmessung====
[[Datei:Reibungsmessung.png|mini|293x293px|Reibungsmessung]]
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

====Vergleich von simulierter und reeller Bewegung====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
[[Datei:3-Pendel-Aufbau.png|mini|3-Pendel-Aufbau]]

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
==Daten==

=== Magnetfeldsmessung ===

[[Datei:De magnetic dipole field comparison.png|mini|ohne|Magnetfeld auf verschiedenen Distanzen]]

Um die Magnetstärke anzupassen, maßen wir für verschiedene Distanzen die Magnetfeldflussdichte und fitten eine Formfunktion an diese Messung. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurve unserer gefitteten Formfunktion.

=== Reibungsmessung ===

[[Datei:De good friction fitting.png|mini|ohne|Peaks der Schwingung eines Pendels]]

Um die Reibungskonstante zu ermitteln, nahmen wir den Winkel eines einzelnen Pendels über Zeit auf. Danach haben wir die Peaks betrachtet und die Reibungskonstanten gefittet. Die Punkte entsprechen den Peaks, die wir gemessen haben, und die Kurve
der Formfunktion mit gefitteten Reibungskonstanten.

===Vorhersage der Bewegung===
[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation|250x250px]]
[[Datei:Laenge.png|mini|Pendellängenvariation|250x250px]][[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung|250x250px]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation|250x250px]]
[[Datei:Magnete.png|mini|Magnetisierungvariation|250x250px]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest|250x250px]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

===Vorhersage der Eigenfrequenzen===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

===Veranschaulichung===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

====Theoretische Fehler====

=====Magnetisierungsachse=====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

=====Linearisation bei Frequenzenbetrachtung=====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

==Fazit und Ausblick==

===Vergleich mit normalem Newton-Pendel===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T20:14:03Z

LinusK: /* Analytische Frequenztheorie */

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $$k$$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I \cdot N}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben als:

$$\mathbf{\Phi}=$$ \begin{pmatrix}

\varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_N

\end{pmatrix}

$$\mathbf{K}=$$ \begin{pmatrix}

\frac{mgl+kl}{I} & \frac{-kl}{I} & 0 & ... & 0 \\ \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & \frac{-kl}{I} ... & 0\\ 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \frac{-kl}{I} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+kl}{I}

\end{pmatrix}

Dies erlaub uns unsere Bewegungsgleichungen umzuschreiben als:

\[\mathbf{\ddot\Phi} = -\mathbf{K\Phi}\]

Um nun die Normalmodi der Bewegung zu untersuchen setzten wir $$\mathbf{\Phi}=\mathbf{A} \cdot e^{i \omega t + \phi}$$ und erhalten

\[- \omega^2 \mathbf{A} = -\mathbf{KA},\]

\[(\mathbf{K}-\omega^2 \mathbf{I})\mathbf{A} = 0.\]

Somit können wir die Frequenzen der Pendel durch die Eigenwerte der Kopplungsmatrix $$K$$ bestimmen als:

\[f_p = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\omega_0^2 + \frac{24 \mu_0 \mu^2 l^2}{\pi d^5 I}\left( 1-\cos(\frac{p \pi}{N+1}) \right)},\]

mit

\[\omega_0 = \frac{g}{l_c}.\]

Wir können ebenfalls die relativen Amplituden der Pendel durch die Eigenvektoren vorhersagen als:

\[v_p = A_p \cdot \sin(\frac{kp \pi}{N+1}),\]

was es uns erlaub Eigenmodi zu simulieren.

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
[[Datei:Ganzes Setup.png|mini|Ganzes Setup]]
[[Datei:Pendel.png|links|mini|230x230px|Pendel]]
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
[[Datei:Magnetic release.png|mini|Magnetic release]]
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

====Magnetisierungsmessung====
[[Datei:Magnetisierungsmessung.png|mini|Magnetisierungsmessung]]
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

====Reibungsmessung====
[[Datei:Reibungsmessung.png|mini|293x293px|Reibungsmessung]]
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

====Vergleich von simulierter und reeller Bewegung====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
[[Datei:3-Pendel-Aufbau.png|mini|3-Pendel-Aufbau]]

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
==Daten==

=== Magnetfeldsmessung ===

[[Datei:De magnetic dipole field comparison.png|mini|ohne|Magnetfeld auf verschiedenen Distanzen]]

Um die Magnetstärke anzupassen, maßen wir für verschiedene Distanzen die Magnetfeldflussdichte und fitten eine Formfunktion an diese Messung. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurve unserer gefitteten Formfunktion.

=== Reibungsmessung ===

[[Datei:De good friction fitting.png|mini|ohne|Peaks der Schwingung eines Pendels]]

Um die Reibungskonstante zu ermitteln, nahmen wir den Winkel eines einzelnen Pendels über Zeit auf. Danach haben wir die Peaks betrachtet und die Reibungskonstanten gefittet. Die Punkte entsprechen den Peaks, die wir gemessen haben, und die Kurve
der Formfunktion mit gefitteten Reibungskonstanten.

===Vorhersage der Bewegung===
[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation|250x250px]]
[[Datei:Laenge.png|mini|Pendellängenvariation|250x250px]][[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung|250x250px]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation|250x250px]]
[[Datei:Magnete.png|mini|Magnetisierungvariation|250x250px]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest|250x250px]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

===Vorhersage der Eigenfrequenzen===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

===Veranschaulichung===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

====Theoretische Fehler====

=====Magnetisierungsachse=====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

=====Linearisation bei Frequenzenbetrachtung=====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

==Fazit und Ausblick==

===Vergleich mit normalem Newton-Pendel===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T20:11:56Z

LinusK: /* Analytische Frequenztheorie */

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $$k$$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I \cdot N}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben als:

$$\mathbf{\Phi}=$$ \begin{pmatrix}

\varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_N

\end{pmatrix}

$$\mathbf{K}=$$ \begin{pmatrix}

\frac{mgl+kl}{I} & \frac{-kl}{I} & 0 & ... & 0 \\ \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & \frac{-kl}{I} ... & 0\\ 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \frac{-kl}{I} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+kl}{I}

\end{pmatrix}

Dies erlaub uns unsere Bewegungsgleichungen umzuschreiben als:

\[\mathbf{\ddot\Phi} = -\mathbf{K\Phi}\]

Um nun die Normalmodi der Bewegung zu untersuchen setzten wir $$\Phi=A \cdot e^{i \omega t + \phi}$$ und erhalten

\[- \omega^2 \mathbf{A} = -\mathbf{KA},\]

\[(\mathbf{K}-\omega^2 \mathbf{I})\mathbf{A} = 0.\]

Somit können wir die Frequenzen der Pendel durch die Eigenwerte der Kopplungsmatrix $$K$$ bestimmen als:

\[f_p = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\omega_0^2 + \frac{24 \mu_0 \mu^2 l^2}{\pi d^5 I}\left( 1-\cos(\frac{p \pi}{N+1}) \right)},\]

mit

\[\omega_0 = \frac{g}{l_c}.\]

Wir können ebenfalls die relativen Amplituden der Pendel durch die Eigenvektoren vorhersagen als:

\[v_p = A \cdot \sin(\frac{kp \pi}{N+1}),\]

was es uns erlaub Eigenmodi zu simulieren.

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
[[Datei:Ganzes Setup.png|mini|Ganzes Setup]]
[[Datei:Pendel.png|links|mini|230x230px|Pendel]]
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
[[Datei:Magnetic release.png|mini|Magnetic release]]
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

====Magnetisierungsmessung====
[[Datei:Magnetisierungsmessung.png|mini|Magnetisierungsmessung]]
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

====Reibungsmessung====
[[Datei:Reibungsmessung.png|mini|293x293px|Reibungsmessung]]
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

====Vergleich von simulierter und reeller Bewegung====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
[[Datei:3-Pendel-Aufbau.png|mini|3-Pendel-Aufbau]]

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
==Daten==

=== Magnetfeldsmessung ===

[[Datei:De magnetic dipole field comparison.png|mini|ohne|Magnetfeld auf verschiedenen Distanzen]]

Um die Magnetstärke anzupassen, maßen wir für verschiedene Distanzen die Magnetfeldflussdichte und fitten eine Formfunktion an diese Messung. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurve unserer gefitteten Formfunktion.

=== Reibungsmessung ===

[[Datei:De good friction fitting.png|mini|ohne|Peaks der Schwingung eines Pendels]]

Um die Reibungskonstante zu ermitteln, nahmen wir den Winkel eines einzelnen Pendels über Zeit auf. Danach haben wir die Peaks betrachtet und die Reibungskonstanten gefittet. Die Punkte entsprechen den Peaks, die wir gemessen haben, und die Kurve
der Formfunktion mit gefitteten Reibungskonstanten.

===Vorhersage der Bewegung===
[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation|250x250px]]
[[Datei:Laenge.png|mini|Pendellängenvariation|250x250px]][[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung|250x250px]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation|250x250px]]
[[Datei:Magnete.png|mini|Magnetisierungvariation|250x250px]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest|250x250px]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

===Vorhersage der Eigenfrequenzen===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

===Veranschaulichung===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

====Theoretische Fehler====

=====Magnetisierungsachse=====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

=====Linearisation bei Frequenzenbetrachtung=====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

==Fazit und Ausblick==

===Vergleich mit normalem Newton-Pendel===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T15:38:05Z

LinusK:

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $$k$$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I \cdot N}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben als:

$$\Phi=$$ \begin{pmatrix}

\varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_N

\end{pmatrix}

$$K=$$ \begin{pmatrix}

\frac{mgl+kl}{I} & \frac{-kl}{I} & 0 & ... & 0 \\ \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & \frac{-kl}{I} ... & 0\\ 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \frac{-kl}{I} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+kl}{I}

\end{pmatrix}

Dies erlaub uns unsere Bewegungsgleichungen umzuschreiben als:

\[\ddot\Phi = -K\Phi\]

Um nun die Normalmodi der Bewegung zu untersuchen setzten wir $$\Phi=A \cdot e^{i \omega t + \phi}$$ und erhalten

\[- \omega^2 A = -KA,\]

\[(K-\omega^2 I)A = 0.\]

Somit können wir die Frequenzen der Pendel durch die Eigenwerte der Kopplungsmatrix $$K$$ bestimmen als:

\[f_p = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\omega_0^2 + \frac{24 \mu_0 \mu^2 l^2}{\pi d^5 I}\left( 1-\cos(\frac{p \pi}{N+1}) \right)},\]

mit

\[\omega_0 = \frac{g}{l_c}.\]

Wir können ebenfalls die relativen Amplituden der Pendel durch die Eigenvektoren vorhersagen als:

\[v_p = A \cdot \sin(\frac{kp \pi}{N+1}),\]

was es uns erlaub Eigenmodi zu simulieren.

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
[[Datei:Ganzes Setup.png|mini|Ganzes Setup]]
[[Datei:Pendel.png|links|mini|230x230px|Pendel]]
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
[[Datei:Magnetic release.png|mini|Magnetic release]]
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

====Magnetisierungsmessung====
[[Datei:Magnetisierungsmessung.png|mini|Magnetisierungsmessung]]
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

====Reibungsmessung====
[[Datei:Reibungsmessung.png|mini|293x293px|Reibungsmessung]]
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

====Vergleich von simulierter und reeller Bewegung====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
[[Datei:3-Pendel-Aufbau.png|mini|3-Pendel-Aufbau]]

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
==Daten==

=== Magnetfeldsmessung ===

[[Datei:De magnetic dipole field comparison.png|mini|ohne|Magnetfeld auf verschiedenen Distanzen]]

Um die Magnetstärke anzupassen, maßen wir für verschiedene Distanzen die Magnetfeldflussdichte und fitten eine Formfunktion an diese Messung.

=== Reibungsmessung ===

[[Datei:De good friction fitting.png|mini|ohne|Peaks der Schwingung eines Pendels]]

Um die Reibungskonstante zu ermitteln, nahmen wir den Winkel eines einzelnen Pendels über Zeit auf.

===Vorhersage der Bewegung===
[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation|250x250px]]
[[Datei:Laenge.png|mini|Pendellängenvariation|250x250px]][[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung|250x250px]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation|250x250px]]
[[Datei:Magnete.png|mini|Magnetisierungvariation|250x250px]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest|250x250px]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

===Vorhersage der Eigenfrequenzen===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

===Veranschaulichung===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

====Theoretische Fehler====

=====Magnetisierungsachse=====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

=====Linearisation bei Frequenzenbetrachtung=====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

==Fazit und Ausblick==

===Vergleich mit normalem Newton-Pendel===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T15:23:46Z

LinusK: /* Analytische Frequenztheorie */

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $$k$$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I \cdot N}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben als:

$$\Phi=$$ \begin{pmatrix}

\varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_N

\end{pmatrix}

$$K=$$ \begin{pmatrix}

\frac{mgl+kl}{I} & \frac{-kl}{I} & 0 & ... & 0 \\ \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & \frac{-kl}{I} ... & 0\\ 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \frac{-kl}{I} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+kl}{I}

\end{pmatrix}

Dies erlaub uns unsere Bewegungsgleichungen umzuschreiben als:

\[\ddot\Phi = -K\Phi\]

Um nun die Normalmodi der Bewegung zu untersuchen setzten wir $$\Phi=A \cdot e^{i \omega t + \phi}$$ und erhalten

\[- \omega^2 A = -KA,\]

\[(K-\omega^2 I)A = 0.\]

Somit können wir die Frequenzen der Pendel durch die Eigenwerte der Kopplungsmatrix $$K$$ bestimmen als:

\[f_p = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\omega_0^2 + \frac{24 \mu_0 \mu^2 l^2}{\pi d^5 I}\left( 1-\cos(\frac{p \pi}{N+1}) \right)},\]

mit

\[\omega_0 = \frac{g}{l_c}.\]

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
[[Datei:Ganzes Setup.png|mini|Ganzes Setup]]
[[Datei:Pendel.png|links|mini|230x230px|Pendel]]
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
[[Datei:Magnetic release.png|mini|Magnetic release]]
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

====Magnetisierungsmessung====
[[Datei:Magnetisierungsmessung.png|mini|Magnetisierungsmessung]]
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

====Reibungsmessung====
[[Datei:Reibungsmessung.png|mini|293x293px|Reibungsmessung]]
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

====Vergleich von simulierter und reeller Bewegung====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
[[Datei:3-Pendel-Aufbau.png|mini|3-Pendel-Aufbau]]

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
==Daten==

===Vorhersage der Bewegung===
[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation|250x250px]]
[[Datei:Laenge.png|mini|Pendellängenvariation|250x250px]][[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung|250x250px]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation|250x250px]]
[[Datei:Magnete.png|mini|Magnetisierungvariation|250x250px]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest|250x250px]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

===Vorhersage der Eigenfrequenzen===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

===Veranschaulichung===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

====Theoretische Fehler====

=====Magnetisierungsachse=====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

=====Linearisation bei Frequenzenbetrachtung=====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

==Fazit und Ausblick==

===Vergleich mit normalem Newton-Pendel===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T15:13:22Z

LinusK:

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $$k$$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I \cdot N}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben, welches durch die Vektoren

$$\phi=$$ \begin{pmatrix}

\frac{mgl+kl}{I} & \frac{-kl}{I} & 0 & ... & 0 \\ \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & \frac{-kl}{I} ... & 0\\ 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \frac{-kl}{I} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+kl}{I}

\end{pmatrix}

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
[[Datei:Ganzes Setup.png|mini|Ganzes Setup]]
[[Datei:Pendel.png|links|mini|230x230px|Pendel]]
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
[[Datei:Magnetic release.png|mini|Magnetic release]]
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

====Magnetisierungsmessung====
[[Datei:Magnetisierungsmessung.png|mini|Magnetisierungsmessung]]
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

====Reibungsmessung====
[[Datei:Reibungsmessung.png|mini|293x293px|Reibungsmessung]]
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

====Vergleich von simulierter und reeller Bewegung====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
[[Datei:3-Pendel-Aufbau.png|mini|3-Pendel-Aufbau]]

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
==Daten==

===Vorhersage der Bewegung===
[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation|250x250px]]
[[Datei:Laenge.png|mini|Pendellängenvariation|250x250px]][[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung|250x250px]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation|250x250px]]
[[Datei:Magnete.png|mini|Magnetisierungvariation|250x250px]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest|250x250px]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

===Vorhersage der Eigenfrequenzen===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

===Veranschaulichung===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

====Theoretische Fehler====

=====Magnetisierungsachse=====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

=====Linearisation bei Frequenzenbetrachtung=====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

==Fazit und Ausblick==

===Vergleich mit normalem Newton-Pendel===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T15:04:05Z

LinusK:

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $k$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I\cdotN}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben, welches durch die Vektoren

$$\phi=$$ \begin{pmatrix}

\frac{mgl+kl}{I} & \frac{-kl}{I} & 0 & ... & 0 \\ \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & \frac{-kl}{I} ... & 0\\ 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \frac{-kl}{I} // 0 & 0 & 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+kl}{I}

\end{pmatrix}

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
[[Datei:Ganzes Setup.png|mini|Ganzes Setup]]
[[Datei:Pendel.png|links|mini|230x230px|Pendel]]
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
[[Datei:Magnetic release.png|mini|Magnetic release]]
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

====Magnetisierungsmessung====
[[Datei:Magnetisierungsmessung.png|mini|Magnetisierungsmessung]]
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

====Reibungsmessung====
[[Datei:Reibungsmessung.png|mini|293x293px|Reibungsmessung]]
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

====Vergleich von simulierter und reeller Bewegung====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
[[Datei:3-Pendel-Aufbau.png|mini|3-Pendel-Aufbau]]

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
==Daten==

===Vorhersage der Bewegung===
[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation|250x250px]]
[[Datei:Laenge.png|mini|Pendellängenvariation|250x250px]][[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung|250x250px]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation|250x250px]]
[[Datei:Magnete.png|mini|Magnetisierungvariation|250x250px]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest|250x250px]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

===Vorhersage der Eigenfrequenzen===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

===Veranschaulichung===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

====Theoretische Fehler====

=====Magnetisierungsachse=====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

=====Linearisation bei Frequenzenbetrachtung=====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

==Fazit und Ausblick==

===Vergleich mit normalem Newton-Pendel===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T12:02:31Z

LinusK:

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $k$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I\cdotN}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben, welches durch die Vektoren

\[\PHI=\left( \right)\]

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
[[Datei:Ganzes Setup.png|mini|Ganzes Setup]]
[[Datei:Pendel.png|links|mini|230x230px|Pendel]]
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
[[Datei:Magnetic release.png|mini|Magnetic release]]
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

====Magnetisierungsmessung====
[[Datei:Magnetisierungsmessung.png|mini|Magnetisierungsmessung]]
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

====Reibungsmessung====
[[Datei:Reibungsmessung.png|mini|293x293px|Reibungsmessung]]
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

====Vergleich von simulierter und reeller Bewegung====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
[[Datei:3-Pendel-Aufbau.png|mini|3-Pendel-Aufbau]]

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
==Daten==

===Vorhersage der Bewegung===
[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation|260x260px]]
[[Datei:Laenge.png|mini|Pendellängenvariation|260x260px]][[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung|260x260px]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation|260x260px]]
[[Datei:Magnete.png|mini|Magnetisierungvariation|260x260px]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest|260x260px]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

===Vorhersage der Eigenfrequenzen===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

===Veranschaulichung===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

====Theoretische Fehler====

=====Magnetisierungsachse=====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

=====Linearisation bei Frequenzenbetrachtung=====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

==Fazit und Ausblick==

===Vergleich mit normalem Newton-Pendel===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T11:57:25Z

LinusK: /* Analytische Frequenztheorie */

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $k$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]

Hier ist $\mu$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $\mu = \frac{I\cdotN}{A}$ und $r$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben, welches durch die Vektoren

\[\PHI=\left( \right)\]

==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.

Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

==== Magnetisierungsmessung ====
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

==== Reibungsmessung ====
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

==== Vergleich von simulierter und reeller Bewegung ====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.

==Daten==

=== Vorhersage der Bewegung ===
[[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung]]

[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation]]
[[Datei:Laenge.png|mini|rechts|Pendellängenvariation]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation]]
[[Datei:Magnete.png|mini|rechts|Magnetisierungvariation]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

=== Vorhersage der Eigenfrequenzen ===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

=== Veranschaulichung ===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

==== Theoretische Fehler ====

===== Magnetisierungsachse =====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

===== Linearisation bei Frequenzenbetrachtung =====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

== Fazit und Ausblick==

=== Vergleich mit normalem Newton-Pendel ===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-14T11:47:12Z

LinusK:

==Thema==
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
[[Datei:TitelBild.png|mini|Magnetisches Newtonpendel]]
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.

Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.

Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.

==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

$$\vec c(\tau)=$$

\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i =$$

\begin{pmatrix}

l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0

\end{pmatrix}
und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:

\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]

wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.

Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:

<nowiki>\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]</nowiki>

Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.

====== Reibungseffekte ======
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:

<nowiki>\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]</nowiki>

Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:

\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]

ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:

\[F_r=F_c+F_v+F_d\]

\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]

\[F_v=b\cdot v\]

\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]

Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.

Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:

\begin{equation*}

\dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right)

\end{equation*}

\begin{equation*}

\dot \varphi_i = \omega_i

\end{equation*}

====Analytische Frequenztheorie====

Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung

\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]

für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $k$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:

\[k=\frac{6%mu_0%mu^2}{%pi%r^5}.\]

Hier ist $%mu$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $%mu = \frac{I\cdotN}{A}$ und $r$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.

Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben, welches durch die Vektoren

\[%PHI=\left( \right)\]
==Aufbau==

==== Aufbau der Pendel ====
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.

Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.

Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.

Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.

==== Magnetisierungsmessung ====
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.

Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.

==== Reibungsmessung ====
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.

Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.

==== Vergleich von simulierter und reeller Bewegung ====
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.

Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.

==== Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung ====
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt.
Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden.
Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.

==Daten==

=== Vorhersage der Bewegung ===
[[Datei:Blindwert.png|mini|zentriert|Ausgangsmessung]]

[[Datei:Winkel.png|mini|links|Anfangswinkelvariation]]
[[Datei:Laenge.png|mini|rechts|Pendellängenvariation]]

[[Datei:Distanz.png|mini|links|Distanzvariation]]
[[Datei:Magnete.png|mini|rechts|Magnetisierungvariation]]

[[Datei:Movement Magnet.png|mini|zentriert|Stresstest]]

In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.

=== Vorhersage der Eigenfrequenzen ===

[[Datei:Fft2pendel.png|mini|links|FFT mit 2 Pendeln]]
[[Datei:Fft3pendel.png|mini|rechts|FFT mit 3 Pendeln]]

[[Datei:Frequenzdistanz.png|mini|links|Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen]]
[[Datei:Frequenzdipmom.png|mini|rechts|Systemfrequenzen bei verschiedenen Dipolmomenten]]

Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.

Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.

=== Veranschaulichung ===

[[Datei:Wave-Plot.png|mini|links|Winkel ueber die Zeit]]
[[Datei:Peak-Moment-Plot.png|mini|rechts|Pendel-Peak-Zeit]]

Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.

===Fehlerbetrachtung===

==== Theoretische Fehler ====

===== Magnetisierungsachse =====
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.

===== Linearisation bei Frequenzenbetrachtung =====
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.

====Experimentelle Fehler====
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.

== Fazit und Ausblick==

=== Vergleich mit normalem Newton-Pendel ===
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.

In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.

Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.

===Fazit===
Das bedeutendste, was wir geschafft haben, sind gute Polytrack-Rekorde. Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.

==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-11T17:28:02Z

LinusK: /* Analytische Frequenztheorie */

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-11T17:27:21Z

LinusK:

Magnetic Newton's Cradle

2026-06-11T17:24:48Z

LinusK: /* Analytische Frequenztheorie */

Magnetic Newton's Cradle

2026-05-01T14:14:42Z

LinusK: /* Erfolge */

==Thema==
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
==Theorie==

=== Qualitative Theorie ===
[[Datei:Basic Explanation Newton.png|mini|Basic Explanation]]
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

=== Quantitative Theorie ===

==== Bewegungsgleichung ====

===== Definitionen =====
[[Datei:Definitionen.png|mini|Definitionen]]
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

===== Geometrische Vorbetrachtung =====
[[Datei:Definitions-2.png|mini|Geometrische Vorbetrachtung]]
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*}

d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2}

\end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

=====Lagrange-Ansatz=====
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*}

\frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0

\end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

====== Kinetische Energie ======
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*}

T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*}

T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2

\end{equation*}

====== Potenzielle Energie ======
[[Datei:Gravitational-potential.png|mini|Potenzielle Energie]]
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V_{g,i} = mgh \\

h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\

h = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\

V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i}

\end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*}

V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij}

\end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*}

V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij}

\end{equation*}

=====Magnetisches Potential=====
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x

\end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*}

U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i

\end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*}

\mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||}

\end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

\begin{equation*}

\vec c(\tau)=\left(\begin{smallmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{smallmatrix}\right)

\end{equation*}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*}

\vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau)

\end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

<nowiki><center></nowiki>

$$\vec b_i = \begin{pmatrix} l \cdot \sin(\varphi_i) + a \cdot i \\ l \cdot \cos(\varphi_i) \\ 0 \end{pmatrix}$$

<\center>

und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*}

0 \leq u \leq 2\pi W

\end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*}

U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||}

\end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

=====Endgültige Bewegunsgleichung=====

====Analytische Frequenztheorie====

==Aufbau==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.
==Daten==
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!
==Fazit==
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge==
Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1.Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

==Quellen==
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf}\\$$ https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf]

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.

Projektübersicht

2026-05-01T14:12:57Z

LinusK:

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|2025/26
|[[Teebeuteloszillator]]
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|2025/26
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|2025/26
|[[Singing Ruler]]
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|2025/26
|[[Electrical Damping]]
|
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|2025/26
|[[Magnetic Newton's Cradle]]
|Linus Konnerth, Alexander Borodulin,
Ivan Zaitsev
|IYPT Qualifikation, 2-fache Workshop Qualifikation (5., 8., 17.)
BeGYPT: 1., 2., 3. individuell, Gold, Bronze Team

JuFo Regio 3. Preis
|Magnetismus,
Schwingung,

Mechanik
|-
|2024/25
|[[Bottle Rocket Q2]]
|Maiya Knopp, Luise Zeidler, Felix Dietrich
|Jufo Regio 3. Platz, GYPT Nominierung
|Mechanik, Thermodynamik
|-
|2024/25
|[[Bottle Rocket (10)]]
|Platon Ermolaev, Ziy Wang
| -
|Mechanik
|-
|2024/25
|[[Dripping Faucet]]
|Linus J. Konnerth, Saskia Werner
|GYPT Bundesrunde
|Fluiddynamik
|-
|2024/25
|[[Lato-Lato (10)]]
|Alexander Borodulin, Juri Ciesinger, Mykhailo Tutskyi
|BeGYPT, JuFo Regio 3. Preis
|Mechanik, Schwingungen
|-
|2024/25
|[[Climbing Magnets]]
|Bela Kellerer, Ibrohim Gafurov, Georgios Wedel
|GYPT Bundesrunde, JuFo Teilnahme
|Mechanik, Magnetismus
|-
|2024/25
|[[Ruler Cannon]]
|Albrecht Holzapfel, Elliott Keller, Fabian Paus
|BeGYPT, Jufo Regio
|Statik, Elastizität
|-
|2024/25
|[[Spaghetti Accelerator]]
|Helena Jensen, Shuying Chen, Veda Bittner
|GYPT Bundesrunde, JuFo Regio
|Festigkeitslehre, Mechanik
|-
|2024/25
|[[Lato-Lato Kurt]]
|Kurt Stiller
|AYPT Gold, GYPT Silber, BeGYPT Gold
|Kinderspielzeug, Mechanik, Pendel
|-
|2024/25
|[[Rayleigh-Bénard Konvektion]]
|Maxim Khutko, Ansgar Eckner, Cinar Atik
|Jufo Landeswb. Sonderpreis, Teilnahme GYPT
|Fluiddynamik, Konvektion
|-
|2024/25
|[[Vibraflame: Sound vs. Fire]]
|Miron Goldstein, Emil Petrow
|Jufo Regio 3. Platz Physik
|Acoustic
|-
|2023/24
|[[Ruler Trick]]
|Lepu Coco Zhou, Eleonora Maeß, Simon Hermes
|Jugend Forscht:
Regional- und Landessieg (Physik), Teilnahme am Bundeswettbewerb

GYPT:

Finalvortrag

Teamwertung Silber- und Bronzemedaille
|Mechanik
|-
|2023/24
|[[Magnetischer Fidget Spinner]]
| Paula Groß, Leander Köbis, Miron Goldstein, Emil Petrow
|Jufo Regio 3. Platz Physik
|Magnetismus
|-
|2023/24
|[[Luftmuskel]]
|Albert Hubski, Edgar Kümmerle, Sneha Paitandi
| Jufo Regio 2. Platz Technik
|Pneumatik
|-
|2023/24
|[[Gummiband]]
|Emil Petrow, Luis Cornely, Ansgar Eckner
|
|Mechanik, Kräfte
|-
|2023/24
|[[Non-contact Resistance]]
|Jenny Soldatova, Maxim Khutko
|Jufo Regio 2. Platz, GYPT
|LRC-Schwingkreis, Elektrizitätslehre
|-
|2023/24
|[[Walker 1]]
|Kurt Stiller, Yuzhou Shi
|Jufo Regio Preis für bestes interdisziplinäres Projekt, GYPT
|Mechanik, Slip/Stick
|-
|2023/24
|[[Walker 2]]
|Mihail Georgiev, Tom Wurzbacher, Nabil Al Haj Bakri
|
|Mechanik
|-
|2023/24
|[[Shake It]]
|Luise Zeidler, Maiya Knopp, Mia Rösener
|GYPT, LW Jufo 2. Platz
|Akustik
|-
|2023/24
|[[Cushion Catapult]]
|Donika Kufliju, Nutsa Dzamashvili
|BeGYPT
|
|-
|2023/24
|[[Ruler Trick X]]
| Almas Yusefzai, Theo Sabat
|BeGYPT, Jufo Regio
|Mechanik
|-
|2023/24
|[[Strawberry Solar Cell]]
|Greta Mutter, Charlotte Paul
|Jufo Regional Wettbewerb Sonderpreis
|Elektrizität
|-
|2022/23
|[[Jet refraction]]
|Jolanda Fehlinger
| Jugend forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb (Physik)
|Elektrizität
|-
|2022/23
|[[Faraday Waves]]
|Demian Schöneberger
|GYPT Online Wettbewerb 2. Platz
|Fluidphysik
|-
|2022/23
|[https://www.herder-oberschule.de/phyxzwiki/index.php?title=Magnetic_Mechanical_Oscillator Magnetic Mechanical Oscillator]
|Simon Hermes
|BeGYPT Teilnahme
| Mechanik
|-
|2022/23
|[[Eine Disk als Alarmanlage]]
|Alexander Timofeev
|Jugend forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb (Physik)
|Akustik
|-
|2022/23
|[[Magic Stick Trick]]
|Charlotte Paul, Greta Mutter, Gabrijela Dropulja
|Jugend forscht: Sonderpreis (Regio)
|Reibung, Kraftbrücken, ...
|-
|2022/23
|[[Coloured Line]]
|Shirin Akhmedova, Eleonora Maeß, Lepu Coco Zhou
| Jugend forscht: Sonderpreis (Regio)
|Optik, Beugung, Interferenz
|-
|2022/23
|[[Magneto-Mechanischer Oszillator|Magnetic Mechanical Oscillator]]
|Uladzimir Khutko, Egor Popov, Nicolas Dreyer, Daniel Graßhoff
| Jugend forscht:Qualifikation zum Landeswettbewerb als interdisziplinäres Projekt
GYPT Plätze 13,17 und 33 in der Bundesrunde

GYPT Teamwertung Silber und Bronzemedallien
|Mechanik
|-
|2022/23
|[[Thermoacoustic Engine Q2|Thermoacoustic Engine]]
|Dalia Abu Ta'a, Lilly Roters, Richard Bonello
|GYPT 4. Platz (Team)

GYPT Einzelplatzierungen
|Thermodynamik, Akustik
|-
|2022/23
|[[Thermoacoustic Engine]]
|Lara Hermes, Katharina Horn-Phenix, Rasmus Stegelmann
|Jugend Forscht: 1. Platz Regionalwettbewerb (Physik)
BeGYPT Einzelplatzierungen

GYPT Einzelplatzierungen

GYPT Teamwertung Silber-Medallie
|Thermodynamik, Akustik
|-
|2022/23
|[[Ball on a Ferrite Rod|Ball on Ferrite Rod]]
|Fabian Schmitt, Philipp Werner

|Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb (Physik)
BeGYPT Einzelplatzierung 2

BeGYPT Gruppenplatzierung 1

GYPT Einzelplatzierung 17
|Mechanik, Stochastik
|-
|2022/23
|[[Ponyo's Heat tube]]
|Oleg Solovyev,
Nikolaj Sankov,

Robin Schulze-Tammena
|Jugend Forscht: 1. Platz Regionalwettbewerb (Physik)
Jugend Forscht: 3. Platz Landeswettbewerb (Physik)
| Thermodynamik,
Hydrodynamik,

Konvektion
|-
|2021/22
|[[Die perfekte Sandburg]]
|Lara Hermes,
Rasmus Stengelmann,

Felix-Ramón Sindermann
|Jugend-Forscht: 2. Platz Landeswettbewerb (Geo- und Raumwissenschaften)
|Granulare Materie, Kapillareffekt
|-
|2021/22
|[[Three-Sided Dice]]
|Fabian Schmitt,
Philipp Werner,

Hanyang Lu
|Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb (Mathematik/Informatik)
GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11

GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7

BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3

BeGYPT Gruppenplatzierungen 1

Bronzemedaille im AYPT 2022
| Mechanik, Stochastik
|-
|2021/22
|[[Boycott Effect]]
|Antonia Macha,
Katharina Horn-Phenix
|Jugend Forscht: 1. Platz Landeswettbewerb (Physik),
GYPT: Best Report, Erstplatzierung (Einzel), Silber-Medaille (Team),

Silber-Medaille im IYPT 2022
| Fluiddynamik, Konvektion, Sedimentation
|-
|2018/19
|[[Filling up a bottle]]
|Timo Huber
|GYPT: Best Report, Top 10 Einzelwertung
|Fluidmechanik, Frequenzanalyse
|-
|2017/18
|[[Untersuchung des Magnus-Effekts und Bau eines Flettner-Flugzeugs]]
|Timo Huber
|Jugend Forscht: 1. Platz Landeswettbewerb (Physik)
|Fluidmechanik, Modellbau
|-
|
|[[Musterprojekt]] (Vorlage)
| Dr. Falk Ebert
|Vorlage für Projekteinträge des Wikis
| Vorlage
|}

Dripping Faucet

2025-06-29T20:35:59Z

LinusK:

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1-λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²-\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}+\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}+\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 2.png|mini|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.5 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

* Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
* Messungen von:
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung

[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-15T08:46:59Z

LinusK: /* Reibung (Linus) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1-λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²-\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}+\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}+\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.5 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

* Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
* Messungen von:
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung

[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-15T08:45:33Z

LinusK: /* Reibung (Linus) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1-λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²-\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.5 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

* Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
* Messungen von:
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung

[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-15T08:44:30Z

LinusK: /* Reibung (Linus) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1-λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.5 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

* Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
* Messungen von:
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung

[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-15T08:43:59Z

LinusK: /* Reibung (Linus) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.5 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

* Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
* Messungen von:
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung

[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-14T10:04:25Z

LinusK: /* Strahlen */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.5 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

* Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
* Messungen von:
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung

[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-14T10:04:04Z

LinusK: /* Strahlen */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.5 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels
* Auditive Messung der Höhe
* Messungen von:
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung

[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-14T10:02:46Z

LinusK: /* Irreguläres Regime */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.5 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-14T00:04:53Z

LinusK: /* Erfolge (Linus) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-14T00:02:59Z

LinusK: /* Aufbau (Saskia) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|259x259px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-14T00:02:48Z

LinusK: /* Aufbau (Saskia) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini|312x312px]]Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-14T00:02:00Z

LinusK:

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini]]

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.6 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T22:18:29Z

LinusK: /* Reibung (Linus) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini]]

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T22:09:34Z

LinusK: /* Strahlenform */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini]]

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T22:09:10Z

LinusK: /* Strahlenform */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{sqrt{2gh}+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini]]

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T21:52:55Z

LinusK: /* Strahlenform */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini]]

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T21:51:00Z

LinusK: /* Reibung (Linus) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
!Wert
|-
|$$η$$
|Dynamische Viskosität
|1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)
|}
Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini]]

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T21:46:28Z

LinusK:

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini]]

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
**Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
** Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T21:43:48Z

LinusK: /* Geschwindigkeiten */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini]]

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: $$pm$$0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T21:11:04Z

LinusK: /* Aufbau (Saskia) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.
[[Datei:Aufbau abbildung.png|mini]]

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Datei:Aufbau abbildung.png

2025-06-13T21:10:49Z

LinusK:

Eigener Aufbau

Dripping Faucet

2025-06-13T21:05:37Z

LinusK: /* Geschwindigkeit (Saskia) */

==Thema (Saskia)==
Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

''"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."''

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv1'''2'''+ρgh1=p2+1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

dabei gilt:

p1: Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ: Dichte des Wassers

v1: Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1: Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2: Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2: Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2: Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1: Oberfläche des Wassers im Container

A2: Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv1'''2'''+ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm'''2''') und A2 möglichst klein (hier 3mm'''2''') ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm'''2'''=v23mm'''2'''

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10'''-5'''

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''+ρgh2

('''2'''= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv2'''2'''

('''2'''= hochgestellt)

2 gΔh=v2'''2'''

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr2'''2''')

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T20:17:44Z

LinusK: /* Strahlenform */

==Thema (Saskia)==

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
---

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T20:12:43Z

LinusK: /* Irreguläres Regime */

==Thema (Saskia)==

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
---

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T20:11:40Z

LinusK: /* Irreguläres Regime */

==Thema (Saskia)==

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
---

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht zu erkennen. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T20:11:14Z

LinusK: /* Irreguläres Regime */

==Thema (Saskia)==

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
---

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisch, komplexe und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht zu erkennen. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T19:19:26Z

LinusK: /* Erfolge (Linus) */

==Thema (Saskia)==

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
---

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke Unterschiede bei nur leichten Unterschieden an Höhe, was auf biperiodisch, komplexe und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht zu erkennen. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T19:19:09Z

LinusK:

==Thema (Saskia)==

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
---

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke Unterschiede bei nur leichten Unterschieden an Höhe, was auf biperiodisch, komplexe und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht zu erkennen. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
[[Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|GYPT Präsentation]]
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

[[Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf|mini|BeGYPT Präsentation]]
BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Datei:GYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf

2025-06-13T19:17:34Z

LinusK: GYPT-Präsentation von Linus Konnerth zur IYPT Aufgabe: "Dripping Faucet" aus 2025

== Beschreibung ==
GYPT-Präsentation von Linus Konnerth zur IYPT Aufgabe: "Dripping Faucet" aus 2025

Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.pdf

2025-06-13T19:17:12Z

LinusK: BeGYPT-Präsentation von Linus Konnerth zur IYPT Aufgabe: "Dripping Faucet" aus 2025

== Beschreibung ==
BeGYPT-Präsentation von Linus Konnerth zur IYPT Aufgabe: "Dripping Faucet" aus 2025

Datei:BeGYPT-2025-Dripping Faucet-Linus Konnerth.odp

2025-06-13T19:07:34Z

LinusK: BeGYPT-Präsentation von Linus Konnerth zur IYPT Aufgabe: "Dripping Faucet" aus 2025

== Beschreibung ==
BeGYPT-Präsentation von Linus Konnerth zur IYPT Aufgabe: "Dripping Faucet" aus 2025

Dripping Faucet

2025-06-13T18:56:24Z

LinusK:

==Thema (Saskia)==

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
---

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke Unterschiede bei nur leichten Unterschieden an Höhe, was auf biperiodisch, komplexe und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht zu erkennen. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Dripping Faucet

2025-06-13T18:52:33Z

LinusK:

==Thema (Saskia)==

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
==Theorie (Aufgeteilt)==

=== Geschwindigkeit (Saskia) ===
---

=== Reibung (Linus) ===
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung[https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 <nowiki>[4]</nowiki>] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
{| class="wikitable"
|+
!Variable
!Bedeutung
|-
|$$λ$$
|Reibungskoeffiziente
|-
|$$L$$
|Länge des Schlauches
|-
|$$D$$
|Durchmesser des Schlauches
|}
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus '''2.1''' einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

<nowiki>$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$</nowiki>

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5]</nowiki>] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ ($$µ$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids). So erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²})^{2}+2gh}-\frac{32µL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

=== Frequenz (Saskia) ===
---

=== Strahlenbildung (Linus) ===

==== Strahlenform ====
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6]</nowiki>]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

<nowiki>$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$</nowiki>

<nowiki>$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$</nowiki>

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

<nowiki>$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt.</nowiki>

==== Tropfentrennung ====
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

<nowiki>$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$</nowiki>

<nowiki>$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$</nowiki>

==Aufbau (Saskia)==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten (Linus)==
[[Datei:Figure 1.png|mini|600x600px|Abb.4 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit]]

=== Geschwindigkeiten ===
Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

'''Fehlerquellen:'''

* Messung von:
** Massen: 0.5g pro Messung
**Zeit: 0.5s pro Messung
[[Datei:Figure 2(1).png|mini|600x600px|Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh]]
Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

'''Fehlerquellen:'''

* Fallen des Wasserspiegels

*

* Messung von:
** Zeit: 0.5s pro Messung
** Massen: 0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

=== Frequenz ===

===== Reguläres Regime =====
[[Datei:Figure 3.png|mini|600x600px|Abb.5 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen]]
Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus '''4.1''' genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

'''Fehlerquellen:'''

* Hintergrundgeräusche
* Geschwindigkeit
* Fallen des Wasserspiegels
* Messung von:
**Höhe: 0.5mm pro Messung

===== Irreguläres Regime =====
[[Datei:Figure 6.png|mini|Abb. 6 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit|500x500px]]
Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.6 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke Unterschiede bei nur leichten Unterschieden an Höhe, was auf biperiodisch, komplexe und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht zu erkennen. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen Analyse ab.

=== Strahlen ===
[[Datei:Figure 4.2.png|mini|350x350px|Abb.7 Messung zur Strahllänge]]
Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

'''Fehlerquellen:'''

Messungen von:
*Auditive Messung der Höhe
*Fallen des Wasserspiegels
*Messung der Höhe
**Höhe der Wasserhöhe 0.5mm pro Messung
[[Datei:Figure 5.png|mini|425x425px|Abb.8 Berechnung der Zerfallzeit]]
Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus '''2.4.2''' auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus '''2.4.2'''.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

==Fazit (Saskia)==

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
==Erfolge (Linus)==
GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

==Quellen (Linus)==
[https://www.gypt.org/aufgaben/06-dripping-faucet.html <nowiki>[1] GYPT</nowiki>]

[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/bernoullische-gleichung/1416 <nowiki>[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”</nowiki>]

[https://www.leifiphysik.de/mechanik/stroemungslehre/grundwissen/kontinuitaetsgleichungen <nowiki>[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[4]</nowiki>] [https://ascelibrary.org/doi/10.1061/40650%282003%294 G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).]

[https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html <nowiki>[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html</nowiki>]

[https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/73/5/415/1056156/Drop-formation-in-a-falling-stream-of-liquid <nowiki>[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”</nowiki>]

Datei:Figure 2(1).png

2025-06-13T18:47:23Z

LinusK:

Geschwindigkeitsmessung zum Thema "Dripping Faucet"