MaximK: /* Theorie */

Rayleigh-Bénard Konvektion

2025-06-12T13:25:30Z

MaximK:

[[Datei:Messaufbau klein.pdf|mini|Messaufbau|335x335px]]
[[Datei:Warming scheme small.pdf|mini|643x643px]]

==Thema==

Wir haben die 10 Aufgabe vom GYPT bearbeitet. Die Aufgabenstellung ist:"Uniformly and gently heat the bottom of a container containing a suspension of powder in oil (e.g. mica powder in silicon oil), cell-like structures may form. Explain and investigate this phenomenon."

Unser Experiment basiert auf dem Prinzip der Konvektion. Eine Flüssigkeit, in diesem Fall Silikonöl wird von unten homogen erhitzt. Dabei hat die untere Schicht vom Silikonöl eine kleinere Dichte und die obere Schicht eine größere. Das verursacht eine Auftriebskraft, die auf die untere Schicht nach oben wirkt. Daraufhin fängt bei einem hinreichend großen $$\Delta T$$ die Konvektion an, weil ab diesem Zeitpunkt die Auftriebskraft die Viskosität überwindet (die Viskosität kann man als Reibung in einer Flüssigkeit ansehen). Das erkennt man daran, dass die untere Schicht an manchen Punkten durch senkrechte Strömungen nach oben gelangt und sich beim Ausbreiten auf der Oberfläche abkühlt und wieder wegen der größeren Dichte an den Rändern der Zellen absinkt. Dadurch bilden sich meist polygonale Muster an der Oberfläche, die wir Rayleigh-Bénard-Zellen nennen.

==Theorie==
$$
\begin{tikzfigure}
\fontsize{22}{13.5}\selectfont
\def\svgscale{2.6}
\includesvg{GGT/warming_scheme3.svg}
\end{tikzfigure}
Für eine theoretische Beschreibung des Effekts haben wir folgende Annahmen getroffen:
\begin{itemize}
\item Wir gehen davon aus, dass die obere und untere Begrenzung zwei Platten sind, die horizontal ins Unendliche gehen.
\item Dabei nehmen wir an, dass der Effekt in z-Richtung der Gleiche ist wie unendlich viele zweidimensionale Querschnitte.
\item Die Geschwindigkeit der Partikel, die die Platte berühren, liegt bei Null.
\end{itemize}
Mathematische Betrachtung des Modells\\
Für dieses System haben wir folgende Formeln benutzt:\\
\textbf{1. Gleichung für Masseerhaltung (Kontinuitätsgleichung):}
\begin{center}
\begin{math}
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho u}{\partial x} + \frac{\partial\rho v}{\partial y}= 0
\end{math}
\end{center}
\textbf{2. Gleichung für Impulserhaltung:}
\textbf{(a) $x$-Richtung:}
\begin{center}
\begin{math}
\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2u
\end{math}
\end{center}
\textbf{(b) $y$-Richtung:}
\begin{center}
\begin{math}
\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \nabla^2v -\rho g
\end{math}
\end{center}
\textbf{Gleichung für Wärmeleitung:}
\begin{center}
\begin{math}
\rho C_p \left( \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} \right) = k \nabla^2 T
\end{math}
\end{center}
$U=\text{Geschwindigkeit in Z-Richtung}$\\
$v=\text{Geschwindigkeit in Y-Richtung}$\\
Um dieses Problem zu lösen, haben wir es als Stabilisations-Problem angesehen und uns angeschaut, was bei einer kleinen Störung passiert. Wenn diese Störung immer größer wird, geht es in einen neuen stabilen Zustand der Konvektion über und wenn die Störung über die Zeit verschwindet, bedeutet es, dass es in den Zustand der Wärmeleitung zurückkehrt. Nach dem Lösen dieses Stabilisations-Problems, bekamen wir diese Formel zur Ermittlung von unserer erwünschten Rayleigh-Zahl, die wir beim Einsetzen von n=1 bekommen:
\begin{align*}
\frac{(n^2\pi^2+\alpha^{*^2})^3}{\alpha^{*^2}}=Ra=\dfrac{\beta \cdot g \cdot \Delta T \cdot {H}^{3}}{v \cdot \alpha}
\end{align*}
$$

==Aufbau==
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

==Daten==

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!
==Fazit==

In unserer Untersuchung haben wir die kritische-Rayleigh-Zahl in der Theorie berechnet und gemessen. Ab diesem Punkt beginnt die Konvektion mit den Zellmustern. Dabei lässt sich die Größe und die Zellenform der die Zellen durch verschiedene Parameter beeinflussen, wie zum Beispiel durch h ,$$\Delta T$$ und andere stoffspezifische Parameter.

==Erfolge==
Wir haben in einem Jugend Forscht Regionalwettbewerb gewonnen und sind in die Landesrunde weiter gekommen. Außerdem haben wir in jeweils Berlin und Königs-Wusterhausen den GYPT-Regionalwettbewerb gewonnen und sind dort in die Bundesrunde weitergekommen.

== Quellen ==
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!

Datei:Warming scheme small.pdf

2025-06-12T13:23:51Z

MaximK:

2024-06-08T22:29:54Z

MaximK: /* Verhalten der jeweiligen Elemente */

==Non-contact Resistance==

The responses of a '''LRC circuit''' driven by an '''AC source''' can be changed

by inserting either a '''''non-magnetic metal''''' '''''rod''''' or a '''''ferromagnetic''' '''rod''''' into the

inductor coil. How can we obtain the '''magnetic''' and '''electric''' '''properties''' of the

inserted rod from the circuit’s responses?

In der folgenden Arbeit untersuchen wir, wie wir die elektrischen und magnetischen Ei-

genschaften eines Metalls herausfinden können, welches sich in einer Spule in einem RLC-Schaltkreis

befindet. Dabei untersuchen wir ferromagnetische und nichtmagnetische Metalle. Hierbei

interpretieren wir die Aufgabe so, dass wir die Kreisfrequenz des RLC-Schwingkreises im

Experiment verändern können. Anschließend formulieren wir einen Zusammenhang um

die Aufgabe zu erfüllen.

== Was ist ein RLC-Schwingkreis? ==
[[Datei:Снимок экрана 2024-05-30 151224.png|mini|Abbildung 1: RLC-Schwingkreis]]
Ein '''RLC-Schwingkreis''' ist eine elektrische Schaltung, welche aus einer Spule (L), einem Widerstand (R) und einem Kondensator (C) besteht, die elektromagnetische Schwingungen ausführen kann. In unserem Fall wird der RLC-Schwingkreis von einer Wechselstromquelle (AC) betrieben.

Die Spule speichert elektrische Energie in ihrem Magnetfeld, wenn Strom durch sie fließt. Dieses Magnetfeld wird später wieder zurück in Strom umgewandelt. Dies sorgt für die Schwingungen zusammen mit dem Kondensator. Der Kondensator speichert elektrische Energie in seinem elektrischen Feld, wenn eine Spannung angelegt wird. Danach entlädt er sich über den elektrischen Schwingkreis. Der Widerstand bietet Widerstand gegen den Stromfluss im Schaltkreis.

Wenn wir eine Gleichstromquelle benutzen würden, würde die Schwingung nach einiger Zeit aufhören. Durch den Widerstand würde sich die Schwingungsdauer verkürzen, da ein Teil des Stroms verschwinden würde.

Wir haben die Spule und den Kondensator parallel zueinander geschaltet, und den Widestand in Reihe, um den eigentlichen Schwingkreis von dem Widerstand zu trennen.

== Aufbau ==
[[Datei:A1.png|zentriert|mini|762x762px]]
Hier sehen wir in dem Bild unseren Aufbau. Dieser besteht aus einem Kondensator, einer Spule und einem Widerstand.der Kondensator und die Spule werden hierbei parallel geschalten und der Widerstan dann in Reihe. Die weißen Fixierungen wurden für das Analog Discovery 2 benutzt. Wir haben dann die Spannung parallel zur Spule und dem kondensator gemessen und einmal parallel zum wiederstand.Dabei achteten wir auf die Resonanzfrequenz, weil diese in zukunft sehr wichtig sein wird. Diese wird in der Theorie später erklärt. Die messungen wurden unter veränderung von der Frequenz durchgefürt und so lange gemacht bis wir die Resonanzfrequenz gefunden hat.

== Verhalten der jeweiligen Elemente ==

In unserem Aufbau haben wir drei Bestandteile(der Widerstand,der Kondensator und die Spule).Jetzt schauen wir uns nun an, wie sich die jeweiligen Bestandteile verhalten wenn Strom durchfließt:

Der Widerstand :
[[Datei:Widerstand I über t.png|mini]]
[[Datei:Widerstand U über t.png|mini]]
Beim durchflißen vom Strom verändert sich die Phase von Strom und Spannung nicht.

Die Spule:
[[Datei:Spule I eber t.png|mini]]
[[Datei:Spule u ueber t.png|mini]]
Beim durchflißen vom Strom verändert sich die Phase von Strom und Spannung.In dem Fall eilt die Spannung dem Strom vor.

der Kondensator:
[[Datei:KOndensator I ueber t.png|mini]]
[[Datei:Kondensator u uber t.png|mini]]
Beim durchflißen vom Strom verändert sich die Phase von Strom und Spannung.Hier wissen wir, dass der Stromfluss der Spannung voreilt.

==Theorie==
In unserem Experiment sind folgende Parameter wichtig für unsere Vorgehensweise:

'''L''' - Induktivität der Spule

'''C''' - Kapazität des Kondensators

'''R''' - Widerstand

'''A''' - Querschnittsfläche der Spule

'''N''' - Windungsanzahl der Spule

'''$$μ_0$$''' - Magnetische Feldkonstante

'''$$μ_r$$'''- Magnetische Permeabilität des Spunlenkerns

'''$$Ꞷ$$''' - Kreisfrequenz des RLC-Schwingkreis

'''$$f_0$$''' - Eigenfrequenz des RLC-Schwingkreis

[[Datei:Снимок экрана 2024-05-30 153317.png|mini|Abbildung 2: RLC-Schwingkreis; Messung]]
In unserem theoretischen Ansatz betrachten wir zuerst die Spannung $$U_{LC}$$ über den zueinander parallel geschalteten Spule (L) und einem Kondensator (C), während über dem Widerstand (R) die Spannung $$U_R$$ anliegt. Gemäß den Kirchhoffschen Gesetzen sollte die über der Spule und dem Kondensator abfallende Gesamtspannung $$U_{LC}$$ gleich der Spannung über der Spule $$U_L$$ und dem Kondensator $$U_C$$ sein, während die Spannung über dem Widerstand $$U_R$$ separat betrachtet wird:

$$U_{LC}$$ = $$U_L$$ = $$U_C$$

Die Widerstände in einem Wechselstromkreis, nämlich der Spule (L) und dem Kondensator (C), sind frequenzabhängig und können durch folgende Formeln berechnet werden:

RL = ωL und RC = $$\frac{1}{wC}$$

Dabei ist ω die Kreisfrequenz. Das bedeutet, dass bei einer hohen Frequenz ω der Widerstand des Kondensators klein ist und der von der Spule groß. Dementsprechend bei einer niedrigen Frequenz $$ω$$ andersherum. Nun können wir uns im Extremfall von ganz großen Frequenzen also vorstellen, dass die Spule garnichts mehr durchlässt und damit eine Unterbrechung des Stromkreises darstellt.

Dadurch wäre es nur noch der Kondensator in einem Wechselstromkreis. Hier wissen wir, dass der Stromfluss der Spannung voreilt.

Im Extremfall von ganz kleinen Frequenzen können wir uns vorstellen, dass sich nur noch die Spule in dem Wechselstromkreis befindet. In dem Fall eilt die Spannung dem Strom vor.

Was für eine Frequenz müssten wir nutzen, damit die Widerstände des Kondensators und der Spule gleich sind? Dies tun wir rechnerisch:

\begin{align*}

RL &= RC\\

ωL &= \frac{1}{wc}\\
ω^{2}L &= \frac{1}{C}\\

ω^{2} &= \frac{1}{CL}\\

f_0 &= \frac{1}{2π\sqrt{LC}}\\

\end{align*}
[[Datei:Снимок экрана 2024-06-02 145507.png|mini|Abbildung 3: Wellen nicht in Phase; mV über ms]]
Hier sehen wir, dass wir die Eigenfrequenz brauchen um denselben Widerstand der beiden Komponenten zu bekommen.
[[Datei:Снимок экрана 2024-06-02 145515.png|mini|Abbildung 4: Wellen in Phase; mV über ms]]

Deshalb haben wir für jeden Kern die Eigenfrequenz gesucht um sie miteinander vergleichen zu können. Dies haben wir folgendermaßen gemacht:

Mit Hilfe des Programs WaveForms konnten wir die Spannung, wie in Abbildung 2 gezeigt, messen. Dabei entstanden 2 Wellen, die die Spannung zeigten (Abbildung 4). Daraufhin haben wir so lange die Kreisfrequenz geändert, bis wir den Moment wo beide Wellen in Phase sind gefunden haben(Abbildung 5). Diesen Vorgang haben wir mit jedem Metall gemacht und sind auf folgende Ergebnisse gekommen
{| class="wikitable"
|+
!Kern der Spule
!Eigenfrequenz $$f_0$$; Hz
|-
|Luft
|26.1047
|-
|Ferrite
|5.6786
|-
|Stahl
|22.8662
|-
|Aluminium
|35.6340
|-
|Blei
|32.9353
|}

Wie oben schon ausgerechnet, gibt es folgende Formel für die Eigenfrequenz:

\begin{align}

f_0 &= \frac{1}{2π\sqrt{LC}}\\

\end{align}

Da sich unser Kern in der Spule befindet, interessiert uns das, was sich da verändert. Deshalb schauen wir auf die Induktivität. Dafür stellen wir die Formel folgendermaßen um:

\begin{align}

L = \dfrac{1}{4π^2 (f_0)^2 C}

\end{align}

So haben wir die Induktivität für alle unsere Kerne herausgefunden:
{| class="wikitable"
|+
!Kern der Spule
!Induktivität
|-
|Luft
|32, 34
|-
|Ferrit
|683, 47
|-
|Stahl
|42, 15
|-
|Aluminium
|17, 35
|-
|Blei
|20, 32
|}

== Elektrische Eigenschaften ==
[[Datei:Снимок экрана 2024-05-30 151641.png|mini|Abbildung 5: Wirbelströme in einer Spule]]
Bei den elektrischen Eigenschaften schauen wir uns vor allem die Wirkung der entstehenden Wirbelströme auf die Spule. Wenn wir uns vorstellen, wir hätten ein Kern, dessen Leitfähigkeit sehr hoch ist würde das bedeuten, dass sehr viele Wirbelströme entstehen. Im Extremfall könnte man sich die Situation wie in Abbildung 6 vorstellen. Da die Wirbelströme entgegen dem eigentlichen Stromfluss wirken (Lenz´sches Gesetz), "verschwindet" ein Teil der Spule.

Dafür nutzen wir die Formel für die Induktivität einer Spule:

\begin{align}

L=\dfrac{\mu_0\cdot\mu_r\cdot A\cdot N^2}{l}

\end{align}

Nun nehmen wir an, dass alle Parameter außer N konstant sind. N ändert sich mit dem jeweiligen Metall, da die Leitfähigkeit verschieden ist. Dies können wir allerdigs nur für die nicht magnetischen Kerne machen, da $\mu$ bei ihnen ungefähr 1 ist. Dabei ist das $$\mu_r$$ bei ferromagnetischen Metallen größer. Nun führen wir ein \Tilde{N} ein, welches das Verhältnis zwischen der Induktivität vom Kern und der Induktivität von Luft ist:

<nowiki>$$\tilde{N} =\sqrt{ \dfrac{L_{kern}}{L_{luft}}}$$</nowiki>
[[Datei:Снимок экрана 2024-06-02 163610.png|mini|Abbildung 6: $$\tilde{N}$$ über $$\rho$$]]
[[Datei:Снимок экрана 2024-06-02 171545.png|mini|Abbildung 7: Diagramm mit Fit-Funktion]]
Dabei kriegen wir folgende Ergebnisse:
{| class="wikitable"
!Kern der Spule
!$$\tilde{N}$$
|-
|Luft
|1
|-
|Aluminium
|256
|-
|Blei
|235.01
|}

Diese packen wir nun in ein Diagramm wobei wir den spezifischen Widerstand auf der X-Achse und $$\tilde{N}$$ auf der Y-Achse haben (Abbildung 6). Beim Konstruieren eines Graphen durch diese Datenpunkte, erkennen wir, dass es eine Exponential Funktion sein könnte. Wenn der spezifische Widerstand 0 ist, würden unendlich viele Wirbelströme entstehen und $$\tilde{N}$$ wäre 0. Wenn der spezifische Widerstand jedoch unendlich groß wäre, würden keine Wirbelströme entstehen und $$\tilde{N}$$ wäre dementsprechend 1. Indem wir eine Exponential Funktion durch diese Datenpunkte durchgehen lassen, können wir auch das $$\tilde{N}$$ von den ferromagnetischen Kernen erfahren, da wir ja ihren spezifischen Widerstand kennen (Abbildung 7).

Also kriegen wir insgesamt folgende Werte raus:
{| class="wikitable"
|+
!Kern der Spule
!$$\tilde{N}$$
|-
|Luft
|1
|-
|Ferrite
|256
|-
|Stahl
|235.01
|-
|Aluminium
|186.98
|-
|Blei
|202.88
|}

== Magnetische Eigenschaften ==
Bei den magnetischen machen wir fast dasselbe wie bei den elektrischen Eigenschaften nur, dass wir uns diesmal auf $$\mu_r$$ fokussieren. Wir führen also das sogennante $$\tilde{\mu}$$ ein:

\begin{align}

\tilde{\mu_r} = \dfrac{L_{metall}}{L_{luft}}

\end{align}

Nun nehmen wir an,dass alle Parameter konstant sind außer $$\mu_r$$. Dabei ignorieren wir das sich veränderne N durch die elektrischen Eigenschaften der Kerne. Wir kommen auf folgende Werte:
{| class="wikitable"
|+
!Kern der Spule
!$$\tilde{\mu_r}$$
|-
|Luft
|1
|-
|Ferrite
|21, 134
|-
|Stahl
|2
|-
|Aluminium
|0.536
|-
|Blei
|0.628
|}

Aus diesem $$\tilde{\mu_r}$$ können wir nun das $$\mu_r$$ von jedem Kern berechnen. Daraus könnten wir schließen um welches Material es sich in der Spule handelt. Dafür müssen wir folgendes berechnen.

\begin{align}

\mu_{kern} = \mu_{Luft} \cdot \tilde{\mu_r}

\end{align}

In folgender Tabelle vergleichen wir die Werte, die wir rausbekommen haben, mit den Werten aus dem Internet:
{| class="wikitable"
|+
!Kern der Spule
!$$\mu_kern$$
!$$\mu_r$$ internet
|-
|Luft
|1
|1
|-
|Ferrit
|21, 134
|4 − 10000
|-
|Stahl
|2
|$$\approx$$ 2
|-
|Aluminium
|0.536
|$$\approx$$ 1
|-
|Blei
|0.628
|$$\approx$$ 1
|}
[[Datei:Снимок экрана 2024-06-03 184657.png|mini|Abbildung 9: Ferrit - Diagram|289x289px]]

Wir können erkennen, dass der Wert von Ferrit relativ klein ist. Dazu haben wir einen Graphen gefunden, welcher diesen Fehler erklärt (Abbildung 9). Dieser zeigt, dass das \mu_r von Ferrit vom Verhältnis der Länge und des Diameters der Spule, abhängt.

In unserem Fall ist das Verhältniss ungefähr 4,6.

Laut dem Diagram müsste unser $$\mu_r$$ ungefähr 20 betragen, was auch der Fall ist.

== Fehlerbetrachtung ==
Folgende Aspekte sorgen in unserem Experiment für Fehler in Messungen und Ergebnissen:

1.Kerne der Spule

Die Kerne, die wir genutzt haben könnten Unreinheiten enthalten, was für eine veränderte Leitfähigkeit oder einen veränderten Magnetismus sorgen könnte.

Die Kerne hatten außerdem eine leicht unterschiedliche Länge, was dementsprechend zu Verfälschungen führt.

2.Messgeräte

Der Analog Discovery 2, welchen wir für die Messungen der Spannung genutzt haben hat eine Fehlerquote von 1.5%.

3.Messfehler mithilfe von der Studentschen t-Verteilung berechnen

Dabei benutzen wir die Stichprobenvarianz der t-Verteilung, die lautet:

\begin{align*}
S_{\overline{X}} &= \sqrt{\frac{\sum\limits_{n=0}^N (X_{i}-\overline{X})^2}{N \cdot(N-1)}}\\
\end{align*}
Diese Formel bekommen wir indem wir jedes Ergebnis so Definieren können:
\begin{align}
X = \overline{X} \pm \delta X
\end{align}
und jeden Fehler
\begin{align}
\delta X &= t \cdot S_{\overline{x}}
\end{align}
Die verschiedenen Variablen werden so definiert:
\begin{align*}
X_{i} &= \text{separate Messungen}\\
N &= \text{Anzahl der Messungen}\\
\overline{X} &= \text{Mittelwert der Messungen}\\
t &= \text{Student's t-koefficient}\\\\
\end{align*}
Um denn Studentschen t-Verteilung Koefficient zu ermitteln schauen wir in eine Tabelle wo für jede Wahrscheinlichkeit und Anzahl von Messungen ein Koefficient steht. Damit wurden alle Fehler in dieser Präsentation berechnet.

== Dankessagung ==
An dieser Stelle wollen wir uns bei allen Personen bedanken, die auf unterschiedliche Art und Weise zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.

Besonderen Dank an Dr. Falk Ebert, der dieses Projekt betreut und teilweise begutachtet hat, für Vorschläge zum Mess- und Experimentieraufbau, Hinweise zur Theorie, und konstruktive Kritik.

Ebenfalls bedanken wir uns bei Antonia Macha, die als Betreuerin im PhyZ- Kurs uns besonders bei der Nutzung von Overleaf geholfen hat und auch immer für uns da war, egal ob bei fehlender Motivation oder auch beim Misslingen von Experimenten.

Außerdem bedanken wir uns bei Fabian Schmitt, der uns mit vielen Tipps zu den Experimenten und konstruktiver Kritik mit auf die Wettbewerbe vorbereitet hat.

Dazu bedanken wir uns bei Mikhail Soldatov für die Bereitstellung der Materialien und Messgeräte.

Abschließend wollen wir uns bei unseren Mitschülern im PhyZ-Kurs bedanken, die alle auf ihre eigene Art und Weise zum Gelingen dieses Projektes beigetragen haben, sei es durch Fragen, Kritik oder auch einfach durch mentale Unterstützung.

==Fazit==

Insgesamt können wir also sagen, dass die Metalle egal ob ferromagnetisch oder nichtmagnetisch, eine Wirkung auf den RLC-Schwingkreis haben. Dabei spielt bei den ferromagnetischen eher der Magnetismus eine große Rolle, wobei bei nicht magnetischen Metallen die Leitfähigkeit das Wichtigste ist. Wir können anhand der Messwerte die Metalle nach ihrer Leitfähigkeit und ihrem Magnetismus ordnen. Allerdings können wir meistens nicht genau bestimmen, welches Material sich in der Spule befindet.

==Erfolge==
Jugend forscht Regionalwettbewerb 2. Platz und ein Sonder-Prei. Insgesamt 120€.

GYPT 2. Runde

== Quellen ==
https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis

Datei:Spule u ueber t.png

2024-06-08T22:29:16Z

MaximK:

Spule u über t.

Datei:Spule I eber t.png

2024-06-08T22:28:31Z

MaximK:

Spule I über t.