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Ball on a Ferrite Rod

2023-03-16T14:10:28Z

Philipp Werner: /* Fazit */

In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

=='''Thema'''==
''"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."''

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.
=='''Ferritstab'''==
[[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]
=== Längenänderung ===
Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

=== Grundfrequenz ===
<nowiki>Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. </nowiki>[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

=== Anregung mit Schwingkreis ===
<nowiki>Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. </nowiki>

=== Aufbau ===
Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert).

Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet.

=== Einführung des Proxys ===
Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.

== '''Bewegungen des Balls''' ==
[[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]

=== Grundlegende Erklärung ===
Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.

'''Start''': Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.

'''Flugphase''': Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.

'''Landung''': Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.

=== Theorie ===

==== Parameter und Variablen ====
[[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]
Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.

* Membran:
** Frequenz $$f$$
** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$
** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$
* Ball:
** Masse $$m$$
** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$

Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:

* Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$
* Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$
[[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]
==== Bewegung der Membran ====
Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung

$$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$.

Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen:

$$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.

==== Beschreibung des Falls ====
<nowiki>Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.</nowiki>
[[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]

==== Geschwindigkeitsberechnung ====
<nowiki>Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.</nowiki>

=== Vorhersage der Theorie ===
[[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]
Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?

Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.

Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann.
[[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]
Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.

Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden.

Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese "limitierende Gerade" besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen.

Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann.

=='''Setup'''==
[[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]
[[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]

=== Aufbau ===
Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

=== Messdatenauswertung ===

==== Videotracking ====
Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.

==== Audiotracking ====
Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen.

Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.

=='''Daten'''==

=== Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===
Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

<nowiki>Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. </nowiki>

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt.

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

<nowiki>$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029 \text{.}$$</nowiki>

=== Geschwindigkeiten ===
Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in \mathbb{N}$$
[[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]
eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.

Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.
=== Vergleich von Theorie und Messdaten: ===
Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.

Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.

Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.

Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.

== Vorhersagen für die Ferritstange ==
Da wir eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Theorie- und Messdaten mit dem Proxy feststellen konnten, lässt sich behaupten, dass wir die zu entstehenden Daten mittels unserer Theorie relative präzise vorhersagen können. Dafür müssen wir nur die Eigenschaften des Ferritstabes berücksichtigen.

=== Eigenschaften des Ferritstabs ===
Der Ferritstab besitzt einige Eigenschaften, die ihn vom Proxy unterscheiden, vor allem was die Frequenz und die Auslenkung betrifft. Die Frequenz $$f$$ unseres Ferritstabes beträgt $$20$$kHz, die Auslenkung ungefähr $$0,01$$mm und sie besitzt einen experimentell ermittelten Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$ von $$0.74$$ mit einer Standardabweichung von $$\sigma = 0,074$$.

Durch die Variation der Ferritstablänge kann ihre Grundfrequenz verändert werden, weshalb sie dann mit einer anderen Frequenz schwingen wird. Des Weiteren bleibt die Auslenkung des Ferritstabs ungefähr gleich, obwohl sie natürlich von der Ferritstablänge abhängt. Der Restitutionskoeffizient hängt Primär von dem Material des Balls ab und dieses kann sehr einfach variiert werden.

Also kann man nun mittels unserer Theorie vorhersagen, wie sich der Ball mit bestimmten Eigenschaften auf der Ferritstange verhalten wird.

=== Variation von $$\alpha$$ ===
[[Datei:F19k 0 2.png|mini|333x333px|$$f=19$$kHz und $$\alpha=0,2$$]]
Mit dieser Reihe an Darstellungen zeigt sich die Auswirkung eines erhöhten $$\alpha$$. Man kann sehr klar erkennen, dass der Anstieg des Graphen immer größer wird, je höher das $$\alpha$$ ist. Das liegt daran, dass $$\alpha$$ in der Vorhersage $$v_{n+1} = u \cdot (1+\alpha) -v_n \cdot \alpha$$ durch den Ausdruck $$v_n \cdot \alpha$$ als Anstieg der Funktion fungiert, die die obere Gerade bildet, und der Term $$u \cdot (1+\alpha)$$ bildet den y-Achsenabschnitt.

=='''Fazit'''==
Wir haben lange versucht ein Experimentieraufbau mit einem Ferritstab zu entwerfen, um der GYPT Aufgabe exakt zu entsprechen. Hierbei sind wir allerdings nach vielen Versuchen dennoch gescheitert trotz Hilfe vieler Personen, sodass wir uns entschieden haben dieses durch einen Proxy zu ersetzen. Für diesen haben wir anschließend einen Versuchsaufbau konstruiert und uns Gedanken zur Messdatengenerierung gemacht, sodass wir fast sofort in der Lage waren mit dem Proxy tatsächliche Messdaten zu erheben. Ebenfalls haben wir eine Theorie aufgestellt und diese mit Messdaten verglichen. Dabei sind wir zu dem Schluss gekommen, dass unsere Theorie realitätsgetreu ist und somit das Sprungverhalten vorhersagen kann.

Rückblickend ist es etwas schade, dass wir den Ferritstab nicht zum laufen bekommen haben, da dieser nicht perfekt durch einen Proxy ersetzbar ist und wir somit kleinere Abweichungen in Kauf nehmen mussten. Ebenfalls hätten wir gerne mehr Messdaten erhoben und diese vorallem auch mit der Möglichkeit des Audiotrackings umgesetzt und nicht nur mit dem Videotracking. Zusätzlich dazu wäre es auch schön gewesen wenn wir mehrere Messreihen mit unterschiedlichen Parametern gemessen hätten.

=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:
*Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
*GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
*BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
*BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)
=='''Quellen'''==

* [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion
*[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance
*[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements
*[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]
*[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]
*[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution

*
=='''Danksagung'''==
*

Ball on a Ferrite Rod

2023-03-16T13:51:06Z

Philipp Werner: /* Vergleich von Theorie und Messdaten: */

In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

=='''Thema'''==
''"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."''

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.
=='''Ferritstab'''==
[[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]
=== Längenänderung ===
Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

=== Grundfrequenz ===
<nowiki>Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. </nowiki>[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

=== Anregung mit Schwingkreis ===
<nowiki>Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. </nowiki>

=== Aufbau ===
Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert).

Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet.

=== Einführung des Proxys ===
Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.

== '''Bewegungen des Balls''' ==
[[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]

=== Grundlegende Erklärung ===
Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.

'''Start''': Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.

'''Flugphase''': Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.

'''Landung''': Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.

=== Theorie ===

==== Parameter und Variablen ====
[[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]
Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.

* Membran:
** Frequenz $$f$$
** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$
** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$
* Ball:
** Masse $$m$$
** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$

Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:

* Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$
* Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$
[[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]
==== Bewegung der Membran ====
Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung

$$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$.

Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen:

$$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.

==== Beschreibung des Falls ====
<nowiki>Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.</nowiki>
[[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]

==== Geschwindigkeitsberechnung ====
<nowiki>Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.</nowiki>

=== Vorhersage der Theorie ===
[[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]
Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?

Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.

Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann.
[[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]
Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.

Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden.

Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese "limitierende Gerade" besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen.

Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann.

=='''Setup'''==
[[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]
[[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]

=== Aufbau ===
Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

=== Messdatenauswertung ===

==== Videotracking ====
Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.

==== Audiotracking ====
Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen.

Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.

=='''Daten'''==

=== Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===
Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

<nowiki>Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. </nowiki>

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt.

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

<nowiki>$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029 \text{.}$$</nowiki>

=== Geschwindigkeiten ===
Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in \mathbb{N}$$
[[Datei:Graph.png|mini|Graph mit Kurve]]
eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.

Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.
=== Vergleich von Theorie und Messdaten: ===
Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.

Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.

Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.

Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.

== Vorhersagen für die Ferritstange ==

=== Eigenschaften des Ferritstabs ===

=='''Fazit'''==

=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:
*Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
*GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
*BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
*BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)
=='''Quellen'''==

* [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion
*[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance
*[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements
*[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]
*[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]
*[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution
*[7]

*
=='''Danksagung'''==
*

Ball on a Ferrite Rod

2023-03-16T13:48:49Z

Philipp Werner: /* Geschwindigkeiten */

In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

=='''Thema'''==
''"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."''

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.
=='''Ferritstab'''==
[[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]
=== Längenänderung ===
Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

=== Grundfrequenz ===
<nowiki>Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. </nowiki>[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

=== Anregung mit Schwingkreis ===
<nowiki>Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. </nowiki>

=== Aufbau ===
Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert).

Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet.

=== Einführung des Proxys ===
Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.

== '''Bewegungen des Balls''' ==
[[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]

=== Grundlegende Erklärung ===
Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.

'''Start''': Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.

'''Flugphase''': Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.

'''Landung''': Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.

=== Theorie ===

==== Parameter und Variablen ====
[[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]
Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.

* Membran:
** Frequenz $$f$$
** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$
** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$
* Ball:
** Masse $$m$$
** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$

Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:

* Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$
* Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$
[[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]
==== Bewegung der Membran ====
Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung

$$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$.

Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen:

$$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.

==== Beschreibung des Falls ====
<nowiki>Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.</nowiki>
[[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]

==== Geschwindigkeitsberechnung ====
<nowiki>Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.</nowiki>

=== Vorhersage der Theorie ===
[[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]
Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?

Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.

Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann.
[[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]
Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.

Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden.

Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese "limitierende Gerade" besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen.

Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann.

=='''Setup'''==
[[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]
[[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]

=== Aufbau ===
Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

=== Messdatenauswertung ===

==== Videotracking ====
Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.

==== Audiotracking ====
Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen.

Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.

=='''Daten'''==

=== Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===
Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

<nowiki>Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. </nowiki>

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt.

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

<nowiki>$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029 \text{.}$$</nowiki>

=== Geschwindigkeiten ===
Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in \mathbb{N}$$
[[Datei:Graph.png|mini|WEFS<DGH]]
eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.

Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.
=== Vergleich von Theorie und Messdaten: ===
Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.

Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.

Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.

Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.

== Vorhersagen für die Ferritstange ==

=== Eigenschaften des Ferritstabs ===

=='''Fazit'''==

=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:
*Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
*GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
*BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
*BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)
=='''Quellen'''==

* [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion
*[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance
*[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements
*[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]
*[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]
*[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution
*[7]

*
=='''Danksagung'''==
*

Datei:Graph.png

2023-03-16T13:48:43Z

Philipp Werner:

a<SDFGHCJN;M:

Ball on a Ferrite Rod

2023-03-16T13:39:22Z

Philipp Werner: /* Vergleich von Theorie und Messdaten: */

In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

=='''Thema'''==
''"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."''

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.
=='''Ferritstab'''==
[[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]
=== Längenänderung ===
Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

=== Grundfrequenz ===
<nowiki>Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. </nowiki>[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

=== Anregung mit Schwingkreis ===
<nowiki>Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. </nowiki>

=== Aufbau ===
Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert).

Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet.

=== Einführung des Proxys ===
Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.

== '''Bewegungen des Balls''' ==
[[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]

=== Grundlegende Erklärung ===
Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.

'''Start''': Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.

'''Flugphase''': Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.

'''Landung''': Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.

=== Theorie ===

==== Parameter und Variablen ====
[[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]
Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.

* Membran:
** Frequenz $$f$$
** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$
** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$
* Ball:
** Masse $$m$$
** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$

Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:

* Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$
* Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$
[[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]
==== Bewegung der Membran ====
Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung

$$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$.

Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen:

$$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.

==== Beschreibung des Falls ====
<nowiki>Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.</nowiki>
[[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]

==== Geschwindigkeitsberechnung ====
<nowiki>Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.</nowiki>

=== Vorhersage der Theorie ===
[[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]
Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?

Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.

Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann.
[[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]
Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.

Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden.

Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese "limitierende Gerade" besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen.

Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann.

=='''Setup'''==
[[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]
[[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]

=== Aufbau ===
Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

=== Messdatenauswertung ===

==== Videotracking ====
Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.

==== Audiotracking ====
Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen.

Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.

=='''Daten'''==

=== Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===
Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

<nowiki>Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. </nowiki>

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt.

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

<nowiki>$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029 \text{.}$$</nowiki>

=== Geschwindigkeiten ===
Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.
[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]

Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.
=== Vergleich von Theorie und Messdaten: ===
Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.

Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.

Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.

Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.

== Vorhersagen für die Ferritstange ==

=== Eigenschaften des Ferritstabs ===

=='''Fazit'''==

=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:
*Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
*GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
*BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
*BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)
=='''Quellen'''==

* [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion
*[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance
*[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements
*[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]
*[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]
*[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution
*[7]

*
=='''Danksagung'''==
*

Ball on a Ferrite Rod

2023-03-16T13:39:04Z

Philipp Werner: /* Vergleich von Theorie und Messdaten: */

In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

=='''Thema'''==
''"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."''

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.
=='''Ferritstab'''==
[[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]
=== Längenänderung ===
Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

=== Grundfrequenz ===
<nowiki>Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. </nowiki>[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

=== Anregung mit Schwingkreis ===
<nowiki>Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. </nowiki>

=== Aufbau ===
Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert).

Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet.

=== Einführung des Proxys ===
Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.

== '''Bewegungen des Balls''' ==
[[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]

=== Grundlegende Erklärung ===
Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.

'''Start''': Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.

'''Flugphase''': Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.

'''Landung''': Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.

=== Theorie ===

==== Parameter und Variablen ====
[[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]
Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.

* Membran:
** Frequenz $$f$$
** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$
** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$
* Ball:
** Masse $$m$$
** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$

Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:

* Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$
* Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$
[[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]
==== Bewegung der Membran ====
Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung

$$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$.

Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen:

$$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.

==== Beschreibung des Falls ====
<nowiki>Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.</nowiki>
[[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]

==== Geschwindigkeitsberechnung ====
<nowiki>Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.</nowiki>

=== Vorhersage der Theorie ===
[[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]
Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?

Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.

Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann.
[[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]
Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.

Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden.

Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese "limitierende Gerade" besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen.

Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann.

=='''Setup'''==
[[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]
[[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]

=== Aufbau ===
Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

=== Messdatenauswertung ===

==== Videotracking ====
Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.

==== Audiotracking ====
Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen.

Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.

=='''Daten'''==

=== Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===
Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

<nowiki>Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. </nowiki>

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt.

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

<nowiki>$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029 \text{.}$$</nowiki>

=== Geschwindigkeiten ===
Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.
[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]

Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.
=== Vergleich von Theorie und Messdaten: ===
Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.

Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.

Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.

Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.

Das in den theoretischen Daten entstehende "`Kreuz"' wird dadurch erzeugt, dass wir den Sonderfall des Mikrosprunges so angenähert haben, dass danach der Ball die maximal erreichbare Geschwindigkeit erhalten hat. Ein Mikrosprung bedeutet, dass nach einem Aufprall der Ball eine Geschwindigkeit erhält, die geringer ist als die Geschwindigkeit der Membran und somit auf dieser liegen bleibt. Dies muss noch genauer untersucht werden, um eine realistische Abbildung darzustellen.

== Vorhersagen für die Ferritstange ==

=== Eigenschaften des Ferritstabs ===

=='''Fazit'''==

=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:
*Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
*GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
*BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
*BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)
=='''Quellen'''==

* [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion
*[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance
*[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements
*[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]
*[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]
*[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution
*[7]

*
=='''Danksagung'''==
*

Ball on a Ferrite Rod

2023-03-16T13:38:36Z

Philipp Werner: /* Vergleich von Theorie und Messdaten: */

In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

=='''Thema'''==
''"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."''

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.
=='''Ferritstab'''==
[[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]
=== Längenänderung ===
Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

=== Grundfrequenz ===
<nowiki>Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. </nowiki>[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

=== Anregung mit Schwingkreis ===
<nowiki>Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. </nowiki>

=== Aufbau ===
Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert).

Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet.

=== Einführung des Proxys ===
Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.

== '''Bewegungen des Balls''' ==
[[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]

=== Grundlegende Erklärung ===
Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.

'''Start''': Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.

'''Flugphase''': Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.

'''Landung''': Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.

=== Theorie ===

==== Parameter und Variablen ====
[[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]
Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.

* Membran:
** Frequenz $$f$$
** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$
** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$
* Ball:
** Masse $$m$$
** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$

Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:

* Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$
* Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$
[[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]
==== Bewegung der Membran ====
Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung

$$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$.

Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen:

$$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.

==== Beschreibung des Falls ====
<nowiki>Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.</nowiki>
[[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]

==== Geschwindigkeitsberechnung ====
<nowiki>Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.</nowiki>

=== Vorhersage der Theorie ===
[[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]
Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?

Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.

Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann.
[[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]
Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.

Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden.

Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese "limitierende Gerade" besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen.

Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann.

=='''Setup'''==
[[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]
[[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]

=== Aufbau ===
Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

=== Messdatenauswertung ===

==== Videotracking ====
Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.

==== Audiotracking ====
Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen.

Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.

=='''Daten'''==

=== Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===
Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

<nowiki>Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. </nowiki>

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt.

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

<nowiki>$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029 \text{.}$$</nowiki>

=== Geschwindigkeiten ===
Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.
[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]

Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.
=== Vergleich von Theorie und Messdaten: ===
Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.

Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.

Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.

Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $0,2 \frac{m}{s}$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.

Das in den theoretischen Daten entstehende "`Kreuz"' wird dadurch erzeugt, dass wir den Sonderfall des Mikrosprunges so angenähert haben, dass danach der Ball die maximal erreichbare Geschwindigkeit erhalten hat. Ein Mikrosprung bedeutet, dass nach einem Aufprall der Ball eine Geschwindigkeit erhält, die geringer ist als die Geschwindigkeit der Membran und somit auf dieser liegen bleibt. Dies muss noch genauer untersucht werden, um eine realistische Abbildung darzustellen.

== Vorhersagen für die Ferritstange ==

=== Eigenschaften des Ferritstabs ===

=='''Fazit'''==

=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:
*Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
*GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
*BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
*BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)
=='''Quellen'''==

* [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion
*[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance
*[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements
*[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]
*[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]
*[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution
*[7]

*
=='''Danksagung'''==
*

Ball on a Ferrite Rod

2023-03-16T13:36:42Z

Philipp Werner: /* Ermittlung des Restitutionskoeffizienten */

In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von [[Fabian Schmitt]](17) und [[Philipp Werner]](17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

=='''Thema'''==
''"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."''

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.
=='''Ferritstab'''==
[[Datei:Längenänderung.png|mini|288x288px|Längenänderung]]
=== Längenänderung ===
Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

=== Grundfrequenz ===
<nowiki>Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz. </nowiki>[[Datei:Spektrometer Ferrit.jpg|mini|622x622px|Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs]]

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

=== Anregung mit Schwingkreis ===
<nowiki>Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$. </nowiki>

=== Aufbau ===
Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert).

Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet.

=== Einführung des Proxys ===
Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.

== '''Bewegungen des Balls''' ==
[[Datei:Basic explanation 2.png|mini|366x366px|Darstellung eines Sprungs]]

=== Grundlegende Erklärung ===
Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.

'''Start''': Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.

'''Flugphase''': Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.

'''Landung''': Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.

=== Theorie ===

==== Parameter und Variablen ====
[[Datei:Parameter.png|mini|414x414px|Parameter und Variablen]]
Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.

* Membran:
** Frequenz $$f$$
** Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$
** Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$
* Ball:
** Masse $$m$$
** Restitutionskoeffizient $$\alpha$$

Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:

* Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$
* Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$
[[Datei:Ball und Membran.png|mini|414x414px|Variablen von Membran und Ball]]
==== Bewegung der Membran ====
Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung

$$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$.

Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen:

$$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.

==== Beschreibung des Falls ====
<nowiki>Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.</nowiki>
[[Datei:Relative Geschwindigkeiten des Balls.png|mini|Relative Geschwindigkeiten des Balls|327x327px]]

==== Geschwindigkeitsberechnung ====
<nowiki>Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.</nowiki>

=== Vorhersage der Theorie ===
[[Datei:Schattenbereich.png|mini|323x323px|Darstellung des Landebereiches]]
Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?

Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.

Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann.
[[Datei:Bild2.png|mini|641x641px|Beispieleingabe]]
Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.

Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden.

Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese "limitierende Gerade" besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen.

Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann.

=='''Setup'''==
[[Datei:Aufbau.png|mini|Skizze des Aufbaus]]
[[Datei:Aufbau Foto.jpg|mini|Foto des Aufbaus]]

=== Aufbau ===
Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

=== Messdatenauswertung ===

==== Videotracking ====
Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.

==== Audiotracking ====
Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen.

Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.

=='''Daten'''==

=== Ermittlung des Restitutionskoeffizienten ===
Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

<nowiki>Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen. </nowiki>

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt.

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

<nowiki>$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029 \text{.}$$</nowiki>

=== Geschwindigkeiten ===
Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.
[[Datei:Messwerte mit linie.png|mini|Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie]]

Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.
=== Vergleich von Theorie und Messdaten: ===
=='''Fazit'''==

=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:
*Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
*GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
*BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
*BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)
=='''Quellen'''==

* [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion
*[2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance
*[3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements
*[4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis, https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis]
*[5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): [https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite, https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite]
*[6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution
*[7]

*
=='''Danksagung'''==
*

Three-Sided Dice

2022-06-17T20:26:17Z

Philipp Werner: /* Danksagung */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur Eliminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutz$$^{[3]}$$.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir sowohl Holzzylinder als auch Hohlzylinder ausprobiert, jedoch mussten wir beide Zylinderreihen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe zu Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder auf gleiche Weise werfen zu können, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
=====Coin-Slider=====
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen kann, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekommt der Zylinder eine bestimmte Rotation und fällt dann zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch genug ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments zu sehr bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet.
===== Coin-Flipper=====
[[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 13000 Würfe geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Abwurfhöhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder öfter springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht

Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von $$1,0$$ $$m$$ Höhe fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf das $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM Zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: Wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-Dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch Sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung$$^{[5]}$$ genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$N = 200$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*Tom Haas und Mohammad-Taha Abdollahniafür ihre Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T20:24:14Z

Philipp Werner: /* Aufbau */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur Eliminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutz$$^{[3]}$$.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir sowohl Holzzylinder als auch Hohlzylinder ausprobiert, jedoch mussten wir beide Zylinderreihen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe zu Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder auf gleiche Weise werfen zu können, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
=====Coin-Slider=====
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen kann, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekommt der Zylinder eine bestimmte Rotation und fällt dann zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch genug ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments zu sehr bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet.
===== Coin-Flipper=====
[[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 13000 Würfe geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Abwurfhöhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder öfter springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht

Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von $$1,0$$ $$m$$ Höhe fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf das $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM Zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: Wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-Dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch Sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung$$^{[5]}$$ genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$N = 200$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:27:25Z

Philipp Werner: /* Maximum-Likelihood-Funktion */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur Eliminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutz$$^{[3]}$$.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:25:59Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur Eliminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:25:18Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur Eliminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4 \quad \text{für} \quad \alpha = 1$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:25:01Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur Eliminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4 \quad \text{für} \alpha = 1$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:24:12Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur Eliminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:22:58Z

Philipp Werner: /* 2-Dimensionaler Ansatz */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:07:41Z

Philipp Werner: /* Theorie */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem 3-dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

Dieser Ansatz besitzt jedoch den Mangel, dass für ihn die Rotation des Zylinders mit einberechnet wird, die letztendlich für die Wahrscheinlichkeitsverteilung egal ist, und daher ist der errechnete Wert zu groß.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung [1] gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:07:10Z

Philipp Werner: /* Theorie */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-dimensionale Ansatz$$^[4]$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^[2]$$, ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem 3-dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

Dieser Ansatz besitzt jedoch den Mangel, dass für ihn die Rotation des Zylinders mit einberechnet wird, die letztendlich für die Wahrscheinlichkeitsverteilung egal ist, und daher ist der errechnete Wert zu groß.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung [1] gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:06:41Z

Philipp Werner: /* Theorie */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-dimensionale Ansatz [4], und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung [2], ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem 3-dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

Dieser Ansatz besitzt jedoch den Mangel, dass für ihn die Rotation des Zylinders mit einberechnet wird, die letztendlich für die Wahrscheinlichkeitsverteilung egal ist, und daher ist der errechnete Wert zu groß.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung [1] gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T19:05:58Z

Philipp Werner: /* Thema */

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Bei einem Münzwurf gibt es die 2 Ausgänge Kopf und Zahl. Allerdings gibt es einen dritten sehr unwahrscheinlichen Ausgang: eine Landung auf dem Rand. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift. Dieser fällt höchstwahrscheinlich auf seine langen Seite und wird nur sehr selten auf seiner Kappe oder seinem Boden landen. Doch zwischen diesen beiden Zylindergrößen liegt ein Verhältnis von Höhe zu Radius des Zylinders, bei dem der Zylinder auf jeder seiner Seiten gleich wahrscheinlich landet. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel, auf der Grundfläche und auf der Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, herauszufinden wie so ein Zylinder aussehen sollte, sodass er gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren mathematisch, nämlich der 2- und 3-dimensionale Ansatz [4], und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung [2], ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem 3-dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

Dieser Ansatz besitzt jedoch den Mangel, dass für ihn die Rotation des Zylinders mit einberechnet wird, die letztendlich für die Wahrscheinlichkeitsverteilung egal ist, und daher ist der errechnete Wert zu groß.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung [1] gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-17T18:58:04Z

Philipp Werner:

In diesem Artikel wird das Projekt "Laplace Coin Flip" von [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18) vorgestellt. Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Grundflächen landen wird. Doch zwischen diesen beiden Extremen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit gleich sein sollte, auf einer Grundfläche und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Grundfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren mathematisch, nämlich der 2- und 3-dimensionale Ansatz [4], und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung [2], ist ein physikalischer Ansatz.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem 3-dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

Dieser Ansatz besitzt jedoch den Mangel, dass für ihn die Rotation des Zylinders mit einberechnet wird, die letztendlich für die Wahrscheinlichkeitsverteilung egal ist, und daher ist der errechnete Wert zu groß.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung [1] gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.</nowiki>

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Insgesamt haben wir über 10000 geworfen.

===Unterschiedliche Höhen ===
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

=== Unterschiedlicher Untergrund===
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
===Unterschiedliche Zylindermaterialien===
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

=== Unterschiedliche Skalierung ===
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

=== Keine Sprünge ===
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

=== Fehlerbetrachtung ===

==== Tschebyscheff Ungleichung ====
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

<nowiki>$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$200=N$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt: </nowiki>

<nowiki>$$ p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$</nowiki>

$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.

==== Messfehler ====
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse einen Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.

Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T19:50:53Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
[[Datei:CylinderNetLabeled.png|mini|Zustände des Zylinders]]
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$

hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

probability

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist propotional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$</nowiki>

des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für des bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt es mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Datei:CylinderNetLabeled.png

2022-06-16T19:50:31Z

Philipp Werner:

Zustande des Zylinders

Three-Sided Dice

2022-06-16T19:48:50Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

probability

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist propotional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$</nowiki>

des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für des bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt es mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T19:48:28Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

probability

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist propotional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$</nowiki>

des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für des bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt es mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene $$\alpha, \beta$$, $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T19:47:54Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

probability

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist propotional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$</nowiki>

des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für des bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt es mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene $$\alpha, beta$$, $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T19:46:33Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

probability

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist propotional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$</nowiki>

des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim {2 \cdot \pi^2}^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim {2 \cdot \pi^2}^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim {2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3

<nowiki>$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für des bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt es mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene $$\alpha, beta$$, $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T19:45:42Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

probability

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist propotional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$</nowiki>

des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim {2 \cdot \pi^2}^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim {2 \cdot \pi^2}^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim {2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3

<nowiki>$$\frac{(2 \cdot x}^{\alpha} \cdot \beta{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + {2 \cdot x}^{\alpha}}$$</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für des bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt es mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene $$\alpha, beta$$, $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T19:44:47Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

probability

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist propotional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$</nowiki>

des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim {2 \cdot \pi^2}^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim {2 \cdot \pi^2}^α · β^{\frac{-x}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim {2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3

<nowiki>$$\frac{(2 \cdot x}^{\alpha} \cdot \beta{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + 2 \cdot x}^{\alpha}}$$</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für des bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt es mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene $$\alpha, beta$$, $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T19:44:03Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

probability

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist propotional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

<nowiki>$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$</nowiki>

des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 1) \sim {2 \cdot \pi^2}^α · β^{\frac{-x}}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Rightarrow p(z = 2) \sim {2 \cdot \pi^2}^α · β^{\frac{-x}}{2}}$$</nowiki>

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim {2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3

<nowiki>$$\frac{(2 \cdot x}^{\alpha} \cdot \beta{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + 2 \cdot x}^{\alpha}}$$</nowiki>

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für des bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

====Maximum-Likelihood-Funktion====
Zur bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt.

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt es mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene $$\alpha, beta$$, $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T15:34:45Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$
[[Datei:CubeNetLabeled.png|mini|6 Zustände eines Würfels als Netz]]
hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist propotional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes
==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Datei:CubeNetLabeled.png

2022-06-16T15:31:37Z

Philipp Werner:

6 Zustände eines Würfels als Netz

Three-Sided Dice

2022-06-16T15:26:02Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$

hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$
==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T15:23:45Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$

hierbei ist beta ein Skalierungsfaktor, gamma ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T15:22:08Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T15:20:02Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot e^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Leftrightarrow p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T15:19:33Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot e^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Leftrightarrow p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \Beta^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T15:18:52Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot e^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Leftrightarrow p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \Beta^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}$$</nowiki>

$$c = \sum\nolimits_{n=1}^6$$

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T15:13:41Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) \sim e^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}$$</nowiki>

<nowiki>$$\Leftrightarrow p(z = i) \sim \Beta^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}$$</nowiki>

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-16T15:13:14Z

Philipp Werner: /* Gibbsverteilung */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus [[Fabian Schmitt]](16), [[Philipp Werner]](16) und [[Hanyang Lu]](18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right)$$ und es soll gelten: $$b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$

Daher gilt:

<nowiki>$$2 \cdot R \cdot sin^{-1}\left( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R}\right) = b_r = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R \Leftrightarrow r = sin \left(\frac{\pi}{3} \right) \cdot R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R$$</nowiki>

Außerdem gilt:

<nowiki>$$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$</nowiki>

<nowiki>Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Seite zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.</nowiki>
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zylinder diesen Zustand annimmt.

Nach der Gibbsverteilung gilt:

<nowiki>$$p(z = i) \sim e^{\frac{-E_{pot}}{\gamma} \\</nowiki>

<nowiki>\Leftrightarrow p(z = i) \sim \Beta^{\frac{-E_{pot}}{\gamma}$$</nowiki>

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius $$r$$ in $$cm$$
!Höhe $$h$$ in $$cm$$
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
!Material
|-
|$$0,75$$
|$$0,6$$
|$$0,8$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,75$$
|$$1,0$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,88$$
|$$1,17$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$0,96$$
|$$1,28$$
|Edelstahl / POM
|-
|$$0,75$$
|$$1,12$$
|$$1,49$$
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.
[[Datei:CoinSlider Beschriftung.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]

=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:MessreihenHoehe.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel
! opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|$$0,8$$
|($$1,2$$; $$30,0$$)
|$$1,27$$
|-
| $$1,0$$
|($$1,5$$; $$30,0$$)
|$$1,21$$
|-
|$$1,2$$
| ($$1,7$$; $$29,8$$)
|$$1,16$$
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
[[Datei:MessreihenUntergrund1.png|mini|302x302px|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper]]

===== Unterschiedlicher Untergrund=====
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht.
Das Ergebnis ist:
[[Datei:MessreihenUntergrund2.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
!Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|($$1,5$$; $$30,0$$)
| $$1,21$$
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|($$1,8$$; $$1,6$$)
|$$0,80$$
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|($$1,4$$; $$27,2$$)
|$$1,20$$
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|($$1,9$$; $$8,1$$)
|$$0,91$$
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:MessreiheMaterial.png|mini|Unterschiedliches Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.
Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel
! Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|($$1,5$$; $$3,2$$)
|$$0,8$$
|-
|POM
| ($$1,8$$; $$16,6$$)
|$$1,05$$
|}
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

===== Unterschiedliche Skalierung =====
[[Datei:MessreiheSkalierung.png|mini|Messreihe Skalierung]]
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

===== Keine Sprünge =====
[[Datei:MessreiheKeineSpruenge.png|mini|Messreihe ohne Sprünge]]
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

<nowiki>Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.</nowiki>

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in $$m$$
!Untergrund
!Wurfgerät
!$$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
|-
|POM
|$$1,0$$

|Linoleum
| Coin-Flipper
|$$1,05$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Linoleum
|Coin-Flipper
| $$0,80$$
|-
|Edelstahl
|$$1,0$$

|Teppich
|Coin-Flipper
|$$1,21$$
|}
<nowiki>Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein. </nowiki>
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
*Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

== '''Quellen''' ==

* [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
* [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
* [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
* [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
* [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)

*

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*[[Falk Ebert|Herrn Ebert]] für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*[[Timo Huber]] für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*[[Anja Dücker]] für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-09T14:45:41Z

Philipp Werner: /* 2-Dimensionaler Ansatz */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus Fabian Schmitt(16), Philipp Werner(16) und Hanyang Lu(18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice, bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gilt folgendes:

$$b_r = 2 \cdot R \cdot sin^{-1}( \frac{2 \cdot r}{2 \cdot R})$$

$$b_r &= \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot R$$
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der Gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius r in cm
!Höhe h in cm
!h/r-Verhältnis
!Material
|-
|0,75
|0,6
|0,8
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,75
|1,0
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,88
|1,17
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,96
|1,28
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|1,12
|1,49
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen. [[Datei:Coin Slider.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]
=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==

====Messreihen====
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss verschiedener Parameter auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:Messreihen für Höhen.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von 0,8 m, 1,0 m und 1,2 m geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in m
!Optimales α-β-Tupel
! opimales h/r-Verhältnis
|-
|0,8
|(1,2; 30,0)
|1,27
|-
| 1,0
|(1,5; 30,0)
|1,21
|-
|1,2
| (1,7; 29,8)
|1,16
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale h/r-Verhältnis als auch das optimale α-β-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale h/r-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das β bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das α wächst.
===== Unterschiedlicher Untergrund=====
[[Datei:Messreihen Untergrund Coin-Flipper.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper|302x302px]]
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von 1 m und mit dem Coinflipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coinflipper gemacht.


Das Ergebnis ist:
[[Datei:Messreihen Untergrund Coin-Slider.png|mini|Messreihen Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales α-β-Tupel
!Optimales h/r-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|(1,5; 30,0)
| 1,21
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|(1,8; 1,6)
|0,80
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|(1,4; 27,2)
|1,20
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|(1,9; 8,1)
|0,91
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale α-β-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:Messreihe Material Zylinder.png|mini|Messreihen Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 m fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales α-β-Tupel
! Optimales h/r-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|(1,5; 3,2)
|0,8
|-
|POM
| (1,8; 16,6)
|1,05
|}
Auswertung...

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in m
!Untergrund
!Wurfgerät
!h/r-Verhältnis
|-
|POM
|1,0

|Linoleum
| Coinflipper
|1,05
|-
|Edelstahl
|1,0

|Linoleum
|Coinflipper
| 0,80
|-
|Edelstahl
|1,0

|Teppich
|Coinflipper
|1,21
|}
Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet.
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1
*Bronzemedaille im AYPT 2022

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*Herrn Ebert für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*Timo Huber für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*Anja Dücker für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-09T14:44:24Z

Philipp Werner: /* 2-Dimensionaler Ansatz */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus Fabian Schmitt(16), Philipp Werner(16) und Hanyang Lu(18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice, bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Für $$b_r$$ gelten folgende Sachen
[[Datei:MathematicalApproach3d.png|mini|3-Dimensionaler Ansatz]]

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der Gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius r in cm
!Höhe h in cm
!h/r-Verhältnis
!Material
|-
|0,75
|0,6
|0,8
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,75
|1,0
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,88
|1,17
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,96
|1,28
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|1,12
|1,49
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen. [[Datei:Coin Slider.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]
=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==

====Messreihen====
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss verschiedener Parameter auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:Messreihen für Höhen.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von 0,8 m, 1,0 m und 1,2 m geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in m
!Optimales α-β-Tupel
! opimales h/r-Verhältnis
|-
|0,8
|(1,2; 30,0)
|1,27
|-
| 1,0
|(1,5; 30,0)
|1,21
|-
|1,2
| (1,7; 29,8)
|1,16
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale h/r-Verhältnis als auch das optimale α-β-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale h/r-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das β bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das α wächst.
===== Unterschiedlicher Untergrund=====
[[Datei:Messreihen Untergrund Coin-Flipper.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper|302x302px]]
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von 1 m und mit dem Coinflipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coinflipper gemacht.


Das Ergebnis ist:
[[Datei:Messreihen Untergrund Coin-Slider.png|mini|Messreihen Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales α-β-Tupel
!Optimales h/r-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|(1,5; 30,0)
| 1,21
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|(1,8; 1,6)
|0,80
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|(1,4; 27,2)
|1,20
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|(1,9; 8,1)
|0,91
|}
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale α-β-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und
=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:Messreihe Material Zylinder.png|mini|Messreihen Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 m fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales α-β-Tupel
! Optimales h/r-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|(1,5; 3,2)
|0,8
|-
|POM
| (1,8; 16,6)
|1,05
|}
Auswertung...

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in m
!Untergrund
!Wurfgerät
!h/r-Verhältnis
|-
|POM
|1,0

|Linoleum
| Coinflipper
|1,05
|-
|Edelstahl
|1,0

|Linoleum
|Coinflipper
| 0,80
|-
|Edelstahl
|1,0

|Teppich
|Coinflipper
|1,21
|}
Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet.
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1
*Bronzemedaille im AYPT 2022

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*Herrn Ebert für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*Timo Huber für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*Anja Dücker für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-09T14:31:44Z

Philipp Werner: /* 2-Dimensionaler Ansatz */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus Fabian Schmitt(16), Philipp Werner(16) und Hanyang Lu(18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice, bearbeitet.
=='''Thema'''==
Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.
== '''Theorie''' ==
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.
[[Datei:MathematicalApproachAppendix.png|mini|2-Dimenionaler mathematischer Ansatz]]

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind..

==== 3-Dimensionaler Ansatz ====
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der Gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

==== Gibbsverteilung====

==== Maximum-Likelihood-Funktion ====

== '''Aufbau''' ==

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius r in cm
!Höhe h in cm
!h/r-Verhältnis
!Material
|-
|0,75
|0,6
|0,8
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,75
|1,0
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,88
|1,17
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,96
|1,28
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|1,12
|1,49
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen. [[Datei:Coin Slider.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]
=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

== '''Daten'''==

====Messreihen====
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss verschiedener Parameter auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:Messreihen für Höhen.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von 0,8 m, 1,0 m und 1,2 m geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in m
!Optimales α-β-Tupel
! opimales h/r-Verhältnis
|-
|0,8
|(1,2; 30,0)
|1,27
|-
| 1,0
|(1,5; 30,0)
|1,21
|-
|1,2
| (1,7; 29,8)
|1,16
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale h/r-Verhältnis als auch das optimale α-β-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale h/r-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das β bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das α wächst.
===== Unterschiedlicher Untergrund=====
[[Datei:Messreihen Untergrund Coin-Flipper.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper|302x302px]]
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von 1 m und mit dem Coinflipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coinflipper gemacht.


Das Ergebnis ist:
[[Datei:Messreihen Untergrund Coin-Slider.png|mini|Messreihen Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales α-β-Tupel
!Optimales h/r-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|(1,5; 30,0)
| 1,21
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|(1,8; 1,6)
|0,80
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|(1,4; 27,2)
|1,20
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|(1,9; 8,1)
|0,91
|}
Man kann erkennen, dass...

=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:Messreihe Material Zylinder.png|mini|Messreihen Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 m fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales α-β-Tupel
! Optimales h/r-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|(1,5; 3,2)
|0,8
|-
|POM
| (1,8; 16,6)
|1,05
|}
Auswertung...

== '''Fazit'''==
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe in m
!Untergrund
!Wurfgerät
!h/r-Verhältnis
|-
|POM
|1,0

|Linoleum
| Coinflipper
|1,05
|-
|Edelstahl
|1,0

|Linoleum
|Coinflipper
| 0,80
|-
|Edelstahl
|1,0

|Teppich
|Coinflipper
|1,21
|}
Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet.
=='''Erfolge'''==
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1
*Bronzemedaille im AYPT 2022

=='''Danksagung'''==
Wir bedanken uns bei:

*Herrn Ebert für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*Timo Huber für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*Anja Dücker für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Three-Sided Dice

2022-06-09T14:08:24Z

Philipp Werner: /* 2-Dimensionaler Ansatz */

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus Fabian Schmitt(16), Philipp Werner(16) und Hanyang Lu(18). Wir haben dieses Jahr (2022) das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice, bearbeitet.

==='''Thema'''===
Wir haben die 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament mit dem Titel Three-Sided Dice (3 Seitiger Würfel) bearbeitet:

''" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"''

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.

=== '''Theorie''' ===
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 

==== 3-Dimensionaler Ansatz====

==== 2-Dimensionaler Ansatz====
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat.

==== Gibbsverteilung====

=== '''Aufbau''' ===

==== Zylinder ====
Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:
[[Datei:Zylinder.jpg|mini|411x411px|Zylinder]]
{| class="wikitable"
!Radius r in cm
!Höhe h in cm
!h/r-Verhältnis
!Material
|-
|0,75
|0,6
|0,8
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,75
|1,0
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,88
|1,17
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|0,96
|1,28
|Edelstahl / POM
|-
|0,75
|1,12
|1,49
|Edelstahl / POM
|}

==== Wurfmaschinen ====
Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen. [[Datei:Coin Slider.png|mini|192x192px|Darstellung des Coin-Sliders]]
=====Coin-Slider=====
Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet. [[Datei:CoinFlipper Beschriftung.jpg|Darstellung des Coin-Flippers|mini|193x193px]]
===== Coin-Flipper=====
Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

=== '''Daten'''===

====Messreihen====
Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss verschiedener Parameter auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen.

=====Unterschiedliche Höhen =====
[[Datei:Messreihen für Höhen.png|mini|303x303px|Unterschiedliche Höhen]]
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von 0,8 m, 1,0 m und 1,2 m geworfen.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Abwurfhöhe in m
!Optimales α-β-Tupel
! opimales h/r-Verhältnis
|-
|0,8
|(1,2; 30,0)
|1,27
|-
| 1,0
|(1,5; 30,0)
|1,21
|-
|1,2
| (1,7; 29,8)
|1,16
|}
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale h/r-Verhältnis als auch das optimale α-β-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale h/r-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das β bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das α wächst.
===== Unterschiedlicher Untergrund=====
[[Datei:Messreihen Untergrund Coin-Flipper.png|mini|Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper|302x302px]]
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von 1 m und mit dem Coinflipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coinflipper gemacht.


Das Ergebnis ist:
[[Datei:Messreihen Untergrund Coin-Slider.png|mini|Messreihen Untergrund Coin-Slider]]
{| class="wikitable"
!Oberfläche
!Wurfmaschine
!Optimales α-β-Tupel
!Optimales h/r-Verhältnis
|-
|Teppich
|Coin-Flipper
|(1,5; 30,0)
| 1,21
|-
| Linoleum
|Coin-Flipper
|(1,8; 1,6)
|0,80
|-
|Teppich
|Coin-Slider
|(1,4; 27,2)
|1,20
|-
|Linoleum
|Coin-Slider
|(1,9; 8,1)
|0,91
|}
Man kann erkennen, dass...

=====Unterschiedliche Zylindermaterialien=====
[[Datei:Messreihe Material Zylinder.png|mini|Messreihen Material des Zylinders]]
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 m fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.

Das Ergebnis ist:
{| class="wikitable"
!Material
!Optimales α-β-Tupel
! Optimales h/r-Verhältnis
|-
|Edelstahl
|(1,5; 3,2)
|0,8
|-
|POM
| (1,8; 16,6)
|1,05
|}
Auswertung...

=== '''Fazit'''===
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
{| class="wikitable"
!Zylindermaterial
!Abwurfhöhe
!Untergrund
!Wurfgerät
!h/r-Verhältnis
|-
|POM
|1 m

|Linoleum
| Coinflipper
|1,05
|-
|Edelstahl
|1 m

|Linoleum
|Coinflipper
| 0,80
|-
|Edelstahl
|1 m

|Teppich
|Coinflipper
|1,21
|}
Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet. 
==='''Erfolge'''===
Wir haben folgende Erfolge errungen:

*Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik
*GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11
*GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7
*BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3
*BeGYPT Gruppenplatzierungen 1
*Bronzemedaille im AYPT 2022

==='''Danksagung'''===
Wir bedanken uns bei:

*Herrn Ebert für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
*Timo Huber für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
*Anja Dücker für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
*DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
*2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen

*

[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:GYPT]]

Diskussion:Three-Sided Dice

2022-06-09T13:24:51Z

Philipp Werner:

Ne
doch

Projektübersicht

2022-06-09T13:23:22Z

Philipp Werner:

{| class="wikitable sortable"
!Schuljahr
!Projektname
!Bearbeitet von
!Wettbewerbe und Erfolge
!Tags
|-
|2021/22
|[[Equipotential Lines]]
|
|Jugend-Forscht: 3. Platz Landeswettbewerb (Technik)
|Elektrizität, Nodal Analysis
|-
|2021/22
|[[Die perfekte Sandburg]]
|Lara Hermes
Rasselnuss Stengelmann

Felix-Ramón Sindermann
|Jugend-Forscht: 2. Platz Landeswettbewerb (Geo- und Raumwissenschaften)
|Granulare Materie, Kapillareffekt
|-
|2021/22
|[[Three-Sided Dice]]
|Fabian Schmitt
Philipp Werner

Hanyang Lu
|Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb (Mathematik/Informatik)
GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11

GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7

Bronzemedaille im AYPT 2022
|Mechanik, Stochastik
|-
|2021/22
|[[Boycott Effect]]
|Antonia Macha
Katharina Horn-Phenix
|Jugend Forscht: 1. Platz Landeswettbewerb (Physik)
GYPT: Best Report, Erstplatzierung (Einzel), Silber-Medallie (Team)

to be continued
|
|-
|2021/22
|[[Musterprojekt]] (Vorlage)
|Dr. Falk Ebert
|Vorlage für Projekteinträge des Wikis
|
|-
|2018/19
|[[Filling up a bottle]]
|Timo Huber
|GYPT: Best Report, Top 10 Einzelwertung
|Fluidmechanik, Frequenzanalyse
|-
|2017/18
|[[Untersuchung des Magnus-Effekts und Bau eines Flettner-Flugzeugs]]
|Timo Huber
|Jugend Forscht: 1. Platz Landeswettbewerb (Physik)
|Fluidmechanik, Modellbau
|}