Ruler Cannon - Versionsgeschichte

AlbrechtH am 24. Juni 2025 um 19:59 Uhr

2025-06-24T19:59:11Z

ElliottK am 15. Juni 2025 um 17:10 Uhr

2025-06-15T17:10:28Z

Änderungen zeigen

ElliottK am 15. Juni 2025 um 16:16 Uhr

2025-06-15T16:16:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Juni 2025, 18:16 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	* α Öffnungswinkel in °		* α Öffnungswinkel in °

	* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$		* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ in °

	* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$		* D Federkonstante des Lineals in $$\frac{N}{m}$$

	*		*
Zeile 43:		Zeile 43:
	Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1):		Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1):

	Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$~~. Die~~ durch Masse und Biegung des Lineals entsteht. In dieselbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die zusätzlich am Punkt a (hinter dem Ball) auf das obere Lineal ausgeübt wird. Dadurch ergibt sich die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$, die eine starke Kraft auf den Ball abgibt. Die für den Abflug des Balls entscheidende Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektiv vorwärtsgerichtete Komponente. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .		Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$, die durch Masse und Biegung des Lineals entsteht. In dieselbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die zusätzlich am Punkt a (hinter dem Ball) auf das obere Lineal ausgeübt wird. Dadurch ergibt sich die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$, die eine starke Kraft auf den Ball abgibt. Die für den Abflug des Balls entscheidende Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektiv vorwärtsgerichtete Komponente. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .

	Ablauf des Phänomens:		Ablauf des Phänomens:

	Wird eine Kraft $$F_{Extra}$$ am Punkt a auf das Lineal ausgeübt, erhöht sich $$F_{Final}$$.Sobald diese die Haftreibung $$F_{F}$$ übersteigt, wird der Ball in Richtung von $$F_{Final}$$ beschleunigt und losgeschleudert.		Wird eine Kraft $$F_{Extra}$$ am Punkt a auf das Lineal ausgeübt, erhöht sich $$F_{Final}$$. Sobald diese die Haftreibung $$F_{F}$$ übersteigt, wird der Ball in Richtung von $$F_{Final}$$ beschleunigt und losgeschleudert.

	==Theorie==		==Theorie==

ElliottK: /* Theorie */

2025-06-14T00:58:10Z

Theorie

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juni 2025, 02:58 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:

	==Theorie==		==Theorie==
	~~Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.~~		Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns zunächst das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, die am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als starr, sodass der erste Abschnitt flach bleibt und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball aufweist. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden.

	Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns ~~Anfangs~~ das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, ~~welche~~ am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als ~~unbeugbar~~, ~~wodurch~~ der erste ~~Teil komplett~~ flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden.

	[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png\|mini\|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung\|516x516px]]		[[Datei:AlteTheorie RulerCannon.png\|mini\|Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung\|516x516px]]

ElliottK: /* Thema */

2025-06-14T00:52:56Z

Thema

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juni 2025, 02:52 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

	==Thema==		==Thema==
	Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns ~~unsere~~ Aufgabe aus dem diesjährigen GYPT Aufgabenset ~~ausgesucht. Dies war das~~ [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html Problem 7<sup>1</sup>]. ~~Dieses~~ lautet ~~dort~~:		Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns für eine Aufgabe aus dem

			diesjährigen GYPT Aufgabenset entschieden: [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html Problem 7<sup>1</sup>]. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

	Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.		Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.

	~~Das bedeutet übersetzt~~:		Übersetzt:

	Zwei Lineale werden eng ~~aneinander gehalten~~. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.		Zwei Lineale werden eng aneinandergehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball - in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.

	Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei:		Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei:
Zeile 13:		Zeile 15:
	*$$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N		*$$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N

	* $$F_{Ruler}$$ ~~Linealeigenkraft~~ in N		* $$F_{Ruler}$$ Eigenkraft des Lineals in N

	* $$F_{Final}$$ Kraft~~, die nach vorne wirkt~~ in N		* $$F_{Final}$$ Resultierende Kraft in N
	*$$F_F$$ Reibungskraft in N		*$$F_F$$ Reibungskraft in N

	* d Durchmesser ~~von Tischtennisball~~ in m		* d Durchmesser des Tischtennisballs in m

	*l Punkt am Ende des Lineals in cm		*l Punkt am Ende des Lineals in cm
Zeile 34:		Zeile 36:
	* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup>		* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup>
	* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$		* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$
	* a ~~Punkt, wo auf~~ $$F_{Extra}$$ ~~das~~ Lineal ~~ausgeübt wird~~ in cm		* a Angriffspunkt von $$F_{Extra}$$ auf dem Lineal in cm
	* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m		* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m
	* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$		* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$
	* I ~~Quadratischer Flächenmoment~~ in m<sup>4</sup>		* I Flächenträgheitsmoment in m<sup>4</sup>
	[[Datei:Skitze der Kräfte.png\|mini\|480x480px\|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]		[[Datei:Skitze der Kräfte.png\|mini\|480x480px\|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]
	Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:		Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1):

			Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Die durch Masse und Biegung des Lineals entsteht. In dieselbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die zusätzlich am Punkt a (hinter dem Ball) auf das obere Lineal ausgeübt wird. Dadurch ergibt sich die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$, die eine starke Kraft auf den Ball abgibt. Die für den Abflug des Balls entscheidende Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektiv vorwärtsgerichtete Komponente. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .

	Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach Unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .		Ablauf des Phänomens:

	~~Das Phänomen findet statt, indem~~ eine ~~gewisse~~ Kraft $$F_{Extra}$$ ~~an einem~~ Punkt a auf das Lineal ausgeübt ~~wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und~~ $$F_{Final}$$ ~~steigt~~. ~~Wenn die Kraft $$F_{Final}$$~~ die Haftreibung $$F_{F}$$ ~~überwindet~~, ~~fliegt~~ der Ball ~~nach vorne~~ in Richtung $$F_{Final}$$ ~~los~~.		Wird eine Kraft $$F_{Extra}$$ am Punkt a auf das Lineal ausgeübt, erhöht sich $$F_{Final}$$.Sobald diese die Haftreibung $$F_{F}$$ übersteigt, wird der Ball in Richtung von $$F_{Final}$$ beschleunigt und losgeschleudert.

	==Theorie==		==Theorie==

ElliottK: /* Thema */

2025-06-14T00:33:36Z

Thema

ElliottK: /* Thema */

2025-06-14T00:27:39Z

Thema

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juni 2025, 02:27 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

	==Thema==		==Thema==
	~~Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-~~Aufgabe ~~mit Übersetzung und~~ dem ~~Fokus auf Eure Parameter hin~~. ~~$$\sqrt{2}$$~~		Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns unsere Aufgabe aus dem diesjährigen GYPT Aufgabenset ausgesucht. Dies war das [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html Problem 7<sup>1</sup>]. Dieses lautet dort:

	~~Worum geht es bei unserem Projekt?~~

	~~Zu erst beginnen wir mit der~~ [https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html ~~GYPT Aufgabe~~<sup>1</sup>]:

	Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.		Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.

ElliottK: /* Fazit */

2025-06-14T00:23:36Z

Fazit

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juni 2025, 02:23 Uhr
Zeile 185:		Zeile 185:
	==Fazit==		==Fazit==
	Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.		Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

			Im letzten Jahr haben wir uns mit dem Phänomen ausgiebig beschäftigt. Wir haben herausgefunden, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.
	==Erfolge==		==Erfolge==
	~~Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?~~		Mit unserem Projekt haben wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teilgenommen, haben uns dabei aber leider nicht weiter qualifiziert. Außerdem hat Elliott an BeGYPT teilgenommen, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen.

	Mit unserem Projekt ~~hatten~~ wir an Jugend Forscht teilgenommen, ~~und~~ dabei aber leider ~~nur einen Sonderpreis bekommen~~. Außerdem ~~hatte~~ Elliott an ~~GYPT~~ teilgenommen ~~gehab~~, ~~war~~ aber leider nicht weiter gekommen.

	==Quellen ==		==Quellen ==
Zeile 208:		Zeile 208:

	8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki>		8: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung</nowiki>

			9: <nowiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force</nowiki>

			10: <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung</nowiki>

ElliottK am 14. Juni 2025 um 00:14 Uhr

2025-06-14T00:14:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juni 2025, 02:14 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	Für den zweiten Teil:		Für den zweiten Teil:

	<nowiki>$$w_{II}( {l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki>		<nowiki>$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki>

	Die Größen in den Gleichungen:		Die Größen in den Gleichungen:
Zeile 76:		Zeile 76:
	Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:		Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:

	$$w_{II}^{I}( {l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$		$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$

	und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:		und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:

ElliottK am 14. Juni 2025 um 00:13 Uhr

2025-06-14T00:13:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juni 2025, 02:13 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:

	Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar.		Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar.
	Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png\|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen\|mini\|495x495px\|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{~~\text~~{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{~~\text~~{l}^2}+\frac{Fa^2}{3~~\text~~{l}^3}$$</nowiki>		Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: [[Datei:Skizze Biegelinien.png\|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen\|mini\|495x495px\|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki>

	Für den ersten Teil unseres Lineals:		Für den ersten Teil unseres Lineals:

	$$w_{I}(~~\text~~{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B~~\text~~{l})\frac{~~\text~~{l}^2}{2}$$		$$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$

	Für den zweiten Teil:		Für den zweiten Teil:

	<nowiki>$$w_{II}(~~\text~~{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{~~\text~~{l}^2}{2}-\frac{F~~\text~~{l}^3}{6}-\frac{Fa^2~~\text~~{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki>		<nowiki>$$w_{II}( {l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$</nowiki>

	Die Größen in den Gleichungen:		Die Größen in den Gleichungen:
Zeile 76:		Zeile 76:
	Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:		Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:

	$$w_{II}^{I}(~~\text~~{l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B ~~\text~~{l}^2}{2}+2 a F ~~\text~~{l} - \frac{F ~~\text~~{l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$		$$w_{II}^{I}( {l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$

	und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:		und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Orthogonale<sup>3</sup>] Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:

← Nächstältere Version		Version vom 24. Juni 2025, 21:59 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$		* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$
	* I Flächenträgheitsmoment in m<sup>4</sup>		* I Flächenträgheitsmoment in m<sup>4</sup>
	[[Datei:Skitze der Kräfte.png\|mini\|480x480px\|Abb. 1 Theoretisches Modell zum ~~betrachten~~ der Kräfte]]		[[Datei:Skitze der Kräfte.png\|mini\|480x480px\|Abb. 1 Theoretisches Modell zum Betrachten der Kräfte]]
	Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1):		Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1):

Zeile 57:		Zeile 57:
	* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$		* Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$
	*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert		*Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert
	*Die ~~Menge an~~ Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab		*Die Größe der Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft ab

	Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar.		Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar.
	Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich ~~Biegeliniendifferenzialgleichungen~~ anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche, wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt, zu simulieren, mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen. Diese wird durch die Parameter der Kraft, den Druckpunkt a und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermittelt: [[Datei:Skizze Biegelinien.png\|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen\|mini\|495x495px\|Abb. 3 Skizze des Lineals für die ~~Biegeliniendifferenzialgleichungen~~]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki>		Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig, die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferentialgleichungen anbieten. Aus den [https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie grundlegenden Gleichungen für Biegelinien<sup>2</sup>] lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche, wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt, zu simulieren, mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen. Diese wird durch die Parameter der Kraft, den Druckpunkt a und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermittelt: [[Datei:Skizze Biegelinien.png\|alternativtext=Abb.6 Skizze zur Aufteilung des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen\|mini\|495x495px\|Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferentialgleichungen]]<nowiki>$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$</nowiki>

	Für den ersten Teil unseres Lineals:		Für den ersten Teil unseres Lineals:
Zeile 110:		Zeile 110:
	In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.		In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.

	Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der ~~Definition von~~ Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den, mit der Trackerapp ermittelten, Geschwindigkeitswerten vergleichen.		Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des [https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip 2. Newtonschen Gesetzes<sup>6</sup>] $$F=m \cdot a$$ und der Formel für Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den, mit der Trackerapp ermittelten, Geschwindigkeitswerten vergleichen.

	==Aufbau==		==Aufbau==
	Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30 cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60 N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind zwei große Probleme aufgetreten:		Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30 cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60 N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind zwei große Probleme aufgetreten:

	# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte, um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.		# Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte, um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.
Zeile 130:		Zeile 130:
	[[Datei:Reibungskräfte.png\|mini\|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten\|390x390px]]		[[Datei:Reibungskräfte.png\|mini\|Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten\|390x390px]]

	Als nächstes bestimmten wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir klebten vier Projektile mit Klebeband aneinander und wogen die Masse dieser Konstruktion. Dann legten wir das Konstrukt auf die Lineale, beschwerten die Konstruktion zusätzlich mit Büchern und Blöcken als zusätzliche Masse und zogen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{~~Hkrit~~}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir maßen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force\|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellten die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{~~Gkrit~~}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{~~Gkrit~~}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.		Als nächstes bestimmten wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir klebten vier Projektile mit Klebeband aneinander und wogen die Masse dieser Konstruktion. Dann legten wir das Konstrukt auf die Lineale, beschwerten die Konstruktion zusätzlich mit Büchern und Blöcken als zusätzliche Masse und zogen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für [https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung Haftreibung<sup>8</sup>] ist $$F_{H krit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir maßen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die [[wikipedia:Normal_force\|Normalkraft<sup>9</sup>]] gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellten die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die [https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung Gleitreibung<sup>10</sup>] gilt $$F_{G krit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{G krit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.

	==Daten==		==Daten==
Zeile 159:		Zeile 159:
	*dass wir den Luftwiderstand bei unserer gesamten Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen.		*dass wir den Luftwiderstand bei unserer gesamten Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen.

	Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein ~~Paar~~ systematische Fehler. Dazu zählten:		Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein paar systematische Fehler. Dazu zählten:

	*die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten.		*die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten
	*die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs.		*die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs
	* die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N.		* die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N
	*die geringe Videoqualität der Videokamera, was das Tracken erschwerte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen.		*die geringe Videoqualität der Videokamera, was das Tracken erschwerte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen
	*die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem, da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten.		*die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem, da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten

	Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben.		Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben.

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juni 2025, 02:33 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei:		Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei:

	*$$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N		*$$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N

	* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N		* $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N

	* $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N		* $$F_{Final}$$ Kraft, die nach vorne wirkt in N
	*$$F_F$$ Reibungskraft in N		*$$F_F$$ Reibungskraft in N

	* d Durchmesser von Tischtennisball in m		* d Durchmesser von Tischtennisball in m

	* l Punkt am Ende des Lineals in cm		*l Punkt am Ende des Lineals in cm

	* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg		* $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg

	* α Öffnungswinkel in °		* α Öffnungswinkel in °

	* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$		* θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$

	* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$		* D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$

	*		*

	* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup>		* A Querschnittsfläche des runden Objektes in m<sup>2</sup>
	* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$		* v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$
	* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm		* a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm
	* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m		* $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m
	* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$		* E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$
	* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup>		* I Quadratischer Flächenmoment in m<sup>4</sup>
	[[Datei:Skitze der Kräfte.png\|mini\|480x480px\|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]		[[Datei:Skitze der Kräfte.png\|mini\|480x480px\|Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte]]
	Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:		Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte: