Quelltext der Seite Rayleigh-Bénard Konvektion

==Thema==
[[Datei:Messaufbau klein.pdf|mini|Messaufbau|335x335px]]Wir haben die 10 Aufgabe vom GYPT bearbeitet. Die Aufgabenstellung ist:"Uniformly and gently heat the bottom of a container containing a suspension of powder in oil (e.g. mica powder in silicon oil), cell-like structures may form. Explain and investigate this phenomenon." 

Unser Experiment basiert auf dem Prinzip der Konvektion. Eine Flüssigkeit, in diesem Fall Silikonöl  wird von unten homogen erhitzt. Dadurch hat die untere Schicht vom Silikonöl eine kleinere Dichte und die obere Schicht eine größere. Das verursacht eine Auftriebskraft, welche auf die untere Schicht, nach oben wirkt. Daraufhin fängt bei einem hinreichend großen $$\Delta T$$ die Konvektion an, weil ab diesem Zeitpunkt die Auftriebskraft die Viskositätskraft überwindet (die Viskosität kann man als innere Reibung in einer Flüssigkeit ansehen). Das erkennt man daran, dass die untere Schicht an manchen Punkten durch senkrechte Strömungen nach oben gelangt und sich beim Ausbreiten auf der Oberfläche abkühlt. Dort sinkt das Öl wieder wegen der größeren Dichte an den Rändern der Zellen ab. Dadurch bilden sich meist hexagonale Muster an der Oberfläche, die wir Rayleigh-Bénard-Zellen nennen.


==Theorie==
[[Datei:Warming scheme small.pdf|mini|643x643px]]Die kritische Rayleigh-Zahl, bei der Konvektion anfängt, werden wir jetzt herleiten:  

Dazu betrachten wir als erstes ein Modell mit unendlich langen Platten in X-Richtung und mit Abstand H in Y-Richtung. 

Die obere Platte sei Luft und die untere Platte sei unser Metall, welches die Wärme transportiert. 

Die Temperatur von dem Material in der oberen Schicht (Luft) und der unteren Schicht (Metall) bleibt die ganze Zeit konstant. 

Dabei ist die Temperatur bei $$y = 0$$ und $$y = H$$ gleich. 

Wenn jetzt die Temperatur der unteren Platte größer ist als die der oberen Platte, passiert ab einem bestimmten kritischen Temperaturunterschied Konvektion. 

Wir nehmen auch an, dass die ringförmige Bewegung in X-Richtung periodisch ist und in Z-Richtung nur eine Erweiterung dieses Querschnitts ist. 

Deswegen ist dies vernachlässigbar.  

Beginnen wir mit den Navier-Stokes-Gleichungen, die das Verhalten einer Flüssigkeit beschreiben, 

und der Wärmeleitung-Gleichung, um den Einfluss der Temperatur auf das System zu beschreiben:

Gleichung für Masseerhaltung (Kontinuitätsgleichung), Gleichung für Wärmeleitung , Gleichung für Impulserhaltung  

\begin{align*}

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho  u}{\partial x} + \frac{\partial\rho  v}{\partial y}= 0

\end{align*}

\begin{align*}

\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right) 

= -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2u

\end{align*}

\begin{align*}

\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} \right) 

= -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \nabla^2v -\rho g

\end{align*}

\begin{align*}

\rho C_p \left( \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} \right) = k \nabla^2 T

\end{align*}

In unserem Versuch ist $$\Delta T$$ so klein, dass wir eine sehr kleine Veränderung der Dichte bekommen, die wir ignorieren können. 

Dadurch nehmen wir die Dichte in allen Termen als konstantes $$\rho_0$$ an. Die Ausnahme ist der Term für die Y-Richtung, 

weil wir für eine Konvektion Dichteunterschiede brauchen, die von einem Temperaturunterschied herbeigeführt wurden. 

Man nennt diese Approximation die Boussinesq-Approximation und wir benutzen sie, um die Gleichungen zu vereinfachen.  

Dadurch bekommen wir für die Dichte:

\begin{align*}

\rho = \rho_{0}(1 + \beta(T -T_{0}))

\end{align*}

für den Gravitationsterm, also den Term mit dem $$g$$. 

Und für alle anderen Anwendungen nehmen wir $$\rho = \rho_{0}$$ für alle anderen Terme.

Die Umformungsschritte könnt ihr im Video nachvollziehen\footnote{\url{<nowiki>https://www.youtube.com/watch?v=Ioy-uAMOZCg}}</nowiki>:

\begin{align*}

\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} &= 0 \\

\rho_{0}\left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right) &= -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u \\

\rho_{0} \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} \right) &= -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \nabla^2 u - \rho_{0}(1 + \beta(T -T_{0})) g \\

\rho_0 C_p \left( \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} \right) &= k \nabla^2 T

\end{align*}

Wir betrachten jetzt einen stabilen Zustand / steady state unseres Systems, 

in welchem die Temperatur nur durch die Wärmeleitung übergeben wird. 

In diesem Zustand haben wir keine Bewegung, bedeutet 

$$u^{ss} = 0 \text{ und } v^{ss} = 0$$ stimmt.

Temperatur linear:

\begin{align*}

T^{ss} = y \frac{T_H -T_0}{H} + T_0

\end{align*}

So ist die Veränderung des Drucks auch linear:

\begin{align*}

\frac{\partial p^{ss}}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial p^{ss}}{\partial y} = -g\rho_{0}(1 + \beta(T^{ss} -T_{0}))

\end{align*}
Als nächstes betrachten wir eine kleine Störung des Systems. 
Wenn die Störung des Systems kleiner wird und das System zu seinem stabilem Zustand zurückkehrt, 
dann wissen wir, dass die kritische Temperaturdifferenz größer ist. 
Bei der kritischen Temperaturdifferenz würde sich die Störung immer vergrößern, 
und es würde aus dem stabilen Zustand von der Wärmeleitung in den stabilen Zustand der Konvektion übergehen.

\begin{align*}
u = u^{ss}+ \epsilon \cdot \tilde{u}, \quad 
v = v^{ss}+ \epsilon \cdot \tilde{v}, \quad 
T = T^{ss}+ \epsilon \cdot \tilde{T}, \quad 
p = p^{ss}+ \epsilon \cdot \tilde{p}
\end{align*}

Jeder Term mit einer Tilde über dem Buchstaben stellt eine kleine Störung dar, 
die durch die Konvektion entstanden ist. 
$$\epsilon$$ ist jedoch ein kleiner Faktor, der die Konvektion runterskaliert, 
weil wir nur eine kleine Störung annehmen. 
Er ist so klein, dass $$\epsilon^2$$ und alle höheren Terme vernachlässigt werden können.

Jetzt setzen wir alle Variablen in die Navier-Stokes-Gleichung und in die Wärmeleitungsgleichung ein. 
Wir betrachten nur Terme mit $$\epsilon$$ vom Grad 0 oder 1. 
Das ist unsere neue Kontinuitätsgleichung:

\begin{align*}
&\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 
\quad \text{| Substitution: } u = u^{ss} + \epsilon \tilde{u}, \, v = v^{ss} + \epsilon \tilde{v} \\
&\Rightarrow \quad
\frac{\partial}{\partial x}(u^{ss} + \epsilon \tilde{u}) 
+ \frac{\partial}{\partial y}(v^{ss} + \epsilon \tilde{v}) = 0 \\
&\Rightarrow  \quad
\frac{\partial u^{ss}}{\partial x} + \frac{\partial v^{ss}}{\partial y} 
+ \epsilon  \left(\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} 
+ \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} \right) = 0 \\
&\Rightarrow  \quad
\frac{\partial u^{ss}}{\partial x} + \frac{\partial v^{ss}}{\partial y} = 0 
\quad \text{und} \quad 
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = 0
\end{align*}
Jetzt setzen wir es nach diesem Muster in die anderen drei Gleichungen am Anfang ein.

X-Richtung:

\begin{align*}
\rho_{0} \Big( 
\frac{\partial }{\partial t}(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) 
+ (u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) \frac{\partial }{\partial x}(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) 
+ (v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) \frac{\partial }{\partial y}(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) 
\Big) 
= - \frac{\partial }{\partial x}(p^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{p}) 
+ \mu \nabla^2(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u})
\end{align*}

Jeder Term mit $$\epsilon$$ von höherem Grad als 1 ist gleich 0. 
Deswegen betrachten wir nur Terme mit $$\epsilon$$ vom Grad 1 (die Störungsterme) und kürzen das $$\epsilon$$ weg.  
Mit unseren Annahmen des steady state ergibt sich:

\begin{align*}
\Rightarrow \quad \rho_0 \frac{\partial \tilde{u}}{\partial t} 
= - \frac{\partial \tilde{p}}{\partial x} + \mu \nabla^2 \tilde{u}
\end{align*}

Y-Richtung:

\begin{align*}
\rho_{0} \Big(
\frac{\partial }{\partial t}(v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) 
+ (u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) \frac{\partial }{\partial x}(v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) 
+ (v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) \frac{\partial }{\partial y}(v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) 
\Big) 
= - \frac{\partial }{\partial y}(p^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{p}) 
+ \mu \nabla^2(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) 
- \rho_0 g \left( 1 + \beta \left( T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T} - T_0 \right) \right)
\end{align*}

\begin{align*}
\Rightarrow \quad \rho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial t} 
= - \frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} 
+ \mu \nabla^2 \tilde{v} 
- g \rho_0 \beta \tilde{T}
\end{align*}

Wärmeleitungssatz:


\begin{align*}
\rho_0 C_p \Big(
\frac{\partial }{\partial t}(T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T}) 
+ (u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) \frac{\partial }{\partial x}(T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T}) 
+ (v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) \frac{\partial }{\partial y}(T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T}) 
\Big)
= k \nabla^2 (T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T})
\end{align*}

Mit diesen Bedingungen rechnen wir weiter:

\begin{align*}
T^{ss} &= y \frac{T_H - T_0}{H} + T_0 
\quad \Rightarrow \quad \frac{\partial T^{ss}}{\partial y} = \frac{T_H - T_0}{H} \\
\Rightarrow \quad \rho_0 C_p \left( \frac{\partial \tilde{T}}{\partial t} + \tilde{v} \frac{T_H - T_0}{H} \right) 
&= k \nabla^2 \tilde{T}
\end{align*}

Jetzt wollen wir den Term mit dem Druck entfernen, indem wir die Gleichung in X-Richtung nach $$y$$ 
und die in Y-Richtung nach $$x$$ ableiten, und danach subtrahieren.

X-Richtung:


\begin{align*}
\rho_0 \frac{\partial \tilde{u}}{\partial t} 
= -\frac{\partial \tilde{p}}{\partial x} + \mu \nabla^2 \tilde{u} 
\quad \Big| \frac{\partial}{\partial y} \\
\Rightarrow \quad 
\rho_0 \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial t \partial y} 
= - \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial x \partial y} 
+ \mu \nabla^2 \left( \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} \right)
\end{align*}


Y-Richtung:


\begin{align*}
\rho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial t} 
= - \frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} 
+ \mu \nabla^2 \tilde{v} 
- g \rho_0 \beta \tilde{T} 
\quad \Big| \frac{\partial}{\partial x} \\
\Rightarrow \quad 
\rho_0 \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial x} 
= - \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial y \partial x} 
+ \mu \nabla^2 \left( \frac{\partial \tilde{v}}{\partial x} \right) 
- g \rho_0 \beta \frac{\partial \tilde{T}}{\partial x}
\end{align*}


Nun subtrahieren wir:


\begin{align*}
\Rightarrow \quad 
\rho_0 \left( \frac{\partial}{\partial t} 
\left( \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} - \frac{\partial \tilde{v}}{\partial x} \right) \right) 
= \mu \nabla^2 \left( \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} - \frac{\partial \tilde{v}}{\partial x} \right) 
- g \rho_0 \beta \frac{\partial \tilde{T}}{\partial x}
\end{align*}


Nochmals nach $$x$$ ableiten:


\begin{align*}
\Rightarrow \quad 
\rho_0 \left( \frac{\partial}{\partial t} 
\left( \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} 
- \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial x^2} \right) \right) 
= \mu \nabla^2 
\left( \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} 
- \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial x^2} \right) 
- g \rho_0 \beta \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial x^2}
\end{align*}


Zwischenschritt:


\begin{align*}
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = 0 
\quad &\Leftrightarrow \quad \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} 
= - \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial y^2} \\
&\Rightarrow \quad 
\frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial x^2} 
= -\left( \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial x^2} 
+ \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial y^2} \right) = - \nabla^2 \tilde{v} \\
\Rightarrow \quad \rho_0 \frac{\partial}{\partial t} (- \nabla^2 \tilde{v}) 
&= - \mu \nabla^4 \tilde{v} - g \rho_0 \beta \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial x^2}
\end{align*}


Die Lösungen dieser PDE müssen exponentiell oder sinusförmig sein. 
Wir setzen für $$\tilde{v}$$ und $$\tilde{T}$$:

$$
\tilde{v} = v^*(y) e^{\sigma t} \sin(\alpha x), 
\quad 
\tilde{T} = T^*(y) e^{\sigma t} \sin(\alpha x)
$$

Der Effekt ist exponentiell in der Zeit und periodisch im Raum. 
Wir nehmen $$\sigma \in \mathbb{R}$$ an, da ein komplexes $$\sigma$$ auch zeitlich oszillieren würde (→ Eulerformel).


\begin{align*}
\frac{\partial \tilde{T}}{\partial t} 
&= \sigma \cdot T^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) = \sigma \cdot \tilde{T} \\
\nabla^2 \tilde{T} 
&= \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial y^2} \\
&= -\alpha^2 T^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} 
\left( T^* \cdot e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \right) 
= (-\alpha^2 + D^2) \tilde{T}
\end{align*}


$$
\text{Wir definieren den Operator: } D = \frac{\partial}{\partial y}, 
\text{ daher gilt: } D \tilde{v} = \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y}
$$


\begin{align*}
\nabla^2 \tilde{T} &= (D^2 - \alpha^2) T^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) 
\quad \text{Notiz: } (D^2 - \alpha^2) \text{ ist ein linearer Operator} \\
\nabla^2 \tilde{v} &= (D^2 - \alpha^2) v^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \\
\nabla^4 \tilde{v} &= (\nabla^2)^2 \tilde{v} = (D^2 - \alpha^2)^2 v^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x)
\end{align*}

Diese neuen Erkenntnisse setzen wir in die vorherigen Formeln ein:

\begin{align*}
\rho_0 \left( \frac{\partial}{\partial t}(-\nabla^2 \tilde{v}) \right) 
&= -\mu \nabla^4 \tilde{v} - g \rho_0 \beta \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial x^2} \\
\Rightarrow \quad \rho_0 (-\sigma(D^2 - \alpha^2) v^*) e^{\sigma t} \sin(\alpha x) 
&= \left( -\mu(D^2 - \alpha^2)^2 v^* - g \rho_0 \beta (-\alpha^2) T^* \right) e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \\
\Leftrightarrow \quad \rho_0 (-\sigma(D^2 - \alpha^2) v^*) 
&= -\mu(D^2 - \alpha^2)^2 v^* - g \rho_0 \beta (-\alpha^2) T^* \\
\Leftrightarrow \quad \sigma \rho_0 (D^2 - \alpha^2) v^* 
&= \mu(D^2 - \alpha^2)^2 v^* + g \rho_0 \beta \alpha^2 T^*
\end{align*}

Nach weiteren Umformungen erhalten wir:

\begin{align*}
\rho_0 C_p \left( \frac{\partial \tilde{T}}{\partial t} + \tilde{v} \frac{T_H - T_0}{H} \right) 
&= k \nabla^2 \tilde{T} \\
\Rightarrow \quad \rho_0 C_p \left( \sigma T^* + v^* \frac{T_H - T_0}{H} \right) e^{\sigma t} \sin(\alpha x) 
&= k (D^2 - \alpha^2) T^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \\
\Leftrightarrow \quad \rho_0 C_p \left( \sigma T^* + v^* \frac{T_H - T_0}{H} \right) 
&= k (D^2 - \alpha^2) T^*
\end{align*}

Wir erkennen anhand der Gleichungen für $$\tilde{v}$$ und $$\tilde{T}$$, dass die Instabilität beginnt, sobald $$\sigma$$ sein Vorzeichen wechselt.  
Also betrachten wir den Fall $$\sigma = 0$$:

\begin{align*}
\sigma \rho_0 (D^2 - \alpha^2) v^* 
&= \mu (D^2 - \alpha^2)^2 v^* + g \rho_0 \beta \alpha^2 T^* \quad \Big|_{\sigma = 0} \\
\Rightarrow \quad \mu (D^2 - \alpha^2)^2 v^* 
&= -g \rho_0 \beta \alpha^2 T^* \quad \Big| \cdot (D^2 - \alpha^2) \\
\Rightarrow \quad \mu (D^2 - \alpha^2)^3 v^* 
&= -g \rho_0 \beta \alpha^2 (D^2 - \alpha^2) T^*
\end{align*}

Die zweite Gleichung:

\begin{align*}
\rho_0 C_p \left( \sigma T^* + v^* \frac{T_H - T_0}{H} \right) 
&= k (D^2 - \alpha^2) T^* \\
\Leftrightarrow \quad (D^2 - \alpha^2) T^* 
&= \frac{\rho_0 C_p (T_H - T_0)}{k H} v^*
\end{align*}

Substitution ergibt:

\begin{align*}
\mu (D^2 - \alpha^2)^3 v^* 
= \frac{-g \beta \rho_0 \alpha^2 \rho_0 C_p (T_H - T_0)}{k H} v^*
\end{align*}

Mit den Definitionen für kinematische Viskosität und thermische Diffusivität:

\begin{align*}
\nu &= \frac{\mu}{\rho_0}, \quad \alpha_T = \frac{k}{\rho_0 C_p} \\
\Rightarrow \quad (D^2 - \alpha^2)^3 v^* 
&= \frac{-g \beta \alpha^2 (T_H - T_0)}{\nu \alpha_T H} v^*
\end{align*}

Wir skalieren auf den Intervall $$y \in [0, H]$$:

\begin{align*}
y^* = \frac{y}{H} \quad \Rightarrow \quad dy^* = \frac{1}{H} dy \quad \Rightarrow \quad D^* = H D
\end{align*}

Damit ist $$D^*$$ der dimensionslose y-Ableitungsoperator.  
Da $$\alpha$$ in $$\sin(\alpha x)$$ vorkommt, hat es die Einheit $$1/L$$ → skalierte Wellenzahl: $$\alpha^* = H \alpha$$.

Nach Einsetzen erhalten wir:

\begin{align*}
\left( \frac{D^{*2} - \alpha^{*2}}{H^2} \right)^3 v^* 
&= \frac{-g \beta \alpha^{*2} (T_H - T_0)}{\nu \alpha_T H^3} v^* \\
\Leftrightarrow \quad (D^{*2} - \alpha^{*2})^3 v^* 
&= \frac{-g \beta H^3 (T_H - T_0)}{\nu \alpha_T} \alpha^{*2} v^* \\
\Leftrightarrow \quad (D^{*2} - \alpha^{*2})^3 v^* 
&= -Ra \cdot \alpha^{*2} v^*
\end{align*}

Das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung mit Randbedingungen:

\begin{align*}
v = 0 \Rightarrow v^* = 0 \quad \text{für} \quad y^* = 0, 1
\end{align*}

Es gibt kein Gleiten an $$y^* = 0$$ wegen der festen Unterlage:  
$$u = 0 \Rightarrow \tilde{u} = 0 \Rightarrow \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = 0 \Rightarrow D^* v^* = 0$$

Keine Schubspannung an $$y^* = 1$$ (Kontakt mit Luft):

\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \Rightarrow \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} = 0, \quad 
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = 0 \Rightarrow 
\frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial y \partial x} = 0 \Rightarrow 
\frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial y \partial x} = 0
\end{align*}

Bei $$y^* = 0$$ und $$y^* = 1$$ gilt:

\begin{align*}
T = T_0 \text{ bzw. } T_H \Rightarrow T = T^{ss} + \epsilon \tilde{T} = T^{ss} \Rightarrow \tilde{T} = 0 \Rightarrow T^* = 0
\end{align*}

\begin{align*}
\mu (D^2 - \alpha^2)^2 v^* = -g \rho_0 \beta \alpha^2 T^* 
\Rightarrow (D^2 - \alpha^2)^2 v^* = 0
\end{align*}

Die Lösung ist:

\begin{align*}
v^* = A_n \cdot \sin(n \pi y^*) \quad \text{mit} \quad n \in \mathbb{Z}
\end{align*}

Einsetzen in die Ursprungsgleichung:

\begin{align*}
(D^{*2} - \alpha^{*2})^3 \cdot A_n \cdot \sin(n \pi y^*) 
&= -Ra \cdot \alpha^{*2} \cdot A_n \cdot \sin(n \pi y^*) \\
D^{*2} v^* = -n^2 \pi^2 v^* 
&\Rightarrow (-n^2 \pi^2 - \alpha^{*2})^3 v^* = -Ra \cdot \alpha^{*2} v^* \\
\Rightarrow \quad Ra 
&= \frac{(n^2 \pi^2 + \alpha^{*2})^3}{\alpha^{*2}}
\end{align*}

$$
\alpha^* = H \alpha \quad \Rightarrow \quad \text{Plot von Ra gegen } \alpha^* \text{ ist skaliert im Vergleich zu Ra gegen } \alpha
$$

Wir wählen $$n = 1$$, weil dies der Modus ist, der mit experimentellen Rayleigh-Zahlen übereinstimmt.

$$
Ra \in [0, 2000] \quad \text{Bei höheren Werten von } n = 2 \text{ oder mehr, tritt dies nicht auf.}
$$
[[Datei:Graphic klein.pdf|mini|Ra-$$\alpha^*$$ Graph]]
Diese Kurve ist eine Neutralstabilitätskurve.  
Normalerweise ist der Wert, den wir im System einstellen, $$Ra$$ (Rayleigh-Zahl) und nicht die Wellenzahl $$\alpha$$,  
da letztere zufällig und ungleichmäßig über die Oberfläche verteilt ist.


Die Kurve der $$Ra$$-Werte wurde für $$\sigma = 0$$ erstellt, was bedeutet, dass die $$Ra{-}\alpha$$-Paare, die darin auftreten, ein $$\sigma < 0$$ haben und somit mit der Zeit zerfallen.

Das $$\sigma$$ kann als proportional zum vertikalen Abstand von der Funktion betrachtet werden.  
Daher wird für jede Anfangswellenzahl $$\alpha$$ jene am stärksten verstärkt, die

$$
Ra \in [0, 2000] \quad \text{Bei höheren Werten von } n = 2 \text{ oder mehr, tritt dies nicht auf.}
$$

Diese Kurve ist eine Neutralstabilitätskurve.  
Normalerweise ist der Wert, den wir im System einstellen, $$Ra$$ (Rayleigh-Zahl) und nicht die Wellenzahl $$\alpha$$,  
da letztere zufällig und ungleichmäßig über die Oberfläche verteilt ist.


Die Kurve der $$Ra$$-Werte wurde für $$\sigma = 0$$ erstellt, was bedeutet, dass die $$Ra{-}\alpha$$-Paare, die darin auftreten, ein $$\sigma < 0$$ haben und somit mit der Zeit zerfallen.

Das $$\sigma$$ kann als proportional zum vertikalen Abstand von der Funktion betrachtet werden.  
Daher wird für jede Anfangswellenzahl $$\alpha$$ jene am stärksten verstärkt, die

\begin{align*}
\alpha^* = \frac{\pi}{\sqrt{2}}
\end{align*}

entspricht — also dem Extrempunkt.  
Laut der Theorie beginnt die Konvektion bei einer Rayleigh-Zahl von $$675,5.
\alpha^* = \frac{\pi}{\sqrt{2}}
$$

entspricht — also dem Extrempunkt.  
Laut der Theorie beginnt die Konvektion bei einer Rayleigh-Zahl von 675,5.

==Aufbau==
[[Datei:VersuchsaufbauNB.jpg|mini|Aufbau]]
Unser Aufbau besteht aus einer Heizplatte mit Magnetrührer, einem größeren Behälter, der bis zu einem bestimmten Füllstand mit Wasser gefüllt ist, und einem kleineren Behälter mit Silikonöl, dessen Boden das Wasser streift. Der kleinere Behälter wird durch einen am Tisch befestigten Metallstab an Ort und Stelle gehalten. Gemessen haben wir durch einen Computer mit Logger Lite und ein angeschlossenes LabQuest Mini mit zwei Thermometeraufsätzen: ein stabförmiger Messstab im Wasser und der andere knapp über der Oberfläche. Darüber hinaus haben wir einen Aufzeichnungsaufbau mit weiteren Metallstäben und Aufsätzen vorbereitet, um eine Lampe und ein Telefon über dem Aufbau zu befestigen.

Die Durchführung läuft wie folgt ab: Nachdem alle Aufzeichnungsgeräte angeschlossen wurden, wird die Heizplatte eingeschaltet und der Rührer mit moderater Geschwindigkeit in Betrieb genommen, um eine gleichmäßige Erwärmung des Öls von der Basis aus zu erzeugen. Die Daten der Zellgrößen sowie die Temperaturwerte von Basis und Oberfläche werden für eine spätere Auswertung mit einem Handy und den Thermometern aufgenommen und für spätere Auswertung gespeichert.

==Daten==
=== Die Rayleigh-Nummer (Ra): ===
Die Rayleigh-Zahl ist eine dimensionslose Zahl, die in der Thermodynamik und Strömungsmechanik verwendet wird, um die Wechselwirkung zwischen Wärmeübertragung und Fluidströmung zu beschreiben. Sie ist besonders wichtig bei der Analyse von natürlichen Konvektionseinflüssen, also der Strömung eines Fluids, die durch Temperaturunterschiede hervorgerufen wird. Sie beschreibt unter anderem ein Verhältnis zwischen $$\Delta T$$ und $$H$$, bei welchem unter anderem Viskositätskraft und Auftriebskraft im gleichen Verhältnis stehen. Das gilt für alle Fluide und Gase, da die Auftriebs- sowie Viskoss-Kraft aus stoffspezifischen Paramtern hergeleitet werden. Bei einer "kritischen" Rayleigh-Zahl ändert sich der Zustand der Wärmeübertragung im Fluid, das heißt, dass das Verhältnis einen kritischen Punkt erreicht, ab welchem eine andere Art der Wärmeübertragung effizienter ist. 

Wir messen die kritische Rayleigh-Zahl bei welcher Konvektion bzw. instabile Konvektion anfängt.

Die Rayleigh-Zahl ist das Produkt aus der Grashof-Zahl (Gr) und der Prandtl-Zahl (Pr):

$$Ra = Gr \cdot Pr$$

==== Die Prandtl-Zahl (Pr): ====
Die Prandtl-Zahl beschreibt das Verhältnis der Dicke zwischen Geschwindigkeitsgrenzschicht und Temperaturgrenzschicht oder das Verhältnis zwischen Impulstransport und Energietransport durch Wärmeleitung. Anders gesagt erklärt sie, wie gut ein Fluid darin ist, Wärme durch Konduktion zu leiten im Verhältnis dazu wie gut es darin ist, Wärme Konvektion durch zu leiten.

==== Die Grashof-Zahl (Gr) ====
Diese Zahl beschreibt das Verhältnis der aufsteigenden thermischen Kräfte zur viskosen Dämpfung im Fluid. Sie ist ein Maß dafür, wie stark die Temperaturunterschiede im Fluid die Strömung beeinflussen.

'''Gleichung für die Rayleigh-Zahl Ra:'''

$$

    Ra_{l,c} = \frac{g \cdot \beta}{v \cdot \alpha} \cdot (T_{h} - T_0) \cdot (L \cdot W \cdot h)

$$

$$

    Ra = \frac{h^3 \cdot \rho^2 \cdot c \cdot g \cdot \gamma \cdot \Delta T}{\eta \cdot k} 

$$
{| class="wikitable"
|+
!Parameter
!Wert
!Formelzeichen
|-
|Rayleigh-Zahl
|
|$$Ra$$
|-
|'''Stoffeigenschaften von Silikonöl 50cSt'''
|
|
|-
|Dichte
|$$960 kg/m^3$$
|$$\rho$$
|-
|Spezifische Wärmekapazität
|$$1,5 J/(g K)$$
|$$c$$
|-
|Wärmeausdehnungskoeffizient
|$$9,5 \times 10^{-4}$$
|$$\gamma$$
|-
|Dynamische Viskosität
|$$0,48 Pa s\mid 4,8 Pa s\mid 48 Pa s$$
|$$\eta$$
|-
|Wärmeleitfähigkeit
|$$15 \times 10^{-4} J/(m s K)$$
|$$k$$
|-
|Erdbeschleunigung
|$$9,81 m/s^2$$
|$$g$$
|-
|'''Messwerte'''
|'''Einheit'''
|'''Formelzeichen'''
|-
|Temperaturunterschied
|$$K$$
|$$\Delta T$$
|-
|Höhe
|$$cm$$
|$$h$$
|}

==== Rayleigh-Zahl für stabile Konvektion ====
Um die Rayleigh-Zahl mit unserer oberen Gleichung zu berechnen, müssen wir $\Delta T$ und $h$ für die gewünschte Rayleigh-Zahl messen. Das heißt, dass wir an dem Zeitpunkt messen, an dem stabile bzw. instabile Konvektion im mittleren Bereich der Oberfläche des Silikonöls zu erkennen waren (um mögliche Randfälle zu vermeiden). Diese Rayleigh Zahl ist die kritische Rayleigh Zahl für den Anfang von stabiler Konvektion. Da diese durch die Prandtl und Grashof Zahl definiert wird, also ein Verhältnis von Auftriebskraft und der dagegen wirkenden inneren Reibung definiert wird, ist sie gleich für unterschiedliche Stoffe und Parameter. Sie ist also universell für alle Situationen gültig.

=== Unsere Messergebnisse: ===


==Fazit==
Unser theoretischer Wert Ra = 657.5 für stabile Konvektion stimmt nicht
mit dem gemessenen Wert von Ra = 2146 überein. Dies liegt an den vielen vereinfachenden
Annahmen, die wir treffen mussten, um unsere Theorie zu lösen.
Unser Aufbau
Der Aufbau unterscheidet sich von unserem theoretischen Modell wie folgt: Der Aufbau in x
und y Richtung nicht annähernd ∞. Des weiteren gibt es einerseits keine Platte über unserer
Oberfläche (welche eventuelle "Wellentäler” und "Wellenberge” verhindern würde) und außerdem
nimmt unsere Theorie an, dass sich die oberste Schicht von Teilchen nicht bewegt.
Des Weiteren vereinfachen wir die physikalischen Prozesse mit der Boussinesq-Approximation,
welche bei Temperaturunterschieden von unter 40 K noch relativ exakt sein sollte, aber trotzdem
einen kleinen Fehler einführt. Dennoch liegen wir in der gleichen Größenordnung und der Prozess
verläuft wie von der Theorie beschrieben.
Wir wissen, wie typische Rayleigh-Zellen aussehen sollten. Es ist sinnvoll anzunehmen, dass sie
nahezu kongruent bleiben, wenn H sich ändert (je größer H, desto kleiner die Abweichung), was
durch die Formel impliziert wird.

Zusammenfassend haben wir die kritische-Rayleigh-Zahl in der Theorie berechnet und
gemessen. Ab diesem Punkt beginnt die Konvektion mit den Zellmustern. Dabei lässt sich die
Größe und die Zellenform der die Zellen durch verschiedene Parameter beeinflussen, wie zum
Beispiel durch h ,∆T und andere stoffspezifische Parameter.

==Erfolge==
Wir haben in einem Jugend Forscht Regionalwettbewerb gewonnen und sind in die Landesrunde weiter gekommen. Außerdem haben wir in jeweils Berlin und Königs-Wusterhausen den GYPT-Regionalwettbewerb gewonnen und sind dort in die Bundesrunde weitergekommen.

== Quellen ==
https://www.clearcoproducts.com/pdf/heat-transfer-fluids/NP-PSF-50cSt-Silicone-Heat-Transfer-Fluid.pdf}23.01.2025
https://www.reddit.com/r/mildlyinteresting/comments/cabuo3/these_convection_currents_in_my_bowl_of_miso_soup/
https://de.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-Zahl
https://www.hellermanntyton.at/binaries/content/assets/downloads/at/datenblatter/01-wacker-silikone/siliconefluidsakde.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=Ioy-uAMOZCg
https://www.youtube.com/watch?v=kQ7k0Mu476Q
https://www.youtube.com/watch?v=uAHuWD1i82A
https://www.youtube.com/watch?v=uAHuWD1i82A
https://www.youtube.com/watch?v=uAHuWD1i82A