Ruler Trick

Abbildung 1: Für unser Phänomen braucht man nur einen Ball, ein Stück Papier, ein Lineal und eine glatte Oberfläche

Fällt ein Ball auf ein über die Tischkante hinausragendes Lineal, fällt dieses zu Boden. Decken wir den Teil des Lineals, der auf dem Tisch liegt, mit einem Blatt Papier ab, prallt der fallende Ball vom Lineal ab. Erstaunlicherweise schafft es das deutlich leichtere Papier, unser Lineal auf dem Tisch zu halten.

Unter welchen Bedingungen funktioniert dieses Phänomen? Wir haben uns als Ziel gesetzt, dieses herauszufinden. In der folgenden Facharbeit können Sie einen Einblick in unsere Erkenntnisse gewinnen.

Motivation und Fragestellung

An unserer Schule, dem Herder Gymnasium Berlin, gibt es die Möglichkeit, den Kurs Physik-Z zu belegen. Dieser Projektkurs ermöglichte es uns, jede Woche in einer Gruppe an Physik-Problemen zu forschen. Die Ideen für solche Projekte können beispielsweise von Youtube-Videos1 kommen, wie auch in unserem Fall. Letztendlich ist es eine Variation eines anderen Versuchs, bei dem eine Holzlatte, die halb mit einer Zeitung abgedeckt ist, mit einem schnellen Schlag abgebrochen werden kann2 . Die Version mit dem Ball hat den Vorteil, dass das Lineal danach noch verwendbar ist.

Unser Ziel ist es, ein Modell zu entwickeln, mit dem wir anhand des Zusammenspiels relevanter Parameter voraussagen können, ob das Lineal hinunterfällt, oder das Papier es schafft, das Lineal auf dem Tisch zu halten. In folgender Übersicht sind die Parameter aufgelistet, die unserer Meinung nach das Phänomen beeinflussen.

Abbildung 2: Die Parameter vom Ball

Parameter

Unser System besteht aus einem Ball, dem Lineal, dem Papier, dem Tisch sowie die Umgebung der Objekte, was bei uns immer Luft ist.

Parameter vom Ball

Einen Ball definieren wir als kugelförmigen Gegenstand, der elastich aber nicht dauerhaft verformbar ist. Die Parameter des Balls sind in Abbildung 2 zu sehen.

Abbildung 3: Die Parameter vom Lineal

Parameter vom Lineal

In Abbildung 3 sieht man die Parameter des Lineals. Unser Lineal betrachten wir als einen zweiseitigen Hebel mit dem Drehpunkt an der Stelle, wo das Lineal und der Tisch aufhören, sich zu überlappen. Die Dicke des Lineals ist deutlich kleiner als die Breite, diese ist deutlich kleiner als die Länge. Außerdem betrachten wir das Lineal als Hooke'sche Blattfeder mit einer Federkonstante.

Abbildung 4: Die Parameter vom Papier

Abbildung 5: Das Anfangsvolumen

Parameter vom Papier

Ein Papier definieren wir als durchgängig (ohne Löcher), mit einer vernachlässigbar geringen Dicke. Die Parameter des Papiers sind größtenteils in den Abbildungen 4 und 5 zu sehen. Zusätzlich beeinflussen noch die

• Fläche des Papiers $$A$$
• Form des Papiers und
• Stabilität (Dichte) des Papiers

das Phänomen.

Theoretische Grundlagen

Abbildung 6: Der Atmosphärendruck

Qualitative Erklärung

Abbildung 7: Die Gravitationskraft

Wenn der Ball auf das Lineal trifft, wirkt er eine Kraft auf die unbedeckte Seite des Lineals. Durch die Kraft wird das Papier ausgelenkt und eine Lufttasche entsteht unter dem Papier. Da der Prozess in einem Bruchteil einer Sekunde stattfindet (≈ 0,03 s) hat die Luft nicht genug Zeit um unter das Papier nachzuströmen und ein Unterdruck entsteht. Zwischen zwei verschiedenen Druckleveln wirkt eine Kraft von dem Hochdruckbereich zu dem Niedrigdruckbereich. Daher wird das Papier in unserem Experiment auf den Tisch gedrückt. Siehe dazu Abbildungen 6 und 7.

Widerlegung von alternativen Erklärungen

Zwei alternative Erklärungen die uns in unserer Recherche aufgefallen sind, sind eine (fragwürdige) Erklärung über die Masseträgheit des Papiers, und eine Erklärung über den Luftwiderstand. Um diese beiden Erklärungen zu widerlegen, haben wir uns zwei Experimente überlegt.

Abbildung 8: Vakuumglocke

Masseträgheit

Um zu widerlegen das die Masseträgheit des Papiers eine Rolle spielt, haben wir unser Experiment unter einer Vakuumglocke durchgeführt. Durch diese wird der Einfluss der Luft komplett eliminiert. Ohne Vakuum, wird das Lineal (in unserem Fall ein Eisstäbchen) von dem Papier gestoppt. Mit Vakuum, wird das Lineal nicht gestoppt. Daher spielt die Masseträgheit des Papiers eine veschwindend geringe bis keine Rolle.

Abbildung 9: Der Tisch hat Löcher

Luftwiderstand

Um zu widerlegen, dass der Luftwiderstand eine relevante Rolle spielt, haben wir den Druckunterschied möglichst aus unserem Experiment eliminiert, indem wir einen löchrigen Tisch verwendet haben.

Dadurch kann die Luft nahezu ungehindert unter das Papier nachströmen. Bei einem Tisch mit Löchern (s. Abbildung 9) hat unser Phänomen nicht funktioniert, bei einem Tisch ohne Löcher hat es funktioniert.

Ansatz über Kräftegleichgewicht

Unser Lineal ist ein zweiseitiger Hebel. Vorerst betrachten wir nur die Fälle, bei denen beide Hebelarme gleich lang sind. Unterschiedliche Längen kann man einfach durch die Hebelgesetze implementieren, jedoch würde das den Rahmen dieser Facharbeit sprengen.

Ein reines Kräfteequilibrium reicht nicht, um sicherzustellen, dass unser Phänomen funktioniert, da das Lineal sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter drehen würde. Außerdem wird die Kraft des Papiers schwächer, je mehr Zeit vergeht. Daher muss die Kraft des Papiers über einen langen Zeitraum größer sein als die Kraft des Lineals. Dieses Verhältnis der Kräfte ist nur sehr schwer zu modellieren

Ansatz über Haftreibung

Maximale Auslenkung des Lineals

Abbildung 10: Auslenkung des Lineals

Abbildung 10 stellt den Moment dar, in dem unser Lineal die maximale Auslenkung erreicht hat. Die Auslenkung die auf der Seite des Papiers ensteht, nennen wir $$s$$. Da wir unser Lineal als Blattfeder betrachten, wird dieses zusätzlich noch verformt. Diese zusätzliche Strecke, welche durch die Verformung entsteht, nennen wir $$k$$. Man kann $$k$$ relativ exakt berechnen, indem man eine Biegelinie für das Lineal betrachtet. Wegen des großen Aufwands, haben wir uns dafür entschieden ein k statistisch aus mehreren Messungen zur Durchbiegung zu bestimmen.

Abbildung 11: Komponenten von Gleichung (1)

Haftreibungskraft

Um zu bestimmen, ob unser Lineal vom Tisch fällt, haben wir folgenden Ansatz gewählt: Wenn der Ball auf das Lineal trifft, wird es um einen bestimten Winkel $$α$$ ausgelenkt.

Wenn dieser Winkel $$≥ 90°$$ ist, fällt das Lineal trivialerweise nach unten. Im Bereich zwischen $$0°$$ und $$90°$$ hängt das Verbleiben auf dem Tisch von der an der Kante wirkenden Haftreibung ab. In unseren Experimenten haben wir gesehen, dass das Lineal in dem Bereich $$0 < α < 90$$, wenn es vom Tisch fällt, nicht einfach fällt sondern rutscht. Ob es ins Rutschen kommt, kann man durch Haftreibung3 bestimmen. Das Lineal fällt hier wenn gilt:

\begin{align} &F_{s,krit} = \mu_{s,krit} \cdot F_g \cdot \cos (\alpha)<F_g \cdot \sin (\alpha)=F_{\parallel}\notag \\ &\Leftrightarrow \mu_{s,krit}<\tan(\alpha) \label{eq:3} \end{align}

$$µ_{s,krit}$$ ist der kritische Haftreibungskoeffizient, welche abhängig von den Materialien vom dem Lineal und dem Tisch ist. $$F_∥$$ und $$F_n$$ sind die Zerlegungskomponenten von der Gravitationskraft $$F_g$$. $$F_∥$$ und $$F_s$$ sind antiparallel.

Ermittlung von $$\alpha$$

Man kann α aus der Auslenkung des Lineals berechnen mit dem Zusammenhang:

\begin{align}\label{eq:2} \alpha = \arcsin \left(\frac{s}{l_{1/2}}\right) \end{align}

Die Auslenkung $$s$$ lässt sich hier mithilfe einer Energiebetrachtung ermitteln. In der Ausgangslage, kurz bevor der Ball losgelassen wird, ist die gesamte relevante Energie im System in Form der potentiellen Energie des Balles gespeichert. Die Referenzhöhe $$h = 0m$$ der potentiellen Energie haben wir auf die Tischoberfläche gesetzt. An dem Punkt der maximalen Auslenkung des Lineals, ist die gesamte relevant Energie im System als potentielle Energie im Ball, als Verformungsenergie im Lineal (da es sich verbiegt) und als Druckenergie in der Lufttasche unter dem Papier gespeichert4 . Um sicherzustellen, dass kein Rest kinetische Energie im Ball gespeichert ist, betrachten wir nur die Fälle, bei denen der Ball nach dem Auftreffen auf das Lineal wieder hochspringt, da der Ball an einem Punkt wärend des Richtungswechsel eine kinetische Energie von Null gehabt haben muss.

\begin{align}\label{eq:1} E_{pot,max}=E_{pot,min}+E_{Verform}+E_{Druck} \Leftrightarrow mgh = -mg(s+k)+\frac{1}{2} Ds^2+\int_{V_0}^{V_1}\Delta p(V,t)dV \end{align}

Diese Gleichung kann man dann nach $$s$$ umstellen. Da jedoch das Volumen $$V_1$$ bei der maximalen Auslenkung von der Auslenkung $$s$$ über die Beziehung

$$V_1 = \frac{l_{Papier}sd}{2}$$

abhängt, muss man erst einmal das Integral lösen.

Berechnung der im Druck gespeicherten Energie

Die Druckdifferenz unter der Annahme, dass keine Luftteilchen nachströmen, lässt sich mithilfe der idealen Gasgleichung5 berechnen:

$$\Delta p(V) = p_0-\frac{nRT}{V}$$

Da der Druck sich nach einiger Zeit wieder an den Außendruck angleicht, strömen Luftteilchen nach. Die Angleichrate lässt sich nach unseren Druckmessungen als eine Exponentialfunktion der Form:

$$ Angleichrate(t)=e^{-\lambda t}$$

beschreiben. Dieses $$λ$$ haben wir gemessen: $$λ ≈ 60s^{−1}$$ . Zu beachten ist dabei, dass $$λt$$ auch als $$\frac{t}{\tau}$$ geschrieben werden kann. Dabei nimmt $$\tau=\frac1\lambda\approx 0,017s$$ die Rolle einer Zeitkonstanten, für das Abklingen der Druckdifferenz, an. Der Zeitraum, in dem ein signifikanter Druckunterschied besteht, ist also ähnlich lang wie die Kontaktzeit des Balls auf dem Lineal. Wäre die Kontaktzeit länger, würde das Blatt einfach angehoben werden.

Unser finaler Ausdruck für die Druckdifferenz ist also:

$$\Delta p(V,t) = (p_0-\frac{nRT}{V})\cdot e^{-\lambda t}$$

Diesen Ausdruck kann man in das Integral einsetzen und lösen:

\begin{align*} E_{Druck}&=\int_{V_0}^{V_1}\Delta p(V,t)dV\\     &= \int_{V_0}^{V_1} \left(p_0-\frac{nRT}{V}\right)\cdot e^{-\lambda t}dV \\ &= e^{-\lambda t}\int_{V_0}^{V_1} \left(p_0-\frac{nRT}{V}\right)dV\\ &= e^{-\lambda t}\left[p_0V-nRT\cdot \ln(V)\right]_{V_0}^{V_1}\\ &=e^{-\lambda t}(p_0(V_1-V_0)+nRT\cdot \ln(V_0)-nRT \cdot \ln(V_1))\\ &=e^{-\lambda t}\left(p_0\left(\frac{lsd-2V_0}{2}\right)+nRT\cdot \ln\left(\frac{2V_0}{lsd}\right)\right) \end{align*}

Nun können wir wieder in (3) einsetzen und nach $$s$$ umstellen:

\begin{align} &mgh = -mg(s+k)+\frac{1}{2} Ds^2+e^{-\lambda t}\left(p_0\left(\frac{lsd-2V_0}{2}\right)+nRT\cdot \ln\left(\frac{2V_0}{lsd}\right)\right) \end{align}

Den Ausdruck für s kann man dann in (2) und (1) einsetzen und erhält unsere finale Formel. Das Lineal fällt auf den Boden, wenn gilt:

\begin{align} &\mu_{s,krit}<\tan\left(\arcsin\left(\frac{s}{l_{1/2}}\right)\right)\notag \\ &\Leftrightarrow \mu_{s,krit} < \frac{s}{\sqrt{l_{1/2}^2+s^2}} \end{align}

Versuche

Vereinfachungen

Für die weitere theoretische Untersuchung des Systems treffen wir die folgenden Annahmen.

1. Wir ignorieren die Reibung des Papiers, mit dem Tisch.
2. Wir ignorieren die Masse des Papieres.
3. Wir ignorieren den Luftwiderstand.
4. Wir nehmen an, dass das Papier sich immer auf eine oben genannte Art und Weise verformt

Messungen

Ermitteln der Federkonstante

Abbildung 12: Aubauskizze Messung der Federkonstante

Um die Federkonstante zu messen, können wir die angewandte Kraft $$F$$ aufnehmen, die benötigt wird, um unser Lineal um eine bestimmte Strecke $$∆x$$ auszulenken. Wir lenkten die Feder mit einem Vernier-Kraftsensor aus (Abbildung 12).

Für die Federkonstante $$D$$ gilt:

\begin{align}D = \frac{F}{\Delta x} \notag\end{align}

Mit den Messwerten können wir uns mithilfe der Formel die Federkonstante errechnen.

Versuche zum kritischen Haftreibungskoeffizientne

Abbildung 13: Aufbauskizze für die Messung von der Reibungskraft

Um den kritischen Haftkoeffizienten zu messen, platzierten wir unser Lineal auf die Tischkante und legten ein vergleichsweise schweres Gewicht auf das Linealende. Nun befestigten wir ein Vernier-Kraftmessgerät an das herausragende Linealende und zogen daran, bis das Lineal sich bewegte.

Mit diesen Messwerten konnten wir den kritischen Haftreibungskoeffizienten bestimmen:

\begin{align*} &\mu_{s,krit} \cdot \cos (\alpha) \cdot F_g = F_{s,max} \\ &\overset{\alpha = 0}{\Leftrightarrow} \mu_{s,krit} \cdot F_g = F_{s,max} \\ &\Leftrightarrow \mu_{s,krit} = \frac{F_{s,max}}{F_g} \end{align*}

• $$Fs,max$$ ist die maximale Kraft, welche FZieh annehmen kann, während das Lineal sich nicht bewegt. Diese nahm das Kraftmessgerät auf.
• $$Fg = m · g$$ beschreibt die Gravitationskraft. In unserem Fall ist m die Masse der Gewichte über dem Lineal.

Abbildung 14: Aufbau Kraftexperiment

Versuche zur Kraft

Abbildung 15: Aufbauskizze vom Kraftexperiment

Um die Validität des Kraftansatzes

\begin{align*} mgh=-mgk+\frac{1}{2}D k^2 \end{align*}

zu verifizieren, haben wir nach $$k$$ umgestellt und in $$F_{F eder} = D · k$$ eingesetzt, um eine zu erwartende rückstellende Kraft des Lineals zu berechnen. Diese haben wir dann gemessen.

\begin{align*} mgh=-mgk+\frac{1}{2}D k^2 \Leftrightarrow k = \frac{-mg+\sqrt{2Dhmg}}{D} \\ F_{Feder} = D\cdot k \Leftrightarrow F_{Feder} = -mg+\sqrt{2Dhmg} \end{align*}

Dazu haben wir das Lineal mit einem Vernier-Kraftmessgerät fixiert und einen Ball aus verschiedenen Höhen auf das herausstehende Linealende fallengelassen (siehe Abbildungen 14 und 15).

Abbildung 16: Aufbau Kraftexperiment

Versuche zum Druck

Abbildung 17: Aufbauskizze vom Druckexperiment

Um den zweiten Teil der Theorie ($$\int _{V_0} ^{V_1} \Delta p(V,t) dV$$) zu verifizieren haben wir Experimente mit einem Druckmessgerät gemacht. Dafür haben wir eine Metallplatte genommen und ein Loch hineingebohrt. Dann haben wir das Vernier-Druckmessgerät von unten mit Stativmaterial unter dem Lineal befestigt, und mit Knete luftdicht verschlossen. Das Linal haben wir mit einem Papier abgedeckt. (siehe Abblidungen 16 und 17). Für diesen Versuch haben wir verschiedene Bälle mit verschiedenen Gewichten aus unterschiedlichen Höhen fallengelassen.

Ergebnisse und Auswertung

Abbildung 18: Ergebnisse Federkraftmessung

Federkonstante

In Abbildung 18 sind unsere Messergebnisse zur Kraft zu sehen, die benötigt wird, um unser Lineal um eine bestimmte Strecke auszulenken. Wir nahmen Kräfte für verschiedene Auslenkungen auf und maßen mehrfach pro Auslenkung.

Die Fehlerbalken stellen Gerätefehler dar. Anhand dieser Messwerte zogen wir eine Ausgleichskurve. Die Steigung der Ausgleichskurve gibt uns eine Annäherung für die Federkonstante von unserem Lineal, welche in unserem Fall $$216, 7 N m$$ beträgt.

Haftreibungskoeffizient

Abbildung 19: Ergebnis Reibungskraftmessung

In Abbildung 19 ist das Ergebnis einer Kraftmesung zu sehen.

Der höchste Punkt stellt Fs,krit dar, in dem Fall sind es 5, 69N. Nun können wir den kritischen Haftreibungskoeffizient ($$µ_{s,krit} = F_{s,max Fg}$$ ) berechnen:

$$F_g = 4kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 39,24N$$ $$\mu_{s,krit} = \frac{(5,69 \pm 7\%)N}{39,24N} = 0,14 \pm 7\%$$

Mit dem kritischen Haftreibungskoeffizient können wir nun auch einen kritischen Winkel $$α$$ ausrechnen, bis welchen unser Lineal ausgelenkt werden kann:

$$\alpha_{krit} = \arctan(0,14\pm 7 \%) = (8,25\pm 7 \%)^{\circ}$$

Unser Lineal darf also etwa $$8, 25◦$$ vom Ball ausgelenkt werden, bevor es herunterfällt. Die Auslenkung durch die Federkraft ist nicht Teil von diesen $$8, 25◦$$ .

Es ist jedoch zu beachten, dass diese $$8, 25◦$$ nicht wirklich genau sind, da wir beim rechnen sehr viel gerundet haben. Zudem stammt unser Fs,krit aus nur einer Messung, bei der es auch zufällige Fehler gab.

Abbildung 20: Ergebnisse Kraftmessung im Vergleich zu den berechneten Werten

Kraftexperiment

In der Abbildung 20 sieht man unsere Messwerte als Kreuz dargestellt. Die Fehlerbalken haben wir berrechnet indem wir die mittlere Abweichung von je 10 Versuchen mit konstanter Höhe und mit dem gleichen Ball gemacht haben. Die berechneten Werte kommen aus der Formel $$F_{Feder} = 2mg+\sqrt{2Dhmg}$$.

Wir sehen, dass die Werte die Theorie unterstützen, die Abweichungen liegen zwar nicht immer im Fehlerbereich, aber die maximale Abweichung liegt bei $$2N$$, was im annehmbaren Bereich ist.

Druckexperiment

Abbildung 21: Druckveränderung im Verhältnis zur Starthöhe

Im Folgenden sind die Messwerte zu sehen, die wir bei unserem Versuchen aufgenommen haben, als Punkt makiert. Die Fehlerbalken errechneten wir uns, indem wir die mittlere Abweichung von je 10 Versuchsreihen mit göeichem Ball und konstanter Höhe berechnet haben.

Abbildung 22: Druckveränderung im Verhältnis zur Zeit

In Abbildung 21 sieht man, dass je größer die Masse, desto größer die Druckdifferenz. Dies stimmt qualitativ mit unserer Theorie überein, da Masse proportional zu Energie ist, und größere Energien für eine größere Auslenkung sorgen. Außerdem sieht man, dass im Allgemeinen, je größer die Höhe, desto größer die Druckdifferenz. Jedoch gibt es einen Ausreißer bei $$h = 20cm$$. Dieses Ergebnis stimmt qualitativ aus den gleichen Gründen wie oben mit unserer Theorie überein

Abbildung 22 zeigt den gemessenen Druck in Abhängigkeit von der Zeit. Man sieht, dass der Druck sehr schnell zu seiner höchsten Differenz kommt und dann unter dem Papier langsamer wieder zunimmt. Daraus folgt, dass die Luft deutlich langsamer als das Papier ist

Fazit

Zusammenfassend kann man sagen, dass wir beim Erforschen des Projektes unser Wissen über das Phänomen, sowie generell über Physik sehr vertieft haben. Nach einer langen Zeit, bei dem wir einen Ansatz über die Betrachtung der Kräfte gewählt haben, entwickelten wir schließlich eine Theorie mit Energien, bei dem wir demnächst die Partielle Differentialgleichung lösen wollen. Wir sind unserem Ziel, zusammenhänge der Parameter herzustellen, sicher näher gekommen, da wir Zusammenhänge mit Formeln beschreiben können.

Erfolge

• Jugend Forscht Regionalsieg (Berlin Nord)
• Jugend Forscht Landessieg
• BeGYPT 1. Platz Teamwertung
• 3x Teilnahme GYPT
• GYPT Finalvortrag
• GYPT Silbermedaillie Teamwertung
• GYPT Bronzemedaillie Teamwertung