Ruler Cannon

Thema

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$

Worum geht es bei unserem Projekt?

Zu erst die GYPT Aufgabe⁵:

Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.

Das bedeutet übersetzt:

Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.

Wichtige Parameter:

• F_Zusatz – Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N

• F_Lineal – Linealeigenkraft in N

• F_Final –Kraft, die nach vorne wirkt in N

• d –Durchmesser von Tischtennisball

• l –Abstand zwischen P_Z und Ende des Lineals

• m_TTBall – Masse des Tischtennisballs

• α –Öffnungswinkel

• θ – Winkel zwischen F_Final und F_{Zusatz+Lineal}

• D– Federkonstante des Lineals

• A Querschnittsfläche des runden Objektes in m²
• Ejection velocity of projectile m s
• Point of exerted force on ruler in cm
• Ruler length in m
• Young´s Modulus of ruler in N m2
• Quadratic area moment of ruler in m4

Theorie

Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.

Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt(a), an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball:

Im Bild ist $\alpha$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $F_{Extra}$ und $F_{Ruler}$

Erste Theorie zur Modellierung

Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:

• Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$
• Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert
• Die Menge an Finalkraft, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom

Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:

• Die Finalkraft ergibt sich als:
• Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert
• Die Menge an Finalkraft, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Druckpunkt ab

Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar.

Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie miteinzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den grundlegenden Gleichungen https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie für Biegelinien lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln: (Formel für B)

Für den ersten Teil unseres Lineals:

Für den zweiten Teil:

Die Größen in den Gleichungen:

Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet und die Orthogonale https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität Gerade dazu betrachtet (-1/w´=os), da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:

Zur Berechnung:

Diese Theorie betrachtet nun in Form des E-Moduls, welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmomentes https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment , welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist.

Aufbau

Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

Abb.1 Versuch zur bestimmung der Federkonstante

Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:

1. Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.
2. Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.

Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. Das war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen:

BildAufbau + Skizze

Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft F_Ruler zu bestimmen. Den Aufbau dazu hier:

Skizze:

Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten

Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 1. zu sehen. Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den Höhen 0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des Hookeschen Gesetz¹ berechnen. Dieses gibt uns die Formel:

Abb2 Versuch zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Kraft

D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m .

Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.

Daten

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Fazit

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

Erfolge

Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?

Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen.

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!

1: https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz

2: https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip

3: https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie

4: https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html