Bottle Rocket (10)

Thema

Die Frage Stellung unseres Experimentes war diese: „Pump air into a plastic water bottle partially filled with water. Under certain conditions, the bottle is launched and flies into the air. Investigate how the acceleration during lift-off depends on relevant parameters.“

Das bedeutet übersetzt:

Pumpt Luft in eine Wasserflasche die Teils mit Wasser gefüllt ist. Bei besonderen Bedingungen wird die Flasche hochfliegen. Schaut euch genauer an, wie die Beschleunigung von relevanten Parametern abhängt.

Unsere wichtigen Parameter:

F_S = Schubkraft der Rakete in N

F_R = Luftreibung in N

p(0) = Druckdifferenz in der Flasche zur Atmosphäre in N/m²

V_L = Volumen der zusammengepressten Luft in der Rakete in m³

V_W  = Volumen des Wassers in m³

v_e = Geschwindigkeit des Austretenden Wassers in m/s

A = Fläche vom Querschnitt der Drüse in m²

m_R = Masse der Rakete in kg

m_e = Masse des Austretenden Wassers in kg

Theorie

Den Flug der Rakete haben wir in zwei Teile unterteilen.

Der erste Teil ist, wenn das Wasser mithilfe vom Luftdruck rausgeschossen wird. Dabei haben wir angenommen, dass in diesem Teil nur Wasser rausgeschossen wird und keine Luft.

Basic Explanation

Der zweite Teil ist, wenn die verbleibene Luft entweicht.

Für unseres Projekt haben wir uns nur den ersten Teil angeschaut, also wenn Wasser aus der Rakete geschossen wird.

Durch den hohen Druck in der Rakete wird das Wasser aus der Flasche rausgedrückt. Laut dem 3. Newtonsche Gesetzt fliegt der Rest der Rakete nach oben. Gegen diese Schubkraft wirkt die Gravitationskraft der Rakete und die uftreibungskraft. Somit ist die resultierende Kraft F_res:

$$F_{\mathrm{res}} = F_S - F_G - F_R$$

Zuerst fangen wir mit dem Druck in der Rakete an. Vor dem Flug haben wir Luft in die Rakete gepumpt. Der Druckunterschied in der Rakete zum Atmosphärendruck ist p(0), also die Luft, die wir mit der Luftpumpe in die Rakete gepumpt haben, angenommen der Atmosphärendruck sei konstant. Nun steigt das Volumen der Luft in der Rakete, weil Wasser rausgedrückt wird. Somit sinkt der Druck in der Rakete mit der Zeit.

Veranschaulichung: Parameter Druck

Eine gute Veranschaulichung bietet die Abbildung rechts.

Nun können wir uns den Druck an einem bestimmten Zeitpunkts p(t) bzw. den Druckunterschied zur Atmosphärendruck anhand des Volumen der Luft an diesem Zeitpunkt, welches wiederum von dem Volumen/der Masse des austretendem Wassers abhängt, mit folgender Formel ausrechnen

$$ p(t) = p(0) \cdot \left( \frac{V_A(t)}{V_A(0)} \right)^{-\lambda} $$

Dabei ist der adiabatischer Index welcher bei Luft ungefähr 1,4 entspricht. Der adiabatischer Index gibt an, was das Verhältnis von Druck zu Volumen ist. Diese Erkenntnis wird uns in zukünftigen Berechnungen helfen.

Um die Geschwindigkeit des herausströmen Wassers v_e bestimmen zu können haben wir Bernoullis Gleichung benutzt. Dafür haben wir angenommen, dass das Wasser in einem Laminar Flow fließt, also dass keine Verwirbelungen oder ähnliches auftreten.

Die Bernoulli Formel haben wir angewendet an dem Punkt in der Rakete, und an einem Punkt außerhalb der Rakete. Somit sieht die Formel so aus:

$$ p_1 + \frac{1}{2} \rho v_e^2 + \rho g h_1 = p(0) + \frac{1}{2} \rho v_in^2 + \rho g h_2 $$

Wir haben dann angenommen, dass der Höhenunterschied vernachlässigbar ist, da die Höhendifferenz zwischen dem Punkt in der Rakete und dem Punkt außerhalb der Rakete sehr klein ist. Weiterhin haben wir die Geschwindigkeit des Wassers innerhalb der Rakete, v_in vernachlässigt, weil im Vergleich zu der Geschwindigkeit des austretenden Wassers v_e  ist diese vernachlässigbar klein. Da wir p(0) als Druck in der Rakete minus den Atmosphärendruck definert haben, ist p₁:

$$ \frac{1}{2} \rho v_e^2 + = p(0) $$

Nach v_e umgestellt:

$$ v = \sqrt{\frac{2p}{ \roh } } $$

Mithilfe der Geschwindigkeit des austretenden Wassers können wir den Massenstrom, welches von der Fläche der Oberfläche der Drüse abhängt, und die Masse des austretendes Wassers ausrechnen:

$$\dot{m} = \rho \cdot A \cdot v_e$$

$$m_e = \dot{m} \cdot t$$

Mithilfe der Tsiolkovsky Rocket Equation können wir die Schubkraft der Rakete ausrechnen. Da die Änderung der Masse der Rakete gleich der Masse des austretendes Wassers ist, können wir schreiben:

$$F_S = v_e \cdot \frac{\Delta m_R}{\Delta_t} \Leftrightarrow v_e \cdot \frac{\Delta m_e}{\Delta_t}$$

Gegen die Schubkraft wirken die Luftreibung und die Gewichtskraft.

Um die Luftreibung zu berechnen, haben wir erst mithilfe des Impulserhaltungssatzes die Geschwindigkeit der Rakete berechnen.

$$m_e \cdot v_e = m_R \cdot v_R \Leftrightarrow \frac{m_e \cdot v_e}{m_R} = v_R$$

Dafür haben wir angenommen, dass es sich hierbei um geschlossenes System handelt, d.h. dass keine Energie in Wärme durch Reibung verloren wird.

Diese Geschwindigkeit nutzen wir, um die Luftreibung auszurechnen:

$$F_R = \frac{1}{2} \cdot \rho_{\text{Air}} \cdot A \cdot c_W \cdot v_R^2$$

Den c_W Wert haben wir im Internet recherchiert.

Gewichtskraft:

$$F_G = m \cdot g$$

Nun haben wir angenommen, dass in einem sehr kleinen Zeitabstand t sich Parameter wie Geschwindigkeit des austretendes Wassers ve, Geschwindigkeit v der gesamten Rakete und resultierender Kraft Fres konstant sind. Mit den oberen Formeln können wir dann das Volumen/Masse des Wassers und Luftdruck nach diesem kurzen Zeitabstand t ausrechnen sowie Geschwindigkeit des austretendes Wassers ve, Geschwindigkeit v der gesamten Rakete und resultierender Kraft Fres.

Dies haben wir umgesetzt mit einem Python-Code:

$$\begin{verbatim} from math import sqrt def calc(vwater, p, lap, mrocket, bottle, nozzle, roh, dt, lam, rohair, cw, arocket): velo = sqrt(2 * p / roh) mdot = roh * nozzle * velo mdwater = mdot * dt vdwater = mdwater / roh if vwater - vdwater >= 0 and p >= 0 and lap <= 20: pnew = p * (((bottle - vwater - vdwater) / (bottle - vwater))**-lam) fth = velo * mdwater / dt fg = (mrocket + (vwater * roh) - mdwater) * 9.81 vr = velo * mdwater / (mrocket + (vwater * roh) - mdwater) fdrag = rohair * cw * vr * vr * arocket * 0.5 fres = fth - (fg + fdrag) a = fres / (mrocket + (vwater * roh) - mdwater) print("Lap " + str(lap) + ", Time: " + str(lap*dt) + " Velo Rocket: " + str(vr)) calc(vwater-vdwater, pnew, lap+1, mrocket, bottle, nozzle, roh, dt, lam, rohair, cw, arocket) calc(0.0005, 50000, 1, 0.03, 0.0015, 0.0005, 1000, 0.01, 1.4, 1.2, 0.7, 20) \end{verbatim}$$

Hierbei sind die Werte je genauer, desto kleiner wir den Zeitabstand t wählen.

Aufbau

Ein Modell von unserem Aufbau

Unser Experiment bestand aus einer Wasserflasche teils gefüllt mit Wasser, einem Korken, einer Luftpumpe, einem Lineal an der Seite für den Maßstab und einer 2. Person, die den Abhieb der Rakete auf dem Handy filmt.

Das Experiment funktioniert, indem eine Person den Korken in die Wasserflasche steckt und diesen mit der Pumpe verbindet und wir so lange Luft in die Wasserflasche, Öffnung nach unten zeigend, pumpen, bis der Korken aufgrund des Drucks abfliegt und die Rakete abhebt. Am Ende lesen wir dann von der Pumpe ab, wie viel Luft wir in die Rakete gepumpt haben.

Zuschauerperspektive

Daten

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Fazit

Zusammenfassend hat unser Experiment gezeigt, dass die Beschleunigung einer Wasserflaschenrakete von mehreren physikalischen Parametern abhängt. Dazu zählen unter anderem der Anfangsdruck in der Flasche, das Volumen des eingefüllten Wassers und die Größe der Düse. Mithilfe der Bernoulli-Gleichung, des Impulserhaltungssatz und der Tsiolkovsky-Raketengleichung konnten wir das Verhalten theoretisch erklären. Das wichtigste, das wir feststellen könnten, ist, dass je höher der Luftdruck sowie das Verhältnis von Luftvolumen zu Wasservolumen war, desto größer die Beschleunigung. Ansonst hat uns das Experiment geholfen, unsere physikalischen Kentnisse zu vertiefen, und ich selbst habe gelernt, dass man eine Rakte aus einer einfachen Flasche bauen kann.

Erfolge

Leider haben wir an keinen Wettbewerben teilgenommen.

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!