Ruler Cannon

Thema

Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns für eine Aufgabe aus dem

diesjährigen GYPT Aufgabenset entschieden: Problem 7¹. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.

Übersetzt:

Zwei Lineale werden eng aneinandergehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball - in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.

Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei:

• $$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N

• $$F_{Ruler}$$ Eigenkraft des Lineals in N

• $$F_{Final}$$ Resultierende Kraft in N
• $$F_F$$ Reibungskraft in N
• a Angriffspunkt von $$F_{Extra}$$ auf dem Lineal in cm
• $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m

• d Durchmesser des Tischtennisballs in m

• l Punkt am Ende des Lineals in cm

• $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg

• α Öffnungswinkel in °

• θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$ in °

• D Federkonstante des Lineals in $$\frac{N}{m}$$

• A Querschnittsfläche des runden Objektes in m²
• v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$
• E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$
• I Flächenträgheitsmoment in m⁴

Abb. 1 Theoretisches Modell zum Betrachten der Kräfte

Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1):

Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$, die durch Masse und Biegung des Lineals entsteht. In dieselbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die zusätzlich am Punkt a (hinter dem Ball) auf das obere Lineal ausgeübt wird. Dadurch ergibt sich die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$, die eine starke Kraft auf den Ball abgibt. Die für den Abflug des Balls entscheidende Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektiv vorwärtsgerichtete Komponente. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .

Ablauf des Phänomens:

Wird eine Kraft $$F_{Extra}$$ am Punkt a auf das Lineal ausgeübt, erhöht sich $$F_{Final}$$. Sobald diese die Haftreibung $$F_{F}$$ übersteigt, wird der Ball in Richtung von $$F_{Final}$$ beschleunigt und losgeschleudert.

Theorie

Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns zunächst das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, die am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als starr, sodass der erste Abschnitt flach bleibt und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball aufweist. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden.

Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung

In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:

• Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$
• Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert
• Die Größe der Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft ab

Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar.

Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig, die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferentialgleichungen anbieten. Aus den grundlegenden Gleichungen für Biegelinien² lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche, wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt, zu simulieren, mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen. Diese wird durch die Parameter der Kraft, den Druckpunkt a und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermittelt:

Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferentialgleichungen

$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$

Für den ersten Teil unseres Lineals:

    $$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$

Für den zweiten Teil:

$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$

Die Größen in den Gleichungen:

Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:

$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F  {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$

Dann wird die Orthogonale³ Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:

Zur Berechnung:

Diese Theorie betrachtet nun in Form des E-Moduls⁴, welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet, und des Flächenträgheitsmomentes⁵, welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals. Sie betrachtet auch die Geometrie des Balls in Form des Durchmessers, wodurch eine möglichst genaue Erfassung des Phänomens möglich ist.

In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im Vergleich zum Druckpunkt wie folgt:

Druckpunkt	38cm	39cm	40cm	41cm	42cm	43cm	44cm	45cm
Steigung os	$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$

In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.

Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des 2. Newtonschen Gesetzes⁶ $$F=m \cdot a$$ und der Formel für Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den, mit der Trackerapp ermittelten, Geschwindigkeitswerten vergleichen.

Aufbau

Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30 cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60 N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind zwei große Probleme aufgetreten:

1. Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte, um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.
2. Der Kraftmesser hat nur bis zu 60 N gemessen, aber bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60 N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.

Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit

Dann tauschten wir die Lineale und den Kraftmesser aus. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500 N messen. Damit führten wir alle folgenden Messungen durch. Abb. 4 zeigt unseren Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale.

Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D

Dann führten wir zwei weitere Versuche durch, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentell zu ermitteln. Als erstes bestimmten wir die Federkonstante des Lineals, um später damit die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:

Wir befestigten das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch. Dann stellten wir ein Lineal auf, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals montierten wir einen Federkraftmesser und zogen diesen nach oben. Bei bestimmten Höhen maßen wir die Kraft und mithilfe des Hookeschen Gesetz⁷ $$F=\delta l \cdot D$$ bestimmten wir die Federkonstante.

Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.

Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten

Als nächstes bestimmten wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir klebten vier Projektile mit Klebeband aneinander und wogen die Masse dieser Konstruktion. Dann legten wir das Konstrukt auf die Lineale, beschwerten die Konstruktion zusätzlich mit Büchern und Blöcken als zusätzliche Masse und zogen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für Haftreibung⁸ ist $$F_{H krit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir maßen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die Normalkraft⁹ gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellten die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die Gleitreibung¹⁰ gilt $$F_{G krit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{G krit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.

Daten

Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante

Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.

Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ kommen wir auf 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N

Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.

Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen

Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen

Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet

In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je größer die Entfernung von Punkt a zum Projektil ist, desto mehr Kraft muss auf die Lineale ausgeübt werden. Wenn die Entfernung sehr kurz ist, benötigt man auch wieder mehr Kraft, da die Kraftausübung auf den Ball erfolgt und dieser sich nicht verformt. Dazwischen gibt es einen optimalen Punkt, wo weniger Kraft nötig ist, um den Ball in Bewegung zu versetzen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht, ist 25 cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim Drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese lag bei 60 N und einige Messungen gingen darüber hinaus.

In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir erkennen eine Korrelation. Allerdings gibt es einige Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt startete. Außerdem führten wir für den ersten Punkt (38 cm) nur 5 Messungen durch und bei den anderen jeweils 20 Messungen pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden Fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass zwei- bis dreimal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist.

In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die Gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht diesen Impuls durch langsames Drücken möglichst zu minimieren.

Weitere Fehler sind:

• dass wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m vorhanden ist.
• dass wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben.
• dass wir beim Tracken der Videos teilweise nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten.
• dass wir den Luftwiderstand bei unserer gesamten Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen.

Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein paar systematische Fehler. Dazu zählten:

• die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten
• die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs
• die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N
• die geringe Videoqualität der Videokamera, was das Tracken erschwerte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen
• die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem, da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten

Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben.

Fazit

Im letzten Jahr beschäftigten wir uns ausgiebig mit dem Phänomen. Wir fanden heraus, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.

Erfolge

Mit unserem Projekt nahmen wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teil, qualifizierten uns aber leider nicht für die nächste Runde. Außerdem nahm hat Elliott an BeGYPT teil, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen.

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!

1: https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html

2: https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie

3: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität

4: https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul

5: https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment

6: https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip

7: https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz

8: https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung

9: https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force

10: https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung