Electrical Damping

Thema

In unserem Projekt haben wir das 2. GYPT-Projekt, Electric Damping, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

A magnet suspended by a spring will display simple harmonic motion when displaced. If the magnet oscillates within a coil connected to a resistor, its motion will be damped. Investigate the factors that affect the damping.

Allgemeiner Aufbau unseres Projektes

Der Aufbau dieses Projekts basiert auf einem gewöhnlichen mechanischen harmonischen Oszillator, doch schwingt hier ein an Federn aufgehängter Magnet innerhalb einer Spule, die wiederum an einen variablen Widerstand angeschlossen ist. Beim Auslenken des Pendels mit geschlossenem Stromkreis tritt eine merklich stärkere Dämpfung auf, als durch die mechanischen Umstände hervorgerufen werden könnte.

Um ein solches Pendel systematisch untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da ein Setup, das eine exakte Variation von Parametern wie der Gleichgewichtslage des Magneten relativ zur Spule erlaubt, nicht einfach als Fertigset existiert, haben wir unseren experimentellen Aufbau aus modularen Stativkomponenten und Kraftsensoren selbst entworfen.

Wir betrachten das System theoretisch auf zwei Ebenen: qualitativ und quantitativ. Für den qualitativen Teil betrachten wir die grundlegenden Mechanismen der Induktion und der Energieumwandlung. Für den analytischen und quantitativen Teil leiten wir ein vollständiges elektromechanisches Modell her, welches in einem Integro-Differentialgleichungssystem mündet, um die Dämpfung in Abhängigkeit von elektrischen und geometrischen Parametern exakt beschreiben zu können.

Theorie

Qualitative Theorie

Betrachtet wird zunächst das rein mechanische Federpendel. Auf den aus der Ruhelage ausgelenkten Magneten wirkt die rückstellende Kraft der Federn sowie die Gravitation, was ohne äußere Einflüsse zu einer einfachen harmonischen Schwingung führt.

Sobald das System um die Spule und den geschlossenen Stromkreis erweitert wird, ändert die Bewegung des Magneten kontinuierlich den Magnetfluss durch die Spule. Gemäß dem Faradayschen Induktionsgesetz wird dadurch eine elektromotorische Kraft induziert. Diese ist dann maximal, wenn die Geschwindigkeit des Magneten am größten ist, also beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage.

Diese induzierte EMF treibt einen Strom durch den angeschlossenen Widerstand. Dieser Strom erzeugt wiederum ein eigenes Magnetfeld, das nach dem Lenz'schen Gesetz der ursprünglichen Bewegung des Magneten entgegenwirkt. Die mechanische Energie des Systems wird dabei irreversibel als Joule'sche Wärme im Widerstand dissipiert. Es resultiert eine elektromagnetisch gedämpfte Schwingung. Um die Stärke dieser Dämpfung in Abhängigkeit variabler Parameter exakt vorherzusagen, ist eine quantitative Analyse erforderlich.

Quantitative Theorie

Bewegungsgleichung, Definitionen und Annahmen

Für die theoretische Modellierung werden zunächst die relevanten Systemkonstanten definiert: die Masse des Magneten $$m$$, die effektive Federkonstante $$k_{eff}$$, die Windungszahl der Spule $$N$$, die Spuleninduktivität $$L$$ und der ohmsche Gesamtwiderstand $$R$$ (bestehend aus dem verstellbaren Widerstand und Innenwiderstand der Spule). Die zentrale zeitabhängige Variable ist die vertikale Auslenkung des Magneten aus der Ruhelage $$x(t)$$.

In der theoretischen Herleitung der Theorie gelten die folgenden Annahmen:
• eindimensionale Bewegung
• lineare Federn
• konstante mechanische Dämpfung
• konstante elektrische Parameter ($$R$$ und $$L$$)
• keine anderen elektromagnetischen Effekte

Als Ausgangspunkt für das gedämpfte System dient die klassische Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators: \begin{equation*} m\ddot{x} + d(x) \dot{x} + k x = 0 \end{equation*} wobei $$d(x)$$ die positionsabhängige Dämpfungskonstante, für welche gilt $$d(x) = d_{mech} + d_{em}(x)$$ ist. Durch eine Taylor-Entwicklung 0. Ordnung wird die Dämpfungskonstante als konstant approximiert. Unter dieser Annahme ergibt sich als Lösung eine exponentiell abklingende Schwingung: \begin{equation*} x(t) = Ae^{- \gamma t}cos(\omega t + \varphi) \end{equation*} Dieser Ansatz der konstanten Dämpfung ist nur für unsere späteren Messungen der Dämpfung relevant, im Folgenden wird eine ortsabhängige Dämpfung betrachtet.

Induzierte EMF und magnetischer Fluss

Für die Modellierung des elektromagnetischen Effekts muss der gesamte magnetische Fluss $$\psi = \sum_{i=1}^{N} \Phi_i$$ durch die Spule betrachtet werden: \begin{equation*} \Phi_i(x) = \int_{A_i}\vec{B}(x)\cdot d\vec{A}_i \end{equation*}

Aus dem Faradayschen Induktionsgesetz ergibt sich durch Anwendung der Kettenregel die induzierte Spannung $$\varepsilon$$ als Produkt aus der räumlichen Änderung des Flusses und der Geschwindigkeit des Magneten: \begin{equation*} \varepsilon(t) = -\frac{d}{dt}(\sum_{i=1}^{N} \Phi_i(x)) = -\frac{d\psi}{dt}\\ \varepsilon(t) = -\frac{d\psi}{dx}\dot{x} \end{equation*}

Im Folgenden definieren wir: \begin{equation*} G(x) := \frac{d\psi}{dx} \end{equation*} Sodass gilt: \begin{equation*} \varepsilon(t) = -G(x)\dot{x} \end{equation*}

System als RL - Schaltkreis

Das elektrische System lässt sich als geschlossener RL-Schaltkreis modellieren. Nach der Kirchhoff'schen Maschenregel resultiert für das aus Induktivität $$L$$ und ohmschen Widerstand $$R$$ bestehende System die folgende Differentialgleichung für den Strom $$I$$: \begin{equation*} L\frac{dI}{dt}+RI = \varepsilon(t)\\ L\frac{dI}{dt}+RI = -G(x)\dot{x} \end{equation*} Die Lösung für $$I$$ über eine Variation der Konstanten lautet: \begin{equation*} L\frac{dI}{dt}+RI = \varepsilon(t)\\ I(t)=e^{-\frac{R}{L}t}\int\frac{\varepsilon(\tau)}{L}e^{\frac{R}{L}\tau}d\tau+I_0e^{-\frac{R}{L}t} \end{equation*}

Leistungsbilanz

Die dem Oszillator entzogene mechanische Leistung $$P_{mech}$$ entspricht zu jedem Zeitpunkt der induzierten elektrischen Leistung $$P_{elec}$$ an der Systemgrenze: \begin{equation*} P_{mech} = P_{elec} \implies F_{em} \cdot \dot{x} = \varepsilon \cdot I \end{equation*}

Im RL-Kreis teilt sich diese Leistung nach den Kirchhoffschen Regeln in thermische Verlustleistung und die Änderung der magnetischen Feldenergie auf: \begin{equation*} \varepsilon \cdot I = I^2 R + \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}LI^2\right) \end{equation*}

Für die Bestimmung der Bremskraft $$F_{em}$$​ ist diese interne Aufteilung im Stromkreis jedoch irrelevant, da die elektromechanische Energieübertragung direkt erfolgt. Durch Einsetzen von $$\varepsilon(t)= −G(x)\dot{x}$$ in die Bilanz der Systemgrenze ergibt sich: \begin{equation*} F_{em} \cdot \dot{x} = -G(x)\dot{x} \cdot I \end{equation*}

Für den bewegten Zustand lässt sich die Geschwindigkeit kürzen, woraus direkt die elektromagnetische Gegenkraft resultiert: \begin{equation*} F_{em} = -G(x) \cdot I \end{equation*}

Finale Bewegungsgleichung

Durch das Einsetzen unserer soeben berechneten Dämpfungskraft entsteht die folgende Bewegungsgleichung für unser System: \begin{equation*} m\ddot{x} + d_{mech} \dot{x} + k x = -G(x) \cdot I(t)\\ m\ddot{x} + d_{mech} \dot{x} + k x + G(x) \cdot I(t) = 0\\ m\ddot{x} + d_{mech} \dot{x} + k x + G(x) \cdot (e^{-\frac{R}{L}t}\int\frac{\varepsilon(\tau)}{L}e^{\frac{R}{L}\tau}d\tau+I_0e^{-\frac{R}{L}t}) = 0 \end{equation*}

Aufbau

Allgemeiner Aufbau unseres Systems

Realer Aufbau

Skizze des Aufbaus

Der mechanische Teil des Aufbaus ist vertikal in einer Linie (koaxial) ausgerichtet und gliedert sich von oben nach unten wie folgt: Stativgestell: Ein Rahmen aus Stativstangen bildet das Fundament des Systems, um mechanische Eigenschwingungen des Aufbaus zu minimieren.

Kraftsensor: Am obersten Stativarm ist ein Kraftsensor montiert. Dieser misst kontinuierlich die Zugkraft während der Oszillation, was eine präzise quantitative Auswertung der Schwingungsamplitude und der Dämpfung über den Verlauf des Experiments erlaubt.

Obere Feder: Am Haken des Kraftsensors ist die erste lineare Zugfeder aufgehängt.

Magnet: Am unteren Ende dieser Feder ist der Permanentmagnet befestigt, welcher als die schwingende Masse $$m$$ des Systems agiert.

Untere Feder: Unterhalb des Magneten ist eine zweite Zugfeder angebracht, die nach unten hin fest mit dem Stativ verbunden ist.

Elektrischer Aufbau und Stromkreis

Der elektrische Teil des Experiments setzt den theoretisch beschriebenen RL-Schaltkreis in die Praxis um:

Induktionsspule: Die Spule ist auf einem eigenen, höhenverstellbaren Stativbauteil fixiert.. Die Spulenöffnung ist weit genug, damit der Magnet berührungsfrei hindurchschwingen kann, um rein mechanische Reibung auszuschließen.
Variabler Widerstand: Die Spulenanschlüsse sind mit einem variablen Widerstand verbunden. Durch diesen wird der Stromkreis geschlossen.

Über den variablen Widerstand kann der Gesamtwiderstand $$R$$ des Kreises gezielt variiert werden. Dies erlaubt es, den induzierten Strom $$I$$ und damit die Stärke der elektromagnetischen Bremskraft $$F_{em}$$​ systematisch zu steuern und die resultierende Dämpfung zu messen.

Schematische Darstellung des elektrischen Teils

Messungen

Generelle Messungen

Um die elektromagnetische Dämpfung systematisch zu untersuchen und unsere theoretischen Vorhersagen zu überprüfen, haben wir in unseren Versuchsreihen primär den elektrischen Widerstand sowie des Systems und die Gleichgewichtsposition des Magneten variiert. Die über den Kraftsensor aufgezeichneten Rohdaten dieser Oszillationen bilden die Grundlage für die spätere Datenanalyse.

mechanische Reibungsmessung

Wie in der Theorie beschrieben, nehmen wir eine konstante mechanische Reibung an. Um diese zu bestimmen, haben wir die Schwingung mehrfach mit offenem Stromkreis durchgeführt. Da in diesem Zustand kein Strom fließen kann, wirkt auf das System ausschließlich die mechanische Dämpfung als limitierender Faktor.

Daten

mechanische Reibungsmessung

Um die Reibungskonstante zu ermitteln haben wir das System wie im Abschnitt Messungen beschrieben bemessen und die Werte der Dämpfung mit konstantem Fit über die Anzahl der Messungen dargestellt.

Variation der Parameter

Widerstand

Eine Veränderung des variablen äußeren Widerstands führt zu einer veränderten Dämpfung des Systems.

Dämpfung des Systems bei 3cm Abstand

Für die experimentelle Überprüfung über eine Variation des äußeren Widerstands kann das Modell durch eine Grenzwertbetrachtung vereinfacht werden. Bei hinreichend kleiner Spuleninduktivität ($$L \approx 0$$) kann der induktive Spannungsabfall $$L \frac{dI}{dt}$$ in der Gleichung für $$\varepsilon$$ vernachlässigt werden. Der Gesamtwiderstand des Kreises setzt sich dabei additiv aus dem variablen externen Widerstand und dem Innenwiderstand der Spule zusammen, so gilt: \begin{equation*} I(t) \approx \frac{\varepsilon(t)}{R_{var} + R_S} \end{equation*} Durch Einsetzen von $$\varepsilon(t) = -G(x)\dot{x}$$ ergibt sich für den Strom: \begin{equation*} I(t) = -\frac{G(x)}{R_{var} + R_S}\dot{x} \end{equation*} Wird dieser Ausdruck in die zuvor hergeleitete Bremskraft eingesetzt, resultiert eine rein geschwindigkeitsproportionale Gegenkraft: \begin{equation*} m\ddot{x} + d_{mech}\dot{x} + kx = -\frac{G(x)^2}{R_{var} + R_S}\dot{x} \end{equation*} Durch Umstellen und Ausklammern der Geschwindigkeit lässt sich die gesamte, effektive Dämpfung des gekoppelten Systems explizit als Koeffizient darstellen: \begin{equation*} m\ddot{x} + \left( d_{mech} + \frac{G(x)^2}{R_{var} + R_S} \right)\dot{x} + kx = 0 \end{equation*} Da bei der Widerstandsvariation die Gleichgewichtsposition des Magneten konstant gehalten wurde, bleibt der geometrische Flussgradient über die Messungen gleich. Daraus folgt: \begin{equation*} d(R_{var}) = d_{mech} + \frac{A}{R_{var} + R_S} \end{equation*} Hierbei fasst der Parameter $$A = G(x)^2$$ alle konstanten magnetischen und geometrischen Eigenschaften zusammen. Deswegen wurde im Graphen der Ansatz eines inversen Fits gewählt.

Gleichgewichtsposition

Eine Veränderung der Gleichgewichtsposition führt zu einer veränderten Dämpfung des Systems.

Dämpfung des Systems bei 20 Ohm externer Widerstand

Der hier gewählte Gauß'sche Fit ist rein phänomenologischer Natur.

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Fazit

Es konnte erfolgreich gezeigt werden, dass das elektromechanische System durch ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem beschrieben werden kann. Die experimentellen Daten bestätigen den inversen Zusammenhang zwischen dem elektrischen Widerstand und der Dämpfungskonstante. Zudem zeigte sich eine starke Positionsabhängigkeit der Dämpfung, die auf den Gradienten des magnetischen Flusses G(x) zurückzuführen ist

Erfolge

BeGYPT Teilnahme
JuFo Teilnahme

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!