Ball on a Ferrite Rod

In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von Fabian Schmitt(17) und Philipp Werner(17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

Thema

"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.

Ferritstab

Längenänderung

Längenänderung

Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

Grundfrequenz

Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz.

Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

Anregung mit Schwingkreis

Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$.

Aufbau

Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert).

Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet.

Einführung des Proxys

Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.

Bewegungen des Balls

Darstellung eines Sprungs

Grundlegende Erklärung

Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.

Start: Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.

Flugphase: Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.

Landung: Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.

Theorie

Parameter und Variablen

Parameter und Variablen

Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.

• Membran:
  • Frequenz $$f$$
  • Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$
  • Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$
• Ball:
  • Masse $$m$$
  • Restitutionskoeffizient $$\alpha$$

Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:

• Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$
• Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$

Variablen von Membran und Ball

Bewegung der Membran

Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung

$$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$.

Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen:

$$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.

Beschreibung des Falls

Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \cdot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$. Somit gibt es nun einen direkten Zusammenhang zwischen der Sprunghöhe und der Sprunggeschwindigkeit und aus der Zeitdauer, wie lange ein Sprung ist, erhält man: $$\Delta t = - \frac{2 \cdot v_{max}}{g} \Leftrightarrow v_{max} = - \frac{g \cdot \Delta t}{2}$$. Somit sind nun alle 3 Größen eines Sprunges durch eine andere beschreibbar, weshalb bei zum Beispiel der Messdatenauswertung die Methode keine Rolle mehr spielt, sprich ob man Zeitintervalle, Höhen oder Geschwindigkeiten misst.

Relative Geschwindigkeiten des Balls

Geschwindigkeitsberechnung

Um nun die Geschwindigkeit $$v_{n+1}$$, sprich die Geschwindigkeit des Balls nach dem Sprung, zu bestimmen, muss man die Geschwindigkeiten vor dem Sprung kennen. Als Erstes definiert man sich jedoch ein neues Bezugssystem, in dem man sich mit der Membran mitbewegt, diese also keine Geschwindigkeit besitzt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit des Balls selbstverständlich verändert wird, weshalb sich folgende neue Ballgeschwindigkeiten für das Bezugssystem ergeben: $$v_{in} = -(v_n - u_n) = -v_n + u_n$$ sowie $$v_{out} = v_{n+1} - u_{n+1}$$. Nun erhält man den Restitutionskoeffizienten mit folgender Gleichung$$^{[6]}$$: $$\alpha = \frac{v_{out}}{v_{in}}$$. Diese Gleichung lässt sich zu $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{v_{n+1} - u_{n+1}}{-v_n + u_n}$$ umformen. Mit der Annahme, dass die Geschwindigkeit der Membran vor und nach dem Sprung gleich bleibt, also $$u_n = u_{n+1}$$ gilt, was realistisch für leichte Bälle ist, ergibt sich: $$\Leftrightarrow v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$. Somit existiert nun eine Gleichung, welche die Geschwindigkeit des Balls ausrechnet in Abhängigkeit der Geschwindigkeit $$v_n$$, mit der der Ball auf die Membran aufgetroffen ist, sowie der Geschwindigkeit der Membran bei dem Aufprall $$u_n$$ und dem Restitutionskoeffizienten $$\alpha$$. Somit kann man nun, wenn alle dieser 3 Größen gegeben sind, die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall errechnen.

Vorhersage der Theorie

Darstellung des Landebereiches

Um die Geschwindigkeit des Balls nach einem Aufprall zu errechnen, muss man den Zeitpunkt des Aufpralls vom Ball auf der Membran bestimmen. Dazu errechnet man die Geschwindigkeit, welche der Ball beim Aufprall haben sollte, indem man sich ansieht, mit welcher Geschwindigkeit der Ball gestartet ist (wir nehmen immer noch Reibungsfreiheit und keine Auslenkung der Membran an). Somit kann man behaupten, dass der Ball mit dieser Geschwindigkeit die Membran treffen wird. Durch die Bestimmung des Schnittpunktes kann man dann aus der Funktion der Höhe der Membran die Geschwindigkeit bekommen. Somit sind alle Variablen bekannt, um die nächste Sprunghöhe mit der eben gegebenen Formel zu errechnen. Doch wo genau kann der Ball landen?

Man definiert, dass der Ball in der Periode zwischen den 2 Hochpunkten der Auslenkungsfunktion der Membran landen wird. Somit kann der Ball nur zwischen $$t = \frac{T}{4}$$ und $$t = \frac{5 \cdot T}{4}$$ landen. Das begrenzt dann auch die y-Achsenabschnitte, die die Höhenfunktion des Balls maximal annehmen kann. Diese besitzen dann eine Untergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{4} \cdot |v_{max}|$$ und eine Obergrenze von $$d_{max} + \frac{1}{f} \cdot \frac{5 \cdot T}{4} \cdot |v_{max}|$$.

Da der Sprung des Balls im Vergleich zu einer Periodendauer extrem lang ist, kann man annehmen, dass der y-Achsenabschnitt zufällig ist, da er von jeder kleinen und nicht berechenbaren Störung verändert wird. Also besitzt die Funktion der Höhe des Balls dann einen zufälligen y-Achsenabschnitt, weshalb so eine neue Geschwindigkeit des Balls für seinen nächsten Sprung herausgefunden werden kann.

Beispieleingabe

Anzumerken ist, dass nicht alle Membrangeschwindigkeiten für langsame Bälle erreicht werden können, weshalb langsame Bälle nicht unbedingt die Membran an Stellen erreicht, an der sie langsam ist, aber auch nicht dort, wo sie am Schnellsten ist.

Eine Beispieleingabe in die Vorhersage ist dann zum Beispiel eine Anzahl von 3000 Sprüngen, ein $$\alpha$$ von $$0,51$$, eine Frequenz von $$300$$Hz und eine Auslenkung der Membran von $$0.2$$cm. Somit erlangt man die folgende Return-Map, auf der die möglichen Geschwindigkeiten, welche der Ball annehmen kann, wenn er mit einer Geschwindigkeit von $$v_n$$ auf die Membran trifft, dargestellt werden.

Wie man erkennen kann, ist die maximale Geschwindigkeit des Balls limitiert: sie kann die maximale Geschwindigkeit nur erreichen, wenn sie die Membran dort trifft, wo diese am Schnellsten ist. Diese "limitierende Gerade" besitzt also einen Anstieg von $$\alpha$$, da gilt: $$v_{n+1} = u_n \cdot (1 + \alpha) - v_n \cdot \alpha$$, und somit $$\alpha$$ der Anstieg der Geraden ist. Außerdem kann man erkennen, dass für kleine Geschwindigkeiten der Graph nicht der limitierenden Geraden folgt. Dies liegt daran, dass der Ball an dieser Stelle zu langsam ist, um die Membran dort zu erreichen, wo diese am meisten Geschwindigkeit besitzt, und kann folglich nicht auf die maximale Geschwindigkeit beschleunigen.

Zusätzlich kann man erkennen, dass der Ball nicht über eine bestimmte Geschwindigkeit hinaus kommt. Das liegt daran, dass ab einem bestimmten Punkt so viel Energie durch den Aufprall abgegeben wird, dass diese selbst bei voller Beschleunigung nicht wieder bekommen werden kann.

Setup

Skizze des Aufbaus

Foto des Aufbaus

Aufbau

Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

Messdatenauswertung

Videotracking

Die Videoaufnahmen der Kamera haben wir mit dem Videotracking-Programm Viana ausgewertet. Viana bestimmt die Position des Balls für jeden Frame des Videos, woraus sich die Flugkurve in einem Höhe von Zeit Diagramm ergibt. Mit einem eigenen Programm haben wir dann alle lokalen Tiefpunkte der Flugkurve des Balls ermittelt. Anhand der Abstände der Minimalstellen lässt sich dann berechnen, welche Geschwindigkeit ($v_{max}$) der Ball direkt nach dem Stoß gehabt haben muss und wie hoch der Ball gesprungen sein muss.     

Audiotracking

Eine alternative und für Langzeitmessungen bessere Möglichkeit, Messdaten zu generieren, ist, eine Audioaufnahmne zu machen. Dadurch, dass der Ball bei fast jedem Aufprall ein unverkennbares Geräusch macht, können wir anhand einer Audioaufnahme alle Minimalstellen bestimmen und somit analog zum Videotracking ebernfalls alle $v_{max}$ und alle Maxima berechnen.

Probleme hierbei bereiten vor allem das Herausfiltern des durch die Lautsprechermembran generierten Geräusches. Außerdem ist nicht jeder Sprung zwangsläufig unverkennbar, denn es gibt auch sehr kleine Sprünge mit leisen Tönen, die beim Auftreffen erzeugt werden. Wir sind jedoch zuversichtlich, dass wir diese Probleme lösen werden und in Zukunft unsere gesamte Auswertung mit dieser Methode vornehmen können. Tatsächlich ist eine Audiodatei sehr viel schneller auszuwerten und deutlich speicherfreundlicher.

Daten

Ermittlung des Restitutionskoeffizienten

Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen.

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt.

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$

Geschwindigkeiten

Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

               

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$

eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.

Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie

Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.

Vergleich von Theorie und Messdaten:

Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.

Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.

Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.

Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $0,2 \frac{m}{s}$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.

Das in den theoretischen Daten entstehende "`Kreuz"' wird dadurch erzeugt, dass wir den Sonderfall des Mikrosprunges so angenähert haben, dass danach der Ball die maximal erreichbare Geschwindigkeit erhalten hat. Ein Mikrosprung bedeutet, dass nach einem Aufprall der Ball eine Geschwindigkeit erhält, die geringer ist als die Geschwindigkeit der Membran und somit auf dieser liegen bleibt. Dies muss noch genauer untersucht werden, um eine realistische Abbildung darzustellen.

Erfolge

Wir haben folgende Erfolge errungen:

• Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
• GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
• BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
• BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)

Quellen

• [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion
• [2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance
• [3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements
• [4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis
• [5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite
• [6] Berechnung des Restitutionskoeffizienten (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution
• [7]