Dripping Faucet

Thema (Saskia)

Ist es nicht beeindruckend!

Wenn man sich einen Duschkopf genauer anschaut, dann hat jeder einzelne der Tropfen sein eigenes, spannendes Abenteuer. Wie er tropft, in welcher Geschwindigkeit er fällt und auch ab wann er zu einem kleinen, dünnen Wasserstrahl wird. All diese Dinge, wie und warum sie passieren haben wir uns im Rahmen der 6. German Young Physicists Tournament Aufgabe "Dripping faucet" angeschaut und untersucht.

"A leaky faucet develops interesting dripping patterns, where the time between drops depends on the water flowrate. Investigate this phenomenon and study how it depends on relevant parameters."

Genau diese entstehenden Muster der Tropfen und welche Parameter einen Einfluss haben, haben wir uns, natürlich verkleinert mit nur einer Düse, angeschaut und untersucht.

Wor

Theorie (Aufgeteilt)

Geschwindigkeit (Saskia)

Da ein üblicher Wasserhahn für unsere Untersuchungen ungeeignet ist, haben wir uns einen eigenen gebaut. Dieser besteht aus einem möglichst breitem Container, einem Schlauch  und eine Pipette unten dran, welche sich unter der Wasseroberfläche befindet.

Mithilfe der Bernoulli-Gleichung können wir aussagen:

p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2

(2= hochgestellt)

dabei gilt:

p1:   Druck des Wassers an der Oberfläche des Containers

ρ:   Dichte des Wassers

v1:   Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche

h1:   Höhe über dem Boden der Wasseroberfläche

p2:   Druck des Wassers am Endpunkt der Pipette

v2:   Geschwindigkeit des Wassers am Endpunkt

h2:   Höhe über dem Boden des Endpunktes

Mithilfe des Kontinuitätsgesetz können wir aussagen:

V1=V2

v1⋅A1=v2⋅A2

dabei gilt:

A1:  Oberfläche des Wassers im Container

A2:  Oberfläche der Pipettenöffnung

Mit der Annahme, dass der Druck auf das Wasser an beiden Enden des Schlauches gleich ist und somit beide dem Luftdruck entsprechen, können wir die Bernoulli-Gleichung vereinfachen zu:

1/2ρv12+ρgh1=1/2ρv22+ρgh2

(2= hochgestellt)

Hier nehmen wir nun an, dass v1 = 0 ist.

Durch das Kontinuitätsgesetz wissen wir:

v1⋅A1=v2⋅A2

Da A1 möglichst groß (hier 2000cm2) und A2 möglichst klein (hier 3mm2) ist das Verhältinis von v1 zu v2 sehr groß. Hier:

v12000cm2=v23mm2

<=>v1=v2⋅ 1,5⋅10-5

Hier nehmen wir, dass dies signifikant klein ist und runden somit auf 0 ab.

Somit können wir die Gleichung vereinfachen:

ρgh1=1/2ρv22+ρgh2

(2= hochgestellt)

Wenn wir nun ρgh2 abziehen und damit effektiv h1 mit h1−h2=Δh austauschen erhalten wir:

ρgh1=1/2ρv22

(2= hochgestellt)

2 gΔh=v22

v2=√2 gΔh

Da g konstant ist können wir also v2 regulieren, indem wir Δh (den Höhenunterschiedvon Wasserspiegel zum Austrittspunkt des Wassers) ändern.Dies ist relevant, da die Menge der Tropfen von dem Volumen an Wasser welchesaus der Pipette fließt und dem Volumen der Tropfen abhängt. Wenn wir annehmen,dass das Ende der Pipette ein perfekter Kreis mit Radius r ist beträgt derVolumenfluss also:

V=v2⋅A2

V=√2 gΔh (πr22)

(nicht in der Wurzel)

Dies nimmt allerdings an:

• Die Flüssigkeit ist inkompressibel

• Die Reibung mit dem Schlauch ist vernachlässigbar klein

• Der Luftwiderstand ist vernachlässigbar kleinerem

• A1 ist groß genug um v1 zu vernachlässigen

• Kein weiterer Kräfteeinfluss existiert

Reibung (Linus)

Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung^[4] benutzt.

$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$

Variable	Bedeutung
$$λ$$	Reibungskoeffiziente
$$L$$	Länge des Schlauches
$$D$$	Durchmesser des Schlauches

Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus 2.1 einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:

$$gh = \frac{1}{2}v²-λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$

und nach einigen Umformungen erhalten wir:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1-λ\cdot\frac{L}{D}}}$$

So erhalten wir eine formel um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $$h$$ zu berechnen.

Das Problem dieser Formel ist allerdings, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:

$$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)

Da wir einen laminaren Strom haben können wir nun $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille^[5] mit $$\frac{64}{Re}$$ substituieren, wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:

$$Re = \frac{ρvD}{η}$$ ($$η$$ ist hier die dynamische Viskositätskonstante des Fluids).

Variable	Bedeutung	Wert
$$η$$	Dynamische Viskosität	1 mPa$$\cdot $$s (für Wasser bei 20°C)

Damit erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}-\frac{32ηL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:

$$0 = v²-\frac{64vηL}{ρD²}-2gh$$

diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:

$$v = \pm \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}+\frac{32ηL}{ρD²}$$

da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:

$$v = \sqrt{(\frac{32ηL}{ρD²})^{2}+2gh}+\frac{32ηL}{ρD²}$$

so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.

Frequenz (Saskia)

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Strahlenbildung (Linus)

Strahlenform

Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.

Die Quantitative Analyse können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen^[6]:

$$\dot V = v(h)\cdot A(h)= v_{0}\cdot A_{0}$$

Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:

$$r²(h)\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$

$$r²(h) = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$

$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$

$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{\sqrt{2gh}+v_{0}}}$$

Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$\sqrt{2gh}$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:

$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt. Für kleinere Höhen ist die vorher genannte Formel natürlich genauer.

Tropfentrennung

Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.

Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}$$

Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:

$$0 = t²\frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$

$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$

$$t = \frac{\sqrt{{v_0}^2+2sg}-v_0}{g}$$

Aufbau (Saskia)

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Wie in der Abbildung zu sehen, wird eine möglichst breite Plastikbox als Basis des Aufbausverwendet. In diesen Behälter wird ein Loch gebohrt und ein Schlauch mithilfe vonHeißkleber an der Box fixiert. An das andere Ende des Schlauches wird mitPanzerband eine Pipette befestigt. Um diese Apparatur in der korrekten Position zuhalten, werden mehrere Stative verwendet. Am ersten ist die Pipette befestigt. Diesewird so befestigt, dass sie separat in der Höhe verstellbar ist. An dem zweiten Stativwird ein Lineal befestigt mit dem jederzeit die Höhen der Pipette und desWasserspiegels sichtbar sind. Unter der Pipette steht ein Behälter, welcher diefallenden Tropfen auffängt.

Daten (Linus)

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Abb.2 Messung zur Austrittsgeschwindigkeit

Geschwindigkeiten

Für unsere erste Messung haben wir Folgende Ergebnisse bekommen:

Fehlerquellen:

• Messung von:
  • Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung
  • Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung

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Abb. 3 Messung für r = 0.35cm und kleineren Δh

Bis auf die 4. Messung bei welcher wir aufgrund von Hintergrundgeräuschen Probleme beim auswerten hatte, passen hier sehr gut zu unserer Theorie. Hierbei muss angemerkt werden, dass aufgrund von Reibung die Austrittsgeschwindigkeit sich bis erst bei sehr großen Höhenunterschieden fast ein lineares Verhältnis zur Höhe hat, doch wollten wir noch einmal testen was passiert, wenn wir das Experiment mit möglichst kleinen Geschwindigkeiten durchführen. Hier haben wir eine andere Pipette benutzt und folgende Ergebnisse erlangt:

Fehlerquellen:

• Fallen des Wasserspiegels

• Messung von:
  • Zeit: $$\pm$$0.5s pro Messung
  • Massen: $$\pm$$0.5g pro Messung

Wie mann sehen kann divergieren Theorie und Messungen hier schon sehr viel mehr, doch in Anbetracht der sehr starken Genauigkeit dieser Messung sind sie doch noch ausreichend nah. Der erste Wert ist hierbei ein Ausreißer welchen wir uns bisher nicht erklären können. Wir glauben dieser ist entweder durch Fehler in der Messung oder durch sehr kleine Effekte, welche erst hier aktiv werden, aufgetreten.

Frequenz

Reguläres Regime

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Abb.4 Messung zur Frequent im gleichmäßigen Tropfen

Unsere Messungen zur Frequenz der Tropfen im gleichmäßigen Tropfregime gaben uns folgende Ergebnisse:

Die 4. Messung ist hier ebenfalls leicht unter dem erwartetem Wert, was wie zuvor beschrieben zu erwarten ist. Sonst sind die gemessenen Werte der Theorhetischen Vorhersage wieder sehr nahe.

Um die Imprezision in der Theorie zu berechnen, haben wir unsere vorherige Standartabweichung der Messungen von der Theorie aus 4.1 genommen und diese als Ungenauigkeit für die Geschwindigkeit in unserer Frequenz formel verwendet.

Um diese der Messungen zu berechnen wird die Standartabweichung der Frequenzen in der Tonaufnahme benutzt.

Fehlerquellen:

• Hintergrundgeräusche
• Geschwindigkeit
• Fallen des Wasserspiegels
• Messung von:
  • Höhe: $$\pm$$0.5mm pro Messung

Irreguläres Regime

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Abb. 5 Messung zur Frequenz beim Abklingen der Geschwindigkeit

Wir haben lange versucht biperiodische Frequenzen zu messen. Hierbei haben wir unter anderem eine gesamte Messung des ausklingen der Tropfen durch sinken des Wasserspiegels von einer gewissen Startwassermenge gemacht wie in Abb.5 zu sehen ist.

Hier ist klar zu erkennen, dass ab einem gewissen Punkt die Abweichung an Frequenzen Plötzlich stark zunimmt und schlussendlich starke unterschiedliche Frequenzen bei nur leichten Unterschieden an Höhe aufweist, was auf biperiodisches, komplexes und möglicherweise chaotisches Verhalten hinweise liefert. Klar zu erkennen sind diese Verhalten aufgrund von zu starken Abweichungen durch leichte Fehler in unseren Messungen allerdings leider nicht. Dies leiten wir vorallem den Hintergrundgeräuschen und der anschließenden, deshalb fehlerhaften bzw. ungenauen, Analyse ab. Außerdem können wir diesen Bereich bisher ebenfalls nicht sinnvoll analysieren, da hier der sich ändernde Wasserspiegel schon in nur einer Minute vom Anfang vom irregulären Verhalten zum Stoppen des Tropfens führt.

Strahlen

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Abb.6 Messung zur Strahllänge

Unsere Messungen zur Länge der Strahlen im gaben uns folgende Ergebnisse:

Fehlerquellen:

• Auditive Messung der Höhe
• Fallen des Wasserspiegels
• Messungen von:
  • Höhe der Wasserhöhe $$\pm$$0.5mm pro Messung

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Abb.7 Berechnung der Zerfallzeit

Wenn wir diese mit Hilfe unserer Formel aus 2.4.2 auswerten, erhalten wir die Zeit in welcher sich die Tropfen aufgeteilt haben.

Usere Daten hierfür sind:

Wie zu sehen sind scheint die Zerfallszeit auch über eine große Spannweite an Fallhöhen ziemlich konstant zu bleiben. Dies passt mit unseren Annahmen aus 2.4.2.

Wir haben eine durchschnittliche Auftrennzeit von $$0.225s$$ gemessen. Diese theorhetisch herleiten zu können ist ebenfalls eines unserer zukünftigen Ziele.

Fazit (Saskia)

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

Erfolge (Linus)

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GYPT Präsentation

GYPT Bundesrunde (Linus J. Konnerth)

BeGYPT 12. Platz (Linus J. Konnerth)

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BeGYPT Präsentation

Quellen (Linus)

[1] GYPT

[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”

[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”

[4] G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).

[5] https://www.engineeringtoolbox.com/minor-pressure-loss-ducts-pipes-d_624.html

[6] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”