Magneto-Mechanischer Oszillator

Thema

Ungefährer Ablauf des Effekts

"Secure the lower ends of two identical leaf springs to a non-magnetic base and attach magnets to the upper ends such that they repel and are free to move. Investigate how the movement of the springs depends on relevant parameters."

Befestigen Sie die unteren Enden zweier identischer Blattfedern an einer nicht magnetischen Basis und befestigen Sie Magnete an den oberen Enden, sodass sie sich abstoßen und sich frei bewegen können. Untersuchen Sie, wie die Bewegung der Federn von relevanten Parametern abhängt.

Hier sieht man die wirkenden Kräfte, sowie die genannten Parameter

Theorie

Parameter Die folgenden Parameter sind benötigt, um den Effekt treffend zu beschreiben:

• die Maße der Feder (Länge, Dicke , Breite, Masse)
• Abstand zwischen den zwei Magneten
• Maße der Magneten (Dipolmoment, Masse)

Die Kräfte die in diesem System wirken, sind:

• Rückstellkraft $$F_R$$
• Magnetkraft $$F_M$$
• Dämpfungskraft $$F_D$$

Mit einer Kamera aufgenommenes Schwingverhalten der zwei Federn

Grundlegende Erklärung

Wenn man die Federn auslenkt, so wird potentielle Energie gespeichert. Lässt man sie los, so wird diese um gewandelt, in kinetische Energie, sowie in Wärme (wobei dieser Teil minimal ist), durch die Magneten, die an beiden Federn befestigt sind, kann zudem kinetische Energie zwischen den Federn übertragen werden, sodass sich die beiden Schwingungen überlagern. Je nachdem wie die Federn auslenkt wird kann man verschiedene Schwingungsmuster erkennen, darunter Schwebungen, gedämpfte Kosinusschwingungen sowie komplexere Muster. Je länger die Feder schwingt, desto geringer ist die Frequenz sowie die Amplitude, mit der sie schwingt, da immer mehr Energie an die Luft durch Luftreibung abgegeben wird.

Die Feder

Die Feder hat viele Eigenschaften, die für diesen Effekt zu untersuchen sind, hauptsächlich sind jedoch die Biegung der Feder sowie die Rückstellkraft.

Die Biegung der Feder

Die Biegung der Feder lässt sich genau mithilfe der Balkentheorie beschreiben, jedoch reicht es für uns eine Näherung für diese aufzustellen, um diesen Sachverhalt nicht unnötig komplexer zu machen. Um eine Funktion für die Biegung der Feder $$W(x)$$ zu finden, müssen wir einige Bedingungen aufstellen, welche die gesuchte Funktion erfüllen muss.

1. $$ W(0) = 0 $$ Die Biegung am Punkt der Befestigung ist Null.
2. $$ W(L) = 1 $$ Am unbefestigten ende der Feder ($$L$$) soll die Auslenkung maximal sein (=1).
3. $$ \frac {d^2 W(L)} {{dx}^2} = 0 $$ Die zweite Ableitung an der Stelle L soll gelich Null sein, da die zweite Ableitung der Biegelinie das Biegemoment ist, welches am Rand der Feder null ist, da dieser umgebogen ist.

$$W(x) = -13,5~\text{m} \cdot \left(1-\cos\left(\frac \pi 2 \cdot \frac {x} {150~\text{m}}\right)\right)$$ Der Balken ist 1,35 cm ausgelenkt und ist 15 cm lang

Stellt die Rückstellkraft dar, sowie die beim Hooke'schen Gesetz betrachteten Komponenten

Die Funktion die wir nach diesen Kriterien gewählt haben ist $$ W(x) = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2L}x\right) $$. Vorab gesagt ist diese Funktion nach den Bedingungen willkürlich gewählt, jedoch beschreibt sie die Biegung des Balken, wie in der Abbildung (rechts) zu erkennen, akkurat.

Die Rückstellkraft

Die Rückstellkraft lässt sich mithilfe des Hooke'schen Gesetztes beschreiben, jedoch ist zu sagen, dass das Hooke'sche Gesetz den vertikalen Teil der Kraft vernachlässigt, da wir jedoch keine allzugroßen Auslenkungen betrachen, ist dies nicht von großem Belange.

$$ F_R = -k \cdot w \quad w\; - $$ Auslenkung

k ist hier die Federkonstante, sie beschreibt die Steife der Feder. Für diese gilt die folgende Formel, welch man sich aus der Balkentheorie herleiten kann:

$$k = \frac{EI}{L^3} \quad E \; $$- Elastizitätsmodul

Das I beschreibt das Axiale Flächenträgheitsmoment, dies ist eine Querschnittsgröße der Feder, und ist von der Dicke sowie der Breite dieser abhängig.

Die Magnetkraft

Für die Kraft, die zwischen zwei Dauermagneten wirkt gilt die folgende Formel (Quelle: [3]

$$\begin{equation} \vec{F}(\vec{r},\vec{m}_1,\vec{m}_2)=\frac{3\mu_0}{4\pi r^4} \left[ \vec{m}_2(\vec{m}_1\cdot\vec{r}_n)+ \vec{m}_1(\vec{m}_2\cdot\vec{r}_n)+ \vec{r}_n(\vec{m}_1\cdot\vec{m}_2)- 5\vec{r}_n(\vec{m}_1\cdot\vec{r}_n)(\vec{m}_2\cdot\vec{r}_n)0 \right] \end{equation} \\ m - \text{magnetisches Moment}$$

Plot der Magnetkraft

$$\begin{equation} r_n \; - \end{equation} $$ Einheitsvektor der von Magnet 1 zu Magnet 2 zeigt

Diese Formel kann vereinfacht werden, da wir die Bewegung eindimensional betrachten, sodass man die Vektoren als Skalare schreiben kann

$$ F= \frac{3\mu_0 m_1 m_2}{2\pi r^4} $$

Mit dieser Formel lässt sich jedoch keine allgemein lösbare Differenzialgleichung aufstellen, weshalb wir die Magnetkraft für kleine Auslenkungen linearisieren:

$$ F_M = c(d_0 + w_1 + w_2) $$

Wobei $$c$$ den Differenzenquozient zwischen dem maximalen und minimalen Abstand der Magneten darstellt. $$d_0$$ ist der Abstand in Ruhelage zwischen den Magneten

Vereinfachtes Modell

Mithilfe dieser Kräfte kann man ein vereinfachtes Modell erstellen, um diesen Effekt zu beschreiben. Hier vernachlässigen wir die Dämpfung und nehmen zudem kleine Auslenkungen an, um lösbare DGLs zu erhalten. Wir werden hier drei Modell einführen, die drei sind von unterschiedlicher Komplexität, wobei das letzte den betrachteten Effekt darstellt. Die anderen zwei sind jedoch für das weitere Verständnis des Ansatzes, welchen wir verwendet haben sinnvoll.

Schema einer freien Biegeschwingung

Freie Biegeschwingung

In diesem Fall Betrachen wir die Schwingung einer ungedampften Blattfeder mit Masse am Rand. Um diese zu beschreiben verwenden wir Newton'sche DGLs, welche man erhält, indem man die auf eine Punktmasse wirkenden Kräfte summiert. Das einzige problem ist, dass wir keine Punktmasse haben. Dies kann man jedoch umgehen, indem man eine effektive Masse berechnet, doch mehr dazu später. Da bei der freien Biegeschwingung, die einzige wirkende Kraft die Rückstellkraft ist gilt hier:

Schema einer Schwingung mit festgemachtem Magneten

$$ F_{ges} = F_R $$

Umgeformt erhalten wir daher:

$$ \ddot{w} + \frac{k}{m}w = 0 $$

Die Lösung dieser DGL würde hierbei so aussehen:

$$w = \hat w \cdot \cos(\omega_F t) \quad \omega_F = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

Schwingung mit festgemachtem Magneten

Hier betrachten wir den Fall, dass man neben der Feder mit magnet einen Magneten festmacht, sodass es auch eine magnetische Kraft gibt, die einwirkt. Daher gilt auch

$$ F_{ges} = F_R +F_M $$

Daraus folgt dann:

$$ \ddot{w} + \frac{k-c}{m}w = 0 $$

Und die Lösung dieser DGL wäre:

$$w = \hat w \cdot \cos(\omega_{FL} t) \quad \omega_{FL} = \sqrt{\frac{k-c}{m}} $$

Gekoppelte Schwingung

Um die Bewegungsgleichung für die gekoppelten Schwinger herzuleiten, kann man denselben Ansatz wie im 2. Modell verwenden. Hier werden jedoch zwei DGLs benötigt

$$F_{ges1}=F_{R1} + F_M \\ F_{ges2}= F_{R2} - F_M $$

Diese würden dann so aussehen:

$$ \ddot{w_1} + \frac{k}{m}w_1 - \frac{c}{m}(w_1+w_2+d_0) \\ \ddot{w_2} + \frac{k}{m}w_2 + \frac{c}{m}(w_1+w_2+d_0)$$

Diese sind gekoppelte DGL,

$$w_1=\frac 1 2(A_2\cos(\omega_{+}t)-A_1\cos(\omega_{-}t))+\frac {cd} m\ \\ w_2=\frac 1 2(A_2\cos(\omega_{+}t)+A_1\cos(\omega_{-}t))-\frac {cd} m \\$$

$$ \omega_{-}=\sqrt{\frac{k-2c} m}\\ \omega_{+}=\sqrt{\frac k m} $$

Beide Federn werden in die selbe Richtung ausgerenkt

$$A_1=\left( \hat{w}_1-\hat{w}_2\right)\\ A_2=\left( \hat{w}_1+\hat{w}_2\right)  $$

Hier schwingen die Federn mit zwei Frequenzen, die eine ist hier von der Magnetkraft beeinflusst, die andere nicht.Dies sind die allgemeinen Lösungen der Gleichung, jedoch gibt es noch drei spezifische interessante Fälle, welche man unter bestimmten Anfangsbedingungen erhält.

Fall a

Die Federn werden in entgegengesetzte Richtungen ausgelenkt

Wenn man die Feder beide Federn gleichzeitig in die selbe Richtung auslenkt, so schwingen die beiden Federn in Phase, die Magnetkraft hat keinen Einfluss. Daher schwingen sie auch nur mit der Frequenz $$\omega_+$$. Hierbei schaut die Bewegungsgleichung so aus:

$$ w_1 = \hat w \cdot \cos(\omega_+ t) = w_2 $$

Fall b

Wenn man die zwei Federn mit demselben Betrag in eine andere Richtung jedoch auslenkt, so hat die Magnetkraft nun einen Einfluss, denn schwingen die Federn durch diese mit der höheren Frequenz $$\omega_-$$. Außerdem Schwingen sie in Gegenphase, da sie auch entgegengesetzt ausgerenkt wurden.

$$ w_1 =\hat w \cdot \cos(\omega_- t) = -w_2 $$

Nur eine Feder wird ausgelenkt

Fall c

Lenkt man nur eine Feder aus, so wird die Energie zwischen den Federn ständig übertragen, sodass die Amplitude immer größer und kleiner wird, man erhält eine Schwebung.

$$ w_1= \hat w \cdot \cos\left(\frac{\omega_- + \omega_+}{2} t\right) \cos\left(\frac{\omega_- - \omega_+}{2} t\right) \\ w_1 =\hat w \cdot \sin\left(\frac{\omega_- + \omega_+}{2} t\right) \sin\left(\frac{\omega_- - \omega_+}{2} t\right) $$

Hier schwingen die Feder mit zwei Frequenzen, wobei die eine die Änderung der Amplitude beeinflusst und die andere die Anzahl an Nulldurchgängen.

Die effektive Masse

In der bisherigen Modellierung haben wir oft die Mass m verwendet, ohne tiefer auf diese einzugehen. Denn setzt sich m nicht nur aus der Masse der Magneten $$ m_M$$ zusammen, sondern auch noch aus einen Teil der Masse der Feder, der effektiven Masse. Wir habe diese mithilfe der kinetischen Energie berechnet, denn kann man diese nicht nur von einem Punkt aus berechnen, sondern nur die gesamte kinetische Energie des Balkens. Dafür muss man dann ein Integral verwenden, sodass man die Bewegungsenergie über den gesamten Balken summiert. Daher schaut die kinetische Energie so aus:

$$ E_{kin} = \frac {1}{2} \cdot m_M \cdot {v(L)}^2 + \frac {1}{2} \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {v(x)}^2dm $$

Wobei der Integrant $$ dm $$ sich zusammensetzt aus:

$$ dm = \frac {m_F}{L} \cdot dx \qquad m_F - $$ Masse der Feder

Daraus folgt:

$$ E_{kin} = \frac {1}{2} \cdot m_M \cdot {v(L)}^2 + \frac {1}{2} \cdot \frac {m_F}{L} \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {v(x)}^2dx $$

Nun gilt $$ v(x) = \dot{w} $$ und $$w(x,t) = \left(1-\cos\left(\frac{\pi}{2L}x\right)\right) \cdot w_L(t)$$, sodass folgt:

$$ E_{kin} = \frac {1}{2} \cdot m_M \cdot {v(L)}^2 + \frac {1}{2} \cdot \frac {m_F}{L} \cdot {v_L(t)}2 \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {\left(\frac{\pi}{2L} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2L}x\right)\right)^2} dx $$

Umgeformt ergibt sich:

$$E_{kin}= \frac {1}{2} \left(m_M + \left(\frac {3}{2}- \frac {4}{\pi}\right) \cdot m_F\right) \cdot {v_L(t)}^2$$

Sodass man erkennt, dass gilt:

$$m = m_M + \left(\frac {3}{2}- \frac {4}{\pi}\right) \cdot m_F = m_M + 0,227 \cdot m_F$$

Dämpfungskraft

Bisher haben wir in unserer Modellierung angedampfte Schwingungen betrachtet, dies hat den Grund, dass wir so eine grobe Beschreibung des Effekts erreichen wollten, und diese so einfach wie möglich halten wollte. Dabei hat die Dämpfung natürlich auch einen Einfluss, jedoch besteht der Kern des Effekts in der Wechselwirkung der zwei Federn durch die Magneten. Gäbe es keine Dämpfung, so würde dieser Effekt für immer fortwähren, da wir jedoch diese nicht isolieren, ist die Dauer endlich.

Schema einer gedämpften Schwingung. Die Dämpfungskraft wirkt der Rückstellkraft entgegen.

Die Dämpfungskraft ist, in unserem Fall, abhängig von der Dämpfung. Je schneller die Feder, desto höher die Dämpfungskraft, desto mehr Energie wird abgegeben. Bei dem Federschwinger entsteht die Dämpfung hauptsächlich durch die Luftreibung. Für die Luftreibung gilt folgende Formel:

$$ F_L = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_{Luft} \cdot A \cdot {v(t)}^2 \qquad A \; - $$ Angriffsfläche

Jedoch gilt diese Formel nur für Körper, die sich an jeder Stelle mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, im unserem Fall jedoch bewegt sich die Feder nicht einheitlich, an der Stelle $$x = 0$$ ist $$v = 0$$, bei $$x = L$$ gilt $$v = \hat v$$. Daher müssen wir in unserem Fall die Dämpfungskraft über den ganzen Balken summieren, wir nehmen das Integral, dieses würdedann so aussehen:

$$ F_D = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_{Luft} \cdot A \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {v(x,t)}^2dx $$

Um dieses Integral zu lösen, können wir auch hier den Ansatz $$ v = \dot w $$ und $$ w(x,t) = W(x) \cdot w_L(t) $$ verwenden, sodass wir folgendes erhalten:

$$ F_D = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_{Luft} \cdot A \cdot {v_L(t)}^2 \cdot \displaystyle\int_{0}^{L} {\left(\frac{\pi}{2L} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2L}x\right)\right)^2} dx $$

Und durch Lösen des Integrals erhält man:

$$ F_D = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_{Luft} \cdot A \cdot \left(\frac {3}{2}- \frac {4}{\pi}\right) \cdot L \cdot {v_L(t)}^2 = \delta \cdot {v_L(t)}^2 $$

Vollständiges Modell

Nun da wir die Dämpfungskraft haben, können wir diese auch in die Gleichungen integrieren, jedoch wären diese Differentialgleichungen sowieso schon unlösbar, sodass wir auch die eigentliche Formel für die Magnetkraft verwenden können.

Daher gilt für die einfache Biegeschwingung:

$$ \ddot w + \frac {k}{m} w - \frac {\delta}{m} {\dot w}^2 = 0 $$

Für die Biegeschwingung mit festem Magneten gilt:

$$ m \ddot w = - k w + \frac {c_M}{(d_0 + w)^4} + \ {\dot w}^2 \qquad \quad c_M \;- $$ Proportionalitätskonstante für die Magnetkraft

Und für die gekoppelten Biegeschwingungen gilt:

$$m_1 \ddot w_1 = -k{w_1} - \frac {c_M}{(d_0 + w_1 + w_2)^4} + \delta {\dot w_1}^2 \\ m_2 \ddot w_2 = -k{w_2} - \frac {c_M}{(d_0 + w_1 + w_2)^4} + \delta {\dot w_2}^2 $$

Diese DGLs sind nicht lösbar, weshalb wir sie numerisch simuliert haben mithilfe von Octave.

Ein Simulationsplot einer gedämpften Schwingung über einen Zeitraum von 30s, mit einer Federlänge von 17,5 cm und einer Anfangsauslenkung von 5cm.

Simulation

Plot einer Videomessung einer gedämpften Biegeschwingung mit einer Federlänge von 17,5 cm, einer Zeit von 28s und einer Anfangsauslenkung von 3cm

Zur Simulation wollten wir ürsprünglich LSODE oder einen anderen Differentialgleichungslöser verwenden, jedoch konnten wir die Gleichungen aufgrund der Potenten nicht aufstellen, sodass wir stattdessen, nach demselben Prinzip haben wir den Prozess für ein kleines Zeitintervall (1ms) linear angenommen, und haben so für viele verschiedene Zeitpunkte den ungefähren Verlauf vorhergesagt.

Dadurch erhalten wir Plots, wie den neben stehenden, jedoch ist die Dämpfung bei diesen sehr gering für den beschriebenen Fall, mögliche Ursprünge dieser Abweichung, sind, dass wir einen Einheitenfehler in der Simulation haben, oder, dass wir einen großen Teil der Dämpfung vernachlässigen, jedoch haben wir den Ursprung des Fehlers noch nicht gefunden.

Bei den zwei anderen Simulationen kam noch dazu, dass die Koeffizienten für die Magnetkraft zu grob und ungenau waren, sodass die Simulation nicht für alle Federlängen und Abstände funktioniert hat, weshalb wir der Meinung sind, dass diese Werte nicht aussagekräftig sind.

Aufbau

Aufbau zur Untersuchung des Effekts

Dies ist der Aufbau, mit dem wir diesen Effekt untersucht haben. An diesem kann man sowohl die Länge der Feder, als auch die Distanz zwischen den Federn verändern, sodass man sowohl den Einfluss von Magnetkraft, als auch von der Rückstellkraft gesondert betrachten kann. Der einzige Nachteil an diesem Aufbau ist, das dieser Teils aus Metall besteht, was aufgrund von den Magneten unpassend sein könnte, jedoch sind wir der Meinung, dass dieser Einfluss vernachlässigter ist, da die Magnetkraft mit so einer hohen Potenz abnimmt, sodass sie auf die Metallstäbe keinen Einfluss hat.

Aufbau Frequenzmessung

Um Daten zu sammeln habe wir Hall Sonden in der Nähe der Magneten befestigt, um die Änderung des magnetischen Flusses zu beobachten. Denn konnten wir dies anhand der Vernier - Labquest Technologie sehr einfach und zeiteffizient, zudem konnte wir in der Fourier- Analyse ein höheres Spektrum an Frequenzen betrachten. Dies kam leider auf Kosten davon, dass wir die Auswirkungen auf die Amplitude mit diesen Messungen nicht betrachen können, da die Feldstärke sich nicht linear ändert. Jedoch konnte man dank der hohen Auflösung der Hall Sonden gute Aussagen über die Frequenz treffen, welche wir mithilfe einer Fast - Fourier - Transformation bestimmen konnten. Um weiterhin eine Aussage über die Dämpfung und die Amplitude der Schwingung treffen zu können, haben wir Videomessungen durchgeführt und diese mithilfe des VIdeotrackingprogramms Tracker ausgewertet. Zur Aufnahme der Videos haben wir die Kamera eines iPhone 11 benutzt und haben diese im Slow - Mo Modus aufgenommen, welcher eine Bildrate von 240 fps liefert.

Aufbau zur Messung der Federkonstante

Aufbau für Messung der Magnetkraft

Aufbau zur Messung der Rückstellkraft der Blattfeder

Um die Rückstellkraft der Feder zu messen, haben wir mithilfe eines Vernier - Kraftsensors eine Kraft auf die Feder ausgeübt, wodurch auch eine Gegenkraft auf den Sensor wirkte, dabei haben wir die Feder immer genau um einen bestimmten betrag ausgelenkt

Aufbau zur Messung der Magnetkraft

Um die Magnetkraft zu messen, haben wir auch hier einen Vernier - Kraftsensor benutzt, und einen Magneten an diesen befestigt. Mit dem anderen Magneten sind wir dann dem befestigen näher gekommen, und haben die Distanz zwischen diesen notiert.

Daten

Plot der Federkonstante

Messung der Federkraft

Um die Daten für die Federkonstante zugerhalten haben wir die folgende Formel angewendet:

$$ k = \frac {F_R}{w} $$

Dies taten wir dann für verschiedne Längen, um zu prüfen ob die von uns dank der Theorie getroffenen Vorhersage stimmt, und dies tut sie in dem on uns bestimmten Bereich.

Der Fehler bei dieser Messung ist sehr gering, denn ist die Abweichung vom Realwert bei dem Kraftmesser, für eine Kraft unter 50 N, bei 0,05 N (Quelle [1]).

Dank dieser Messung können wir nun mit Sicherheit den Einfluss der Rückstellkraft, auf den Effekt kontrollieren.

Messung der Magnetkraft

Auch hier stimmt die Theorie nicht schlecht mit unseren Messwerten überein, jedoch waren wir nicht imstande für größere Längen mithilfe des Kraftmessers die Magnetkraft zuberechnen, da diese bei 4cm schon sehr schwach ist, sodass wir bei den letzten Werten ein sehr hohes Rauschen haben, und diese nicht mehr aussagekräftig sind, daher ist unser Koeffizient auch verfälscht, sodass auch unsere Simulation nicht funktioniert.

Rückblickend hätten wir zur Bestimmung des Koeffizienten Hall Sonden verwenden sollen, und mithilfe der Formel für die Feldstärke eines Dipols (Quelle [3]) $$ \vec{B}(\vec{r}) = \frac {\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{3\vec{r}( \vec{m} \vec{r}) -\vec{m} r^2}{r^5} $$ kann man dann das magnetische Moment des Dipols bestimmen, welches die einzige Unbekannte des Koeffizienten ist.

Der Fehler ist der gleiche wie bei der Messung davor. Der Kraftsensor misst auch mit der Genauigkeit $$\pm0.05$$ N(Quelle [1]). Die Distanz zwischen den Magneten können wir auf $$\pm0.5$$ mm genau bestimmen. Insgesammt ist die Messung aber ungenauer, da der Kraftsesnor höhstwahrscheinlich mit Magneten arbeitet, was unsere Messung beeinflussen könnte.

Durch diese Messung ist uns nun bewusst, dass wir den Einfluss der Magnetkraft auf das System mithilfe der Distanz variieren können.

Untersuchung der Frequenz der Schwingung

Um die Frequenz zu untersuchen, haben wir die Federlänge, die Distanz zwischen den Magneten, sowie die Masse der Magneten variiert, sodass wir sowohl den Einfluss der Magnetkraft, als auch den der Rückstellkraft variieren können. Als die Werte, die wir anhand der Theorie bestimmen, haben wir anhand der vereinfachten Theorie berechnet, da diese uns exakte Formel liefert, daher haben wir hier auch nicht die Dämpfung berücksichtigt.

Um die Frequenz der Schwingung zu bestimmen, haben wir eine Fourier Analyse verwendet.

Der Fehler in den folgenden Messdaten bildet sich aus der Ungenauigkeit bei der Bestimmung der Länge der Feder, welche wir auf eine Genauigkeit von $$0,5$$ mm bestimmen können. Eine weitere Quelle für Fehler ist die Fourier - Analyse, welche nur in einem Bereich misst, der halb so ist wie die Messauflösung, sodass wir bei 100 Messungen pro Sekunde eine maximale Frequenz von $$500$$ Hz haben

\begin{align} \frac{1000~\text{Hz}}{2} &= 500~\text{Hz}\\ \frac{10~\text{Hz}}{500~\text{Hz}} &= \frac{1}{50} = 2\% \end{align}

Der Fehler ist also $$\pm 2 \%$$. Den Fehler der Hall-Sonde können wir ignorieren, weil dieser nur maximal $$\pm 0.004$$ mT(Quelle [2]) betragen und dies in der Fourier-Analyse nur als rauschen identifiziert wird.

Der Einfluss der Auslenkung

Zu Begin haben wir den Einfluss der Auslenkung auf die Frequenz untersucht, und sind zu dem Schluss gekommen, dass die Auslenkung keinen Einfluss auf die Frequenz der Schwingung hat, sodass wir in den weiteren Frequenzuntersuchungen keinen Wert auf die Auslenkung gelegt haben.

Der Einfluss der Rückstellkraft

Die Messungen zur Rückstellkraft zeigen, dass mit größerer Federkonstante auch die Frequenz höher wird. So Stimmen die Werte auch überein, der einzige Fehler könnte in der linearen Näherung der Magnetkraft liegen.

Vergleich theoretischer und errechneter Werte

Der Einfluss der Magnetkraft

Frequenzdiagramm für Distanzveränderung

Hier erkennt man, dass sich nur eine Frequenz verändert, nämlich $$ \omega_-$$, denn ist nur diese von der Magnetkraft abhängig, dies ist auch gut in den Messwerten erkennbar. Je größer die Distanz ist, desto ähnlicher sind die zwei Frequenzen de Schwingung, denn ist der Einfluss der Magnetkraft, umso geringer., sodass man sagen kann, dass $$ \omega_- $$ gegen $$\omega_+$$ konvergiert.

Die Fehler hierbei sind die gleiche wie beim Experiment zuvor, da wir den Abstand zwischen den Klemmen, die die Federn halten auf $$ \pm 0.5$$ mm genau bestimmen können. Der Fehler der Hall-Sonden wird wie zuvor von der Fourier Analyse als Rauschen aufgenommen und es zählt der Fehler der Fourier-Analyse.

Einfluss der Masse

Um die Masse zu variieren, haben wir Knete verwendet, diese haben wir gewogen und an der Feder befestigt. Wir haben dieses Experiment auf zwei Arten vollzogen, einmal haben wir nur eine Masse verändert und einmal beide.

Änderung beider Massen

Ändert man beide Massen, so besagt unsere Theorie, dass beide Frequenzen geringer werden, nun tun sie das auch wie man im Diagramm sieht.

Änderung einer Masse

Ändert man nur eine der Masse, so bleibt eine der Frequenzen konstant, während sich die mit steigender Masse, kleiner wird. Diesen Effekt können wir leider nicht mehr mithilfe der Formeln der vereinfachten Theorie.

Als Fehler bleiben die $$2\%$$ der Fourier Analyse bleiben bestehen und der Fehler bei der Abmessung der Masse beträgt c.a. $$\pm 0.01$$ g, da wir die Knete mit einer sehr genauen Waage abgewogen haben, die auf 2 Stellen nach dem Gramm wiegt.

Frequenzdiagramme für Masseänderung

Weiterer vergleich mit der vereinfachten Theorie

Zu den vorher erwähnten Untersuchungen, kann man noch zwei interressante Zusammenhänge finden, denn für $$ \omega_- =\sqrt{\frac{k-2c}{m}}\\$$ , $$\omega_+ =\sqrt{\frac{k}{m}}\\$$, die zwei Frequenzen des gekoppelten Oszillators, $$ \omega_f =\sqrt{\frac{k}{m}}\\$$ der Frequenz der freien Biegeschwingung und $$ \omega_{fl} =\sqrt{\frac{k-c}{m}}\\$$ der Frequenz für den Schwinger Mitt festem Magneten gelten folgende zwei zusammenhänge:

$$\omega_+ = \omega_f\\ \omega_- = \omega_{fl}^2-\omega_{f}^2$$

Um dies zu prüfen, habe wir die zwei Frequenzen des gekoppelten Oszillators mithilfe der anderen zwei Frequenzen berechnet.

Vergleich der gemessenen Frequenzen und der Frequenzen der einfachen Oszillatoren

Fazit

Zur Beschreibung dieses Effekts haben wir die verschiedenen Kräfte betrachtet, und anhand dieser Differentialgleichungen aufgestellt, welche diesen Effekt genau beschreiben. Zudem haben wir auch ein vereinfachtes, lösbares Modell erstellt, um Formel und Vorhersagen über die Frequenz treffen zu können. Da die ursprünglichen Gleichungen nicht lösbar waren, haben wir diese auch simuliert, jedoch sind wir dort nicht allzu weitergekommen, da wir mangelnde Messverfahren für die Bestimmung des Koeffizienten der Magnetkraft verwendet haben, sodass diese größtenteils nicht verwendbar war. Um die Theorie weiter zu stützen, haben wir viele verschiedene Messungen angefertigt, was weitergehend funktioniert hat, auch wenn wir das vollständige Modell nicht prüfen konnten.

Rückblickend hätten wir uns mehr auf die Dämpfung konzentrieren können, sowohl in der Theorie als auch in den Messungen, denn haben wir kaum Untersuchungen zur Dämpfung durchgeführt, und die welche wir hatten, waren ungenügend für diese Facharbeit, um sie zu verwenden. Außerdem sollten wir beim nächsten Mal unsere Werte und unser Messverfahren genauer dokumentieren, damit wir einen besseren Überblick über diese haben.

Erfolge

• Jugend Forscht Interdisziplinärer Preis in der Regionalrunde und Teilnahme an der Landesrunde (Egor, Nicolas, Uladzimir)
• 13. Platz in der Bundesrunde GYPT(Uladzimir)
• 33. Platz in der Bundesrunde GYPT(Nicolas)
• 17. Platz in der Bundesrunde GYPT(Daniel)

Quellen

[1]https://www.vernier.com/product/dual-range-force-sensor/, 31.Mai 2023

[2] https://www.vernier.com/product/magnetic-field-sensor/, 31. Mai 2023

[3]: https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetisches_Dipolmoment 31. Mai 2023