Die perfekte Sandburg

\usepackage[ colorlinks=true, urlcolor=blue, linkcolor=cyan

   ]{hyperref}

\documentclass{article}

\input{structure.tex}

\title {Die perfekte Sandburg} \author{Felix-Ramón Sindermann, Rasmus Stegelmann, Lara Hermes} \date{28.0.4.2020}

\begin{document} \maketitle \tableofcontents \section{Einleitung} Man kennt die Situation aus seiner Kindheit: man sitzt am Strand und baut einer Sandburg. Nach einiger Zeit bricht sie jedoch ein. Es wird also etwas Wasser hinzugefügt und siehe da, die Burg hält plötzlich viel besser. Wenn man jedoch zu viel Wasser hinzufügt, fängt die Burg an zu zerfließen. Daraus ergibt sich die Frage, welcher der Optimale Feuchtigkeitsgehalt des Sandes ist. Dieses Phänomen interessierte uns und daraus entwickelte sich unsere Aufgabenstellung: „Beim Bauen einer Sandskulptur hängt die Stabilität unter anderem vom Feuchtigkeitsgehalt des Sandes ab. Ermittle das perfekte Verhältnis von Sand und Wasser und untersuche, welche anderen Faktoren die Stabilität des Sandes bestimmen.“ Das Ziel des Projektes ist es, einen quantitativen Vergleich zwischen verschiedenen Sandarten anzustellen und möglichst den optimalen Wassergehalt für die einzelnen Sandarten zu erhalten. Im Verlauf des Projektes testeten wir zwei verschiedene Aufbauten, von denen einer nicht auswertbar war. Für den zweiten Aufbau haben wir außerdem ein Modell entwickelt, um unsere Aufgabenstellung theoretisch zu lösen. Außerdem wurde das Phänomen theoretisch erklärt. \section{Theoretischer Ansatz} \subsection{Kapillarbrücken} Das Phänomen des Projektes lässt sich auf den Kapillareffekt zurückführen. Der Kapillareffekt beschreibt, wenn sich Kapillarbrücken, also Flüssigkeitsbrücken, in kleinen Hohlräumen oder innerhalb eines Granulates bilden. (Spektrum – Lexikon der Physik) Der Effekt tritt zum Beispiel bei brennenden Kerzen auf, wenn der Docht flüssiges Wachs „hochsaugt“. Kapillarbrücken bilden sich aus, wenn in den Hohlräumen oder in dem Granulat, die Adhäsion (Grenzflächenspannung), also die Kraft, mit der sich zwei Phasen anziehen, zwischen der Flüssigkeit und dem Feststoff höher ist als die zwischen Flüssigkeit und umliegenden Gas. Das liegt daran, das Flüssigkeiten, genau wie alle Stoffe, versuchen den energetisch günstigsten Zustand zu erreichen, also eine möglichst geringe Oberflächenenergie. (Spektrum – Lexikon der Geografie). \paragraph{} \begin{minipage}{0.475\textwidth} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[scale = 0.8]{pictures/M1,Eine Kapillarbrücke anhand von 2 Senfkörnern.jpg} \caption{Eine Kapillarbrücke anhand von 2 Senfkörnern} \label{pic:Eine Kapillarbrücke anhand von 2 Senfkörnern} \end{figure}

           \end{minipage}
           \hspace{0.05\textwidth}
           \begin{minipage}{0.475\textwidth}
            
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics[scale = 0.4]{pictures/M2,Links unten, mehrere Kapillarbrücken an einzelnen Senfkörnern, rechts Wassernester.jpg}
                    \caption{Links unten, mehrere Kapillarbrücken an einzelnen Senfkörnern, rechts Wassernester}
                    \label{pic:Links unten, mehrere Kapillarbrücken an einzelnen Senfkörnern, rechts Wassernester}
                \end{figure}
               
           \end{minipage}
           
           \paragraph{}
           
           Während die Adhäsion dafür verantwortlich ist, dass die Flüssigkeit an dem Festkörper haftet, 
           ist die Kohäsion dafür verantwortlich das die Flüssigkeit konkave Brücken bildet. (Spektrum
           – Lexikon der Biologie) 
           Die Kohäsion ist die Ursache für die Oberflächenspannung und die Oberflächenenergie ist 
           von der Oberflächenspannung abhängig. Da ein Stoff immer den energetisch günstigsten 
           Zustand erreichen will, der in Form der Flüssigkeitsbrücken erreicht ist, werden die Partikel 
           zusammengehalten.
           Für eine Bindung zwischen Sand und Wasser wird weniger Grenzflächenenergie benötigt, als 
           für eine Oberfläche zwischen Wasser und Luft. (Schlichting, 2017)
           Wenn Sand mit Wasser gemischt wird, bildet das Wasser Kapillarbrücken zwischen den 
           Sandkörnern, was dazu führt das der Sand stabiler wird. Wenn genug Wasser vorhanden ist,
           schließen sich die Kapillarbrücken zwischen den Partikeln außerdem zu Nestern zusammen. 
           Dann verbindet eine Kapillarbrücke nicht mehr nur zwei, sondern viele Sandkörner 
           miteinander. (Scheel M. u.a., 2008)
           
       \subsection{Modell}
       
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
            
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics[scale = 0.4]{pictures/M3, Modell Kapillarbrücken als Zylinder.png}
                    \caption{Modell Kapillarbrücken als Zylinder}
                    \label{pic:ModellKapillarbrücken als Zylinder}
                \end{figure}
               
           \end{minipage}
           \hspace{0.05\textwidth}
           \begin{minipage}{0.45\textwidth}
                Für die folgenden Berechnungen wurde ein vereinfachtes Modell entwickelt. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Sandkörner perfekte und gleichgroße Kugeln sind. Die Kapillarbrücken werden zu Zylindern vereinfacht. Die Grundflächen der Zylinder sind eigentlich eingebeult, aber außer bei dem Grenzfall, dass sich die Sandkörner berühren, wird das ignoriert. Außerdem ist das Volumen der Kapillarbrücken konstant, da sich beim Zusammen- und Auseinanderziehen der Sandkörner nur die genaue Form der Körner ändert.
            \end{minipage}
       
       \subsection{Volumen einer Kapillarbrücke}
       
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics[scale = 0.4]{pictures/M4, Grenzfall sich berührende Sandkörner.png}
                    \caption{Grenzfall sich berührende Sandkörner}
                    \label{Grenzfall sich berührende Sandkörner}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Für die weiteren Berechnungen kann das konstante 
                Volumen von Kapillarbrücke und Sand über den 
                Grenzfall berechnet werden.
                Bei diesem Grenzfall wird die Höhe des Zylinders h 
                genauso groß wie der Durchmesser der Sandkörner, 
                also den doppelten Radius r.
                Über den Radius der Sandkörner kann so über das 
                M4: Grenzfall sich berührende Volumen der einzelnen Sandkörner gesagt werden:
                \begin{equation*}
                     V_\text{Sandkorn}=\frac{4}{3}\pi{}\cdot{}r_\text{s}^3=\frac{1}{6}\pi{}\cdot2r_\text{s}^3=\frac{1}{6}\pi{}d^3   
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \\[15pt]
           Beim Grenzfall gehen wird nicht einfach von einer Zylinderform als Kapillarbrücke 
           ausgegangen, sondern von einem Zylinder mit Aufgeschnittenen Halbkugeln an den 
           Grundflächen. Über das Volumen der Wasserbrücken kann dementsprechend gesagt werden:
           \begin{equation*}
                V_\text{w}=(\pi{}r_\text{s}^2\cdot{}2r_\text{s})-\left(\frac{4}{3}\pi\cdot{}r_\text{s}^3\right)=\frac{2}{3}\pi\cdot{}r_\text{s}^3=\frac{1}{12}\pi{}d^3
            \end{equation*}
   \section{Berechnungen und Limitationen}
       \subsection{Kapillarkraft F$_K$ }
           Die Kapillarkraft F$_K$ ist die Kraft, mit der die Kapillarbrücken die Sandkörner zusammenhalten.
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering 
                    \includegraphics{pictures/M5, Wirkungsrichtung der Kapillarkraft.png}
                    \caption{Wirkungsrichtung der Kapillarkraft}
                    \label{M5, Wirkungsrichtung der Kapillarkraft}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    E_\text{O}=A\text{O}\cdot\sigma
                \end{equation*}
               Die Formel für die Oberflächenenergie E$_O$ in Abhängigkeit der Oberfläche A$_O$ und der Oberflächenenergie $\sigma$
               \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    F_\text{K}=\frac{\delta{}E_\text{O}}{\delta{}h}=\frac{\delta{}Ao\cdot\sigma}{\delta{}h}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Die Kapillarkraft in Abhängigkeit der Steigung der Oberflächenenergie
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           Solange die Sandkörner sich nicht berühren, sind die Kapillarbrücken zu Zylindern vereinfacht. Außerdem ist das Volumen der Kapillarbrücken konstant, deshalb kann das Volumen der Brücke auch mit der Formel zur Berechnung des Zylindervolumens beschrieben werden.
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    V_\text{w}=\pi{}r^2h\xrightarrow[]{}r_\text{s}=\sqrt{\frac{V_\text{W}}{\pi{}h}}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Aus der Formel für das Volumen V$_W$ kann außerdem der Radius des Sandes r$_S$ in Abhängigkeit der Höhe des Zylinders $h$ bestimmt werden.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    A_\text{O}=2\pi{}r_\text{s}h
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Die Formel für die Mantelfläche eines 
                Zylinders in Abhängigkeit des Radius r$_s$d 
                der Höhe $h$ und damit auch die Fläche die 
                für die Oberflächenenergie wichtig ist
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    A_O = 2 \pi \sqrt{\frac{V_W}{\pi h}} h = 2\sqrt{\pi V_W} \cdot \sqrt{h}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Der Radius $r_S$ wird in die Formel für $A_O$ eingesetzt.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    F_k = \frac{d(2\sqrt{\pi V_W} \cdot \sqrt{h} \cdot \sigma}{d(h)}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Die Oberfläche $A_O$ wird in die Formel für die Kapillarkraft $F_k$ eingesetzt, um diese zu berechnen.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    F_k = 2\sqrt{\pi V_W} \cdot \frac{d\sqrt{h}}{dh} \cdot \sigma
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                $2\sqrt{\pi V_W}$ ist eine Konstante. Deshalb kann es nach der Faktorregel aus der Ableitung rausgeschrieben werden.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    F_k = 2\sqrt{\pi V_W} \cdot \frac{1}{2\sqrt{h}} \cdot \sigma = \sqrt{\frac{\pi V_W \sigma}{h}}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Der Rest der Gleichung kann abgeleitet und vereinfacht werden
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    F_k = \sqrt{\frac{\frac{1}{12} \pi \cdot (2 r_s)^2 \cdot \sigma}{h}}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Nun kann die Formel für das Volumen $V_W$ das über den Grenzfall ermittelt wurde für $V_W$ eingesetzt werden
            \end{minipage}
       \subsection{Zentripetalkraft $F_Z$}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering 
                    \includegraphics{pictures/M6, Wirkung der Zentripetalkraft1.png}
                    \includegraphics{pictures/M6, Wirkung der Zentripetalkraft2.png}
                    \caption{Wirkung der Zentripetalkraft}
                    \label{M6, Wirkung der Zentripetalkraft}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Die Formel für die Zentripetalkraft $F_Z$, die auf die einzelnen Sandkörner wirkt.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    F_Z=m \omega^2 r
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Die Kraft, die die Sandkörner auseinanderzieht, ist die Differenz der Zentripetalkraft $F_Z$, da die Radien $r_1$ und $r_2$ der Sandkörner unterschiedlich sind und deshalb die auf die Sandkörner wirkende Zentripetalkraft auch unterschiedlich ist.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    \Delta F_Z = m \omega^2 h = m \omega^2 d
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Die Differenz der Radien $r_1$ und $r_2$ kann auch als Höhe $h$ bzw. Durchmesser $d$ geschrieben werden.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    \rho = \frac{m}{v} = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi r_s^3}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                In die Formel für die Dichte des Sandes $\rho$ wird die Formel für das Volumen eines Sandkorns $V_S_a_n_d_k_o_r_n$ eingesetzt.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    m = \rho \frac{4}{3} \pi r_s^3
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                So kann die Masse des Sandkorns $m$ in Abhängigkeit des Radius $r_s$ bestimmt werden.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    \Delta F_Z = \frac{4}{3} \pi \cdot \rho \cdot r_s^3 \cdot \omega^2 \cdot 2r_s
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Die Formel für die Masse wird in die Formel für die Differenz der Zentripetalkraft $\Delta F_Z$ eingesetzt.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    \Delta F_Z = \frac{8}{3} \omega^2 \cdot \rho \cdot \pi r_s^4
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Der Rest der Gleichung wird vereinfacht
            \end{minipage}
       \subsection{Kritische Winkelgeschwindigkeit $\omega$}
           Die kritische Winkelgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit direkt bevor die Sandkörner auseinandergerissen werden.
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    \Delta F_Z = F_k
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Zur Berechnung der kritischen Winkelgeschwindigkeit $\omega$ wird die Differenz der Zentripetalkraft $\Delta F_Z$ mit der Kapillarkraft $F_K$ gleichgesetzt, da sobald die Differenz der Zentripetalkraft $\Delta F_Z$ größer ist als die Kapillarkraft $F_K$ der Sand auseinandergerissen wird.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    \frac{8}{3} \omega^2 \cdot \rho \cdot \pi r_s^4 = \sqrt{\frac{\pi^2 r_s^3}{6h} \cdot \sigma} = \frac{\pi r_s}{\sqrt{12} \cdot \sigma}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Dann werden die Formeln eingesetzt und vereinfacht.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    \omega^2 = \frac{1}{r_s^3} \cdot \frac{1}{\rho} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \sigma = r_s^-^3 \cdot \frac{\sigma}{\rho} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{12}}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{equation*}
                    \omega = r^-^\frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{\sigma}{\rho}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8 \sqrt{12}}}
                \end{equation*}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Zum Schluss wir die Formel nach der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ umgeformt.
            \end{minipage}
       \subsection{Limitationen des Modells}
           
       Bei dem Modell wird davon ausgegangen, dass der Sand aus perfekten Kugeln besteht, was in Realität nicht der Fall ist. 
       Außerdem wird die Form der Kapillarbrücken zu Zylindern vereinfacht, obwohl die Brücken in Wirklichkeit Konkav sind und außerdem ausgebeult sind.
       Diese Umstände machen das Modell ungenauer, der größte Fehlerfaktor ist allerdings die Tatsache, dass sich die Kapillarbrücken ab einem bestimmten Wassergehalt zu Nestern zusammenschließen. Sobald sie das tun, ist das Modell nur noch begrenzt anwendbar. Der genaue Fehlerfaktor ist allerdings unbekannt.
       Der letzte Punkt ist, dass Fremdkörper im Sand ignoriert werden.
       \section{Hypothese}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Wie man bei Sandburgen beobachten kann, nimmt die Stabilität des Sandes beim hinzugeben von Wasser als erstes Massiv zu. Über einen längeren Zeitraum merkt man dann zumindest beim Bauen kaum einen Unterschied, bis der Wassergehalt zu hoch wird und der Sand zu Schlamm wird und zerfließt. Bei einem Graphen, der den Verlauf der Stabilität des Sandes abbildet, wäre also als erstes ein steigender und danach ein abrupt fallender Verlauf zu erwarten.
            \end{minipage}
           \\[15pt]
           Forschung zu diesem Thema wurde schon von Stephan Herminghaus und seinen Kollegen vom Max-Plank-Institut für Dynamik und Selbstorganisation betrieben. Sie haben den Widerstand gegen Trägheitskräfte von einem Siliciumdioxid- Substrat bei verschiedenen Mischverhältnissen mit Wasser untersucht. Seine Erkenntnisse decken sich im Wesentlichen mit der bisherigen Hypothese. (Scheel M. u.a., 2008)
           Natürlich entstandener Sand wird durch Wasser oder anderen Sand abgeschliffen. Der Sand, der bei „Sandfestivals“ (Festivals auf denen Sandskulpturen gebaut und dann ausgestellt werden) in Deutschland meist verwendet wird, ist aus Sandgruben in Brandenburg und Nordrhein-Westfalen (GEOlino, o.D.).
           Dieser ist im Vergleich zu Meeressand scharfkantig und grobkörnig, da er nicht so gut abgeschliffen ist. Dies bestätigt die Theorie, die schon im theoretischen Ansatz erwähnt wurde, dass kantigerer Sand stabiler ist als besonders abgerundeter.
       \section{Sandarten}
           Um die Theorie zu bestätigen, wurden in diesem Projekt vier verschiedene Sandarten untersucht. Die Sandarten sind Vogelsand, gelber (manchmal auch roter Sand genannt), Spielplatzsand aus dem Bauhaus (Bauhaussand) und märkischer Sandboden aus Oranienburg (Sand aus der Region).
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/M6, Mikroskopische Aufnahme Bauhaussand.jpg}
                    \caption{Mikroskopische Aufnahme Bauhaussand}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/M7, Mikroskopische Aufnahme gelber Sand.jpg}
                    \caption{Mikroskopische Aufnahme gelber Sand}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/M8, Mikroskopische Aufnahme Sand aus der Region.jpg}
                    \caption{Mikroskopische Aufnahme Sand aus der Region}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/M9, Mikroskopische Aufnahme Vogelsand.jpg}
                    \caption{Mikroskopische Aufnahme Vogelsand}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           
       \subsection{Durchschnittlicher Radius}
           Zur Berechnung der Kapillarkraft in dem vereinfachten Modell, wird der Radius der Sandkörner benötigt, da die Sandkörner vereinfacht als perfekte Kugeln dargestellt werden.
           
           \subsubsection{Messart}
           Zur Messung des Radius wurden Stichproben der verschiedenen Sandarten auf Millimeterfolie unter ein Mikroskop gelegt. Dann wurde mithilfe der Millimeterfolie die $x$- und die $y$-Ausdehnung jedes Sandkorns bestimmt. Von diesen beiden Werten wurde daraufhin für jedes Sandkorn das geometrische Mittel bestimmt.
           ($r_\text{geoMittel}=\sqrt{xLänge \cdot yLänge}$)
           Danach wurden die Sandkörner in Größen-Intervalle eingeteilt und der Anteil der Sandkörner dieser Größe bestimmt.
           
           \subsubsection{Ergebnis}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{center}
                    Sand aus der Region
                \end{center}
                   \begin{array}{|c|c|}
                    \hline
                        Radius \ in \ mm  & gerundeter \ Prozentsatz \ an \\ 
                        & Sandkörnern \\
                    \hline
                        0,025 & 33\% \\
                        0,075 & 18\% \\
                        0,125 & 24\% \\
                        0,175 & 12\% \\
                        0,225 & 10\% \\
                        0,275 & 2\% \\
                        0,325 & 2\% \\
                    \hline
                    \end{array}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/SandausderRegion-Stichprobe-Radius.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{center}
                    Gelber Sand
                \end{center}
                   \begin{array}{|c|c|}
                    \hline
                        Radius \ in \ mm  & gerundeter \ Prozentsatz \ an \\ 
                        & Sandkörnern \\
                    \hline
                        0,025 & 2\% \\
                        0,075 & 4\% \\
                        0,125 & 10\% \\
                        0,175 & 6\% \\
                        0,225 & 19\% \\
                        0,275 & 25\% \\
                        0,325 & 6\% \\
                        0,375 & 10\% \\
                        0,425 & 6\% \\
                        0,475 & 4\% \\
                        0,525 & 4\% \\
                        0,575 & 0\% \\
                        0,625 & 2\% \\
                    \hline
                    \end{array}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/Gelber_Sand-Stichprobe-Radius.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{center}
                    Bauhaussand
                \end{center}
                   \begin{array}{|c|c|}
                    \hline
                        Radius \ in \ mm  & gerundeter \ Prozentsatz \ an \\ 
                        & Sandkörnern \\
                    \hline
                        0,05 & 4\% \\
                        0,125 & 0\% \\
                        0,175 & 8\% \\
                        0,225 & 4\% \\
                        0,275 & 21\% \\
                        0,325 & 21\% \\
                        0,375 & 12\% \\
                        0,425 & 12\% \\
                        0,475 & 8\% \\
                        0,525 & 4\% \\
                        0,575 & 4\% \\
                    \hline
                    \end{array}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/Bauhaussand-Stichprobe-Radius.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{center}
                    Vogelsand
                \end{center}
                   \begin{array}{|c|c|}
                    \hline
                        Radius \ in \ mm  & gerundeter \ Prozentsatz \ an \\ 
                        & Sandkörnern \\
                    \hline
                        0,025 & 0\% \\
                        0,075 & 1\% \\
                        0,125 & 18\% \\
                        0,175 & 40\% \\
                        0,225 & 16\% \\
                        0,275 & 13\% \\
                        0,325 & 7\% \\
                        0,375 & 1\% \\
                        0,425 & 0\% \\
                        0,475 & 1\% \\
                    \hline
                    \end{array}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/Vogelsand-Stichprobe-Radius.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \\[15pt]
           Messungenauigkeiten entstehen aus vor allem zwei Gründen, erstens aufgrund von Ungenauigkeiten beim Millimeterpapier und beim Ablesen und zweitens da es sein könnte das der Sand vor allem bei den Sandarten mit großen Größenunterschieden bei den Sandkörnern wie Bauhaussand nicht so gut durchmischt gewesen sein könnten.
       
   \subsection{Sand - Schlamm Grenzfall}
   \subsubsection{Messart}
       In dieser Messreihe wurde der Grenzfall bestimmt, bei dem der Sand mit Wasser gesättigt wird und zu Schlamm wird. Da Sand eine höhere Dichte als Wasser hat, steht ab einer bestimmten Wassermenge eine Schicht Wasser über dem Sand-Wasser Gemisch. Wenn Wasser auf dem Sand steht, ist das Gemisch übersättigt.
       In dem Versuchsaufbau wird Wasser zu einer festgelegten Menge Sand hinzugefügt, um die Menge Wasser zu bestimmen, die es braucht, das Gemisch zu sättigen.
       Wenn es übersättigt ist, wird überschüssiges Wasser abgeschöpft und die verbleibende Menge berechnet.
   \subsubsection{Ergebnisse}
       \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                    \begin{tabular}{|c|c|}
                        \hline
                            Sandart & Wassermenge \ in \ ml \\ 
                        \hline
                            Vogelsand & 29 \\
                            Gelber Sand & 27 \\
                            Bauhaussand & 25 \\
                            Sand aus der Region & 31\\
                        \hline
                    \end{tabular}
       \end{minipage}
       \begin{minipage}{0.5\textwidth}
            Die links zu sehenden Werte wurden mit der oben beschriebenen Methode gemessen. Messfehler treten dabei hauptsächlich nur durch ungenaues Messen auf. 
        \end{minipage}
   \section{Aufbau 1 - Marmeladenglas}
       \subsection{Aufbau}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/M10, Frontansicht Aufbau 1, Rasmus‘ Hand und Projekt-Maskottchen.png}
                    \caption{Frontansicht Aufbau 1, Felix' Hand und Projekt-Maskottchen Einherja}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Der erste Aufbau sollte den Widerstand des Sand-Wasser-Gemischs gegen Hangabtriebskräfte untersuchen.
                Dazu wurde der Deckel eines Marmeladenglases über eine Welle mit einem Bohrgerät verbunden, das als Motor fungiert. Dabei wurde ein Loch in den Deckel des Marmeladenglases gebohrt, durch das eine Schraube, die als Welle fungiert, gesteckt wurde. Die Schraube wurde mit einer Mutter am Deckel befestigt. Zwischen der Schraube und dem Deckel und der Mutter und dem Deckel liegen Unterlegscheiben. Das andere Ende der Schraube wurde in das Bohrgerät eingespannt.
                Im Verlauf des Projektes wurde das Bohrgerät durch einen Getriebemotor ersetzt.
            \end{minipage}
       \subsection{Durchführung}
               In das Marmeladenglas wird die Sand-Wasser-Mischung gefüllt und mit der Seite des Glases parallel zum Boden gedreht. Der Boden des Marmeladenglases wird mit einer Kamera gefilmt. Auf dem dabei entstehenden Video werden mit dem Videoanalyseprogramm „Tracker“ die Kipp- und Abfallwinkel gemessen. Zu diesem Zweck wird das Video, mittels Tracker, in einzelne Frames zerteilt und langsam abgespielt. Bei den Frames, bei denen der Sand im Marmeladenglas wieder abfällt, wird dann eine Winkelmesser-App auf dem Handy dazu verwendet, den Kipp- und Abfallwinkel zu messen. 
       \subsection{Probleme und Fehleranalyse}
           Es gab verschiedene Probleme im Aufbau, die im Endeffekt dazu geführt haben, dass die Versuchsreihen mit diesem Aufbau abgebrochen wurden. Einer der Gründe war, dass die Kabel, die den Motor mit dem Arduino verbinden zu kurz sind, und beim Austausch der Sandmischung regelmäßig gerissen sind. Einige Male mussten aus diesem Grund die Kabel zurück an den Motor gelötet werden. Auch andere Teile des Aufbaus haben nicht so funktioniert wie geplant. Der MOSFET ist durch zu hohe Temperatur beim Anlöten an ein anderes Kabel kaputt gegangen, als der Aufbau von einem Steckbrett auf eine Platine übertragen werden sollte.
           
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/M10, Klumpen des Sandes.png}
                    \caption{Klumpen vom Sand}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Das Hauptproblem war allerdings, dass der Sand in dem Glas sehr schnell große Klumpen bildete, wodurch das auf den Videos keine auswertbaren Winkel gemessen werden können.
            \end{minipage}
   \section{Aufbau 2 - Drehplatte}
       \subsection{Aufbau}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/M10, Aufbau Drehplatte.jpg}
                    \caption{Aufbau der Drehplatte}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Der zweite Aufbau ist eine Art Drehplatte. Eine Drehplatte wurde auch von Stephan Herminghaus und seinem Team verwendet (Scheel M. u.a., 2008). Das Bohrgerät wird mit einer externen Spannungsquelle verbunden und betrieben. Wenn die Spannung hochgeregelt wird, fängt der Mülleimer an, sich um sich selbst zu drehen.
                In die Mitte des Tellers wird das Sand-Wasser-Gemisch in mithilfe einer Zylinder-Sandkastenform platziert. Außerdem ist am Rand des Mülleimers ein Klebebandstück als Blende befestigt. Ein Lasertachometer wird so ausgerichtet, dass der Laserstrahl, wenn der Mülleimer sich dreht, einmal pro Drehung das Klebebandstück trifft und zurückreflektiert wird. Das Tachometer erfasst wie häufig das Licht zurückreflektiert wird und zeigt so die Drehfrequenz des Mülleimers an. (Skizze)
                Für den Versuch sind zwei Spannungsquellen à 30V in Reihe geschaltet, um eine Spannung von 60V zu erreichen, da 30V zur Beschleunigung des Sandes nicht ausreichend waren. Um die Gesamtspannung besser zu regulieren ist zusätzlich ein Spannungsmessgerät angeschlossen.
            \end{minipage}
       \subsection{Durchführung}
           100g Sand werden für die Messreihen mit verschiedenen Mengen Wasser (in gleichmäßigen Schritten steigend) gemischt und jeweils in einer Zylinderform auf den Teller der Drehscheibe platziert.
           Die Spannungsquelle beschleunigt die Drehscheibe, bis der Sand vom Teller geschleudert wird. Die Drehfrequenz, die mit dem Lasertachometer gemessen wird, wird benutzt, um die Resistenz des Sandes gegenüber Trägheitskräften bei einer Kreisbewegung zu messen. So ist es mögliche, eine Aussage über die Stabilität des Sandes zu treffen. Die Drehfrequenz kann dann später mit der berechneten kritischen Winkelgeschwindigkeit verglichen werden.
       \subsection{Beobachtung}
           Während der Durchführung ist zu beobachten, dass sich die verschiedenen Sandarten unterschiedlich verhalten, wenn man Wasser beigibt. Sand aus der Region verhält sich im Gegensatz zu den anderen Sandarten hydrophob, das Wasser sickert nicht ein, sondern perlt vom Sand ab und bildet Rinnsale.
           Die Messungen mussten allerdings abgebrochen werden bevor der Sand zu Schlamm geworden ist, da der Sandzylinder als ganzes vom Teller gerutscht ist.
       \subsection{Auswertung}
           Das der Sandzylinder als Ganzes vom Teller geflogen ist bedeutet, dass die Kohäsions- und Adhäsionskräfte, die den Sand am Teller halten kleiner sind als die, die innerhalb des Sandes wirken, was bedeutet des die Messreihe nicht auswertbar ist.
           Zur Auswertung der restlichen Messreihen, bietet es sich Fällen an, eine ausgleichsgerade anzulegen, um den Trend der Messungen zu erkennen.
           Ausreißer verschieben allerdings die Ausgleichsgerade ungünstig, weshalb die größten Ausreißer in den Diagrammen rot markiert sind.
           
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/Gelbersand-Messwertdiagram.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/gelberSand2-Messwertdiagram.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/Vogelsand-Messwertdiagram.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/Vogelsand2-Messwertdiagram.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \\[5pt]
           Damit die starken Ausreißer weniger Einfluss auf die Trendlinie haben wurden die Ausreißer aus den zwei Diagrammen mit größten Ausreißer gelöscht.
           
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/Bauhaussand-Messwertdiagram.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/SandAusDerRegion-Messwertdiagram.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \\[5pt]
           Das Ergebnis aller Graphen ist ein linearer streng monoton steigender Verlauf. Daraus würde folgen, dass der optimale Wassergehalt genau der ist, bevor er sich verflüssigt.
           
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/Stabilitätsdiagramm.png}
                    \caption{}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           Wie man in dem Diagramm sieht, gibt es entgegen unserer Erwartung nur sehr kleine Unterschiede zwischen den verschiedenen Sandarten. Die einzige Sandart die ein wenig bessere Ergebnisse als die anderen Sandarten zeigt ist Vogelsand, das könnte aber auch an Messfehlern liegen.
           Die Sandart die am stabilsten wird wäre also dementsprechend die Sandart die das meiste Wasser fassen kann, bevor sie zu Schlamm wird.
       \subsection{Vergleich mit der Theorie}
           Um die Messergebnisse mit der Theorie zu vergleichen, wurden die Werte für den Radius der der Sandkörner verwendet, um die kritische Winkelgeschwindigkeit zu berechnen. Da die Sandkörner nicht alle die gleiche Größe haben wurde genauer gesagt die gewichtete kritische Winkelgeschwindigkeit berechnet. Das heißt die Winkelgeschwindigkeiten für die einzelnen Radien in der Sandart wurden im Durchschnitt der Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit der relativen Häufigkeit des jeweiligen Radius gewichtet.
           \\[15pt]
           \begin{minipage}{1.0\textwidth}
                    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
                        \hline
                            Sandart & Gewichtete \ berechnete & Letzter gemessener & Letzte verwendete & Grenzfall \\
                            & kritische & Wert & Wassermenge &\\ 
                            & Winkelgeschwindigkeit &&&\\
                        \hline
                            Bauhaussand & 1079 $\frac{1}{s}$ & 323,6 $\frac{1}{s}$ & 21 ml & 29 ml\\
                            &&&&\\
                            Gelber Sand & 1428 $\frac{1}{s}$ & 330 $\frac{1}{s}$ & 24 ml & 23,75 ml\\
                            &&&&\\
                            Sand aus der Region & 6156 $\frac{1}{s}$ & 250,5 $\frac{1}{s}$ & 21 ml & 28,75 ml\\
                            &&&&\\
                            Vogelsand & 2271 $\frac{1}{s}$ & 313,6 $\frac{1}{s}$ & 21 ml & 21,5 ml \\
                        \hline
                    \end{tabular}
           \end{minipage}
           \\[5pt]
           Die letzten gemessenen Werte entscheiden sich hierbei, wie man sieht um ungefähr Faktor 10-20 von der Theorie.
           
       \subsection{Probleme und Fehleranalyse}
           Es gibt mehrere Probleme, die zu den noch relativ starken Unterschieden zwischen den Theoretischen und Praktischen Ergebnissen führen könnten. Erstens gehen unsere Messergebnisse nicht bis zu dem Punkt, an dem der Sand zu Schlamm wird. Um dieses Problem zu lösen, soll der Teller im Aufbau durch eine Holzplatte ersetzt werden, in deren Mitte 3 Nägel sind. Der Sandzylinder wird dann auf die Nägel platziert damit er nicht mehr als ganzes wegrutscht. Die Nägel könnten allerdings einen ähnlichen Effekt haben wie Risse im Sand.
           
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{figure}[H]
                    \centering
                    \includegraphics{pictures/M11, Hydrophober Sand aus der Region.jpg}
                    \caption{Hydrophober Sand aus der Region}
                    \label{}
                \end{figure}
           \end{minipage}
           \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                Zweitens ignoriert die Theorie Nester-Bildung und andere Faktoren, die schon unter dem Unterpunkt 2.7. Limitationen des Modells erwähnt wurden. Das fällt besonders beim Sand aus der Region und beim Bauhaussand auf. Der Sand aus der Region ist entweder wegen der Korngröße oder wegen Fremdkörpern im Sand hydrophob und ist auch deutlich weniger stabil als nach unseren Berechnungen vermutet. 
            \end{minipage}
           \\[10pt]
           Eine Fehlerquelle, die unsere eigentlichen Messergebnisse ungenauer macht und deren Größenordnung nicht bekannt ist, ist das Tachometer. Es zeigt zu manchen Zeitpunkten 0 Umdrehungen pro Minute an, obwohl sich die Drehplatte offensichtlich dreht. An anderen Stellen zeigt es extrem unrealistische Werte, zum Beispiel die plötzlichen 600 Umdrehungen pro Minute bei der Messreihe gelber Sand. Letzteres kann potentiell allerdings an der Ausrichtung des Tachometers und nicht am Tachometer selbst liegen.
           Die anderen Fehler beim zweiten Aufbau kann man grob in zwei Kategorien unterteilen: erstens, Fehler, die über die Versuchsreihen ungefähr konstant bleiben und zweitens, Fehler, die sich innerhalb der Versuchsreihen verändern.
           In die erste Kategorie gehören mechanische Probleme des Aufbaus. Dazu gehört, dass die Drehachse des Mülleimers nicht perfekt senkrecht zum Boden ist und dass der Mülleimer sich nicht vollständig gleichmäßig dreht. Der zweite Messfehler kann minimiert werden, wenn die Drehscheibe gut geölt ist.
           In der zweiten Kategorie sind deutlich mehr Messfehler. Erstens hat der Teller nicht den gleichen Durchmesser wie der Mülleimerboden, weshalb er nicht automatisch mit dem Mittelpunkt auf dem Drehzentrum sitzt. Auch der Sandhaufen wird nicht genau auf der Drehachse platziert. Während der Sand auf den Teller platziert wird, rutscht er häufig schlecht aus der Form, weshalb der Sandhaufen manchmal Risse kriegt. Diese führen dazu, dass der Zusammenhalt des Sandes schlechter wird. Ein im Verhältnis dazu kleiner Messfehler ist, dass in die Form nicht immer exakt 100g gefüllt wird, da die steigende Wassermenge auch ein größeres Volumen der Sand-Wasser-Mischung bedeutet. Da Sand und Wasser aber vermischt werden, bleibt das Verhältnis von Sand und Wasser trotzdem gleich.
           
   \section{Rückblick auf die Hypothese}
           Unsere bisherigen Messergebnisse lassen auf einen linearen Trend schließen. Da Messergebnisse in dem Bereich fehlen, in dem die Stabilität des Sandes wieder abnimmt, kann man über das Fallen der Stabilität auch nichts sagen. Im Wesentlichen decken sich allerdings unsere bisherigen Messergebnisse mit unserer Hypothese. Die verschiedenen Sandarten hatten allerdings weniger Einfluss auf die Stabilität als erwartet. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass es sich bei dem höchsten Wert in den Graphen auch einfach um den höchsten Wert handelt. In den Messreihen tauchen immer wieder Werte auf, die in keinem Zusammenhang mit den anderen Werten der jeweiligen Messreihe zu stehen scheinen und mit den bisherigen Theorien nicht erklärt werden können. Unter diesen sind auch einige die Maximalwerte, die in der jeweiligen Messreihe gemessen wurden.
           Obwohl unsere Messergebnisse unsere Hypothese nicht vollständig bestätigen, bestätigt unsere Theorie das die Größe der Körner eigentlich einen größeren Einfluss haben sollten.
           
   \section{Ausblick}
           Als erstes sollte herausgefunden werden, wieso genau das Tachometer unerwartete Werte misst und wie weit ein möglicher Messfehler unsere Messergebnisse beeinflusst. Außerdem sollten die Messungen mehrfach wiederholt werden, um Messfehler zu reduzieren. Um Aussagen darüber treffen zu können, wie die Stabilität des Sandes abnimmt, sollten die Messungen in dem Bereich mit kleineren Messschritten wiederholt werden, in dem das Sandgemisch wieder zu Schlamm wird. Also der Bereich der letzten bisherigen Messung bis zu dem Punkt an dem der Sand mit Wasser gesättigt ist. Hierfür sollte auch die verbesserte Variante des 2. Aufbaus verwendet werden.
           Man könnte bei einer Fortführung des Projektes auch den Einfluss der Form des Sandes und den Einfluss anderer Stoffe im Sand zu überprüfen. Dazu müsste erstens noch weitere Sandarten untersucht werden. 
           Drittens könnte untersucht werden, welchen Einfluss Sandgemische in verschiedenen Konzentrationen auf die Stabilität von Sand haben, wie zum Beispiel eine 1 zu 1 Mischung von rotem Sand und Vogelsand. Diese Weiterführungen setzten allerdings sehr aufwendige Messreihen vorraus.
   \section{Danksagung}
           Wir bedanken uns bei Dr. Falk Ebert, Anja Dücker und Timo Huber für Anregungen und Unterstützung.
           
   \section{Quellenverzeichnis}
           Spektrum – Lexikon der Physik; Kapillarität;\href{https://www.spektrum.de/lexikon/physik/kapillaritaet/7786}{Kapillarität - Lexikon der Physik (spektrum.de)} zuletzt aufgerufen: 26.02.2022 \\
           \\
           Spektrum – Lexikon der Geowissenschaften; Kapillarität;\href{https://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/kapillaritaet/8066}{Kapillarität - Lexikon der Geowissenschaften (spektrum.de)}  zuletzt aufgerufen: 26.02.2022\\
           \\
           Spektrum – Lexikon der Biologie; Adhäsion;\href{https://www.spektrum.de/lexikon/biologie/adhaesion/1055}{Adhäsion - Lexikon der Biologie (spektrum.de)} zuletzt aufgerufen: 26.02.2022\\
           \\
           Spektrum – Lexikon der Biologie; Kohäsion;\href{https://www.spektrum.de/lexikon/biologie/kohaesion/36568}{Kohäsion - Lexikon der Biologie (spektrum.de)} zuletzt aufgerufen: 26.02.2022\\
           \\
           Schlichting, Hans Joachim (2017); Wie Sand am Strand; in Naturwissenschaften im Unterricht Physik; Naturphänomene im digitalen Zeitalter, Ausgabe Nr. 159/60, \href{https://www.friedrich-verlag.de/physik/alltag-technik/wie-sand-am-strand-2610}{Wie Sand am Strand - (friedrich-verlag.de)} zuletzt aufgerufen: 26.02.2022\\
           \\
           Scheel M., Seemann R., Brinkmann M., Di Michiel M., Sheppard A., Breidenbach B., Herminghaus S. (10.02.2008); Morphological clues to wet granular pile stability; \href{https://www.nature.com/articles/nmat2117.epdf?sharing_token=yYjbF7ABgVkEI1BjhNOoFNRgN0jAjWel9jnR3ZoTv0Mpy4mG_It5t4ZinwgtkxB6eY8kGr2cR9MGW48ag2-X3qTCXxO2X_hEHp78xPyeDg3tNQH47OgZj7zfuUuevJX3dOrnIiySZY3XS0zYE_NjJYd17e0JKUvKcVxFA5sHm6UK6ACBDjOn3v14OOU0nNiDSLunC2P4gKPmJcB-_5ZBHA==&tracking_referrer=physicsworld.com}{Morphological clues to wet granular pile stability | Nature Materials} zuletzt aufgerufen 26.02.2022\\
           \\
           Eppelin, Dörte (o.D.). Wenn die Profis Sandburgen bauen. \href{https://www.geo.de/geolino/kreativ/7190-rtkl-wenn-die-profis-sandburgen-bauen}{Wenn die Profis Sandburgen bauen - [GEOLINO]}  zuletzt aufgerufen: 26.02.2022

\end{document}