Die perfekte Sandburg

1. Einleitung

Folgende Aufgabenstellung haben wir behandelt: "Beim Bauen einer Sandskulptur hängt die Stabilität unter anderem vom Feuchtigkeitsgehalt des Sandes ab. Ermittle das perfekte Verhältnis von Sand und Wasser und untersuche, welche anderen Faktoren die Stabilität des Sandes bestimmen.“ Das Phänomen des Projektes lässt sich auf den Kapillareffekt zurückführen, welcher Kapillarbrücken bildet. Im wesentlichen untersuchen wir also den Parameter "Wassergehalt". Andere Faktoren konnten wir leider nicht bestimmen, da uns die Zeit fehlte.

2. Theoretischer Ansatz

2.1 Kapillarbrücken

Abbildung 1: Eine Kapillarbrücke anhand von zwei Senfkörnern

Der Kapillareffekt beschreibt, wenn sich Kapillarbrücken, also Flüssigkeitsbrücken, in kleinen Hohlräumen oder innerhalb eines Granulates bilden. (Spektrum – Lexikon der Physik) Der Effekt tritt zum Beispiel bei brennenden Kerzen auf, wenn der Docht flüssiges Wachs „hochsaugt“. Kapillarbrücken bilden sich aus, wenn in den Hohlräumen oder in dem Granulat, die Adhäsion (Grenzflächenspannung), also die Kraft, mit der sich zwei Phasen anziehen, zwischen der Flüssigkeit und dem Feststoff höher ist als die zwischen Flüssigkeit und umliegenden Gas. Das liegt daran, das Flüssigkeiten, genau wie alle Stoffe, versuchen den energetisch günstigsten Zustand zu erreichen, also eine möglichst geringe Oberflächenenergie. (Spektrum – Lexikon der Geografie).

Abbildung 2: Links unten, mehrere Kapillarbrücken an einzelnen Senfkörnern, rechts Wassernester

Während die Adhäsion dafür verantwortlich ist, dass die Flüssigkeit an dem Festkörper haftet, ist die Kohäsion dafür verantwortlich das die Flüssigkeit konkave Brücken bildet. (Spektrum – Lexikon der Biologie) Die Kohäsion ist die Ursache für die Oberflächenspannung und die Oberflächenenergie ist von der Oberflächenspannung abhängig. Da ein Stoff immer den energetisch günstigsten Zustand erreichen will, der in Form der Flüssigkeitsbrücken erreicht ist, werden die Partikel zusammengehal- ten. Für eine Bindung zwischen Sand und Wasser wird weniger Grenzflächenenergie benötigt, als für eine Oberfläche zwischen Wasser und Luft. (Schlichting, 2017) Wenn Sand mit Wasser gemischt wird, bildet das Wasser Kapillarbrücken zwischen den Sandkörnern, was dazu führt das der Sand stabiler wird. Wenn genug Wasser vorhanden ist, schließen sich die Kapillarbrücken zwischen den Partikeln außerdem zu Nestern zusammen. Dann verbindet eine Kapillarbrücke nicht mehr nur zwei, sondern viele Sandkörner miteinander. (Scheel M. u.a., 2008)

2.2 Modell

Abbildung 3: Modell Kapillarbrücken als Zylinder

Für die folgenden Berechnungen wurde ein vereinfachtes Modell entwickelt. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Sandkörner perfekte und gleichgroße Kugeln sind. Die Kapillarbrücken werden zu Zylindern vereinfacht. Die Grundflächen der Zylinder sind eigentlich eingebeult, aber außer bei dem Grenzfall, dass sich die Sandkörner berühren, wird das ignoriert. Außerdem ist das Volumen der Kapillarbrücken konstant, da sich beim Zusammen- und Auseinander ziehen der Sandkörner nur die genaue Form der Körner ändert.

2.3 Volumen einer Kapillarbrücke

Abbildung 4: Grenzfall sich berührende Sandkörner

Für die weiteren Berechnungen kann das konstante Volumen von Kapillarbrücke und Sand über den Grenzfall berechnet werden. Bei diesem Grenzfall wird die Höhe des Zylinders h genauso groß wie der Durchmesser der Sandkörner, also den doppelten Radius r. Über den Radius der Sandkörner kann so über das M4: Grenzfall sich berührende Volumen der einzelnen Sandkörner gesagt werden:

                    $$ V_\text{Sandkorn}=\frac{4}{3}\pi{}\cdot{}r_\text{s}^3=\frac{1}{6}\pi{}\cdot2r_\text{s}^3=\frac{1}{6}\pi{}d^3 $$

Beim Grenzfall gehen wird nicht einfach von einer Zylinderform als Kapillarbrücke ausgegangen, sondern von einem Zylinder mit Aufgeschnittenen Halbkugeln an den Grundflächen. Über das Volumen der Wasserbrücken kann dementsprechend gesagt werden

$$ V_\text{w}=(\pi{}r_\text{s}^2\cdot{}2r_\text{s})-\left(\frac{4}{3}\pi\cdot{}r_\text{s}^3\right)=\frac{2}{3}\pi\cdot{}r_\text{s}^3=\frac{1}{12}\pi{}d^3 $$