Three-Sided Dice

Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus Fabian Schmitt(16), Philipp Werner(16) und Hanyang Lu(18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice, bearbeitet.

Thema

Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Seiten landen wird. Doch zwischen diesen beiden Verhältnissen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit identisch sein sollte, auf einer Seite und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Deckfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.

Theorie

Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen.

2-Dimensionaler Ansatz

Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat.

Aufbau

Zylinder

Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:

Zylinder

Radius r in cm	Höhe h in cm	h/r-Verhältnis	Material
0,75	0,6	0,8	Edelstahl / POM
0,75	0,75	1,0	Edelstahl / POM
0,75	0,88	1,17	Edelstahl / POM
0,75	0,96	1,28	Edelstahl / POM
0,75	1,12	1,49	Edelstahl / POM

Wurfmaschinen

Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.

Darstellung des Coin-Sliders

Coin-Slider

Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet.

Darstellung des Coin-Flippers

Coin-Flipper

Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

Daten

Messreihen

Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss verschiedener Parameter auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen.

Unterschiedliche Höhen

Unterschiedliche Höhen

Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von 0,8 m, 1,0 m und 1,2 m geworfen.

Das Ergebnis ist:

Abwurfhöhe in m	Optimales α-β-Tupel	opimales h/r-Verhältnis
0,8	(1,2; 30,0)	1,27
1,0	(1,5; 30,0)	1,21
1,2	(1,7; 29,8)	1,16

Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale h/r-Verhältnis als auch das optimale α-β-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale h/r-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das β bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das α wächst.

Unterschiedlicher Untergrund

Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper

Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von 1 m und mit dem Coinflipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coinflipper gemacht.

Das Ergebnis ist:

Messreihen Untergrund Coin-Slider

Oberfläche	Wurfmaschine	Optimales α-β-Tupel	Optimales h/r-Verhältnis
Teppich	Coin-Flipper	(1,5; 30,0)	1,21
Linoleum	Coin-Flipper	(1,8; 1,6)	0,80
Teppich	Coin-Slider	(1,4; 27,2)	1,20
Linoleum	Coin-Slider	(1,9; 8,1)	0,91

Man kann erkennen, dass...

Unterschiedliche Zylindermaterialien

Messreihen Material des Zylinders

Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 m fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet.

Das Ergebnis ist:

Material	Optimales α-β-Tupel	Optimales h/r-Verhältnis
Edelstahl	(1,5; 3,2)	0,8
POM	(1,8; 16,6)	1,05

Auswertung...

Fazit

Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:

Zylindermaterial	Abwurfhöhe in m	Untergrund	Wurfgerät	h/r-Verhältnis
POM	1,0	Linoleum	Coinflipper	1,05
Edelstahl	1,0	Linoleum	Coinflipper	0,80
Edelstahl	1,0	Teppich	Coinflipper	1,21

Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet.

Erfolge

Wir haben folgende Erfolge errungen:

• Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik
• GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11
• GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7
• BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3
• BeGYPT Gruppenplatzierungen 1
• Bronzemedaille im AYPT 2022

Danksagung

Wir bedanken uns bei:

• Herrn Ebert für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
• Timo Huber für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
• Anja Dücker für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
• DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
• 2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen