Singing Ruler

Thema

Im Projekt ,,The Singing Ruler'' (nr.13 GYPT 2026), geht es um Lineal welches an einer Seite fest eingeklemmt ist und an der anderen, nachdem es kurzzeitig ausgelenkt wurde, frei schwingt. Dadurch entsteht ein charakteristischer Ton, der laut der Aufgabenstellung des GYPT abhängig von relevanten Parametern untersucht werden soll:

When a ruler is clamped at one end and struck, it oscillates and emits a characteristic sound. Investigate how the sound depends on relevant parameters.

Deutsche Übersetzung: Wenn ein Lineal an einem Ende eingespannt und angeschlagen wird, schwingt es und erzeugt einen charakteristischen Ton. Untersuchen Sie, wie der Ton von relevanten Parametern abhängt.

Parameterliste:

$$\beta_n$$=Dimensionsloser Moden-Koeffizient

$$L$$=Länge in $$m$$

$$E$$=E-Modul in $$\frac{N}{m^2}$$

$$\rho$$=Dichte in $$\frac{kg}{m^3}$$

$$h$$=Höhe in $$m$$

Untersucht wurde folgendes Parameter:

$$L$$=Länge in $$m$$

Theorie

Untersucht werden sollte der charakteristische Sound in Abhängigkeit relevanter Parameter, dabei zeichnet den charakteristischen Sound sein Klangspektrum aus (Frequenzen) und die Lautstärke des entstehenden Tones. In meinem Fall wurde untersucht wie das Parameter "Länge" die Frequenzen beeinflusst. Benutzt wurde dazu folgende Formel:

$$f_n=\frac{\beta_n^2}{2 \pi L^2} \sqrt{\frac{E \cdot h^2}{12 \cdot \rho $$

$$f_n$$ ist dabei die Frequenz für die Mode $$n$$

Parametererklärung:

$$\beta_n$$=Dimensionsloser Moden-Koeffizient: Die sichtbare Bewegung des Lineals (Kragbalken) setzt sich aus mehreren verschiedenen Bewegungen mit individueller Frequenz zusammen, diese "Bewegungen" beschreiben jeweils eine Mode wobei die erste Mode bzw. die Grundfrequenz am stärksten angeregt wird, da durch sie am wenigsten Energie dem System verloren geht. Jede Mode besitzt somit ihren eigenen dimensionslosen Moden-Koeffizient (1,875; 4,694, 7,855 etc.).

Dabei ist $$f_1$$ die Grundfrequenz ,$$f_2$$ die Frequenz der 2. Mode ,$$f_3$$ die Frequenz der 3.Mode usw.

Jede Mode besitzt außerdem Obertöne welche Vielfache der Frequenz sind für $$f_1$$ währe somit der erste Oberton $$2f_1$$

$$L$$=Länge in $$m$$:

Dies ist die Länge des frei schwingenden Teils des Lineals.

$$E$$=E-Modul in $$\frac{N}{m^2}$$:

Das E-Modul beschreibt die Steifigkeit des Lineals, da das E-Modul proportional in die Frequenz eingeht bedeutet ein höheres E-Modul eine höhere Frequenz.

$$\rho$$=Dichte in $$\frac{kg}{m^3}$$:

Dies ist die Dichte des Lineals, da sie antiproportional in die Frequenz eingeht bedeutet eine höhere Dichte eine niedrigere Frequenz.

$$h$$=Höhe in $$m$$: Die Höhe beschreibt die Dicke des Lineals, da sie antiproportional in die Frequenz eingeht bedeutet eine höhere Höhe eine niedrigere Frequenz

Entstehung des charakteristischen Sounds:

Im Ruhezustand bewirkt das Lineal, da es sich nicht bewegt, keinen Druck und somit Schall.

Laut Hooke's Gesetz führt das Auslenken des Lineals um eine Strecke x zu einer Kraft $$F$$ in entgegengesetzte Richtung, dies bewirkt die Bewegung des Lineals wobei durch Massenträgheit das Lineal abwechselnd die Ruhelage passiert und anschließend oben bzw. unten kurzzeitig stehen bleibt.

Während das Lineal sich bewegt drückt es die Luftmoleküle vor sich zusammen wodurch Druck entsteht. Dadurch stoßen sich die Luftmoleküle voneinander ab, wodurch ein Impuls in Form einer Schallwelle sich ausbreitet. Diese Schallwelle enthält dabei verschiedenste Frequenzen die unterschiedlich stark angeregt werden.

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Aufbau

Grundsätzlich bestand der Aufbau aus einem Tisch and dem das Lineal mit einer Tischklemme festgeklemmt wurde. Außerdem wurde ein Mikrofon möglichst nah am Lineal platziert.

Mit dem hier gezeigten Aufbau wurde das Frequenzspektrum gemessen und somit die Frequenzen $$f_1$$ etc.pp. bestimmt.

Das E-Modul des Lineals wurde mit folgendem Versuchsaufbau experimentell ermittelt:

$$E=\frac{F L^3}{3I \Delta x}$$

Wie man sieht wird das E-Modul von der von oben (Kraftmesser) angewendeten Kraft $$f$$, der Länge $$L$$, dem Flächenträgheitsmoment $$I$$ ($$I=\frac{bh^3}{12}$$), sowie der Auslenkung $$x$$ beeinflusst und ist somit für jede Länge spezifisch.

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Daten

Da das E-Modul längenspezifisch ist, wurde für 4 Längen je 4 Auslenkungen die dazugehörigen Kraftwerte bestimmt (blau) und mit dem theoretischen Fit (rot) in den Graphen eingezeichnet. Auf der Y-Achse ist die Kraft $$F$$ in $$N$$ und auf der X-Achse die Auslenkung $$\delta x$$ in cm.

Fehlerquellen:

1. Ungenaues Ablesen der Auslenkung
2. Messungenauigkeit des Kraftmessers

In dem FFT-Spektrum bzw. Klangbild konnte konsistent für jede Länge nur die Frequenz der ersten beiden Moden ermittelt werden, da Übertöne und die restlichen Moden nicht konsistent über jede Länge eindeutig genug ablesbar gewesen sind. Auf der Y-Achse ist die Frequenz in $$Hz$$ abgebildet und auf der X-Achse die Länge $$L$$ in $$m$$.

Der Rote Graph stellt dabei $$f_2$$ und der blaue $$f_1$$ dar.

Fehlerquellen:

1. Hintergrundgeräusche welche das ablesen der restlichen Frequenzen erschweren.
2. Reibung an der Klemmstelle zwischen Lineal und Tisch

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Fazit

Zusammengefasst war definitiv eine antiproportionale Korrelation zwischen Länge und Frequenz erkennbar, was laut der Formel:

$$f_n=\frac{\beta_n^2}{2 \pi L^2} \sqrt{\frac{E I}{\rho A$$

auch erwartbar gewesen ist. Genauer war eine exponentielle Verringerung der Frequenz vorhanden ($$f_n\propto \frac{1}{L^2}$$).

Erfolge

Teilnahme am Be-GYPT.

Quellen

[Q1]: https://www.youtube.com/watch?v=ns5nHKBJiGg

[Q2]: https://www.youtube.com/watch?v=PYEsHvezfRY

[Q3]: https://www.researchgate.net/publication/266608335_Evaluation_of_sensor_technologies_for_the_rulers_a_kalimba-like_digital_musical_instrument

[Q4]: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1155/2013/329530

[Q5]: https://www.ingridscience.ca/node/497

[Q6]: https://emweb.unl.edu/mechanics-pages/scott-whitney/325hweb/beams.htm

[Q7]: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Bernoulli_beam_theory