Magneto-Mechanischer Oszillator

Thema

"Secure the lower ends of two identical leaf springs to a non-magnetic base and attach magnets to the upper ends such that they repel and are free to move. Investigate how the movement of the springs depends on relevant parameters."

Befestigen Sie die unteren Enden zweier identischer Blattfedern an einer nicht magnetischen Basis und befestigen Sie Magnete an den oberen Enden, sodass sie sich abstoßen und sich frei bewegen können. Untersuchen Sie, wie die Bewegung der Federn von relevanten Parametern abhängt.

Theorie

Parameter

Die folgenden Parameter sind benötigt, um den Effekt treffend zu beschreiben:

• die Maße der Feder (Länge, Dicke , Breite, Masse)
• Abstand zwischen den zwei Magneten
• Maße der Magneten (Dipolmoment, Masse)

Die Kräfte die in diesem System wirken, sind:

• Rückstellkraft $$F_R$$
• Magnetkraft $$F_M$$
• Dämpfungskraft $$F_D$$

Die Rückstellkraft

Die Rückstellkraft lässt sich mithilfe des Hooke'schen Gesetztes beschreiben:

$$ F_R = k \cdot w \quad w\; - $$ Auslenkung

k ist hier die Federkonstante, sie beschreibt die Steife der Feder. Für diese gilt die folgende Formel, welch man sich ausser Balkentheorie herleiten kann:

$$k = \frac{EI}{L^3} \quad E \; $$- Elastizitätsmodul

Das I beschreibt das Axiale Flächenträgheitsmoment, dies ist eine Querschnittsgröße der Feder, und ist von der Dicke sowie der Breite dieser abhängig.

Die Magnetkraft

Für die Kraft, die zwischen zwei Dauermagneten wirkt gilt die folgende Formel:

$$\begin{equation} \vec{F}(\vec{r},\vec{m}_1,\vec{m}_2)=\frac{3\mu_0}{4\pi r^4} \left[ \vec{m}_2(\vec{m}_1\cdot\vec{r}_n)+ \vec{m}_1(\vec{m}_2\cdot\vec{r}_n)+ \vec{r}_n(\vec{m}_1\cdot\vec{m}_2)- 5\vec{r}_n(\vec{m}_1\cdot\vec{r}_n)(\vec{m}_2\cdot\vec{r}_n) \right] \end{equation} \quad m - $$ magnetisches Moment $$\begin{equation} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad r_n \; - \end{equation} $$ Einheitsvektor der von Magnet 1 zu Magnet 2 zeigt

Diese Formel kann vereinfachen, da wir die Bewegung eindimensional betrachten, sodass man die Vektoren auf als den Betrag mit Vorzeichen Betrachen kann, wodurch man dies erhält:

$$ F= \frac{3\mu_0 m_1 m_2}{2\pi r^4} $$

Mit einer Formel, wie dieser, kann man jedoch keine allgemeinlösbaren Differentialgleichungen aufstellen, sodass wir diese linear annehmen, diese Annahme ist jedoch nur für kleine Ausrenkungen gültig, da sonst eine. zu starke Abweichung entstehen könnte. Daher gilt:

$$ F_M = c(d_0 + w1 + w2) $$

c ist hier der Differenzenquotient zwischen der Magnetkraft die bei dem maximalen abstand und der bei minimalen Abstand zwischen den Magneten wirkt. Und $$d_0$$ ist der Abstand zwischen diesen in Ruhe.

Vereinfachtes Modell

Mithilfe dieser Kräfte kann man ein vereinfachtes Modell erstellen, um diesen Effekt zu beschreiben. Hier vernachlässigen wir die Dämpfung und nehmen zudem kleine Auslenkungen an, um lösbare DGLs zu erhalten.

Freie Biegeschwingung

In diesem Fall Betrachen wir die Schwingung einer ungedampften Blattfeder mit Masse am Rand. Um diese zu beschreiben verwenden wir Newton'sche DGLs, welche man erhält, indem man die auf eine Punktmasse wirkenden Kräfte summiert. Das einzige problem ist, dass wir keine Punktmasse haben. Dies kann man jedoch umgehen, indem man eine effektive Masse berechnet, doch mehr dazu später. Für die frei Biegeschwingung gilt:

$$ F_{ges} = F_R $$

Umgeformt erhalten wir daher:

$$ \ddot{w} + \frac{k}{m}w = 0 $$

Die Lösung dieser DGL würde hierbei so aussehen:

$$w = \hat w \cdot cos(\omega_F t) \quad \omega_F = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

Schwingung mit festgemachtem Magneten

Hier betrachten wir den Fall, dass man neben der Feder mit magnet einen Magneten festmacht, sodass es auch eine magnetische Kraft gibt, die einwirkt. Daher gilt auch

$$ F_{ges} = F_R +F_M $$

Daraus folgt dann:

$$ \ddot{w} + \frac{k-c}{m}w = 0 $$

Und die Lösung dieser DGL wäre:

$$w = \hat w \cdot cos(\omega_FL t) \quad \omega_FL = \sqrt{\frac{k-c}{m}} $$

Aufbau

Aufbau für Bestimmung der Federkonstante

Aufbau zur Messung der Federkonstante

Unser erster Aufbau hat uns geholfen den Zusammenhang zwischen Blattfederlänge und Federkonstante zu bestimmen. Er besteht aus einer festgeklemmten Blattfeder, einem Kraftmesser und einem Lineal zur Messung der Auslenkung. Wir haben den Kraftmesser gegen die Feder gepresst, bis diese eine bestimmte Auslenkung erreicht und damit die federkonstante k für eine Federlänge k bestimmt.

Aufbau für die Bestimmung der Magnetkraft

Aufbau für Messung der Magnetkraft

Der Aufbau für die Messung der Magnetkraft besteht aus einem Kraftsensor an dem ein Magnet befestigt wird und einem Lineal, was dem Abstand zu diesem misst. Mithilfe von diesem Lineal haben wir einen anderen Magneten an einen bestimmten abstand zum erstan gebracht und dadurch die Kraft gemessen, welche auf die Magneten wirkt, die auf diesen Abstand zueinander gebracht werden.

Aufbau für die bestimmung der Frequenz

Aufabu Frequenzmessung

Der Aufbau für unsere Schwingungmessung besteht aus einem Gerüst, an dem wir unsere Blattfedern mit den Magneten befestigt sind. Dieser ist aus Metall, was unsere Schwingung nur minimal beeinflussen könnte, uns aber eine sehr große Möglichkeit der Parametervariation bietet.

Als Messgeräte für die Frequenzmessung haben wir Hall-Sensoren benutzt. Diese können mit einer Messrate bis zu 1000 Messungen pro Sekunde die magnetische Flussdichte messen. Da unsere Magneten ein magnetisches Feld erzeugen, können wir wenigstens qualitativ sehen, ob sich der Magnet vom Sensor entfernt oder ob er sich ihm nähert. Dadurch können wir non-invasiv die Hoch und Tiefpunkte der Schwebung beobachten.

Wir haben verschiedene Messreihen mit Veränderung verschiedener Parameter gemacht:

• Veränderung der Auslenkung, indem wir verschieden stark auslenken.
• Veränderung der Federkonstante k, indem wir die Federn verschieden hoch eingespannt haben.
• Veränderung der Magnetkraft, indem wir die Anfangsistanz d zwischen den Federn verändert haben.
• Veränderung der Masse des Magneten, indem wir verschiedene Mengen an Knete an die Blattfedern geklebt haben.

Außerdem haben wir zum Vergleich die Frequenz eines einzelnen schwingenden Oszillator und die Frequenz eines oszillators, der gegen einen befestigten Magneten schwingt genauso mit Hall-Sonden ermittelt.

An diesem Aufbau haben wir auch eine Videomessung probiert, die uns

(Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.)

Daten

Messung der Federkonstante

Im Diagramm für die Federkraft kann man eine abfallende Expotenzialkurve beobachten. Dies sagt uns, dass mit größerer Effektivlänge der Feder die Federkonstante steigt. Durch einen log-log-Plot, konnte man erkennen, dass es eine Proportionalität von $$k \sim \frac{1}{l^3}$$ existiert.

Als eine Fehlerabschätzung hat der Kraftsensor bei einer Kraft von unter 50N einen Fehler von $$±0.05N$$(Datasheet LINK HIERHER). Da wir den Durchschnitt von 5 verschiedenen Auslenkungen für jede effektive Federlänge genommen haben, sollte der Fehler in Abmessung der Auslenkung vernachlässigbar sein.

Messung der Magnetkraft

Im Diagramm für die Messung der Magnetkraft über Abstand sieht man auch eine expotenziell abfallende Kurve. Diese kann man durch die Abhängigkeit $$d \sim \frac{1}{d^3}$$ beschreiben(SUSWIKIFORMELLINK). Dies gibt uns den zusammenhang, dass die Magnetkraft mit vergrößerung der Distanz stark abnimmt.

Der Fehler ist der gleiche wie bei der Messung davor. Der Kraftsensor misst auch mit der Genauigkeit $$\pm0.05N$$(Datasheet LINK HIERHER). Die Distanz zwischen den Magneten können wir auf $$\pm0.5 mm$$ genau bestimmen. Insgesammt ist die Messung aber ungenauer, da der Kraftsesnor höhstwahrscheinlich mit Magneten arbeitet, was unsere Messung beeinflussen könnte.

Messung der Frequenz

Im allgemeinen kann man sagen, dass eine Schwebung zu beobachten ist. Diese haben wir dann mithilfe von einer Fast-Fourier-Analyse bearbeitet und verschiedene Schwingungsfrequenzen bekommen.

Messung mit Veränderung der Federkonstante

Die Messungen für die Veränderung der Federkonstante zeigen, dass eine größere Federkonstante eine größere Frequenz verursacht. Dies stimmt mit unserer Theorie überein, da bei der Berechnung von $$\omega_+$$ und $$\omega_-$$ das k im Nenner steht. Die Messungen stimmen aber immer noch nicht mit den Theoriewerten überein. Die berechneten Werte haben eine Ähnliche Entwicklung wie die gemessenen Werte, sind aber viel höher, da wir in der Theorie bei der berechnung die Dämpfung vernachlässigt haben.

Um unsere Theorie trotzden zu überprüfen haben wir uns die Formeln für die einfachen Fälle mit einzelnen Oszillatoren. Wir haben gesehen, dass man den Formeln nach die Frequenzen der Schwebung, $$\omega_+$$ und $$\omega_-$$, durch die Frequenzen der einzelnen Oszillatoren, $$\omega_f$$ und $$\omega_fl$$, berechnen lassen.

Der Vergleich dieser vier Frequenzen gibt uns eine sehr gute Übereinkunft und bestätigt unsere Theorie. Es sagt uns auch, dass unsere Frequenz sehr stark von der Dämpfung beeinflusst wird, die wir wenig betrachtet haben.

Messung mit Veränderung der Masse

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Fazit

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

Erfolge

• Jugend Forscht Interdisziplinärer Preis in der Regionalrunde und Teilnahme an der Landesrunde (Egor, Nicolas, Uladzimir)
• 13. Platz in der Bundesrunde GYPT(Uladzimir)
• X. Platz in der Bundesrunde GYPT(Nicolas)
• 17. Platz in der Bundesrunde GYPT(Daniel)

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!

https://www.vernier.com/product/dual-range-force-sensor/