Walker 1

Thema

In diesem Projekt wird ein starres Modell eines Rampenläufers mit vier Beinen vorgestellt, das eine raue Rampe hinunterlaufen kann. Parameter, die das Laufverhalten beeinflussen, sind unter anderem die Höhe und die Breite des Läufers sowie der Anstellwinkel der Rampe. Der Einfluss dieser Parameter auf die Endgeschwindigkeit des Läufers wird in diesem Artikel sowohl theoretisch als auch experimentell untersucht bzw. bestätigt.

Grundlegende Erklärung

Die Bilder unten verdeutlichen den Aufbau der Bewegung bzw. des Laufens. Zunächst steht der Läufer auf allen vier Beinen, wobei ein vorderes Bein abgeknickt ist (durch vorherigen Schritt). Anschließend rotiert der Läufer nach außen, wodurch das zuvor abgeknickte Bein nach vorne rotieren kann (durch wirkende Feder). Gleichzeitig, knickt das andere Bein durch die Hangabtriebskraft ab (Vorwärtsbewegung). Schließlich hört der Läufer auf, nach außen zu rotieren und rotiert zurück auf alle vier Beine, wodurch der Prozess von vorne beginnt. Damit der Läufer aufhört sich, nach vorne zu lehnen, muss ein Kräftegleichgewicht zwischen den zur Rampe parallel wirkenden Kräften herrschen. Um überhaupt mit diesem Laufen zu beginnen, müssen seine vorderen Beine ''abknicken" und nicht rutschen. Somit bleiben die "Füße" (Kontaktpunkte zur Rampe) an der gleichen Stelle. Gleichzeitig müssen die hinteren Beine über die Rampe gezogen werden, wodurch eine Widerstandskraft der Gleitreibung $$F_R$$ entsteht. Durch das ''Abknicken'' der Beine wird die Feder verkürzt und somit entsteht eine Federkraft, die etgegen der Hangabtriebskraft wirkt.

Theorie

Die Bewegung kann in eine Rotations- und Vorwärtsbewegung aufgeteilt werden. Durch die Vorwärtsbewegung erhält man die Schrittlänge und durch die Rotationsbewegung die Länge der Zeit der Schritte. Teilt man diese Werte durch einander erhält man eine Durchschnittsgeschwindigkeit. Diese ist falls der Läufer läuft (und nicht stoppt oder umfällt) die Endgeschwindigkeit.

Vorwärtsbewegung

Bei der Vorwärtsbewegung werden die Kräfte betrachtet, die parallel zu Rampe wirken. Diese sind die Hangabtriebskraft ($$F_{GX}$$), die Reibungskraft ($$F_{R}$$) und die parallele Komponente der Federkraft ($$F_{SX}$$). Die Gewichtskraft $$F_G$$ kann in eine Kraft $$F_{GX}$$ parallel zur Rampe geteilt werden. Für diese gilt:

\begin{equation} F_{GX}=F_G \cdot \cos{90°-\lambda} = F_G \cdot \sin{\lambda} \end{equation} Für die Reibungskraft $$F_R$$ mit der Normalkraft $$F_N$$ gilt: \begin{equation} F_R=\mu \cdot F_N \end{equation} Für die entstehende Kraft $$F_SX$$ gilt nach der Formel für die Federkraft ($$k\cdot(s_0-s_1))$$: \begin{equation} F_{SX}=k\cdot(s_0-s_1)\cdot\cos{\delta} \end{equation} $$\delta$$ kann mithilfe des Sinus- und Kosinussatzes in Abhängigkeit von den Längen $$b, c$$ und $$x$$ bestimmt werden.

Zusammenfassend gilt: \begin{align*} F_V=&F_{GX}-F_{SX}-F_F\\ F_V=&F_G\cdot\sin(\lambda)-F_S\cdot\cos(\delta)-F_N\cdot \mu\\ F_V=&F_G\cdot\sin(\lambda)-F_S\cdot\cos(\delta)-(F_{GY}-F_{SY})\cdot \mu\\ F_V=&F_G\cdot\sin(\lambda)-F_S\cdot\cos(\delta)-(F_G\cdot\cos(\lambda)-F_S\cdot\sin(\delta))\cdot\mu\\ F_V=&F_G\cdot\left(\sin(\lambda)-\cos(\lambda)\cdot \mu\right) \\ &-k\cdot \left(s_0-\sqrt{r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\beta)}\right)\cdot\left(cos(\delta)-\sin(\delta)\cdot\mu\right)\\ \end{align*} Dabei hängen die Winkel $$\lambda$$ und $$\delta$$ von $$x$$. Ist $$F_V=0$$ wurde das Kräftegleichgewicht erreicht und das $$x$$ welches dies erfüllt ist auch die Schrittlänge des Läufers.

Rotationsbewegung

Diese wird mithilfe von Drehmomenten simuliert. Dabei kann man aus dem vorherigen Drehmoment und der jetztigen drehung des Läufers das "neue" Drehmoment bestimmen. Tut man dies wiederholend, so gelangt man zu einem Drehmoment, wo der Läufer aufhört zu rotieren. Kennt man diesen Zeitpunkt, so weiß man auch wie lange der Läufer rotiert bzw. wie lange die Schritte dauern. Folgende Gleichung ist dabei essentiell ($$d$$ ist die Entfernung zum Massenmitelpunkt projeziert senkrecht zur Rampe und $$\epsilon$$ der Winkel zur Gewichtskraft): \begin{equation} M_{neu}=M_{alt}-d\cdot\sin(\epsilon)\cdot F_{G} \end{equation} In Kombination mit der Theorie der Vorwärtsbewegung kann folgender Graph für bestimme Werte des Läufers (Experimentell bestimmt oder auf einen Wert gesetzt, wie z.B. Länge der Beine) mithilfe von Python simuliert werden. In diesem ist jeder Läufer mit Geschwindigkeit 0 einer der aufgehört hat zu laufen. (Alle anderen haben eine periodisch wiederholende Geschwindigkeit, welche mithilfe der Durchschnitsgeschwindigkeit und somit auch Endgeschwindigkjeit im Grapghen farbig dargestellt ist).

Umsetzung der Theorie

Sehr viel der Zeit wurde auf ein Python Programm verwendet, um in diesem die Theorie zu implementieren und das Laufen zu simulieren. Das Verfahren der Simulation ist folgendes: Aus dem aktuellen Zustand des Läufers (physisch bzw. geometrisch) und Kräfte, Geschwindigkeiten bzw. Drehmomenten wird der nächste berechnet. Mit diesem kann der nächste wiederrumberechnet werden usw. Schließlich erhält man so eine Liste mit Geschwindigkeiten zu bestimmten Zeitpunkten. Der Durchschnitt dieser Geschwindigkeiten wird schließlich als farbiger Punkt dargestellt. Führt man das für sehr viele Punkte aus, so erhält man den farbigen Graphen. Dies hatte Limitationen, wie die Vereinfachung der "Füße" zu Punkten und der Vernachlässigung von Luftwiderstand und zuletzt der Annahme, dass das Bein direkt in den Zustand des Kräftegleichgewichts kommt, ohne um diesen zu oszillieren.

Aufbau

1. Lego Läufer & Aufbau der Rampe

Unser Aufbau besteht grundlegend aus einem vierbeinigen Läufer und einer Rampe. Die Rampe ist eine Holzplatte, die eine raue Oberfläche hat. Die raue Oberfläche ist dazu da, um den Läufer vor dem Rutschen auf der Rampe zu bewahren. Der Anstellwinkel der Rampe kann mithilfe eines Stativs variiert werden. (siehe Bild 1, rechts) Wir beschränken uns in unseren Experimenten auf die Untersuchung der Anstellwinkel 10°, 11.5° und 13°.

Den Läufer haben wir aus Lego gebaut. Dieser besteht aus einer rechteckigen Grundfläche und vier Beinen. Die Beine sind auf der Unterseite der Grundfläche angebracht. (siehe Bild 1, links)

Aufbau Parameter

2. Konstruktion der Parameter

Die Beine des Läufers sind an Achsen angebracht, sodass sie in einem begrenzten Bereich beliebig verschoben werden können. (siehe Bild 2, grüner Kasten)

Eine Besonderheit haben die vorderen zwei Beine: Diese werden jeweils mit einer Schraubenfeder an die Grundfläche befestigt, damit die nötige Federkraft zum „laufen“ erhalten bleibt. Die Schraubenfedern werden am einen Ende an das Bein und am anderen Ende an die Grundfläche fixiert. Die Positionierung der Feder kann die Kraft beeinflussen, die auf die Beine wirkt. In unserem Aufbau beschränken wir uns darauf, dass die Positionierung immer gleich bleibt. Die Federn sind somit auch an einer Achse befestigt, damit die Federn mitverschoben werden können, sofern die Beine verschoben werden.(siehe Bild 2, grüner Kasten) Die hinteren Beine bleiben starr und können nicht einknicken. (siehe Bild 2, rote Kästen links)

Das Ändern der Beinlänge bzw. die Höhe des Läufers verfolgt das selbe Prinzip mit dem Verschieben auf einer eingebauten Achse. Die Beine sind so konzipiert, sodass sie in einem begrenzten Bereich beliebig verschoben werden können. Somit kann auch die Höhe des Läufers variiert werden. (siehe Bild 2, rote Kästen rechts)

Die Füße der Beine, die in Kontakt mit der Rampe kommen, bestehen aus Gummi und sind in Form eines Kreises. Gummi erhöht die Reibung zwischen den Beinen und der Rampe, damit der Läufer nicht abrutschen kann und nur durch die Rotations- und Vorwärtsbewegung läuft.

Bestimmung wichtiger Werte

In unserem Projekt müssen viele Einflüsse beachtet werden. Folgendes ist wichtig:

• Masse des Läufers
• Federkonstante
• Reibungskoeffizient
• Massemittelpunkt

Die Masse von des Läufers kann bestimmt werden, indem eine Waage benutzt wird. Die Masse unseres Läufers beträgt 192g.

3. Bestimmung der Federkonstante

Die Federkonstante der Federn, die im Läufer verbaut sind, kann wie folgt bestimmt werden: Die Federn werden ausgebaut und in eine selbstgebaute Plattform eingebaut. Auf die Plattform werden Massestücke gelegt, die gleichmäßig auf der Oberfläche der Plattform verteilt werden. Nachdem die Massestücke platziert wurden, verringert sich die Höhe der Plattform.

Dieser Vorgang wird in einem Video angenommen. Auf dem Video ist zu sehen, wie hoch die Plattform vor und nach dem Platzieren der Massestücke ist. (siehe Bild 3) Anschließend wird das Video in das Programm Tracker importiert und die Längenveränderung der Federn in Relation zu der Masse bestimmt und ausgewertet. Wir erhalten für jede Feder eine Federkonstante von 15,95 N/m.

Der Reibungskoeffizient ist die benötigte maximale Reibungskraft, bevor der Läufer anfängt, auf der Rampe zu rutschen bzw. nicht mehr zu haften. Diese wird bestimmt, indem der Läufer auf die Rampe platziert wird, die keinen Anstellwinkel hat. Der Reibungskoeffizient für unseren Läufer auf der rauen Rampe beträgt 2.1N

4. Massemittelpunktbestimmung des Läufers

5. Massemittelpunkt

Der Massemittelpunkt kann das Laufverhalten des Läufers beeinflussen. Dieser wird so bestimmt: An allen drei Seiten des Läufers wird der Punkt gemessen, an dem der Läufer ausbalanciert ist.

Der erste Punkt, in der sich der Läufer im Gleichgewicht befinden soll, ist die horizontale Achse auf der Grundfläche des Läufers. (siehe Bild 4A)

Der zweite Punkt ist auf der horizontalen Achse auf den Beinen. (siehe Bild 4B)

Der letzte Punkt befindet sich auf der vertikalen Achse der Grundfläche. (siehe Bild 4C)

Die grünen Linien in Bild 4 stellen die jeweilige Achse dar, in der sich der Läufer im Gleichgewicht befindet. Der Abstand zwischen der Grundfläche zu den Punkten, an denen der Läufer im Gleichgewicht steht, wird abgemessen.

Daraus lässt sich ein 3D Modell zur Bestimmung des Massemittelpunkts erstellt werden. (vergleiche Bild 5) Auf der linken Seite der Zeichnung ist die Seitenansicht des Läufers zu sehen. Darauf sind die Gleichgewichtspunkte abgebildet, die in Bild 4A und 4B zu sehen sind.

Auf der rechten Seite wird die Vorderansicht des Läufers betrachtet. Hierbei werden die Gleichgewichtspunkte betrachtet, die in Bild 4B und 4C zu sehen sind.

Daraus ergibt sich das 3D Modell.

Der Massemittelpunkt des Läufers ist der Schwerpunkt der Grundfläche, welches etwas nach unten verlagert ist. (siehe Bild 5, rotes Kreuz) Es befindet sich also unterhalb der Grundfläche des Läufers.

Messdatenauswertung

6. Ultraschallsensor auf der Rampe

Um Messdaten zu erfassen wird ein Ultraschallsensor benutzt, der vor die Rampe platziert wird. Der Sensor zeigt von unten auf die Rampe und ist in die Richtung gerichtet, in die der Läufer die Rampe hinunterläuft. (siehe Bild 6)

Während der Läufer die Rampe hinunterläuft, nimmt der Sensor direkt die zugehörigen Messdaten auf, die nach dem Durchlauf des jeweiligen Versuchs sofort verwertet und bearbeitet werden können. Es werden mehrere Messungen für jeden Läufer mit der jeweiligen Parameterkonfiguration gemacht. Anschließend werden die Parameter(Höhe und Breite des Läufers) durch Verschiebung verändert und somit für neue Messungen vorbereitet.

Anfängliche Messdatenauswertungen

Im Verlauf unseres Projekts haben wir verschiedene Messmethoden angewendet, welches einige Schwierigkeiten und Probleme bereiteten.

7. Auswertung im Programm Tracker

Zu Beginn unseres Projekts haben wir bei jedem Durchlauf des Läufers mit der jeweiligen Parameterkonfiguration ein Video gemacht und diese anschließend im Programm Tracker ausgewertet. Das ist eine vergleichbare Vorgehensweise wie bei der Bestimmung der Federkonstante. Hierbei werden einzelne Punkte auf dem Läufer betrachtet. Im Video werden die Positionierungen der Punkte in jedem Frame über Zeit bestimmt.

Diese Methode liefert gute Messergebnisse. Jedoch besteht das Problem bei den Videos, dass es Paralaxen gibt. Unser Versuch ist 3-Dimensional zu betrachten, welches auf einem Video, das in 2D aufgenommen wird, schwer übertragbar ist. Eine Schwierigkeit war für uns das Importieren der Videos in das Programm, da dieser Vorgang sehr zeitaufwändig war. Dementsprechend war es schwierig für uns, effizient die Videos auswerten zu können.

Ein weiters Problem gab es beim Auswerten der Videos. Beim Auswerten der Videos im Tracker hat es oft verschwommene und verpixelte Frames gegeben, die die Fehlerquote der Messreihe erhöht, da die Messungen dadurch ungenau werden können. Der Grund dafür ist, dass das Programm die Punkte auf dem Läufer in den verpixelten Frames nicht mehr genau erkennen kann, welches zu Fehlbestimmung der Positionierung der Punkte führen kann.

Zusammenfassend ist diese Messmethode zeitaufwändig und ineffizient. Aus diesem Grund suchten wir eine effizientere Methode, die Messdaten zu erfassen und auszuwerten.

8. Aufbau des Läufers mit Smartphone

Wir hatten die Idee, die App Phyphox auf dem Smartphone zu benutzen. Phyphox nutzt die Beschleunigungssensoren im Smartphone. Dazu haben wir das Smartphone auf die Grundfläche des Läufers befestigt, damit Messungen aufgezeichnet werden können während der Läufer die Rampe hinunterläuft. Bevor der Läufer die Rampe hinunterläuft, wird die Aufzeichnung im Programm gestartet. Nachdem der Läufer den Durchlauf beendet hat, werden die Aufzeichnung gestoppt und die Messdaten in eine Excel-Tabelle übertragen.

Das Problem hierbei war, dass das Smartphone zu schwer für den Läufer war. Der Massemittelpunkt wurde angehoben, welches oft dazu führte, dass der Läufer umgekippt ist. Da sich das Gewicht des Läufers ändert, musste dies auch bei der Auswertung und in der Theorie angepasst werden. Ein weiteres Problem waren die Messdaten. Diese waren nicht in Position über Zeit, sondern in Beschleunigung über Zeit. Da wir sehr viele Messungen gemacht haben, war es sehr aufwändig, die Messdaten jeweils in eine Geschwindigkeit umzurechnen.

9. Vorderansicht Ultraschallsensor

Zusammenfassen können wir sagen, dass diese Messmethode zu vielen Fehlversuchen beim Experiment führte, da das Gewicht des Smartphones hinzugekommen ist. Ebenso war das Auswerten der Messdaten sehr kompliziert.

Zuletzt sind wir auf die Idee gekommen, die Experimente mit einem Ultraschallsensor zu machen. Diese Methode hat uns keine Probleme bereitet. Der Ultraschallsensor nimmt die Messdaten auf, während der Läufer problemlos und ohne zusätzliches Gewicht die Rampe hinunterlaufen kann. Die Messdaten sind in Position über Zeit aufgenommenen worden, welches das Auswerten deutlich einfacher macht.

Daten

Zunächst haben wir experimentell nachweisen können, dass die Geschwindigkeit tatsächlich konstant bleibt (genauer ist sie periodisch, da sich die Weg-Zeit Graphen wiederholen): Dieses Diagramm ist das von der Messreihe mithilfe von Tracker. Die Daten im Diagramm stammen hingegen von Ultraschallmessungen (dort wird das nächste Objekt erkannt, sodass nicht nur ein Punkt getrackt wird).

Fazit

Es gibt einen optimales Verhältnis von länge und Abstand zwischen den Beinen. Bei diesem ist die Geschwindigkeit am höchsten, da die Schritte lang sind und die Schrittdauer nur lang genug ist damit die Beine die Schritte machen können. Entfernt man sich von diesem, Verhältnis, so sinkt die Geschwindigkeit bis der Läufer nicht mehr laufen kann.

Erfolge

Wir haben an GYPT und Jugend Forscht teilgenommen. Durch das BeGYPT (2.Teampreis) haben wir uns für das GYPT qualifiziert. Bei Jugend Forscht haben wir in der Berlin Nord-Regionalrunde den Preis für das beste interdisziplänere Projekt gewonnen und später in der Landesrunde einen Sonderpreis im Bereich Physik.

Danksagung

Wir bedanken uns bei:

• Herrn Dr. Ebert für die tatkräftige Unterstützung unseres Projekts bezüglich der Betreuung im Jugend Forscht Regional- & Landeswettbewerb sowie beim GYPT Regional- & Bundeswettbewerb
• Fabian Schmitt für seine hilfreichende Unterstützung der LaTeX-Overleaf-Präsentationen sowie die Ratschlägen zu den Experimenten unseres Projekts in diesem Jahr
• Antonia Macha für die aktive Betreuung dieses Physik-Zusatz Kurses
• Rusheel, der uns beim Experimentieren mit dem Ultraschallsensor sehr geholfen hat