Rayleigh-Bénard Konvektion

Thema

"Uniformly and gently heat the bottom of a container containing a suspension of powder in oil (e.g. mica powder in silicon oil), cell-like structures may form. Explain and investigate this phenomenon."

$$\int_a^b x dx=\frac12(b^2-a^2)$$

Unser Experiment basiert auf dem Prinzip der Konvektion. Eine Flüssigkeit, in diesem Fall Silikonöl  wird von unten homogen erhitzt. Dabei hat die untere Schicht vom Silikonöl eine kleinere Dichte und die obere Schicht eine größere. Das verursacht eine Auftriebskraft, die auf die untere Schicht nach oben wirkt. Daraufhin fängt bei einem hinreichend großen $\Delta T$ die Konvektion an, weil ab diesem Zeitpunkt die Auftriebskraft die Viskosität überwindet (die Viskosität kann man als Reibung in einer Flüssigkeit ansehen). Das erkennt man daran, dass die untere Schicht an manchen Punkten durch senkrechte Strömungen nach oben gelangt und sich beim Ausbreiten auf der Oberfläche abkühlt und wieder wegen der größeren Dichte an den Rändern der Zellen absinkt. Dadurch bilden sich meist polygonale Muster an der Oberfläche, die wir Rayleigh-Bénard-Zellen nennen.

Theorie

$$ \begin{tikzfigure} \fontsize{22}{13.5}\selectfont \def\svgscale{2.6} \includesvg{GGT/warming_scheme3.svg} \end{tikzfigure} Für eine theoretische Beschreibung des Effekts haben wir folgende Annahmen getroffen: \begin{itemize} \item Wir gehen davon aus, dass die obere und untere Begrenzung zwei Platten sind, die horizontal ins Unendliche gehen. \item Dabei nehmen wir an, dass der Effekt in z-Richtung der Gleiche ist wie unendlich viele zweidimensionale Querschnitte. \item Die Geschwindigkeit der Partikel, die die Platte berühren, liegt bei Null. \end{itemize} Mathematische Betrachtung des Modells\\ Für dieses System haben wir folgende Formeln benutzt:\\ \textbf{1. Gleichung für Masseerhaltung (Kontinuitätsgleichung):} \begin{center} \begin{math} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho u}{\partial x} + \frac{\partial\rho v}{\partial y}= 0 \end{math} \end{center} \textbf{2. Gleichung für Impulserhaltung:} \textbf{(a) \(x\)-Richtung:} \begin{center} \begin{math} \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2u \end{math} \end{center} \textbf{(b) \(y\)-Richtung:} \begin{center} \begin{math} \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \nabla^2v -\rho g \end{math} \end{center} \textbf{Gleichung für Wärmeleitung:} \begin{center} \begin{math} \rho C_p \left( \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} \right) = k \nabla^2 T \end{math} \end{center} $U=\text{Geschwindigkeit in Z-Richtung}$\\ $v=\text{Geschwindigkeit in Y-Richtung}$\\ Um dieses Problem zu lösen, haben wir es als Stabilisations-Problem angesehen und uns angeschaut, was bei einer kleinen Störung passiert. Wenn diese Störung immer größer wird, geht es in einen neuen stabilen Zustand der Konvektion über und wenn die Störung über die Zeit verschwindet, bedeutet es, dass es in den Zustand der Wärmeleitung zurückkehrt. Nach dem Lösen dieses Stabilisations-Problems, bekamen wir diese Formel zur Ermittlung von unserer erwünschten Rayleigh-Zahl, die wir beim Einsetzen von n=1 bekommen: \begin{align*} \frac{(n^2\pi^2+\alpha^{*^2})^3}{\alpha^{*^2}}=Ra=\dfrac{\beta \cdot g \cdot \Delta T \cdot {H}^{3}}{v \cdot \alpha} \end{align*} $$

Aufbau

Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

Daten

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Fazit

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

Erfolge

Wir haben im Regionalwettbewerb gewonnen und sind in die Landesrunde weiter gekommen. Außerdem sind

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!