Ruler Cannon

Thema

Wir, Albrecht Holzapfel, Elliott Keller und Fabian Paus, haben uns für eine Aufgabe aus dem

diesjährigen GYPT Aufgabenset entschieden: Problem 7¹. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.

Übersetzt:

Zwei Lineale werden eng aneinandergehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball - in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.

Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei:

• $$F_{Extra}$$ Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N

• $$F_{Ruler}$$ Eigenkraft des Lineals in N

• $$F_{Final}$$ Resultierende Kraft in N
• $$F_F$$ Reibungskraft in N

• d Durchmesser des Tischtennisballs in m

• l Punkt am Ende des Lineals in cm

• $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg

• α Öffnungswinkel in °

• θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$

• D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$

• A Querschnittsfläche des runden Objektes in m²
• v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s}$$
• a Angriffspunkt von $$F_{Extra}$$ auf dem Lineal in cm
• $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m
• E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}$$
• I Flächenträgheitsmoment in m⁴

Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte

Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte (siehe Abb. 1):

Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G}$$ nach unten und die Normalkraft $$F_{N}$$ nach oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Die durch Masse und Biegung des Lineals entsteht. In dieselbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die zusätzlich am Punkt a (hinter dem Ball) auf das obere Lineal ausgeübt wird. Dadurch ergibt sich die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$, die eine starke Kraft auf den Ball abgibt. Die für den Abflug des Balls entscheidende Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektiv vorwärtsgerichtete Komponente. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .

Ablauf des Phänomens:

Wird eine Kraft $$F_{Extra}$$ am Punkt a auf das Lineal ausgeübt, erhöht sich $$F_{Final}$$.Sobald diese die Haftreibung $$F_{F}$$ übersteigt, wird der Ball in Richtung von $$F_{Final}$$ beschleunigt und losgeschleudert.

Theorie

Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns zunächst das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, die am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als starr, sodass der erste Abschnitt flach bleibt und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball aufweist. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden.

Abb. 2 Erste Theorie zur Modellierung

In der Abb. 2 ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:

• Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$
• Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert
• Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab

Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar.

Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den grundlegenden Gleichungen für Biegelinien² lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln:

Abb. 3 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen

$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{ {l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{ {l}^2}+\frac{Fa^2}{3 {l}^3}$$

Für den ersten Teil unseres Lineals:

    $$w_{I}( {l})=\frac{1}{EI}(Fa-B {l})\frac{ {l}^2}{2}$$

Für den zweiten Teil:

$$w_{II}( {l})=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{ {l}^2}{2}-\frac{F {l}^3}{6}-\frac{Fa^2 {l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$

Die Größen in den Gleichungen:

Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:

$$w_{II}^{I}( {l})=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B {l}^2}{2}+2 a F  {l} - \frac{F {l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$

und die Orthogonale³ Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:

Zur Berechnung:

Diese Theorie betrachtet nun in Form des E-Moduls⁴, welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und Flächenträgheitsmomentes⁵, welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist.

In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt:

Druckpunkt	38cm	39cm	40cm	41cm	42cm	43cm	44cm	45cm
Steigung os	$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$

In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.

Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des 2. Newtonschen Gesetzes⁶ $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen.

Aufbau

Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:

1. Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.
2. Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.

Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit

Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale.

Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D

Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:

Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des Hookeschen Gesetz⁷ $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.

Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.

Abb. 6 Versuch zur bestimmung der Reibungskoeffizienten

Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient experimentel bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 6 zu sehen. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen die Masse dieser Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Die Formel für Haftreibung⁸ ist $$F_{Hkrit}=F_N \cdot \mu_{H}$$. Wir messen die notwendige Kraft, um die Masse in Bewegung zu setzen. Für die Normalkraft⁹ gilt $$F_N=m \cdot g$$. Wir stellen die Gleichung nach $$\mu_{H}$$ um. Für die Gleitreibung¹⁰ gilt $$F_{Gkrit}=F_N \cdot \mu_{G}$$, wobei die kritische Kraft $$F_{Gkrit}$$ gemessen wird, um den Körper konstant in Bewegung zu halten.

Daten

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Unsere Fehlerbetrachtung:

Abb. 7 Messwerte zur Bestimmung der Federkonstante

Die Messwerte des Versuchs zur Bestimmung der Federkonstante sind in

Abb. 7 aufbereitet. Mit diesen können wir nun die Federkonstante bestimmen. Diese ist ungefähr 81$$\frac{N}{m}$$.

Für die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}= d \cdot D$$ erhalten wir 0,04m $$\cdot$$ 81 $$\frac{N}{m}$$ = 3,24N

Beim Versuch zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten haben wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07 erhalten.

Abb. 8 Kraft bei Plastiklinealen

Abb. 9 Vergleich von Kraft $$F_{Final}$$ zu Geschwindigkeit bei Holzlinealen

Abb. 10 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet

In Abb. 8 ist die gemessene Kraft $$F_{Extra}$$ zu einem bestimmten Punkt a auf dem Plastiklineal zu sehen. Man würde erwarten, dass je weiter man vom Projektil entfernt ist, desto mehr Kraft muss man auf die Lineale geben. Wenn man aber sehr nah an dem Ball drückt, braucht man auch wieder mehr Kraft, da man auf den Ball drauf drückt. Dazwischen gibt es einen optimal Punkt, wo man möglichst wenig Kraft braucht, um den Ball zu schießen. Diese Kurve verläuft fast so, wie man es erwarten würde. Der einzige Punkt a, der abweicht ist 25cm. Es fällt allerdings auf, dass es eine große Standardabweichung gibt. Diese kommt einerseits durch den Impuls, der beim drücken entsteht. Andererseits gab es eine Maximalkraft, die der Kraftmesser messen konnte. Diese war 60N.

In der Abb. 9 sieht man den Vergleich von Austrittsgeschwindigkeit und Finalkraft $$F_{Final}$$. Wir können eine Korrelation erkennen, es gibt allerdings wieder Ausreißer, besonders die ersten zwei Kraftwerte. Diese waren sehr schwer zu messen, da man äußerst viel Kraft benötigte, damit der Ball überhaupt losflog. Außerdem haben wir bei dem ersten Wert nur 5 Messungen gemacht und bei den anderen 20 pro Punkt. Der Trend ist aber auf jeden fall vorhanden. Es fällt auch auf, dass 2-3 mal so viel Kraft benötigt wird um den Ball zu schießen. Dies liegt daran, dass Holz schwerer elastisch verformbar ist.

In Abb. 10 wird die gemessene Austrittsgeschwindigkeit mit der theoretischen Austrittsgeschwindigkeit verglichen. Die Größenordnung ist die gleiche und der Trend von oben ist wieder erkennbar. Die zwei Ausreißer sind wieder zu sehen, da die theoretische Geschwindigkeit direkt aus der gemessenen Kraft berechnet wird. Der Geschwindigkeitsunterschied ist höchst wahrscheinlich dem nicht betrachteten Impuls zu zusprechen. Da wir per Hand auf das Lineal gedrückt haben, entsteht dieser und gibt damit eine höhere Geschwindigkeit als theoretisch heraus kommen sollte. Wir haben versucht ihn durch langsames drücken möglichst zu verringern.

Weitere Fehler sind:

• Das wir nie genau an dem Punkt gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m
• das wir $$F_{Extra}$$ nicht immer exakt vom Laptop abgelesen haben und sich zudem teilweise Rundungsfehler eingeschlichen haben
• das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten
• das wir den Luftwiderstand bei unsere ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten vernachlässigt haben. Da wir nur die ersten 0,016 Sekunden (ersten 4 Frames des 240fps Videos) gemessen haben, hat dieser keinen großen Einfluss und lässt sich vernachlässigen

Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:

• Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten
• Die Abnutzung der Lineale und des Tischtennisballs
• Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N
• Die geringe Videoqualität des der Videokamera, was das tracken erschwärte, der Einfluss dieses Fehler ist jedoch schwer einzuschätzen
• Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den Ball besonders gut sehen kann

Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben.

Fazit

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

Im letzten Jahr haben wir uns mit dem Phänomen ausgiebig beschäftigt. Wir haben herausgefunden, dass die Elastizität einen großen Einfluss auf die benötigte $$F_{Extra}$$ hat und damit direkt auf die Austrittsgeschwindigkeit. Außerdem hat der Punkt a, an dem man drückt, einen konkreten Einfluss auf die Austrittsgeschwindigkeit. Wenn man den Winkel $$\theta$$ möglichst reduziert, erhält man eine maximal $$F_{Final}$$, was sich auch direkt in die Geschwindigkeit überführt.

Erfolge

Mit unserem Projekt haben wir an der Jugend Forscht Regionalrunde teilgenommen, haben uns dabei aber leider nicht weiter qualifiziert. Außerdem hat Elliott an BeGYPT teilgenommen, ist aber auch dort leider nicht weiter gekommen.

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!

1: https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html

2: https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie

3: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität

4: https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul

5: https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment

6: https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip

7: https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz

8: https://de.wikipedia.org/wiki/Haftreibung

9: https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_force

10: https://de.wikipedia.org/wiki/Reibung#Gleitreibung