Rayleigh-Bénard Konvektion

Thema

Messaufbau

Wir haben die 10 Aufgabe vom GYPT bearbeitet. Die Aufgabenstellung ist:"Uniformly and gently heat the bottom of a container containing a suspension of powder in oil (e.g. mica powder in silicon oil), cell-like structures may form. Explain and investigate this phenomenon."

Unser Experiment basiert auf dem Prinzip der Konvektion. Eine Flüssigkeit, in diesem Fall Silikonöl  wird von unten homogen erhitzt. Dadurch hat die untere Schicht vom Silikonöl eine kleinere Dichte und die obere Schicht eine größere. Das verursacht eine Auftriebskraft, welche auf die untere Schicht, nach oben wirkt. Daraufhin fängt bei einem hinreichend großen $$\Delta T$$ die Konvektion an, weil ab diesem Zeitpunkt die Auftriebskraft die Viskositätskraft überwindet (die Viskosität kann man als innere Reibung in einer Flüssigkeit ansehen). Das erkennt man daran, dass die untere Schicht an manchen Punkten durch senkrechte Strömungen nach oben gelangt und sich beim Ausbreiten auf der Oberfläche abkühlt. Dort sinkt das Öl wieder wegen der größeren Dichte an den Rändern der Zellen ab. Dadurch bilden sich meist hexagonale Muster an der Oberfläche, die wir Rayleigh-Bénard-Zellen nennen.

Theorie

Die kritische Rayleigh-Zahl, bei der Konvektion anfängt, werden wir jetzt herleiten:  

Dazu betrachten wir als erstes ein Modell mit unendlich langen Platten in X-Richtung und mit Abstand H in Y-Richtung.

Die obere Platte sei Luft und die untere Platte sei unser Metall, welches die Wärme transportiert.

Die Temperatur von dem Material in der oberen Schicht (Luft) und der unteren Schicht (Metall) bleibt die ganze Zeit konstant.

Dabei ist die Temperatur bei $$y = 0$$ und $$y = H$$ gleich.

Wenn jetzt die Temperatur der unteren Platte größer ist als die der oberen Platte, passiert ab einem bestimmten kritischen Temperaturunterschied Konvektion.

Wir nehmen auch an, dass die ringförmige Bewegung in X-Richtung periodisch ist und in Z-Richtung nur eine Erweiterung dieses Querschnitts ist.

Deswegen ist dies vernachlässigbar.  

Beginnen wir mit den Navier-Stokes-Gleichungen, die das Verhalten einer Flüssigkeit beschreiben,

und der Wärmeleitung-Gleichung, um den Einfluss der Temperatur auf das System zu beschreiben:

1. Gleichung für Masseerhaltung (Kontinuitätsgleichung), Gleichung

\begin{align*} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho  u}{\partial x} + \frac{\partial\rho  v}{\partial y}= 0 \end{align*}

\begin{align*} \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2u \end{align*}

\begin{align*} \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \nabla^2v -\rho g \end{align*}

\begin{align*} \rho C_p \left( \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} \right) = k \nabla^2 T \end{align*}

In unserem Versuch ist $$\Delta T$$ so klein, dass wir eine sehr kleine Veränderung der Dichte bekommen, die wir ignorieren können.

Dadurch nehmen wir die Dichte in allen Termen als konstantes $$\rho_0$$ an. Die Ausnahme ist der Term für die Y-Richtung,

weil wir für eine Konvektion Dichteunterschiede brauchen, die von einem Temperaturunterschied herbeigeführt wurden.

Man nennt diese Approximation die Boussinesq-Approximation und wir benutzen sie, um die Gleichungen zu vereinfachen.  

Dadurch bekommen wir für die Dichte:

\begin{align*} \rho = \rho_{0}(1 + \beta(T -T_{0})) \end{align*}

für den Gravitationsterm, also den Term mit dem $$g$$.

Und für alle anderen Anwendungen nehmen wir $$\rho = \rho_{0}$$ für alle anderen Terme.

Die Umformungsschritte könnt ihr im Video nachvollziehen\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=Ioy-uAMOZCg}}:

\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} &= 0 \\ \rho_{0}\left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right) &= -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u \\ \rho_{0} \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} \right) &= -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \nabla^2 u - \rho_{0}(1 + \beta(T -T_{0})) g \\ \rho_0 C_p \left( \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} \right) &= k \nabla^2 T \end{align*}

Wir betrachten jetzt einen stabilen Zustand / steady state unseres Systems,

in welchem die Temperatur nur durch die Wärmeleitung übergeben wird.

In diesem Zustand haben wir keine Bewegung, bedeutet

$$u^{ss} = 0 \text{ und } v^{ss} = 0$$ stimmt.

Temperatur linear:

\begin{align*} T^{ss} = y \frac{T_H -T_0}{H} + T_0 \end{align*}

So ist die Veränderung des Drucks auch linear:

\begin{align*} \frac{\partial p^{ss}}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial p^{ss}}{\partial y} = -g\rho_{0}(1 + \beta(T^{ss} -T_{0})) \end{align*} Als nächstes betrachten wir eine kleine Störung des Systems. Wenn die Störung des Systems kleiner wird und das System zu seinem stabilem Zustand zurückkehrt, dann wissen wir, dass die kritische Temperaturdifferenz größer ist. Bei der kritischen Temperaturdifferenz würde sich die Störung immer vergrößern, und es würde aus dem stabilen Zustand von der Wärmeleitung in den stabilen Zustand der Konvektion übergehen.

\begin{align*} u = u^{ss}+ \epsilon \cdot \tilde{u}, \quad v = v^{ss}+ \epsilon \cdot \tilde{v}, \quad T = T^{ss}+ \epsilon \cdot \tilde{T}, \quad p = p^{ss}+ \epsilon \cdot \tilde{p} \end{align*}

Jeder Term mit einer Tilde über dem Buchstaben stellt eine kleine Störung dar, die durch die Konvektion entstanden ist. $$\epsilon$$ ist jedoch ein kleiner Faktor, der die Konvektion runterskaliert, weil wir nur eine kleine Störung annehmen. Er ist so klein, dass $$\epsilon^2$$ und alle höheren Terme vernachlässigt werden können.

Jetzt setzen wir alle Variablen in die Navier-Stokes-Gleichung und in die Wärmeleitungsgleichung ein. Wir betrachten nur Terme mit $$\epsilon$$ vom Grad 0 oder 1. Das ist unsere neue Kontinuitätsgleichung:

\begin{align*} &\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \quad \text{| Substitution: } u = u^{ss} + \epsilon \tilde{u}, \, v = v^{ss} + \epsilon \tilde{v} \\ &\Rightarrow \quad \frac{\partial}{\partial x}(u^{ss} + \epsilon \tilde{u}) + \frac{\partial}{\partial y}(v^{ss} + \epsilon \tilde{v}) = 0 \\ &\Rightarrow \quad \frac{\partial u^{ss}}{\partial x} + \frac{\partial v^{ss}}{\partial y} + \epsilon \left(\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} \right) = 0 \\ &\Rightarrow \quad \frac{\partial u^{ss}}{\partial x} + \frac{\partial v^{ss}}{\partial y} = 0 \quad \text{und} \quad \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = 0 \end{align*} Jetzt setzen wir es nach diesem Muster in die anderen drei Gleichungen am Anfang ein.

X-Richtung:

\begin{align*} \rho_{0} \Big( \frac{\partial }{\partial t}(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) + (u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) \frac{\partial }{\partial x}(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) + (v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) \frac{\partial }{\partial y}(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) \Big) = - \frac{\partial }{\partial x}(p^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{p}) + \mu \nabla^2(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) \end{align*}

Jeder Term mit $$\epsilon$$ von höherem Grad als 1 ist gleich 0. Deswegen betrachten wir nur Terme mit $$\epsilon$$ vom Grad 1 (die Störungsterme) und kürzen das $$\epsilon$$ weg. Mit unseren Annahmen des steady state ergibt sich:

\begin{align*} \Rightarrow \quad \rho_0 \frac{\partial \tilde{u}}{\partial t} = - \frac{\partial \tilde{p}}{\partial x} + \mu \nabla^2 \tilde{u} \end{align*}

Y-Richtung:

\begin{align*} \rho_{0} \Big( \frac{\partial }{\partial t}(v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) + (u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) \frac{\partial }{\partial x}(v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) + (v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) \frac{\partial }{\partial y}(v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) \Big) = - \frac{\partial }{\partial y}(p^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{p}) + \mu \nabla^2(u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) - \rho_0 g \left( 1 + \beta \left( T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T} - T_0 \right) \right) \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \quad \rho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial t} = - \frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \mu \nabla^2 \tilde{v} - g \rho_0 \beta \tilde{T} \end{align*}

Wärmeleitungssatz:

\begin{align*} \rho_0 C_p \Big( \frac{\partial }{\partial t}(T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T}) + (u^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{u}) \frac{\partial }{\partial x}(T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T}) + (v^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{v}) \frac{\partial }{\partial y}(T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T}) \Big) = k \nabla^2 (T^{ss} + \epsilon \cdot \tilde{T}) \end{align*}

Mit diesen Bedingungen rechnen wir weiter:

\begin{align*} T^{ss} &= y \frac{T_H - T_0}{H} + T_0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial T^{ss}}{\partial y} = \frac{T_H - T_0}{H} \\ \Rightarrow \quad \rho_0 C_p \left( \frac{\partial \tilde{T}}{\partial t} + \tilde{v} \frac{T_H - T_0}{H} \right) &= k \nabla^2 \tilde{T} \end{align*}

Jetzt wollen wir den Term mit dem Druck entfernen, indem wir die Gleichung in X-Richtung nach $$y$$ und die in Y-Richtung nach $$x$$ ableiten, und danach subtrahieren.

X-Richtung:

\begin{align*} \rho_0 \frac{\partial \tilde{u}}{\partial t} = -\frac{\partial \tilde{p}}{\partial x} + \mu \nabla^2 \tilde{u} \quad \Big| \frac{\partial}{\partial y} \\ \Rightarrow \quad \rho_0 \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial t \partial y} = - \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial x \partial y} + \mu \nabla^2 \left( \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} \right) \end{align*}

Y-Richtung:

\begin{align*} \rho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial t} = - \frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \mu \nabla^2 \tilde{v} - g \rho_0 \beta \tilde{T} \quad \Big| \frac{\partial}{\partial x} \\ \Rightarrow \quad \rho_0 \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial x} = - \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial y \partial x} + \mu \nabla^2 \left( \frac{\partial \tilde{v}}{\partial x} \right) - g \rho_0 \beta \frac{\partial \tilde{T}}{\partial x} \end{align*}

Nun subtrahieren wir:

\begin{align*} \Rightarrow \quad \rho_0 \left( \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} - \frac{\partial \tilde{v}}{\partial x} \right) \right) = \mu \nabla^2 \left( \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} - \frac{\partial \tilde{v}}{\partial x} \right) - g \rho_0 \beta \frac{\partial \tilde{T}}{\partial x} \end{align*}

Nochmals nach $$x$$ ableiten:

\begin{align*} \Rightarrow \quad \rho_0 \left( \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial x^2} \right) \right) = \mu \nabla^2 \left( \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial x^2} \right) - g \rho_0 \beta \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial x^2} \end{align*}

Zwischenschritt:

\begin{align*} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = 0 \quad &\Leftrightarrow \quad \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} = - \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial y^2} \\ &\Rightarrow \quad \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial x^2} = -\left( \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial y^2} \right) = - \nabla^2 \tilde{v} \\ \Rightarrow \quad \rho_0 \frac{\partial}{\partial t} (- \nabla^2 \tilde{v}) &= - \mu \nabla^4 \tilde{v} - g \rho_0 \beta \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial x^2} \end{align*}

Die Lösungen dieser PDE müssen exponentiell oder sinusförmig sein. Wir setzen für $$\tilde{v}$$ und $$\tilde{T}$$:

$$ \tilde{v} = v^*(y) e^{\sigma t} \sin(\alpha x), \quad \tilde{T} = T^*(y) e^{\sigma t} \sin(\alpha x) $$

Der Effekt ist exponentiell in der Zeit und periodisch im Raum. Wir nehmen $$\sigma \in \mathbb{R}$$ an, da ein komplexes $$\sigma$$ auch zeitlich oszillieren würde (→ Eulerformel).

\begin{align*} \frac{\partial \tilde{T}}{\partial t} &= \sigma \cdot T^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) = \sigma \cdot \tilde{T} \\ \nabla^2 \tilde{T} &= \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial y^2} \\ &= -\alpha^2 T^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( T^* \cdot e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \right) = (-\alpha^2 + D^2) \tilde{T} \end{align*}

$$ \text{Wir definieren den Operator: } D = \frac{\partial}{\partial y}, \text{ daher gilt: } D \tilde{v} = \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} $$

\begin{align*} \nabla^2 \tilde{T} &= (D^2 - \alpha^2) T^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \quad \text{Notiz: } (D^2 - \alpha^2) \text{ ist ein linearer Operator} \\ \nabla^2 \tilde{v} &= (D^2 - \alpha^2) v^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \\ \nabla^4 \tilde{v} &= (\nabla^2)^2 \tilde{v} = (D^2 - \alpha^2)^2 v^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \end{align*}

Diese neuen Erkenntnisse setzen wir in die vorherigen Formeln ein:

\begin{align*} \rho_0 \left( \frac{\partial}{\partial t}(-\nabla^2 \tilde{v}) \right) &= -\mu \nabla^4 \tilde{v} - g \rho_0 \beta \frac{\partial^2 \tilde{T}}{\partial x^2} \\ \Rightarrow \quad \rho_0 (-\sigma(D^2 - \alpha^2) v^*) e^{\sigma t} \sin(\alpha x) &= \left( -\mu(D^2 - \alpha^2)^2 v^* - g \rho_0 \beta (-\alpha^2) T^* \right) e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \\ \Leftrightarrow \quad \rho_0 (-\sigma(D^2 - \alpha^2) v^*) &= -\mu(D^2 - \alpha^2)^2 v^* - g \rho_0 \beta (-\alpha^2) T^* \\ \Leftrightarrow \quad \sigma \rho_0 (D^2 - \alpha^2) v^* &= \mu(D^2 - \alpha^2)^2 v^* + g \rho_0 \beta \alpha^2 T^* \end{align*}

Nach weiteren Umformungen erhalten wir:

\begin{align*} \rho_0 C_p \left( \frac{\partial \tilde{T}}{\partial t} + \tilde{v} \frac{T_H - T_0}{H} \right) &= k \nabla^2 \tilde{T} \\ \Rightarrow \quad \rho_0 C_p \left( \sigma T^* + v^* \frac{T_H - T_0}{H} \right) e^{\sigma t} \sin(\alpha x) &= k (D^2 - \alpha^2) T^* e^{\sigma t} \sin(\alpha x) \\ \Leftrightarrow \quad \rho_0 C_p \left( \sigma T^* + v^* \frac{T_H - T_0}{H} \right) &= k (D^2 - \alpha^2) T^* \end{align*}

Wir erkennen anhand der Gleichungen für $$\tilde{v}$$ und $$\tilde{T}$$, dass die Instabilität beginnt, sobald $$\sigma$$ sein Vorzeichen wechselt. Also betrachten wir den Fall $$\sigma = 0$$:

\begin{align*} \sigma \rho_0 (D^2 - \alpha^2) v^* &= \mu (D^2 - \alpha^2)^2 v^* + g \rho_0 \beta \alpha^2 T^* \quad \Big|_{\sigma = 0} \\ \Rightarrow \quad \mu (D^2 - \alpha^2)^2 v^* &= -g \rho_0 \beta \alpha^2 T^* \quad \Big| \cdot (D^2 - \alpha^2) \\ \Rightarrow \quad \mu (D^2 - \alpha^2)^3 v^* &= -g \rho_0 \beta \alpha^2 (D^2 - \alpha^2) T^* \end{align*}

Die zweite Gleichung:

\begin{align*} \rho_0 C_p \left( \sigma T^* + v^* \frac{T_H - T_0}{H} \right) &= k (D^2 - \alpha^2) T^* \\ \Leftrightarrow \quad (D^2 - \alpha^2) T^* &= \frac{\rho_0 C_p (T_H - T_0)}{k H} v^* \end{align*}

Substitution ergibt:

\begin{align*} \mu (D^2 - \alpha^2)^3 v^* = \frac{-g \beta \rho_0 \alpha^2 \rho_0 C_p (T_H - T_0)}{k H} v^* \end{align*}

Mit den Definitionen für kinematische Viskosität und thermische Diffusivität:

\begin{align*} \nu &= \frac{\mu}{\rho_0}, \quad \alpha_T = \frac{k}{\rho_0 C_p} \\ \Rightarrow \quad (D^2 - \alpha^2)^3 v^* &= \frac{-g \beta \alpha^2 (T_H - T_0)}{\nu \alpha_T H} v^* \end{align*}

Wir skalieren auf den Intervall $$y \in [0, H]$$:

\begin{align*} y^* = \frac{y}{H} \quad \Rightarrow \quad dy^* = \frac{1}{H} dy \quad \Rightarrow \quad D^* = H D \end{align*}

Damit ist $$D^*$$ der dimensionslose y-Ableitungsoperator. Da $$\alpha$$ in $$\sin(\alpha x)$$ vorkommt, hat es die Einheit $$1/L$$ → skalierte Wellenzahl: $$\alpha^* = H \alpha$$.

Nach Einsetzen erhalten wir:

\begin{align*} \left( \frac{D^{*2} - \alpha^{*2}}{H^2} \right)^3 v^* &= \frac{-g \beta \alpha^{*2} (T_H - T_0)}{\nu \alpha_T H^3} v^* \\ \Leftrightarrow \quad (D^{*2} - \alpha^{*2})^3 v^* &= \frac{-g \beta H^3 (T_H - T_0)}{\nu \alpha_T} \alpha^{*2} v^* \\ \Leftrightarrow \quad (D^{*2} - \alpha^{*2})^3 v^* &= -Ra \cdot \alpha^{*2} v^* \end{align*}

Das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung mit Randbedingungen:

\begin{align*} v = 0 \Rightarrow v^* = 0 \quad \text{für} \quad y^* = 0, 1 \end{align*}

Es gibt kein Gleiten an $$y^* = 0$$ wegen der festen Unterlage: $$u = 0 \Rightarrow \tilde{u} = 0 \Rightarrow \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = 0 \Rightarrow D^* v^* = 0$$

Keine Schubspannung an $$y^* = 1$$ (Kontakt mit Luft):

\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \Rightarrow \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} = 0 \Rightarrow \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial y \partial x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial y \partial x} = 0 \end{align*}

Bei $$y^* = 0$$ und $$y^* = 1$$ gilt:

\begin{align*} T = T_0 \text{ bzw. } T_H \Rightarrow T = T^{ss} + \epsilon \tilde{T} = T^{ss} \Rightarrow \tilde{T} = 0 \Rightarrow T^* = 0 \end{align*}

\begin{align*} \mu (D^2 - \alpha^2)^2 v^* = -g \rho_0 \beta \alpha^2 T^* \Rightarrow (D^2 - \alpha^2)^2 v^* = 0 \end{align*}

Die Lösung ist:

\begin{align*} v^* = A_n \cdot \sin(n \pi y^*) \quad \text{mit} \quad n \in \mathbb{Z} \end{align*}

Einsetzen in die Ursprungsgleichung:

\begin{align*} (D^{*2} - \alpha^{*2})^3 \cdot A_n \cdot \sin(n \pi y^*) &= -Ra \cdot \alpha^{*2} \cdot A_n \cdot \sin(n \pi y^*) \\ D^{*2} v^* = -n^2 \pi^2 v^* &\Rightarrow (-n^2 \pi^2 - \alpha^{*2})^3 v^* = -Ra \cdot \alpha^{*2} v^* \\ \Rightarrow \quad Ra &= \frac{(n^2 \pi^2 + \alpha^{*2})^3}{\alpha^{*2}} \end{align*}

$$ \alpha^* = H \alpha \quad \Rightarrow \quad \text{Plot von Ra gegen } \alpha^* \text{ ist skaliert im Vergleich zu Ra gegen } \alpha $$

Wir wählen $$n = 1$$, weil dies der Modus ist, der mit experimentellen Rayleigh-Zahlen übereinstimmt.

$$ Ra \in [0, 2000] \quad \text{Bei höheren Werten von } n = 2 \text{ oder mehr, tritt dies nicht auf.} $$

Diese Kurve ist eine Neutralstabilitätskurve. Normalerweise ist der Wert, den wir im System einstellen, $$Ra$$ (Rayleigh-Zahl) und nicht die Wellenzahl $$\alpha$$, da letztere zufällig und ungleichmäßig über die Oberfläche verteilt ist.

Die Kurve der $$Ra$$-Werte wurde für $$\sigma = 0$$ erstellt, was bedeutet, dass die $$Ra{-}\alpha$$-Paare, die darin auftreten, ein $$\sigma < 0$$ haben und somit mit der Zeit zerfallen.

Das $$\sigma$$ kann als proportional zum vertikalen Abstand von der Funktion betrachtet werden. Daher wird für jede Anfangswellenzahl $$\alpha$$ jene am stärksten verstärkt, die

$$ Ra \in [0, 2000] \quad \text{Bei höheren Werten von } n = 2 \text{ oder mehr, tritt dies nicht auf.} $$

Diese Kurve ist eine Neutralstabilitätskurve. Normalerweise ist der Wert, den wir im System einstellen, $$Ra$$ (Rayleigh-Zahl) und nicht die Wellenzahl $$\alpha$$, da letztere zufällig und ungleichmäßig über die Oberfläche verteilt ist.

Die Kurve der $$Ra$$-Werte wurde für $$\sigma = 0$$ erstellt, was bedeutet, dass die $$Ra{-}\alpha$$-Paare, die darin auftreten, ein $$\sigma < 0$$ haben und somit mit der Zeit zerfallen.

Das $$\sigma$$ kann als proportional zum vertikalen Abstand von der Funktion betrachtet werden. Daher wird für jede Anfangswellenzahl $$\alpha$$ jene am stärksten verstärkt, die

\begin{align*} \alpha^* = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \end{align*}

entspricht — also dem Extrempunkt. Laut der Theorie beginnt die Konvektion bei einer Rayleigh-Zahl von $$675,5. \alpha^* = \frac{\pi}{\sqrt{2}} $$

entspricht — also dem Extrempunkt. Laut der Theorie beginnt die Konvektion bei einer Rayleigh-Zahl von 675,5.

Aufbau

Aufbau

Unser Aufbau besteht aus einer Heizplatte mit Magnetrührer, einem größeren Behälter, der bis zu einem bestimmten Füllstand mit Wasser gefüllt ist, und einem kleineren Behälter mit Silikonöl, dessen Boden das Wasser streift. Der kleinere Behälter wird durch einen am Tisch befestigten Metallstab an Ort und Stelle gehalten. Ein Computer mit Logger Lite und ein angeschlossenes LabQuest Mini mit zwei Thermometeraufsätzen: ein stabförmiger Messstab im Wasser und der andere knapp über der Öloberfläche. Darüber hinaus haben wir einen Aufzeichnungsaufbau mit weiteren Metallstäben und Aufsätzen vorbereitet, um eine Lampe und ein Telefon über dem Aufbau zu befestigen.

Die Durchführung läuft wie folgt ab: Nachdem alle Aufzeichnungsgeräte angeschlossen wurden, wird die Heizung eingeschaltet und der Rührer mit moderater Geschwindigkeit in Betrieb genommen, um eine äquitherme Erwärmung des Öls von der Basis aus zu erzeugen. Die Daten der Zellgrößen sowie die Temperaturwerte von Basis und Oberfläche werden für eine spätere Auswertung gespeichert.

Daten

Prandtl und grashof zahl erklärung einfügen

Um herauszufinden bei welcher Temperatur Differenz, mit zugehöriger Höhe, Rayleigh Bernard Konvektion anfängt, müssen wir die Rayleigh Zahl zu diesem Zeitpunkt messen. Diese Rayleigh Zahl ist die kritische Rayleigh Zahl für den Anfang von stabiler Konvektion. Da diese durch die Prandtl und Grashof Zahl definiert wird, ist sie universell für alle Stoffe und so zwischen unterschiedlichen Experimenten Vergleichbar.

Parameter	Wert	Formelzeichen
Rayleigh-Zahl		$$Ra$$
Stoffeigenschaften von Silikonöl 50cSt
Dichte	$$960 kg/m^3$$	$$\rho$$
Spezifische Wärmekapazität	$$1,5 J/(g K)$$	$$c$$
Wärmeausdehnungskoeffizient	$$9,5 \times 10^{-4}$$	$$\gamma$$
Dynamische Viskosität	$$0,48 Pa s\mid 4,8 Pa s\mid 48 Pa s$$	$$\eta$$
Wärmeleitfähigkeit	$$15 \times 10^{-4} J/(m s K)$$	$$k$$
Erdbeschleunigung	$$9,81 m/s^2$$	$$g$$
Messwerte	Einheit	Formelzeichen
Temperaturunterschied	$$K$$	$$\Delta T$$
Höhe	$$cm$$	$$h$$

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Fazit

In unserer Untersuchung haben wir die kritische-Rayleigh-Zahl in der Theorie berechnet und gemessen. Ab diesem Punkt beginnt die Konvektion mit den Zellmustern. Dabei lässt sich die Größe und die Zellenform der die Zellen durch verschiedene Parameter beeinflussen, wie zum Beispiel durch h ,$$\Delta T$$ und andere stoffspezifische Parameter.

Erfolge

Wir haben in einem Jugend Forscht Regionalwettbewerb gewonnen und sind in die Landesrunde weiter gekommen. Außerdem haben wir in jeweils Berlin und Königs-Wusterhausen den GYPT-Regionalwettbewerb gewonnen und sind dort in die Bundesrunde weitergekommen.

Quellen

https://www.clearcoproducts.com/pdf/heat-transfer-fluids/NP-PSF-50cSt-Silicone-Heat-Transfer-Fluid.pdf}23.01.2025 https://www.reddit.com/r/mildlyinteresting/comments/cabuo3/these_convection_currents_in_my_bowl_of_miso_soup/ https://de.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-Zahl https://www.hellermanntyton.at/binaries/content/assets/downloads/at/datenblatter/01-wacker-silikone/siliconefluidsakde.pdf https://www.youtube.com/watch?v=Ioy-uAMOZCg https://www.youtube.com/watch?v=kQ7k0Mu476Q https://www.youtube.com/watch?v=uAHuWD1i82A https://www.youtube.com/watch?v=uAHuWD1i82A https://www.youtube.com/watch?v=uAHuWD1i82A