Ball on a Ferrite Rod: Unterschied zwischen den Versionen
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$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{. | $$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$ | ||
$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $u$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$: | $$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$: | ||
$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$ | $$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$ | ||
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Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen. | |||
Nach unserer Theorie formen die Werte | |||
$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in \mathbb{N}$$ | |||
eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen. | |||
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Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen. | |||
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Version vom 9. März 2023, 17:02 Uhr
In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von Fabian Schmitt(17) und Philipp Werner(17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.
Thema
"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."
Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.
Theorie
Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren rein mathematisch, nämlich der 2- und 3-Dimensionale Ansatz$$^{[4]}$$, und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung$$^{[2]}$$, ist ein physikalischer Ansatz.
2-Dimensionaler Ansatz
Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche. Nun betrachtet man den Umkreis $$k$$ des entstandenen Rechtecks. Der Kreis $$k$$ wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Somit hat jeder Bogen hat als Kreissehne eine Seite des Zylinders. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren und zwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreisbögen gehört. Wenn es eine Energiedissipation von 100% gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite stabilisieren, die dem Kreisbogen zugeordnet ist, der den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, berührt der Kreis den Boden ebenfalls in einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet, lässt sich ausrechnen, indem man die Länge der jeweiligen Kreisbögen zum gesamten Umfang betrachtet.
Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf jeder Seite gleich wahrscheinlich landet, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ unter der Bedingung, dass es eine Energiedissipation von 100% gibt.
3-Dimensionaler Ansatz
Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Hier betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, auf welcher Seite der Zylinder landet, kann man dann ausrechnen, indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.
Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem der Zylinder auf allen seinen Seiten gleich wahrscheinlich landet, ist also laut dem 3-Dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.
Gibbsverteilung
Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.
Nach der Gibbsverteilung$$^{[1]}$$ gilt:
$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$
$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$
Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur Eliminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.
Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:
$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$
$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$
$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält, denn veränderte Parameter des Wurfes und des Wurfobjektes können zu einem unterschiedlichen Einfluss der Fläche auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung führen.
Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.
Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:
$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.
Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:
$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$
$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$
$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$
Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:
$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.
Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.
Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.
Maximum-Likelihood-Funktion
Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutz$$^{[3]}$$.
Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.
$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$
Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.
Aufbau
Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.
Daten
Ermittelung des Restitutionskoeffizienten
Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.
Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch folgende Gleichung berechnen:
$$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}\text{.}$$
Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte:
$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$ für $$\alpha$$.
$$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$
Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von
$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029 \text{.}$$
Geschwindigkeiten
Nach der Theorie gilt:
$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$
$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:
$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$
Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.
Nach unserer Theorie formen die Werte
$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in \mathbb{N}$$
eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.
Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.
\end{minipage}
\hspace{0.05\textwidth}
\begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ width=\textwidth, height=7cm, xmin = 0, xmax = 4.5, ymin = -2, ymax = 3, axis lines = center, xlabel = {t}, ylabel = {x}, legend pos= south west, xtick=\empty, ytick=\empty ] \addplot[samples=500,domain=0:2*pi, color=olive]{2*sin(2*deg(x))}; \addlegendentry{h} \addplot [color=gray] coordinates {(0,2.24) (3.46,1.28)}; \addlegendentry{ball} \addplot[ blue, only marks, mark options={ draw=blue, fill=black, }, scatter src=explicit symbolic, error bars/.cd, y dir=both, y explicit, x dir=both, x explicit ] coordinates{ (3.141,0) +- (0,0)[1] }; \addlegendentry{$u = u_{max}$} \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
Vergleich von Theorie und Messdaten:
Die Theorie behauptet, dass es eine Gerade gibt, die den Graphen von oben beschränkt. Diese Gerade können wir recht deutlich in unseren Messdaten sehen. Die wenigen Ausreißer, die dennoch über dieser beschränkenden Geraden sind, entstehen durch Reibung des Balls an zum Beispiel den Außenwänden der Röhre, wodurch sich sein Fall künstlich verlängert und durch unsere Berechnungen eine ungenauere Geschwindigkeit zugeschrieben bekommt. Ebenfalls können Sprünge künstlich verlängert werden, indem sehr kleine Sprünge nicht erkannt werden und dem nächsten Sprung fälschlicher Weise zugeschrieben werden. Dieser Fehler ist aber relativ gering.
Insgesamt sind allerdings alle Messwerte und alle Simulationsdaten in gut übereinstimmenden Wertebereichen.
Des Weiteren ist zu sehen, dass die Maxima sowohl bei den theoretischen Daten als auch ansatzweise in den Messdaten bei besonders kleinen Werten eine Kurve anstatt einer Gerade bilden.
Ein Unterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass es bei den Messdaten keine Werte unter $$0,2 \frac{m}{s}$$ gibt. Das lässt sich dadurch erklären, dass durch Vianas Auflösung und FPS besonders kleine Sprünge nicht ausgewertet werden können.
Unterschiedliche Höhen
Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Abwurfhöhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.
Das Ergebnis ist:
| Abwurfhöhe in $$m$$ | Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel | opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis |
|---|---|---|
| $$0,8$$ | ($$1,2$$; $$30,0$$) | $$1,27$$ |
| $$1,0$$ | ($$1,5$$; $$30,0$$) | $$1,21$$ |
| $$1,2$$ | ($$1,7$$; $$29,8$$) | $$1,16$$ |
Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder öfter springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.
Unterschiedlicher Untergrund
Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht
Das Ergebnis ist:
| Oberfläche | Wurfmaschine | Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel | Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis |
|---|---|---|---|
| Teppich | Coin-Flipper | ($$1,5$$; $$30,0$$) | $$1,21$$ |
| Linoleum | Coin-Flipper | ($$1,8$$; $$1,6$$) | $$0,80$$ |
| Teppich | Coin-Slider | ($$1,4$$; $$27,2$$) | $$1,20$$ |
| Linoleum | Coin-Slider | ($$1,9$$; $$8,1$$) | $$0,91$$ |
Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.
Unterschiedliche Zylindermaterialien
Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von $$1,0$$ $$m$$ Höhe fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet. Das Ergebnis ist:
| Material | Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel | Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis |
|---|---|---|
| Edelstahl | ($$1,5$$; $$3,2$$) | $$0,8$$ |
| POM | ($$1,8$$; $$16,6$$) | $$1,05$$ |
Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf das $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.
Unterschiedliche Skalierung
Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM Zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.
Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.
Keine Sprünge
Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: Wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.
Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-Dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch Sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.
Fehlerbetrachtung
Tschebyscheff Ungleichung
Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung$$^{[5]}$$ genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:
$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$
$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten $$N = 200$$ Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt:
$$p\left(|\frac{n}{200}-p| \geq \frac{1}{\sqrt{200}} \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{200} \cdot 200} = \frac{1}{4}$$
$$4 \cdot 200$$ von den $$30 \cdot 200$$ Würfen sind außerhalb des Vertrauensbereiches, aber da $$\frac{4}{30} < \frac{1}{4}$$, passt die Theorie zu unseren Messdaten.
Messfehler
Alle angefertigten Zylinder haben eine Genauigkeit von $$0,01$$ $$cm$$. Daher erhält man als relative Fehler für die $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisse Werte zwischen $$2,2\%$$ und $$3,0\%$$. Daher beeinflussen diese Fehler die Tschebyscheff Ungleichung nicht signifikant genug, dass die Theorie nicht mehr zu den Messwerten passt.
Es gibt auch weitere Fehlerquellen die auftreten könnten wie z.B. wie das Ermitteln eines optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnisses, welches nicht durch 2 Messwerte eingegrenzt wird. Diese haben jedoch wahrscheinlich ebenfalls nur einen insignifikanten EInfluss.
Fazit
Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:
| Zylindermaterial | Abwurfhöhe in $$m$$ | Untergrund | Wurfgerät | $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis |
|---|---|---|---|---|
| POM | $$1,0$$ | Linoleum | Coin-Flipper | $$1,05$$ |
| Edelstahl | $$1,0$$ | Linoleum | Coin-Flipper | $$0,80$$ |
| Edelstahl | $$1,0$$ | Teppich | Coin-Flipper | $$1,21$$ |
Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein.
Erfolge
Wir haben folgende Erfolge errungen:
- Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
- GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
- GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
- BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
- BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
- Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)
Quellen
- [1] Riemer2014_Article_CuboidalDiceAndGibbsDistribution (06.01.2022): https://link.springer.com/article/10.1007/s00184-013-0435-y
- [2] Wikipedia Artikel über die Boltzmann-Verteilung/Gibbs-Verteilung (08.01.2022): https://de.wikipedia.org/wiki/Boltzmann-Statistik
- [3] The Geometrische Verteilung (20.12.2021): https://www.youtube.com/watch?v=TydCoxs2Xbo
- [4] Video über einen möglichen 2- und 3-dimensionalen mathematischen Ansatz (06.01.2022): https://www.youtube.com/watch?v=-qqPKKOU-yY
- [5] Erbrecht, R. et al; Cornelsen; 1. Edition; 2014 s. 42 über die Tschebyscheff Ungleichung (06.01.2022)
Danksagung
Wir bedanken uns bei:
- Herrn Ebert für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
- Timo Huber für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
- Anja Dücker für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
- DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
- Tom Haas und Mohammad-Taha Abdollahnia für ihre Hilfe bei ca. 1000 Würfen
