Ball on a Ferrite Rod

In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von Fabian Schmitt(17) und Philipp Werner(17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

Thema

"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.

Ferritstab

Längenänderung

Längenänderung

Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

Grundfrequenz

Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz.

Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

Anregung mit Schwingkreis

Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C = \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L}$$.

Aufbau

Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt. Insgesamt lenkt sich der Ferritstab dann um ungefähr $$0.01$$mm aus$$^{[5]}$$ (Literaturwert).

Problematischer Weise besitzt der von uns konstruierte Schwingkreis nicht genügend Leistung, um die Ferritstange verlässlich anzuregen, wobei dies auch in seltenen Fällen geglückt ist. Trotzdem ist ein solch unzuverlässiger Aufbau nicht für reproduzierbare Versuche geeignet.

Einführung des Proxys

Da unsere Ferritstange sich trotz monatelanger Arbeit nicht anregen lies, haben wir uns dazu entschieden, einen Ersatz für die Ferritstange zum Generieren von Messdaten zu nutzen. Dieser Ersatz war eine Lautsprechermembran. Wichtig hierbei ist, dass beide Anreger möglichst viele Gemeinsamkeiten besitzen, damit der Austausch gerechtfertigt ist. Insgesamt sind beide Anreger sehr ähnlich und besitzen eine sinusförmige Anregung, jedoch gibt es einen markanten Unterschied: während die Ferritstange mit zwischen $$300$$Hz und $$3000$$Hz schwingt und für die anderen Frequenzen nicht allzu geeignet ist, schwingt der Ferritstab mit einer Frequenz von ca. $$20000$$Hz. Dieser Unterschied mag zwar signifikant erscheinen, jedoch sind die Sprungkonzepte beider Anreger gleich und es gibt keinen Effekt, der beim dem einen Anreger stattfindet, der nicht beim Anderen zu finden ist. Des Weitern hat der von uns gewählte Proxy auch noch den Vorteil, dass man Parametervariation durch das Verstellen der Frequenz und der Spannung erreichen kann. Somit ist der Proxy ein valider vergleichbarer Anreger, welcher von uns für die Messdatengenerierung verwendet werden kann.

Bewegungen des Balls

Darstellung eines Sprungs

Grundlegende Erklärung

Als Erstes gilt es zu klären, warum der Ball auf unserer Membran springt, und welche Geschwindigkeiten er wann besitzt. Den Sprung des Balls kann man in 3 Phasen einteilen: den Start, die Flugphase, und die Landung.

Start: Der Ball verlässt die Membran mit einer Geschwindigkeit von $$v_{max}$$.

Flugphase: Der Ball wird aufgrund der Gravitation in die Richtung entgegen der Bewegung beschleunigt, weshalb er immer langsamer wird, bis er eine Geschwindigkeit von $$0$$ besitzt. Dann beschleunigt er wieder in entgegengesetzte Richtung, bis er auf der Membran auftrifft.

Landung: Da wir angenommen haben, dass es weder Luftreibung noch Reibung an der Wand/Röhre gibt, sowie dass die Auslenkung der Membran $$0$$ ist, landet der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$-v_{max}$$ wieder auf der Membran. Dort verliert er Energie durch Deformation, bekommt aber auch einen Teil seiner Energie wieder für den nächsten Sprung nach oben. Außerdem beschleunigt die Membran den Ball erneut. Aus diesen beiden Faktoren setzt sich die Geschwindigkeit für den nächsten Sprung zusammen.

Theorie

Parameter und Variablen

Parameter und Variablen

Folgende Parameter sind relevant, um das Phänomen zu beschreiben. Sie setzten sich aus den Parametern der Membran und den Parametern des Balls zusammen.

• Membran:
  • Frequenz $$f$$
  • Maximale Auslenkung der Membran $$d_{max}$$
  • Die sich daraus ergebende maximale Geschwindigkeit $$u_{max}$$
• Ball:
  • Masse $$m$$
  • Restitutionskoeffizient $$\alpha$$

Des Weiteren existieren folgende Variablen, die benötigt werden, um die Bewegungen von Ball und Membran zu beschreiben:

• Membranvariablen wie die Position $$h$$ und die Geschwindigkeit $$u$$
• Ballvariablen wie die Geschwindigkeit $$v$$, die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die Sprungdauer $$\Delta t$$

Variablen von Membran und Ball

Bewegung der Membran

Wir nehmen an, dass die Auslenkung der Membran sinusförmig ist. Somit erhält man für die Auslenkung

$$h(t) = sin(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max}$$.

Die Geschwindigkeit der Membran $$u$$ lässt sich als die erste Ableitung der Auslenkung darstellen:

$$u(t) = \dot{h}(t) = cos(2 \pi f \cdot t) \cdot d_{max} \cdot 2 \pi f=cos(2 \pi f \cdot t) \cdot u_{max}$$.

Beschreibung des Falls

Die Verbindung von den verschiedenen Variablen, die den Sprung beschreiben, ist relevant, um diese miteinander zu verbinden und somit ineinander umrechnen zu können. Variablen, die einen Sprung beschreiben, sind die Sprungdauer $$\Delta t$$, die Sprunghöhe $$H$$ und die maximale Geschwindigkeit $$v_{max}$$. Aus der Energieerhaltung erhält man: $$E_{Pot} = E_{Kin}$$. Das liegt daran, dass am Beginn des Sprungs der Ball eine maximale kinetische und keine potentielle Energie (mit korrekt gewähltem Bezug) vorhanden ist, während in der Mitte des Sprungs der Ball keine kinetische und nur potentielle Energie besitzt. Diese Gleichung lässt sich wiefolgt umformen: $$\Leftrightarrow m \dot g \cdot H = \frac{m}{2} \cdot v^2 \Leftrightarrow v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H } \Leftrightarrow H = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot g}$$.

Setup

Skizze des Aufbaus

Foto des Aufbaus

Aufbau

Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

Daten

Ermittelung des Restitutionskoeffizienten

Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch $$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}$$ berechnen.

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte: $$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$$ für $$\alpha$$. Daraus ergibt sich, dass der durchschnittliche Wert für $$\alpha$$ sich als $$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$ ergibt.

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$

Geschwindigkeiten

Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

               

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$

eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.

Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie

Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.

Erfolge

Wir haben folgende Erfolge errungen:

• Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
• GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
• BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
• BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)

Quellen

• [1] Wikipedia über Magnetostriktion (11.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetostriktion
• [2] Wikipedia über die Eigenfrequenzen in einem Material (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance
• [3] Tabelle der Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Materialien (03.03.2023): https://en.wikipedia.org/wiki/Speeds_of_sound_of_the_elements
• [4] Schwingkreisgleichung (03.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis
• [5] Artikel über Ferrite und ihre Auslenkung (03.03.2023): https://de.wikipedia.org/wiki/Ferrite
• [6]