Magneto-Mechanischer Oszillator
Thema
"Secure the lower ends of two identical leaf springs to a non-magnetic base and attach magnets to the upper ends such that they repel and are free to move. Investigate how the movement of the springs depends on relevant parameters."
Befestigen Sie die unteren Enden zweier identischer Blattfedern an einer nicht magnetischen Basis und befestigen Sie Magnete an den oberen Enden, sodass sie sich abstoßen und sich frei bewegen können. Untersuchen Sie, wie die Bewegung der Federn von relevanten Parametern abhängt.
Theorie
Parameter
Die folgenden Parameter sind benötigt, um den Effekt treffend zu beschreiben:
- die Maße der Feder (Länge, Dicke , Breite, Masse)
- Abstand zwischen den zwei Magneten
- Maße der Magneten (Dipolmoment, Masse)
Die Kräfte die in diesem System wirken, sind:
- Rückstellkraft $$F_R$$
- Magnetkraft $$F_M$$
- Dämpfungskraft $$F_D$$
Die Rückstellkraft
Die Rückstellkraft lässt sich mithilfe des Hooke'schen Gesetztes beschreiben:
$$ F_R = k \cdot w \quad w\; - $$ Auslenkung
k ist hier die Federkonstante, sie beschreibt die Steife der Feder. Für diese gilt die folgende Formel, welch man sich ausser Balkentheorie herleiten kann:
$$k = \frac{EI}{L^3} \quad E \; $$- Elastizitätsmodul
Das I beschreibt das Axiale Flächenträgheitsmoment, dies ist eine Querschnittsgröße der Feder, und ist von der Dicke sowie der Breite dieser abhängig.
Die Magnetkraft
Für die Kraft, die zwischen zwei Dauermagneten wirkt gilt die folgende Formel:
$$\begin{equation} \vec{F}(\vec{r},\vec{m}_1,\vec{m}_2)=\frac{3\mu_0}{4\pi r^4} \left[ \vec{m}_2(\vec{m}_1\cdot\vec{r}_n)+ \vec{m}_1(\vec{m}_2\cdot\vec{r}_n)+ \vec{r}_n(\vec{m}_1\cdot\vec{m}_2)- 5\vec{r}_n(\vec{m}_1\cdot\vec{r}_n)(\vec{m}_2\cdot\vec{r}_n) \right] \end{equation} \quad m - $$ magnetisches Moment $$\begin{equation} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad r_n \; - \end{equation} $$ Einheitsvektor der von Magnet 1 zu Magnet 2 zeigt
Diese Formel kann vereinfachen, da wir die Bewegung eindimensional betrachten, sodass man die Vektoren auf als den Betrag mit Vorzeichen Betrachen kann, wodurch man dies erhält:
$$ F= \frac{3\mu_0 m_1 m_2}{2\pi r^4} $$
Mit einer Formel, wie dieser, kann man jedoch keine allgemeinlösbaren Differentialgleichungen aufstellen, sodass wir diese linear annehmen, diese Annahme ist jedoch nur für kleine Ausrenkungen gültig, da sonst eine. zu starke Abweichung entstehen könnte. Daher gilt:
$$ F_M = c(d_0 + w1 + w2) $$
c ist hier der Differenzenquotient zwischen der Magnetkraft die bei dem maximalen abstand und der bei minimalen Abstand zwischen den Magneten wirkt. Und $$d_0$$ ist der Abstand zwischen diesen in Ruhe.
Vereinfachtes Modell
Mithilfe dieser Kräfte kann man ein vereinfachtes Modell erstellen, um diesen Effekt zu beschreiben. Hier vernachlässigen wir die Dämpfung und nehmen zudem kleine Auslenkungen an, um lösbare DGLs zu erhalten. Wir werden hier drei Modell einführen, die drei sind von unterschiedlicher Komplexität, wobei das letzte den betrachteten Effekt darstellt. Die anderen zwei sind jedoch für das weitere Verständnis des Ansatzes, welchen wir verwendet haben sinnvoll.
Freie Biegeschwingung
In diesem Fall Betrachen wir die Schwingung einer ungedampften Blattfeder mit Masse am Rand. Um diese zu beschreiben verwenden wir Newton'sche DGLs, welche man erhält, indem man die auf eine Punktmasse wirkenden Kräfte summiert. Das einzige problem ist, dass wir keine Punktmasse haben. Dies kann man jedoch umgehen, indem man eine effektive Masse berechnet, doch mehr dazu später. Da bei der freien Biegeschwingung, die einzige wirkende Kraft die Rückstellkraft ist gilt hier:
$$ F_{ges} = F_R $$
Umgeformt erhalten wir daher:
$$ \ddot{w} + \frac{k}{m}w = 0 $$
Die Lösung dieser DGL würde hierbei so aussehen:
$$w = \hat w \cdot \cos(\omega_F t) \quad \omega_F = \sqrt{\frac{k}{m}} $$
Schwingung mit festgemachtem Magneten
Hier betrachten wir den Fall, dass man neben der Feder mit magnet einen Magneten festmacht, sodass es auch eine magnetische Kraft gibt, die einwirkt. Daher gilt auch
$$ F_{ges} = F_R +F_M $$
Daraus folgt dann:
$$ \ddot{w} + \frac{k-c}{m}w = 0 $$
Und die Lösung dieser DGL wäre:
$$w = \hat w \cdot \cos(\omega_{FL} t) \quad \omega_{FL} = \sqrt{\frac{k-c}{m}} $$
Gekoppelte Schwingung
Um die Bewegungsgleichung für den gekoppelten Schwinger zu bestimmen, kann man denselben Ansatz wie im 2. Modell nehmen. Denn wirken auch hier nur die Magnetkraft und die Rückstellkraft, da wir jedoch zwei Federn haben, brauchen wir auch zwei Gleichungen um die Bewegung beider zu beschreiben:
$$F_{ges1}=F_{R1} + F_M \\ F_{ges2}= F_{R2} - F_M $$
Diese würden dann so aussehen:
$$ \ddot{w_1} + \frac{k}{m}w_1 - \frac{c}{m}(w_1+w_2+d_0) \\ \ddot{w_2} + \frac{k}{m}w_2 + \frac{c}{m}(w_1+w_2+d_0)$$
Diese zwei DGLs sind gekoppelt, um diese zu lösen, muss man erstmal die Gleichungen entkoppeln, doch ersparen wir dem Leser dies, da dies nicht dem Verständnis hilft und nur Prahlerei wäre, daher schauen die Lösungen der Gleichungen so aus:
$$w_1=\frac 1 2(A_2\cos(\omega_{+}t)-A_1\cos(\omega_{-}t))+\frac {cd} m\ \\ w_2=\frac 1 2(A_2\cos(\omega_{+}t)+A_1\cos(\omega_{-}t))-\frac {cd} m \\$$
$$ \omega_{-}=\sqrt{\frac{k-2c} m}\\ \omega_{+}=\sqrt{\frac k m} $$
$$A_1=\left( \hat{w}_1-\hat{w}_2\right)\\ A_2=\left( \hat{w}_1+\hat{w}_2\right) $$
Aufbau
Aufbau zur Messung der Rückstellkraft der Blattfeder
Um die Rückstellkraft der Feder zu messen, haben wir mithilfe eines Vernier - Kraftsensors eine Kraft auf die Feder ausgeübt, wodurch auch eine Gegenkraft auf den Sensor wirkte, dabei haben wir die Feder immer genau um einen bestimmten betrag ausgelenkt
Aufbau zur Messung der Magnetkraft
Um die Magnetkraft zu messen, haben wir auch hier einen Vernier - Kraftsensor benutzt, und einen Magneten an diesen befestigt. Mit dem anderen Magneten sind wir dann dem befestigen näher gekommen, und haben die Distanz zwischen diesen notiert.
Aufbau zur Untersuchung des Effekts
Dies ist der Aufbau, mit dem wir diesen Effekt untersucht haben. An diesem kann man sowohl die Länge der Feder, als auch die Distanz zwischen den Federn verändern, sodass man sowohl den Einfluss von Magnetkraft, als auch von der Rückstellkraft gesondert betrachten kann. Der einzige Nachteil an diesem Aufbau ist, das dieser Teils aus Metall besteht, was aufgrund von den Magneten unpassend sein könnte, jedoch sind wir der Meinung, dass dieser Einfluss vernachlässigter ist, da die Magnetkraft mit so einer hohen Potenz abnimmt, sodass sie auf die Metallstäbe keinen Einfluss hat.
Um Daten zu sammeln habe wir hall Sonden in der Nähe der Magneten befestigt, um die Änderung des magnetischen Flusses zu beobachten. Denn konnten wir dies anhand der Vernier - Labquest Technologie sehr einfach und zeiteffizient. Dies kam leider auf Kosten davon, dass wir die Auswirkungen auf die Amplitude mit diesen Messungen nicht betrachen können, da die Feldstärke sich nicht linear ändert. Jedoch konnte man dank der hohen Auflösung der Hall Sonden gute Aussagen über die Frequenz treffen, welche wir mithilfe einer Fast - Fourier - Transformation bestimmen konnten.
Um weiterhin eine Aussage über die Dämpfung und die Amplitude der Schwingung treffen zu können, haben wir Videomessungen durchgeführt und diese mithilfe des VIdeotrackingprogramms Tracker ausgewertet. Zur Aufnahme der Videos haben wir die Kamera eines iPhone 11 benutzt und haben diese im Slow - Mo Modus aufgenommen, welcher eine Bildrate von 240 fps liefert.
Wir haben verschiedene Messreihen mit Veränderung verschiedener Parameter gemacht:
- Veränderung der Auslenkung, indem wir verschieden stark auslenken.
- Veränderung der Federkonstante k, indem wir die Federn verschieden hoch eingespannt haben.
- Veränderung der Magnetkraft, indem wir die Anfangsistanz d zwischen den Federn verändert haben.
- Veränderung der Masse des Magneten, indem wir verschiedene Mengen an Knete an die Blattfedern geklebt haben.
Außerdem haben wir zum Vergleich die Frequenz eines einzelnen schwingenden Oszillator und die Frequenz eines oszillators, der gegen einen befestigten Magneten schwingt genauso mit Hall-Sonden ermittelt.
An diesem Aufbau haben wir auch eine Videomessung probiert, die uns
(Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.)
Daten
Messung der Federkonstante
Im Diagramm für die Federkraft kann man eine abfallende Expotenzialkurve beobachten. Dies sagt uns, dass mit größerer Effektivlänge der Feder die Federkonstante steigt. Durch einen log-log-Plot, konnte man erkennen, dass es eine Proportionalität von $$k \sim \frac{1}{l^3}$$ existiert.
Als eine Fehlerabschätzung hat der Kraftsensor bei einer Kraft von unter 50N einen Fehler von $$±0.05N$$(Datasheet LINK HIERHER). Da wir den Durchschnitt von 5 verschiedenen Auslenkungen für jede effektive Federlänge genommen haben, sollte der Fehler in Abmessung der Auslenkung vernachlässigbar sein.
Messung der Magnetkraft
Im Diagramm für die Messung der Magnetkraft über Abstand sieht man auch eine expotenziell abfallende Kurve. Diese kann man durch die Abhängigkeit $$d \sim \frac{1}{d^3}$$ beschreiben(SUSWIKIFORMELLINK). Dies gibt uns den zusammenhang, dass die Magnetkraft mit vergrößerung der Distanz stark abnimmt.
Der Fehler ist der gleiche wie bei der Messung davor. Der Kraftsensor misst auch mit der Genauigkeit $$\pm0.05N$$(Datasheet LINK HIERHER). Die Distanz zwischen den Magneten können wir auf $$\pm0.5 mm$$ genau bestimmen. Insgesammt ist die Messung aber ungenauer, da der Kraftsesnor höhstwahrscheinlich mit Magneten arbeitet, was unsere Messung beeinflussen könnte.
Messung der Frequenz
Im allgemeinen kann man sagen, dass eine Schwebung zu beobachten ist. Diese haben wir dann mithilfe von einer Fast-Fourier-Analyse bearbeitet und verschiedene Schwingungsfrequenzen bekommen.
Messung mit Veränderung der Federkonstante
Die Messungen für die Veränderung der Federkonstante zeigen, dass eine größere Federkonstante eine größere Frequenz verursacht. Dies stimmt mit unserer Theorie überein, da bei der Berechnung von $$\omega_+$$ und $$\omega_-$$ das k im Nenner steht. Die Messungen stimmen aber immer noch nicht mit den Theoriewerten überein. Die berechneten Werte haben eine Ähnliche Entwicklung wie die gemessenen Werte, sind aber viel höher, da wir in der Theorie bei der berechnung die Dämpfung vernachlässigt haben.
Um unsere Theorie trotzden zu überprüfen haben wir uns die Formeln für die einfachen Fälle mit einzelnen Oszillatoren. Wir haben gesehen, dass man den Formeln nach die Frequenzen der Schwebung, $$\omega_+$$ und $$\omega_-$$, durch die Frequenzen der einzelnen Oszillatoren, $$\omega_f$$ und $$\omega_fl$$, berechnen lassen.
Der Vergleich dieser vier Frequenzen gibt uns eine sehr gute Übereinkunft und bestätigt unsere Theorie. Es sagt uns auch, dass unsere Frequenz sehr stark von der Dämpfung beeinflusst wird, die wir wenig betrachtet haben.
Als erste Fehlerquelle haben wir Die Abmessung der effektiven Federlänge, die wir nur auf max 1 mm genau einspannen können. Die andere Fehlerquelle ist die FFT-Transformation, die maximal Frequenzen betrachten kann, die hälfte der Messauflösung groß sind. Bei einer Messauflösung von 1000 Messungen pro Sekunde und Frequenzen von ungefähr 10Hz und kleiner.
\begin{align} \frac{1000Hz}{ 2} = 500Hz\\ \frac{10Hz}{500Hz} = \frac{1}{50} = 2\% \end{align}
Der Fehler ist also $$\pm 2 $$%.
Den Fehler der Hall-Sonde können wir ignorieren, weil dieser nur maximal $$\pm 0.004 mt$$ betragen und dies in der Fourier-Analyse nur als rauschen identifiziert wird.
Messung mit Veränderung der Distanz
Messung mit Veränderung der Masse
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!
Fazit
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
Erfolge
- Jugend Forscht Interdisziplinärer Preis in der Regionalrunde und Teilnahme an der Landesrunde (Egor, Nicolas, Uladzimir)
- 13. Platz in der Bundesrunde GYPT(Uladzimir)
- X. Platz in der Bundesrunde GYPT(Nicolas)
- 17. Platz in der Bundesrunde GYPT(Daniel)
Quellen
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!
