Ruler Cannon

Thema

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$

Worum geht es bei unserem Projekt?

Zu erst beginnen wir mit der GYPT Aufgabe¹:

Two rulers are tightly held against each other. A round projectile (e.g. a plastic bottle cap or a ball) is inserted between them close to one of their ends. When extra force is exerted on the surface of the rulers, the projectile is ejected at a high speed. Investigate this effect and the parameters that affect ejection speed.

Das bedeutet übersetzt:

Zwei Lineale werden eng aneinander gehalten. Ein rundes Projektil (z. B. ein Plastikflaschenverschluss oder ein Ball, in unserem Fall ein Tischtennisball) wird nahe einem Ende dazwischengeschoben. Bei zusätzlicher Krafteinwirkung auf die Linealoberfläche wird das Projektil mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert. Untersuchen Sie diesen Effekt und die Parameter, die die Auswurfgeschwindigkeit beeinflussen.

Wichtige Parameter bei unserem Versuch sind hierbei:

• $$F_{Extra}$$Kraft, welche auf Lineal gegeben wird in N

• $$F_{Ruler}$$ Linealeigenkraft in N

• $$F_{Final}$$Kraft, die nach vorne wirkt in N
• $$F_F$$ Reibungskraft in N

• d Durchmesser von Tischtennisball in m

• l Punkt am Ende des Lineals in cm

• $$m_{TTball}$$ Masse des Tischtennisballs in kg

• α Öffnungswinkel in °

• θ Winkel zwischen $$F_{Final}$$ und $$F_{Ruler+Extra}$$

• D Federkonstante des Lineals $$\frac{N}{m}$$

• A Querschnittsfläche des runden Objektes in m²
• v Abschussgeschwindigkeit des Projektils $$\frac{m}{s} * a Punkt, wo auf $$F_{Extra}$$ das Lineal ausgeübt wird in cm * $$l_{Ruler}$$ Lineal länge in m * E Elastizitätsmodul des Lineals in $$\frac{N}{m^2}
• I Quadratischer Flächenmoment in m⁴

Abb. 1 Theoretisches Modell zum betrachten der Kräfte

Um das grundlegende Phänomen zu erklären, betrachten wir zunächst alle Kräfte:

Grundlegend wirken auf den Tischtennisball zunächst die Erdanziehungskraft $$F_{G} nach Unten und die Normalkraft $$F_{N} nach Oben. Tangential zum Lineal wirkt am Kontaktpunkt zum Projektil die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$. Diese Kraft kommt allein durch die Masse und die Biegung des Lineals zustande. In die selbe Richtung wirkt ebenfalls $$F_{Extra}$$, die Kraft, die wir an Punkt a etwas hinter dem Ballauf das obere Lineal auswirken, wodurch die resultierende Kraft $$F_{Ruler+Extra}$$ nach vorne wirkt, wie in Abb. 1 dargestellt. Die für den Abflug des Balls verantwortliche Kraft $$F_{Final}$$ ist die effektive Kraft, die tatsächlich nach vorne Richtung Abschuss Zeigt. Die Reibungskräfte $$F_{F}$$ zwischen dem Ball und den Linealen wiederum verlaufen tangential zu den Kontaktpunkten mit dem Ball, entgegen der Richtung $$F_{Final}$$ .

Das Phänomen findet statt, indem eine gewisse Kraft $$F_{Extra}$$ an einem Punkt a auf das Lineal ausgeübt wird. Dadurch wirkt auch mehr Kraft nach vorne und $$F_{Final}$$ steigt. Wenn die Kraft $$F_{Final}$$ die Haftreibung $$F_F$$ überwindet, fliegt der Ball nach vorne in Richtung $$F_{Final}$$ los.

Theorie

Hier stehen die grundlegenden Erkenntnisse, die in Eurem Projekt erzielt wurden.

Um eine generelle Idee über die Kräfte des Systems zu erhalten, entschieden wir uns Anfangs das Experiment in einer simplen Weise zu modellieren. Dafür nimmt man an, dass das obere Lineal in zwei Teile teilbar ist, welche am Punkt a, an welchem man drückt, getrennt werden. Zusätzlich betrachtet man die einzelnen Teile des Lineals als unbeugbar, wodurch der erste Teil komplett flach und der zweite eine Schräge zum Berührungspunkt am Ball. Angenommen wird auch, dass der letzte Punkt des Lineals, der Punkt l, das Projektil so berührt, dass der Durchmesser des Balls, die Schräge des Lineals und das untere Lineal vom Kontaktpunkt mit Ball bis zum Punkt a, ein Dreieck bilden.

Im Bild ist $$\alpha$$ der Öffnungswinkel, der blaue Pfeil ist die Summe der Kräfte $$F_{Extra}$$ und $$F_{Ruler}$$, der gelbe Pfeil stellt die Finalkraft $$F_{Final}$$ dar. Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen $$F_{Ruler+Extra}$$ und $$F_{Final}$$. Aus diesem Modell lassen sich grundlegende Prinzipien des Systems ableiten:

• Die Finalkraft (gelber Pfeil) ergibt sich aus: $$F_{Final}=F_{Ruler+Extra} \cdot \cos(\theta)$$
• Das Lineal übt selbst eine Kraft auf den Ball aus, da es wie eine Feder fungiert
• Die Menge an Finalkraft $$F_{Final}$$, welche aus einer beliebigen Zusatzkraft wirkt, hängt stark vom Punkt der ausgeführten Kraft a ab

Erste Theorie zur Modellierung

Diese simplifizierte Theorie kann zwar grundlegende Prinzipien herleiten, jedoch vernachlässigt sie mehrere Parameter, welche sich mit der Natur des Lineals und Projektils auseinandersetzen. Dieser Unterschied macht sich besonders in der Variierung der Lineale bemerkbar.

Abb.6 Skizze des Lineals für die Biegeliniendifferenzialgleichungen

Um den Großteil der weiteren Parameter in die Theorie mit einzubinden, ist es nötig die Biegung des Lineals zu betrachten, wofür sich Biegeliniendifferenzialgleichungen anbieten. Aus den grundlegenden Gleichungen für Biegelinien² lassen sich nun für beide Teile des Lineals einzelne Funktionsgleichungen aufstellen, welche wenn in einem Koordinatensystem gemeinsam betrachtet, eine Simulation des Lineals ergeben. Um den Ball, auf welchem das obere Lineal liegt zu simulieren mussten wir zusätzlich eine Normalkraft B einführen, welche sich Ebenfalls durch die Parameter der Kraft, welche wir nutzen, dem Druckpunkt und mehreren Konstanten zur Beschreibung des Lineals und des Balls ermitteln:

$$B=-\frac{2EId}{l^3}+\frac{2aF}{\text{l}}-\frac{F}{3}-\frac{Fa^2}{\text{l}^2}+\frac{Fa^2}{3\text{l}^3}$$

Für den ersten Teil unseres Lineals:

    $$w_{I}(\text{l})=\frac{1}{EI}(Fa-B\text{l})\frac{\text{l}^2}{2}$$

Für den zweiten Teil:

$$w_{II}(\text{l})&=\frac{1}{E \cdot I} \cdot ((-Bl+2aF)\frac{\text{l}^2}{2}-\frac{F\text{l}^3}{6}-\frac{Fa^2\text{l}}{2}+\frac{Fa^3}{6})$$

Die Größen in den Gleichungen:

Die neue Theorie ist nun verwendbar, indem man die Richtung, in welche die ausgeübte Kraft wirkt, berechnet. Dies ist möglich, indem man die Steigung am Finalen Punkt des Lineals l mithilfe der ersten Ableitung an diesem Punkt berechnet:

$$w_{II}^{I}(\text{l})&=\frac{1}{EI} \cdot (-\frac{3B \text{l}^2}{2}+2 a F  \text{l} - \frac{F \text{l}^2}{2}-\frac{F a^2}{2})$$

und die Orthogonale³ Gerade dazu betrachtet -$$\frac{-1}{w_{II}^I}=os(l)$$, da die Kraft, welche das Lineal auf den Ball überträgt, stets im 90° Winkel zum Lineal ausgeübt wird:

Zur Berechnung:

Diese Theorie betrachtet nun in Form des E-Moduls⁴, welches die Biegungsfähigkeit entlang einer Achse betrachtet und Flächenträgheitsmomentes⁵, welches die Form des Lineals beschreibt, die Natur des Lineals und in Form des Durchmessers die Geometrie des Balls, wodurch eine möglichst genaue Betrachtung des Phänomens möglich ist.

In unserem Fall ergab sich die Steigung der Orthogonalen im vergleich zum Druckpunkt wie folgt:

Druckpunkt	38cm	39cm	40cm	41cm	42cm	43cm	44cm	45cm
Steigung os	$$\frac{-1}{775137} \approx -1,3 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{500892} \approx -2 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{340659} \approx -3,0 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{219642} \approx -4,6\cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{236538} \approx -4,2 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{215590} \approx -4,6 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{232692} \approx -4,3 \cdot 10^{-6}$$	$$\frac{-1}{271977} \approx -3,7 \cdot 10^{-6}$$

In diesem Fall ist die Steigung der Orthogonalen (os) so niedrig, dass der Winkel $$\theta$$ zwischen der Finalkraft und den ausgeübten Kräften nahezu null ist. Somit ist der $$\cos(\theta) \approx 1$$ und damit die Finalkraft in diesem bestimmten System nahezu gleich den ausgeübten Kräften.

Aus dieser nun ermittelten Finalkraft lässt sich mithilfe des 2. Newtonschen Gesetzes⁶ $$F=m \cdot a$$ und der Definition von Geschwindigkeit $$v=a \cdot t$$ die Geschwindigkeit nach dem Austritt, mithilfe einer Video Referenz, ermitteln und mit den mit der Trackerapp ermittelten Geschwindigkeitswerte vergleichen.

Aufbau

Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

Unser erster Aufbau bestand aus zwei 30cm Plastiklinealen, die wir kurzfristig aufgetrieben hatten, einem Kraftmesser, welcher maximal 60N messen konnte, einem Tischtennisball und einer Tischklemme. Damit haben auch wir eine Messreihe, mit jeweils 15 Messungen zu jedem Punkt, durchgeführt. Dabei sind es zwei große Probleme aufgetreten:

1. Die Lineale waren äußerst elastisch. Wenn man also sehr langsam drückte um Impuls zu reduzieren, ist der Ball meist nicht los geflogen. Daher wichen die Messwerte sehr stark voneinander ab.
2. Der Kraftmesser hat nur bis 60N gemessen und bei einigen Druckpunkten haben wir mehr als 60N benötigt, um den Ball zu schießen. Das bringt große Fehler in die Messreihe, wenn man die Kraft nicht exakt messen kann.

Abb. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung von $$F_{Extra}$$ und Austrittsgeschwindigkeit

Dann haben wir die Lineale und den Kraftmesser ausgetauscht. Die Holzlineale sind nun aus Buchenholz und der Kraftmesser kann sogar bis zu 500N messen. Damit haben wir alle folgenden Messungen durchgeführt. In Abb. 4 war unser Aufbau für die weiteren Kraftmessungen und später auch Austrittsgeschwindigkeiten. Wir drücken mit dem Kraftmesser auf einen bestimmten Punkt a und das Programm auf dem Computer erfasst die benötigte Kraft, um den Ball zu schießen. Der Ball fliegt bei einer gewissen Kraft los. Dies wird von der Highspeedkamera aufgenommen. Die Klemme dient zur Befestigung der Lineale.

Abb. 5 Versuch zur bestimmung der Federkonstante D

Dann haben wir zwei weitere Versuche durchgeführt, um spezifische Eigenschaften der Lineale sowie des Tischtennisballs experimentel heraus zu finden. Als erstes haben wir die Federkonstante des Lineals experimentel bestimmt um letztendlich die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}$$ zu bestimmen. Den Aufbau dazu in Abb. 5:

Wir haben das Lineal mit einer Klemme auf dem Tisch befestigt. Dann haben wir ein Lineal aufgestellt, woran wir die Auslenkung nach oben ablesen konnten. Am Ende des Lineals haben wir einen Federkraftmesser befestigt und nach oben gezogen. Bei den bestimmten Höhen haben wir die Kraft gemessen und mithilfe des Hookeschen Gesetz⁷ $$F=\delta l \cdot D$$ die Federkonstante bestimmt.

Mit dieser konnten wir dann die Linealeigenkraft $$F_{Ruler}=D \cdot d$$ mit der Federkonstante und dem Durchmesser des Projektils berechnen.

Abb3. Skizze Versuch zur bestimmung der Reibungscoeffizienten

Als nächstes haben wir den Haft- und Gleitreibungskoeffizient berechnet. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 5 zu sehen. Dafür haben wir uns einen Versuch überlegt. Wir kleben vier Projektile mit Klebeband aneinander und wiegen diese Konstruktion. Dann legen wir das Konstrukt auf die Lineale, beschweren die Konstruktion zusätzlich noch mit Büchern und Blöcken als Masse und ziehen dann mit einem Federkraftmesser an den Projektilen. Durch dieses Experiment erhalten wir für den Haftreibungskoeffizient 2,51 und für den Gleitreibungskoeffizient 2,07.

Daten

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Unsere Fehlerbetrachtung:

0.05m, 0.1m und 0.15m haben wir jeweils die Kraft vom Kraftmesser abgelesen. Diese war bei der Auslenkung 0.05m ungefähr 4,1N; bei 0.1m circa 8,1N und bei 0.15m 11,6N. Die Federkonstante konnten wir dann mithilfe des berechnen. Dieses gibt uns die Formel:

D ist der Proportionalitätsfaktor, welcher hier die Federkonstante darstellt, ∆l ist die Auslenkung nach oben und F ist die Zugkraft. Dann haben wir alles in die jeweiligen Werte in die genannte Formel eingesetzt und haben drei verschiedene Werte erhalten: 81 N m , 82 N m und 77,3 N m . Für die weiteren Rechnungen nehmen wir den Median als Wert für die Federkonstante, also 81 N m .

Abb.8 Kraft bei Plastiklinealen

Abb7. Vergleich von Kraft zu Geschwindigkeit

Abb. 9 Vergleich Geschwindigkeit gemessen und Geschwindigkeit berechnet

Als Grobe Fehler hatten wir bei unserem Versuch:

• Das wir nie Genau an der stelle gedrückt haben, wo wir wollten, sondern eine geringe Abweichung von wahrscheinlich bis zu ±0.02 m
• das wir den Impuls nicht mit ein berechnet haben, sondern Versucht haben durch sehr langsames Drücke möglichst zu minimieren
• das wir F_zusatz nicht immer genau vom Laptop ablesen konnten und wir zudem teilweise einen Rundungsfehler haben
• das wir beim Tracken der Videos teilweise auch nicht Perfekt die Geschwindigkeit bestimmen konnten
• das wir den Luftwiderstand bei unsere Ganzen Theorie und beim Auswerten der Daten Vernachlässigt haben, auch wenn wir den Luftwiederstandskoeffizienten berechnet hatten

Genauso wie grobe Fehler hatten wir aber auch ein Paar systematische Fehler. Dazu zählte:

• Die Unebenheit der Oberfläche, da wir hölzerne Lineale nutzten
• Die Ungenauigkeit des Kraftmessers um ±0.005 N
• Die geringe Videoqualität des der Videokamera, das ist jedoch schwer einzuschätzen
• Die Parallaxe der Kamera konnte nicht ganz negiert werden, vor allem da wir die Kamera relativ nah zum Aufbau hatten, damit man den ball besonders gut sehen kann

Als zufällige Fehler hatten wir die Veränderung der Temperatur und Luftstöße, welche eine geringe Auswirkung auf die Geschwindigkeit des Balles haben.

Fazit

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

Erfolge

Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?

Mit unserem Projekt hatten wir an Jugend Forscht teilgenommen, und dabei aber leider nur einen Sonderpreis bekommen. Außerdem hatte Elliott an GYPT teilgenommen gehab, war aber leider nicht weiter gekommen.

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!

1: https://www.gypt.org/aufgaben/07-ruler-cannon.html

2: https://de.wikipedia.org/wiki/Biegelinie

3: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität

4: https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizitätsmodul

5: https://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment

6: https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraft-und-bewegungsaenderung/grundwissen/2-newtonsches-gesetz-aktionsprinzip

7: https://de.wikipedia.org/wiki/Hookesches_Gesetz