Thermoacoustic Engine Q2

Thermoakustischer Motor

Der thermoakustische Motor ist ein faszinierendes Gerät, das thermische Energie durch thermoakustische Wellen in mechanische Arbeit umwandelt.

Dieses Phänomen wurde im Rahmen der 16. Problemstellung des IYPT (International Young Physicists‘ Tournament), einem internationalen Physikwettbewerb, von Dalia Abu Ta’a (17), Lilly Roters (17) und Richard Bonello (16) untersucht. Die Aufgabenstellung vom Wettbewerb lautet:

“A piston placed in the open end of a horizontal test tube which has its other end partially filled with steel wool may oscillate when the closed end is heated up. Investigate the phenomenon and determine the efficiency of this engine.”

Und übersetzt: Ein Kolben, der am offenen Ende eines waagerechten Reagenzglases platziert ist und dessen anderes Ende teilweise mit Stahlwolle gefüllt ist, kann oszillieren, wenn das geschlossene Ende erhitzt wird. Untersuchen Sie dieses Phänomen und bestimmen Sie die Effizienz dieses Motors.

Im folgenden Wiki-Eintrag werden Aufbau, Funktionsweise, relevante Parameter, Daten zur Effizienz und Schlussfolgerungen des thermoakustischen Motors beschrieben und genauer betrachtet. Wir haben auch besonderen Wert auf die in der Aufgabenstellung gegebene Aufgabe der Untersuchung der im Thermoakustischen Motors ablaufenden Prozesse und der Bestimmung der Effizienz gelegt.

Aufbau allgemein

Der Thermoakustische Motor sieht allgemein wie folgt aus und besteht aus bestimmten Grundkomponenten.

Aufbau eines Thermoakustischen Motors

Dies Komponenten sind: Eine Halb-geschlossene Röhre mit einem Kolben, eine Hitze- und Kühlungsquelle, ein Stack (Wärmeüberträger) und das enthaltene Arbeitsmedium.

Bei richtiger Anordnung der Elemente entsteht ein Thermoakustischer Motor.

Funktionsweise

Ganz allgemein wird ein Bereich des Motors erhitzt und an einem anderen, örtlich getrennten Bereich wird Wärme entnommen. Durch diese Konstellation entstehen akustische Wellen, die den Kolben antreiben. Energetisch betrachtet wird dementsprechend thermische Energie über akustische Wellen in mechanische Arbeit umgewandelt. Somit stellen sich aber zwei Fragen:

1. Wie wird die thermische Energie der Hitzequelle in akustische Wellen umgewandelt? und
2. Wie führt die akustische Welle zur Translation des Kolbens?

Der Thermoakustische Effekt

Zunächst gilt es zu erklären, wie überhaupt akustische Wellen in dem Motor entstehen, also wie die thermische Energie, die dem System zugefügt wird, in akustische Wellen umgewandelt wird. Dieser Prozess wird als thermoakustischen Effekt bezeichnet und basiert auf einen Temperaturgradienten, der im System zwischen der Hitzequelle und der Kühlung liegt.

// Bild temperaturegradient in moter

Um zu verstehen, wie die akustischen Wellen dadurch entstehen, müssen wir uns erstmal die allgemeinen Entstehungsgründe ansehen. Die notwendige Bedingung für diesen Prozess ist die lokale Druckänderung eines Gases, die sich innerhalb des Mediums ausbreitet. Meistens entsteht diese durch Kompression, z.B. wird, wenn man die Hände klatscht, eine größe Menge Luft schlagartig verdrängt und es entsteht eine Druckerhöhung in der unmittelbaren Umgebung, die sich radial ausbreitet. Es gibt aber noch andere Wege eine Druckänderung hervorzurufen. Durch eine Temperaturänderung verändert sich nämlich auch der Druck eines Gases. Diese Veränderung kann im Makroskopischen und quasi-statischen mit dem Idealen-Gasgesetz beschrieben werden:

$$p \cdot V = n \cdot R \cdot T$$

p : Druck | V : Volumen | n : stoffmenge | R = Gaskonstante | T : Temperatur

In diesem wird eine Proportionalität vom Druck p zur Temperatur T gegeben. Also führt eine Temperaturänderung zu einer proportionalen Druckänderung. Zwischen den zwei Temperaturmaxima entsteht ein ineinander überlaufenes Temperaturprofil, welches eine lineare, konduktive Temperaturverbindung zeigt.

// Bild Temperturegradient, between two point

Durch diesen Temperaturgradienten entsteht ein Druckgradient. Die Bewegung des Kolben kommt aber nicht durch den konduktiven Teil, sondern durch Konvektion innerhalb des Systems. Diese entsteht, weil die Dichte des Arbeitsmediums auch abhängig von der Temperatur ist, so wird im Allgemeinen die Dichte niedriger mit höherer Temperatur, es entsteht somit eine Auftriebskraft, die zur Zirkulation des Arbeitsmediums führt.

//Bild: Zirkulation im Motor

Durch dem Genannten entsteht eine Druckwelle, auch akustische Welle, die im Motor schwingt. Die thermoakustische Welle reflektiert an einem Ende und überlagert die vorherige Welle, daraus entsteht eine stehende Welle in dem Motor, die dann auch endgültig den Kolben bewegt.

Translation des Kolbens

Warum der Kolben durch die Welle bewegt wird, lässt sich sehr leicht mit dem Zusammenhang von Kraft F und Druck p zweigen, denn: $$F = p \cdot A$$

Somit ist die Kraft F, die auf den Kolben wirkt, der Druck der stehenden Wellen an der Stelle x des Kolbens auf der Fläche A des Kolbens.

In diesem Fall spielt die Trägheit des Kolbens eine entscheidende Rolle, denn der sich bewegende Kolben will seine Bewegung beibehalten, welche kleinere Peaks der stehenden Welle ausgleicht und dem Kolben eine viel geringere Frequenz als der stehende Welle gibt.

Die Welle schwingt mit der Resonanzfrequenz vom Glasrohr, denn bei dieser Frequenz ist die Amplitude der Welle am höchsten und die anderen Frequenzen werden vernachlässigt.

Ein weiteres Phänomen, das die Bewegung des Kolbens limitiert, ist der durchschnittliche Druck in der Röhre. Wenn der Motor gerade nicht läuft, heißt es, dass der Innendruck gleich dem Außendruck ist. Wenn der Kolben sich jedoch heraus bewegt, so verringert sich der durchschnittliche Innendruck und gleicht nicht mehr dem Außendruck aus. Analog dazu gilt, dass wenn der Kolben sich hinein bewegt, so vergrößert sich der durchschnittliche Innendruck und überwiegt den Außendruck. Somit wird es immer schwieriger den Kolben zu bewegen je weiter dieser von der Ausgangslage ist. (Unter der Annahme das der Motor luftdicht ist.)

Aufbau offenes Ende

Für das Erste “proof of concept” und um zu testen welche Frequenzen in der Röhre durch den Thermoakustischen Effekt entstehen, haben wir einen Versuchsaufbau mit einem offenen Ende aufgebaut, um die akustischen Wellen hören und messen zu können.

// Schema experiment open end

In unserem realen Aufbau haben wir eine Ölflamme als thermischen Input und ein feuchtes Tuch als den thermischen Output benutzt.

//Foto: experiment offenes ende

Die resultierende Frequenz, die wir von dem Aufbau messen konnten, war 548 Hz, welches eine Abweichung von nur 2,2% von der ausgerechneten Grundfrequenz des Rohres ist.

Parameter

Ein Hauptteil zum Beschreiben dieses Phänomen ist die Untersuchung, welche Parameter relevant in unserem System sind und welchen Einfluss diese haben. Zur Untersuchung dieser haben wir vielfältige Experimente durchgeführt. Mit den Parametern sind auch effizienzveränderne Parameter zu untersuchen.

In unseren Untersuchungen haben wir folgende Parameter gefunden:

• Temperaturgradient
• Kühl- und Heizplatzierung
• Rohreigenschaften (Länge, Durchmesser)
• Stackeigenschaften (Dichte, Anordnung)
• Arbeitsmedium
• Belastung des Motors

Temperaturegradient

Wie zuvor beschrieben, ist der Temperaturgradient das fundamentale Merkmal des thermoakustischen Motors, hierbei ist nur der Unterschied in Temperatur wichtig, also die Differenz zwischen Temperatur vom Wärme Input und der Temperatur von der Kühlung. Diese Temperaturunterschiede bilden über die ideale Gasgleichung die Amplituden der Welle, d.h. je größer der Unterschied der Temperaturen ist, desto stärker ist die Thermoakustische Welle, die den Kolben antreibt. Somit können wir sagen, dass:

$$\hat{p} = \frac{n \cdot R \cdot (T_H - T_C)}{2 \cdot V}$$

Stack Eigenschaften

Der Stack (in unseren Fall Stahlwolle) ist da, um Wärme zu speichern und schnell zu überliefern. Diese zwei Größen, die diese Eigenschaften beschreiben sind Stoffkonstanten und heißen spezifische Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit. Die spezifische Wärmekapazität beschreibt lediglich, wie viel Energie benötigt wird, um einen Stoff einer bestimmten Masse um einen Kelvin zu erhöhen. Die Wärmeleitfähigkeit beschreibt, wieviel Energie pro Sekunde über eine bestimmte Länge bei einer Temperaturdifferenz übertragen wird. Hierfür ist Stahlwolle eine gute Wahl, denn diese hat eine hohe Wärmeleitfähigkeit und eine niedrige spezifische Wärmekapazität, dass heißt, dass die Stahlwolle schnell heiß wird und auch schnell die Wärme überträgt.

Zusätzlich ist die Dichte der Stahlwolle von Bedeutung, denn es gibt eine Wärmepenetrationslänge (Paper), die aussagt, wie weit die Wärme in das Fluid eindringt. Es gilt die Wärmeübertragung zu maximieren, um eine größere Differenz zwischen Warm und Kalt im Fluid zu haben, denn die Wärmedifferenz im Arbeitsmedium ist ausschlaggebend und nicht die Wärme außerhalb, jedoch sollte der Stack möglichst viel Luftfluss zulassen.

Ein optimaler Stack wäre eine parallele, horizontale Anordnung von aufeinander gestapelten Metallplatten mit einem konstanten Abstand, der doppelten Wärmepenetrationslänge. Wir haben wegen der Anforderungen der Aufgabenstellung und der leichten Beschaffenheit Stahlwolle benutzt.

// Bild stack

Wie dicht gepackt die Stahlwolle sein sollte, können wir ungefähr approximieren, indem wir die Rohdichte eines optimalen Stacks als die Rohdichte für die Stahlwolle nehmen.

Frequenz

Die größten Amplituden einer Schwingung entstehen bei der Grundfrequenz und den weiteren harmonischen Frequenzen, deshalb sind hauptsächlich diese erkennbar. Für ein geschlossenes Rohr sind diese mittels folgender Formel auszurechnen:

$$f_n = \frac{n \cdot c}{2 \cdot L}$$

$$f_n$$: nte harmonische Frequenz | c: Schallgeschwindigkeit | L: länge des Rohres

Rohr Eigenschaften

Die Eigenschaften des Rohres haben Auswirkung auf die Frequenz und die Wärmeübertragung. Die Frequenz steht antiproportional zur Länge des Rohrs. Die Dicke des Rohrs, das Material und der Durchmesser des Rohrs haben einen Einfluss auf die Wärmeübertragung

Arbeitsmedium

Das Arbeitsmedium hat bestimmte stoffspezifische Eigenschaften, die eine Auswirkung auf die Frequenz, aber auch die Amplitude haben. Vorerst ändert sich die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien, welche eine direkte Auswirkung auf die Frequenz der internen Welle hat. Die spezifische Wärmekapazität und die Wärmeleitfähigkeit verändern sich, welches eine Auswirkung auf die Amplitude der internen Welle hat.

Theorie

Interne Welle

In unserem System haben wir eine Welle, die unterschiedlich viel Energie an den Kolben abgibt, je nachdem, in welcher Phase die Welle ist und wie der Kolben verschoben ist. Die Welle in dem Motor kann mit der Standard Wellenfunktion: p(x, t) dargestellt werden. Es entsteht aber auch eine stehende Welle durch die reflektierte Ursprungswelle. Optimal sind die Amplituden der Welle an den Enden des Rohres für eine maximale Energieübertragung. Es ergibt sich damit eine Funktion für eine stehende Welle, die wie folgt aussieht:

$$p(x, t) = 2 \cdot \hat{p} \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot f \cdot t) \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot \frac{x}{c})$$

Mittlerer Druck

Wie zuvor erwähnt, limitiert der mittlere Druck die Auslenkung des Kolbens und sollte in der Theorie enthalten sein. Hierfür müssen wir den mittleren Innendruck und Außendruck betrachten. Der mittlere Innendruck lässt sich mit der idealen Gasleichung berechnen:

$$p = \frac{n \cdot R \cdot T}{V}$$

Nun können wir auch den mittleren Druck abhängig von x ausmachen (Der Kolben ist ein Zylinder):

$$p = \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x}$$

Zusammen mit dem mittleren Innen- und Außendruck, lässt sich der mittlere Druck der auf den Kolben wirkt, bestimmen:

$$p_K = \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x} - p_0$$

Kraftwirkung auf den Kolben

Mittels aller bisher genannten Formel lässt sich eine endgültige Formel für die Kraft F, die auf den Kolben wirkt, herleiten:

$$F = A \cdot (2 \cdot \hat{p} \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot f \cdot t) \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot \frac{x}{c}) + \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x} - p_0)$$

Oder auch

$$F = A \cdot (2 \cdot \frac{n \cdot R \cdot (T_H - T_C)}{2 \cdot V} \cdot sin(\pi \cdot \frac{c}{L} \cdot t) \cdot cos(\pi \cdot \frac{x}{L}) + \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x} - p_0)$$

Nun kann eine Formel für die Beschleunigung des Kolbens hergeleitet werden:

$$a = \frac{A}{m} \cdot (\frac{n \cdot R \cdot (T_H - T_C)}{V} \cdot sin(\pi \cdot \frac{c}{L} \cdot t) \cdot cos(\pi \cdot \frac{x}{L}) + \frac{n \cdot R \cdot T}{V_0 + \pi \cdot r^2 \cdot x} - p_0) + a_0$$

Aus dieser Formel lässt sich auch die Auswirkung der verschiedenen Parameter herauslesen. So bekommen wir Proportionalitäten von zum Beispiel der Frequenz und dem Temperaturgradient zu der Output Leistung.

Effizienz

Die Effizienz berechnet man wie folgt:

$$\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}$$

Es gilt auszurechnen, wie viel die Input Leistung in nützliche Output Leistung umgewandelt werden kann. Für den Motor sollte ausgerechnet werden, wie viel an eingegebener thermischer Leistung, in ausgegebener mechanischer Leistung, umgewandelt wird. In unserem Aufbau wandeln wir, wegen der einfachen Messbarkeit, elektrische Leistung über den Motor wieder in elektrische Leistung an und messen somit die Effizienz aus. Also müssen wir auch die Effizienzen von und zu elektrischer Leistung in Betracht ziehen. Wir gehen also zunächst von zwei Effizienzen aus, einmal die Effizienz, wie viel thermische Energie, die durch die elektrische Leistung erzeugt wird, in das System gelangt und noch wichtiger, wie hoch die Effizienz des Motors selbst ist.

Die Effizienzen haben wir mittels zwei Aufbauten experimentell bestimmt:

Aufbau Effizienz

Zunächst haben wir mit dem folgenden Aufbau die Effizienz des gesamten Systems gemessen.

//Bild thermoakustischer motor (mit spule)

Bei diesem Aufbau des Motors verwenden wir Stahlwolle als Stack, Außenluft als Kühlung und einen Heizdraht als Wärmequelle. Der Kolben ist mit einem Schwungrad verbunden, auf das Magnete mit wechselnder Polung geklebt sind. Wir haben Heizdraht verwendet, um die Input Leistung genau bestimmen und ändern zu können. Durch die Einführung einer Spule konnten wir die Output Leistung durch Induktion berechnen und die Belastung des Motors variieren.

Gemessen haben wir den eingehenden Gleichstrom und die Spannung des ausgehenden Stroms. Zusätzlich haben wir den ohmschen Widerstand im Stromkreis der Spule gemessen. Für die Messungen haben wir einen Voltmeter und einen Mikroohmmeter benutzt.

Die Input Leistung haben wir mittels der Formel für die elektrische Leistung P = U \cdot I ausgerechnet und für die Output Leistung haben wir die Scheinleistung, mittels Nutzen der Effektivwerte berechnen können und mittels der Formel P = \frac{U^2}{R} ausgerechnet.

Aufbau Input Effizienz

Für die Messung der Input Effizienz haben wir das Rohr mit Wasser gefüllt und von innen die Temperatur gemessen.

// Foto Input efficiency

// scema Input efficiency

Das Rohr wird auf gewohnte Weise erhitzt und die Temperatur von Wasser wird in dem Rohr gemessen. Die Input Leistung kann mittels spezifischer Wärmekapazität und der Eigenschaft, dass P = \frac{dE}{dt} bestimmt werden. Die Formel für die Leistung ist also:

$$P = \frac{d}{dt} (T_w(t) \cdot c_H \cdot V \cdot \rho)$$

Zusammen mit der Formel für die Effizienz wurden die gemessenen Daten wie folgt ausgewertet:

$$\eta = \frac{\frac{d}{dt} (T_w(t) \cdot c_H \cdot V \cdot \rho)}{U \cdot I}$$

Carnot Efficiency

Während unserer Untersuchungen sind wir auf die Carnot Effizienz gestoßen, die die maximale Effizienz eines solchen Motors bestimmt. Weil dieses ausführlich in anderen Facharbeiten beschrieben wird, verweisen wir in diesem Fall auf diese. Die maximale Effizienz die ein Motor nach Carnot erreichen kann, ist:

$$\eta = \frac{\dot{W}}{\dot{Q_H}} \leq \frac{T_H - T_C}{T_H}$$

Zu beachten ist, dass die Carnot Effizienz auf Annahmen beruht, wie keine Reibung und keinen Energieverlust.

Diese ist die maximale (unmögliche) Effizienz, die eine auf Hitze basierende Kraftmaschine einnehmen kann. Diese eignet sich also perfekt als Vergleichseffizienz, um die gemessenen Effizienzen mit dem theoretischen Optimum zu vergleichen. Wir können auch sagen, dass unsere Effizienz echt kleiner als diese Effizienz sein muss.

Daten

Fehlerbetrachtung

Unsere Fehler haben wir durch einer Standardabweichung berechnet, die von einer Stichprobe ausgeht:

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \cdot \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

Messreihe: Temperaturgradient

Durch Variation der Input Leistung haben wir den Temperaturgradienten verändert und die resultierende Spannung gemessen.

//Diagramm

Ersichtlich ist, dass, wie erwartet, durch Erhöhung der Temperaturdifferenz sich die Output Spannung ebenfalls erhöht.

Effizienz

//Diagramm: Efficienz

//Diagramm: Efficienz anteil Carnot

Messreihe: Belastung des Motors

//Diagramm motor belastung - Efficienz

Messreihe: input Efficienz

//Diagramm input Efficienz

Fazit

Während der Bearbeitung der Problemstellung des Physikwettbewerbs haben wir das Phänomen gründlich untersucht. Wir haben jegliche Entstehungsursachen und verschiedenste relevante Parameter in Betracht gezogen und untersucht. Wir haben einen funktionierenden Aufbau und die Effizienz dessen experimentell bestimmt. Dazu eine ausführliche mathematische Theorie zu dem Motor aufgestellt die den einfluss verschiedener Parameter zeigt

Einige sachen hätten wir besser machen können, vorallem unser Zeitmanagement, denn wir haben uns am Anfang zu lange mit nicht relevanten Aspekten beschäftigt und bei Abgaben zu spät angefangen. Wir hätten auch gerne weite Eigenschaften experimentel untersucht, wie zum Beispiel die Frequenz des Kolbens.

Erfolge

GYPT Einzelplatzierung: 7. Platz (Richard)

GYPT Gruppenplatzierung: 3. Preis

Quellen

A.W. Avent, C.R. Bowen: “Principles of thermoacoustic energy harvesting” (2015)

G.W. Swift: “Thermoacoustic engines” (1988)