Walker 1
Thema
In diesem Projekt wird ein starres Modell eines Rampenläufers mit vier Beinen vorgestellt, das eine raue Rampe hinunterlaufen kann. Parameter, die das Laufverhalten beeinflussen, sind unter anderem die Höhe und die Breite des Läufers sowie der Anstellwinkel der Rampe. Der Einfluss dieser Parameter auf die Endgeschwindigkeit des Läufers wird in diesem Artikel sowohl theoretisch als auch experimentell untersucht bzw. bestätigt.
Grundlegende Erklärung
Hallo
Theorie
Die Bewegung kann in eine Rotations- und Vorwärtsbewegung aufgeteilt werden.
Grundlegende Erklärung.
Die Bilder unten verdeutlichen den Aufbau der Bewegung bzw. des Laufens. Zunächst steht der Läufer auf allen vier Beinen, wobei ein vorderes Bein abgeknickt ist (durch vorherigen Schritt). Anschließend rotiert der Läufer nach außen, wodurch das zuvor abgeknickte Bein nach vorne rotieren kann (durch wirkende Feder). Gleichzeitig, knickt das andere Bein durch die Hangabtriebskraft ab (Vorwärtsbewegung). Schließlich hört der Läufer auf, nach außen zu rotieren und rotiert zurück auf alle vier Beine, wodurch der Prozess von vorne beginnt. Damit der Läufer aufhört sich, nach vorne zu lehnen, muss ein Kräftegleichgewicht zwischen den zur Rampe parallel wirkenden Kräften herrschen. Um überhaupt mit diesem Laufen zu beginnen, müssen seine vorderen Beine ''abknicken" und nicht rutschen. Somit bleiben die "Füße" (Kontaktpunkte zur Rampe) an der gleichen Stelle. Gleichzeitig müssen die hinteren Beine über die Rampe gezogen werden, wodurch eine Widerstandskraft der Gleitreibung $$F_R$$ entsteht. Diese ist das Produkt der Normalkraft und des Reibungskoeffizient $$r$$, welcher Experimentell bestimmt wurde.
Durch das ''Abknicken'' der Beine wird die Feder verkürzt und somit entsteht eine Federkraft, die beide Endpunkte der Feder "nach außen drückt". Da jedoch der eine mit dem Bein an dem Fuß verbunden ist, kann dieser nicht "nach außen gedrückt'' werden, da sonst sich der Fuß bewegen müsste. Somit wirkt die Federkraft nur in eine Richtung mit dem Winkel $$\delta$$ zur Rampe. Somit gilt für die entstehende Kraft $$F_SX$$ nach der Formel für die Federkraft ($$k\cdot(s_0-s_1))$$:
\begin{equation} F_{SX}=k\cdot(s_0-s_1)\cdot\cos{\delta} \end{equation}
Die Gewichtskraft $$F_G$$ kann in eine Kraft $$F_{GX}$$ parallel zur Rampe geteilt werden. Für diese gilt:
\begin{equation} F_{GX}=F_G \cdot \cos{90°-\lambda} = F_G \cdot \sin{\lambda} \end{equation}
Für die Kraft die parallel zur Rampe nach unten wirkt gilt:
\begin{equation} F_V=F_{GX}-F_F-F_{SX} \end{equation}
$$\delta$$ kann mithilfe des Sinus- und Kosinussatzes in Abhängigkeit von den Längen $$b, c$$ und des Winkels $$\beta_1$$ wie folgt berechnet werden:
\begin{equation} \delta = \beta_1+\pi/2-\arctan\left(\frac{l}{h}\right)-\arcsin{\left(\frac{\sin{\left( \beta_1-\arctan{\frac{h}{b}}\right)}}{\sqrt{2h^2+l^2-2\cdot h\cdot \sqrt{l^2+h^2}\cdot \cos{\left(\beta_1-\arctan{\frac{h}{l}}\right)}}}\cdot h\right)}</nowiki> \end{equation}
Aus (1), (2), (3) und da $$s_1=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot \cos{\beta_1}}$$ folgt:
\small
\begin{align} &F_V=F_{GX}-F_F-F_{SX}=F_G \cdot \sin{\lambda}-\mu\cdot (F_{GY}-F_{SY})-k\cdot(s_0-s_1)\cdot\cos{\delta} \end{align}
\normalsize
Da in (5) nur $$\beta_1$$ unbekannt ist, kann dieses bestimmt werden. (Wurde mithilfe von Python errechnet, indem für sehr viel Werte von $$\beta_1$$ die Gleichung getestet wurde und der Wert für $$\beta_1$$ gewählt wurde bei welchem die Gleichung erfüllt ist (bzw. sehr knapp nicht erreicht wurde)).
Wenn der Winkel $$\beta_1$$ erreicht wird, so ist die Höhe $$h$$ minimal. Diese Länge bezeichne ich als $$h_1$$. Für $$h_1$$ gilt nach dem Sinus- und Kosinussatz und nach (4):
\begin{equation} h_1=\left(\frac{\sin{\left( \beta_1-\arctan{\frac{h}{l}}\right)}}{\sqrt{2h^2+l^2-2\cdot h\cdot \sqrt{l^2+h^2}\cdot \cos{\left(\beta_1-\arctan{\frac{h}{l}}\right)}}}\cdot \sqrt{l^2+h^2}\right)\cdot h \end{equation}
Da in (6) nichts unbekannt ist, kann $$h_1$$ bestimmt werden.
Weiter kann mithilfe der Änderung von $$\theta$$ über Zeit die Geschwindigkeit bestimmt werden.
\subsubsection{Weitere später benötigte Werte}
Zunächst können durch $$h$$ und $$h_1$$ die Werte für $$d_0$$, $$d_1$$, $$e_0$$ und $$e_1$$ bestimmt werden.\\
Nach dem Kosinussatz gilt für $$d_0$$:
\begin{equation} d_0=\sqrt{\left(\frac{w}{2\cos{\alpha_1}}\right)^2+h^2-\frac{w}{\cos{\alpha_1}}\cdot h \cdot\sin(\alpha_1)} \end{equation}
Analog gilt nach dem Kosinussatz für $$d_1$$:
\begin{equation} d_1=\sqrt{\left(\frac{w}{2\cos{\alpha_1}}\right)^2+h^2-\frac{w}{\cos{\alpha_1}}\cdot h \cdot\sin(\alpha_1)} \end{equation}
\subsection{Rotationsbewegung}
(Siehe Abbildung 3 und Abbildung 4)\\
Die Rotation ist senkrecht zur Rampe, sodass wir im Folgenden die Geometrie des Läufers auf eine Ebene senkrecht zur Rampe projizieren und mithilfe 2-Dimensionaler Geometrie die Drehmomente bestimmen.\\
Zunächst teilen wir die Rotationsbewegung in drei Teile mit jeweils Anfangs- und Enddrehmomenten. Diese wirken parallel zur Rampensteigung entlang der Achsen von zwei "hintereinander stehenden'' Füßen zweier Beine (siehe Bild ) und werden durch die Projektion zu den zwei Drehpunkten $A_0$ und $A_1$.\\
Die Teile sind die folgenden:
\begin{itemize} \item[1.Teil:] Der Drehpunkt wechselt von $A_1$ zu $A_0$ (bzw. anders herum) \item[2.Teil:] Der Läufer rotiert entlang des Drehpunktes $A_0$ (bzw. $A_1$) bis die Rotation stoppt \item[3.Teil:] Der Läufer rotiert entlang des Drehpunktes $A_0$ (bzw. $A_1$) zurück bis die anderen Füße auf die Rampe treffen \end{itemize}
\subsubsection{1.Teil}
Das Anfangsdrehmoment dieses Teils bezeichnen wir mit $\tau_0$. Für dieses Drehmoment mit der senkrecht wirkenden Kraft $F$ gilt:
\begin{align} M_0=F\cdot d_1 \Rightarrow F=\frac{M_0}{d_1} \end{align}
Anschließend wird das Drehmoment auf $A_0$ übertragen wodurch für $M_1$ (das Drehmoment nach dem 1.Teil) folgendes gilt:
\begin{align} M_1=F\cdot d_0 \cdot \sin(90°-e_0-e_1)=\frac{M_0}{d_1}\cdot d_0 \cdot \sin(90°-e_0-e_1) \end{align}
\subsubsection{2.Teilrotation}
Das Anfangsdrehmoment dieses Teils beträgt $M_1$ und das Enddrehmoment (bzw. die Summe aller Drehmomente an diesem Punkt) beträgt 0, da sonst der Läufer nicht aufhören würde zu rotieren. Während dieses Teils wird durch die Projektion des vorderen Beins von $h_0$ zu $h_1$ verkleinert (per eigener Definition).\\
Das Drehmoment wird kleiner, da ein Drehmoment in die entgegengesetze Richtung wirkt. Dieses wird durch die Gravitation ausgelöst. Es gilt demnach:
\begin{align*} M_{\Delta t,2}&=M_2-M_{pot,2}\\ M_{\Delta t,2}&=M_2-d\cdot\sin(\epsilon_2)\cdot F_{G}\\ M_{\Delta t,2}&=M_2-d\cdot\sin(\epsilon_2)\cdot F_{G}\\ \Delta \varphi&=M_{\Delta t,2}\cdot (\Delta t)^2\\ \varphi_{\Delta t,2}&=\varphi_2-\Delta \varphi\\ &=\varphi_2-(M_2-d\cdot\sin(\epsilon_2)\cdot F_{G})\cdot (\Delta t)^2 \end{align*}
Aus diesem $\varphi_{\Delta t,2}$ können $d_{\Delta t}$ und $\epsilon_{\Delta t}$ mithilfe elementarer Trigonometrie und Winkeljagd bestimmt werden, wodurch der Iterationsschritt vollzogen wurde und die Rechnungen für $M_{2\Delta t,2}$ bzw. $\varphi_{2\Delta t,2}$ ausgeführt werden kann. Dadurch kann man die Drehmomente generieren bis sie 0 erreichen. Zu diesem Zeitpunkt kann man die Zeit ausgeben lassen und kennt jetzt die Dauer der Rotation nach außen.
\subsubsection{3.Teilrotation}
Das Anfangsdrehmoment dieses Teils beträgt $0$ und das Enddrehmoment (bzw. die Summe aller Drehmomente an diesem Punkt) soll bestimmt werden.\\
Das Drehmoment wird größer, da ein Drehmoment in die gleiche Richtung wirkt. Dieses wird durch die Gravitation ausgelöst. Es gilt demnach:
\begin{align*} M_{\Delta t,3}&=M_3-M_{pot,3}\\ M_{\Delta t,3}&=M_3+d\cdot\sin(\epsilon_3)\cdot F_{G}\\ M_{\Delta t,3}&=M_3+d\cdot\sin(\epsilon_3)\cdot F_{G}\\ \Delta \varphi&=M_{\Delta t,3}\cdot (\Delta t)^2\\ \varphi_{\Delta t,3}&=\varphi_3-\Delta \varphi\\ &=\varphi_3+(M_3+d\cdot\sin(\epsilon_3)\cdot F_{G})\cdot (\Delta t)^2 \end{align*}
Aus diesem $\varphi_{\Delta t,3}$ können $d_{\Delta t}$ und $\epsilon_{\Delta t}$ mithilfe elementarer Trigonometrie und Winkeljagd bestimmt werden, wodurch der Iterationsschritt vollzogen wurde und die Rechnungen für $M_{2\Delta t,3}$ bzw. $\varphi_{2\Delta t,3}$ ausgeführt werden kann. Dadurch kann man die Drehmomente generieren bis alle Beine die Rampe berühren und in dem Moment dieser Drehmoment und die gebrauchte Dauer ausgeben.
\subsection{Implementierung}
Aus der Vorwärtsbewegung kann die Geschwindigkeit berechnet werden. Anschließend erhält man durch die Rotationen die Dauern die diese benötigen und somit in welchen Zeitintervallen die Schritte (bzw. Geschwindigkeiten) auftreten. \\
Man erhält durch konstanter Haltung der anderen Parameter, durch die Änderung nur der ausgewählten folgenden Graphen, in dem die Geschwindigkeit mithilfe der Farbe ausgedrückt wird (je heller desto schneller).
\includegraphics[width=.5\textwidth]{Images/ramp_0000_1.png}
\\
Aufbau
YUZHOU!!
Daten
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!
Fazit
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
Erfolge
Wir haben an GYPT und Jugend Forscht teilgenommen. Durch das BeGYPT (2.Teampreis) haben wir uns für das GYPT qualifiziert. Bei Jugend Forscht haben wir in der Berlin Nord-Regionalrunde den Preis für das beste interdisziplänere Projekt gewonnen und später in der Landesrunde einen Sonderpreis im Bereich Physik.
