Non-contact Resistance
Non-contact Resistance
The responses of a LRC circuit driven by an AC source can be changed
by inserting either a non-magnetic metal rod or a ferromagnetic rod into the
inductor coil. How can we obtain the magnetic and electric properties of the
inserted rod from the circuit’s responses?
In der folgenden Arbeit untersuchen wir, wie wir die elektrischen und magnetischen Ei-
genschaften eines Metalls herausfinden können, welches sich in einer Spule in einem RLC-Schaltkreis
befindet. Dabei untersuchen wir ferromagnetische und nichtmagnetische Metalle. Hierbei
interpretieren wir die Aufgabe so, dass wir die Kreisfrequenz des RLC-Schwingkreises im
Experiment verändern können. Anschließend formulieren wir einen Zusammenhang um
die Aufgabe zu erfüllen.
Was ist ein RLC-Schwingkreis?
Ein RLC-Schwingkreis ist eine elektrische Schaltung, welche aus einer Spule (L), einem Widerstand (R) und einem Kondensator (C) besteht, die elektromagnetische Schwingungen ausführen kann. In unserem Fall wird der RLC-Schwingkreis von einer Wechselstromquelle (AC) betrieben.
Die Spule speichert elektrische Energie in ihrem Magnetfeld, wenn Strom durch sie fließt. Dieses Magnetfeld wird später wieder zurück in Strom umgewandelt. Dies sorgt für die Schwingungen zusammen mit dem Kondensator. Der Kondensator speichert elektrische Energie in seinem elektrischen Feld, wenn eine Spannung angelegt wird. Danach entlädt er sich über den elektrischen Schwingkreis. Der Widerstand bietet Widerstand gegen den Stromfluss im Schaltkreis.
Wenn wir eine Gleichstromquelle benutzen würden, würde die Schwingung nach einiger Zeit aufhören. Durch den Widerstand würde sich die Schwingungsdauer verkürzen, da ein Teil des Stroms verschwinden würde.
Wir haben die Spule und den Kondensator parallel zueinander geschaltet, und den Widestand in Reihe, um den eigentlichen Schwingkreis von dem Widerstand zu trennen.
Verhalten der jeweiligen Elemente
Schauen wir uns nun an, wie sich die jeweiligen Bestandteile verhalten wenn Strom durchfließt:
Elektrische Eigenschaften
Theorie
In unserem Experiment sind folgende Parameter wichtig für unsere Vorgehensweise:
L - Induktivität der Spule
C - Kapazität des Kondensators
R - Widerstand
A - Querschnittsfläche der Spule
N - Windungsanzahl der Spule
$$μ_0$$ - Magnetische Feldkonstante
$$μ_r$$- Magnetische Permeabilität des Spunlenkerns
$$Ꞷ$$ - Kreisfrequenz des RLC-Schwingkreis
$$f_0$$ - Eigenfrequenz des RLC-Schwingkreis
In unserem theoretischen Ansatz betrachten wir zuerst die Spannung $$U_{LC}$$ über den zueinander parallel geschalteten Spule (L) und einem Kondensator (C), während über dem Widerstand (R) die Spannung $$U_R$$ anliegt. Gemäß den Kirchhoffschen Gesetzen sollte die über der Spule und dem Kondensator abfallende Gesamtspannung $$U_{LC}$$ gleich der Spannung über der Spule $$U_L$$ und dem Kondensator $$U_C$$ sein, während die Spannung über dem Widerstand $$U_R$$ separat betrachtet wird:
$$U_{LC}$$ = $$U_L$$ = $$U_C$$
Die Widerstände in einem Wechselstromkreis, nämlich der Spule (L) und dem Kondensator (C), sind frequenzabhängig und können durch folgende Formeln berechnet werden:
RL = ωL und RC = $$\frac{1}{wC}$$
Dabei ist ω die Kreisfrequenz. Das bedeutet, dass bei einer hohen Frequenz ω der Widerstand des Kondensators klein ist und der von der Spule groß. Dementsprechend bei einer niedrigen Frequenz $$ω$$ andersherum. Nun können wir uns im Extremfall von ganz großen Frequenzen also vorstellen, dass die Spule garnichts mehr durchlässt und damit eine Unterbrechung des Stromkreises darstellt.
Dadurch wäre es nur noch ein Kondensator in einem Wechselstromkreis. Hier wissen wir, dass die Stromstärke der Spannung um 90° voreilt und bei sehr kleinen Frequenzen stellt der kondensator eine Unterbrechung des Strommkreises da. In diesem Fall würde nur die Spule Funktionieren. Bei der Spule wissen wir, dass die Spannung der Stromstärke um 90° voreilt.
Nun ist die Frage was passiert wenn beide Widerstände gleich groß sind? Das tun wir rechnerisch:
\begin{align*} RL &= RC\\ ωL &= \frac{1}{wc}\\ ω^{2}L &= \frac{1}{C}\\ ω^{2} &= \frac{1}{CL}\\ f_0 &= \frac{1}{2π\sqrt{LC}}\\ \end{align*}
Hier sehen wir,dass wenn die Spule und der Kondensator den gleichen Widerstand aufweisen, wir die sogenannte Eigenfrequenz bekommen.
Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, bei der die Spannung maximal ist. Deshalb haben wir für jeden Kern die Eigenfrequenz gesucht um sie miteinander vergleichen zu können. Dies haben wir folgendermaßen gemacht:
Mit Hilfe des Programs WaveForms konnten wir die Spannung, wie in Abbildung 2 gezeigt, messen. Dabei entstanden 2 Wellen, die die Spannung zeigten (Abbildung 4). Daraufhin haben wir so lange die Kreisfrequenz geändert, bis wir den Moment wo beide Wellen in Phase sind gefunden haben(Abbildung 5). Diesen Vorgang haben wir mit jedem Metall gemacht und sind auf folgende Ergebnisse gekommen
| Kern der Spule | Eigenfrequenz $$f_0$$; Hz |
|---|---|
| Luft | 26.1047 |
| Ferrite | 5.6786 |
| Stahl | 22.8662 |
| Aluminium | 35.6340 |
| Blei | 32.9353 |
Durch die Eigenfrequenz kriegen wir die elektrischen und magnetischen Eigenschaften raus.
Elektrische Eigenschaften
Bei den elektrischen Eigenschaften schauen wir uns vor allem die Wirkung der entstehenden Wirbelströme auf die Spule. Wenn wir uns vorstellen wir hätten ein Kern, dessen Leitfähigkeit sehr hoch ist würde das bedeuten, das sehr viele Wirbelströme entstehen. Im Extremfall könnte man sich die Situation wie in Abbildung 6 vorstellen. Da die Wirbelströme entgegen dem eigentlichen Stromfluss wirken (Lenz´sches Gesetz), "verschwindet" ein Teil der Spule
Dafür nutzen wir die Formel für die Induktivität einer Spule:
\begin{align} L=\dfrac{\mu_0\cdot\mu_r\cdot A\cdot N^2}{l} \end{align}
Nun nehmen wir an, das alle Parameter außer N konstant sind. N ändert sich mit dem jeweiligen Metall da die Leitfähigkeit ja verschieden ist. Dies können wir allerdigs nur für die nicht magnetischen Kerne machen, da $\mu$ bei ihnen ungefähr ^1 ist. Dabei ist das $$\mu$$ bei ferromagnetischen Metallen größer. Nun führen wir ein \Tilde{N} ein, welches das Verhältnis zwischen N vom Metall und N von Luft ist:
$$\tilde{N} =\sqrt{ \dfrac{L_{metall}}{L_{luft}}}$$
Dabei kriegen wir folgende Ergebnisse:
| Kern der Spule | $$\tilde{N}$$ |
|---|---|
| Luft | 1 |
| Ferrite | 256 |
| Stahl | 235.01 |
Diese packen wir nun in ein Diagramm wobei wir den spezifischen Widerstand auf der X-Achse und $$\tilde{N}$$ auf der Y-Achse haben (Abbildung 7). Beim konstruieren eines Graphen durch diese Datenpunkte, erkennen wir, dass es eine Exponential Funktion sein könnte. Wenn der spezifische Widerstand 0 ist, würden unendlich viele Wirbelströme entstehen und $$\tilde{N}$$ wäre 0. Wenn der spezifische Widerstand jedoch unendlich groß wäre, würden gar keine Wirbelströme entstehen und $$\tilde{N}$$ wäre dementsprechend 1. Indem wir eine Exponential Funktion durch diese Datenpunkte durchgehen lassen, können wir auch das $$\tilde{N}$$ von den ferromagnetischen Kernen erfahren, da wir ja ihren spezifischen Widerstank kennen (Abbildung 8).
Also kriegen wir insgesamt folgende Werte raus:
| Kern der Spule | $$\tilde{N}$$ |
|---|---|
| Luft | 1 |
| Ferrite | 256 |
| Stahl | 235.01 |
| Aluminium | 186.98 |
| Blei | 202.88 |
Magnetische Eigenschaften
Bei den magnetischen machen wir fast dasselbe wir bei den elektrischen Eigenschaften, nur dass wir uns diesmal auf $\mu_r$ fokussieren. Wir führen also das sogennante \Tilde{\mu} ein:
\begin{align} '"`UNIQ--nowiki-00000000-QINU`"' \end{align} Nun nehmen wir,dass alle Parameter konstant sind außer \mu_r. Dabei ignorieren wir das sich veränderne N durch die elektrischen Eigenschaften der Kerne. Wir kommen auf folgende Werte:
| Kern der Spule | \Tilde{\mu_r} |
|---|---|
| Luft | |
| Eisen | |
| Stahl | |
| Aluminium | |
| Blei |
Aus diesem \Tilde{\mu_r} können wir nun das \mu_r von jedem Kern berechnen. Daraus könnten wir schließen um welches Material es sich in der Spule handelt. Dafür müssen wir folgendes rechnen
\begin{align} \mu_r = \mu_{Luft} \cdot \Tilde{\mu_r} \end{align}
In folgender Tabelle vergleichen wir die Werte, die wir rausbekommen haben, mit den Werten aus dem Internet:
| Kern der Spule | \mu_r | \mu_r internet |
|---|---|---|
| Luft | ||
| Ferrit | ||
| Stahl | ||
| Aluminium | ||
| Blei |
Wir können erkennen, dass der Wert von Ferrit relativ klein ist. Dazu haben wir einen Graphen gefunden, welcher diesen Fehler erklärt (Abbildung 9). Dieser zeigt, dass das \mu_r von Ferrit vom Verhältnis der Länge und des Diameters der Spule, abhängt.
In unserem Fall ist das Verhältniss ungefähr -------------------------
Laut dem Diagram müsste unser \mu_r ungefähr 20 betragen was auch so ist.
Fehlerbetrachtung
Folgende Aspekte sorgen in unserem Experiment für Fehler in Messungen und Ergebnissen:
1.Kerne der Spule
Die Kerne, die wir genutzt haben könnten Unreinheiten enthalten, was für eine veränderte Leitfähigkeit oder einen veränderten Magnetismus sorgen könnte.
Aufbau
Für unser Experiment haben wir folgenden Aufbau verwendet:
BILD
Daten
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!
Fazit
Insgesamt können wir also sagen, dass die Metalle egal ob ferromagnetisch oder nichtmagnetisch, eine Wirkung auf den RLC-Schwingkreis haben. Dabei spielt bei den ferromagnetischen eher der Magnetismus eine große Rolle, wobei bei nicht magnetischen Metallen die Leitfähigkeit das Wichtigste ist. Wir können anhand der Messwerte die Metalle nach ihrer Leitfähigkeit und ihrem Magnetismus ordnen. Allerdings können wir meistens nicht genau bestimmen, welches Material sich in der Spule befindet.
Erfolge
Jugend forscht Regionalwettbewerb 2. Platz und ein Sonder-Prei. Insgesamt 120€.
GYPT 2. Runde
