Die perfekte Sandburg
1. Einleitung
Folgende Aufgabenstellung haben wir behandelt: "Beim Bauen einer Sandskulptur hängt die Stabilität unter anderem vom Feuchtigkeitsgehalt des Sandes ab. Ermittle das perfekte Verhältnis von Sand und Wasser und untersuche, welche anderen Faktoren die Stabilität des Sandes bestimmen.“ Das Phänomen des Projektes lässt sich auf den Kapillareffekt zurückführen, welcher Kapillarbrücken bildet. Im wesentlichen untersuchen wir also den Parameter "Wassergehalt". Andere Faktoren konnten wir leider nicht bestimmen, da uns die Zeit fehlte.
2. Theoretischer Ansatz
2.1 Kapillarbrücken
Der Kapillareffekt beschreibt, wenn sich Kapillarbrücken, also Flüssigkeitsbrücken, in kleinen Hohlräumen oder innerhalb eines Granulates bilden. (Spektrum – Lexikon der Physik) Der Effekt tritt zum Beispiel bei brennenden Kerzen auf, wenn der Docht flüssiges Wachs „hochsaugt“. Kapillarbrücken bilden sich aus, wenn in den Hohlräumen oder in dem Granulat, die Adhäsion (Grenzflächenspannung), also die Kraft, mit der sich zwei Phasen anziehen, zwischen der Flüssigkeit und dem Feststoff höher ist als die zwischen Flüssigkeit und umliegenden Gas. Das liegt daran, das Flüssigkeiten, genau wie alle Stoffe, versuchen den energetisch günstigsten Zustand zu erreichen, also eine möglichst geringe Oberflächenenergie. (Spektrum – Lexikon der Geografie).
Während die Adhäsion dafür verantwortlich ist, dass die Flüssigkeit an dem Festkörper haftet, ist die Kohäsion dafür verantwortlich das die Flüssigkeit konkave Brücken bildet. (Spektrum – Lexikon der Biologie) Die Kohäsion ist die Ursache für die Oberflächenspannung und die Oberflächenenergie ist von der Oberflächenspannung abhängig. Da ein Stoff immer den energetisch günstigsten Zustand erreichen will, der in Form der Flüssigkeitsbrücken erreicht ist, werden die Partikel zusammengehal- ten. Für eine Bindung zwischen Sand und Wasser wird weniger Grenzflächenenergie benötigt, als für eine Oberfläche zwischen Wasser und Luft. (Schlichting, 2017) Wenn Sand mit Wasser gemischt wird, bildet das Wasser Kapillarbrücken zwischen den Sandkörnern, was dazu führt das der Sand stabiler wird. Wenn genug Wasser vorhanden ist, schließen sich die Kapillarbrücken zwischen den Partikeln außerdem zu Nestern zusammen. Dann verbindet eine Kapillarbrücke nicht mehr nur zwei, sondern viele Sandkörner miteinander. (Scheel M. u.a., 2008)
2.2 Modell
Für die folgenden Berechnungen wurde ein vereinfachtes Modell entwickelt. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Sandkörner perfekte und gleichgroße Kugeln sind. Die Kapillarbrücken werden zu Zylindern vereinfacht. Die Grundflächen der Zylinder sind eigentlich eingebeult, aber außer bei dem Grenzfall, dass sich die Sandkörner berühren, wird das ignoriert. Außerdem ist das Volumen der Kapillarbrücken konstant, da sich beim Zusammen- und Auseinander ziehen der Sandkörner nur die genaue Form der Körner ändert.
2.3 Volumen einer Kapillarbrücke
Für die weiteren Berechnungen kann das konstante Volumen von Kapillarbrücke und Sand über den Grenzfall berechnet werden. Bei diesem Grenzfall wird die Höhe des Zylinders h genauso groß wie der Durchmesser der Sandkörner, also den doppelten Radius r. Über den Radius der Sandkörner kann so über das M4: Grenzfall sich berührende Volumen der einzelnen Sandkörner gesagt werden:
$$ V_\text{Sandkorn}=\frac{4}{3}\pi{}\cdot{}r_\text{s}^3=\frac{1}{6}\pi{}\cdot(2r_\text{s})^3=\frac{1}{6}\pi{}d^3 $$
Beim Grenzfall gehen wird nicht einfach von einer Zylinderform als Kapillarbrücke ausgegangen, sondern von einem Zylinder mit Aufgeschnittenen Halbkugeln an den Grundflächen. Über das Volumen der Wasserbrücken kann dementsprechend gesagt werden
$$ V_\text{w}=(\pi{}r_\text{s}^2\cdot{}2r_\text{s})-\left(\frac{4}{3}\pi\cdot{}r_\text{s}^3\right)=\frac{2}{3}\pi\cdot{}r_\text{s}^3=\frac{1}{12}\pi{}d^3 $$
3. Berechnung und Limitationen
3.1 Kapillarkraft $$ F_k $$
Die Kapillarkraft FK ist die Kraft, mit der die Kapillarbrücken die Sandkörner zusammenhalten.
$$ E_o=A_o\cdot \sigma $$
Die Kapillarkraft in Abhängigkeit der Steigung der Oberflächenenergie
$$ F_\text{K}=\frac{\delta{}E_\text{O}}{\delta{}h}=\frac{\delta{}Ao\cdot\sigma}{\delta{}h} $$
Solange die Sandkörner sich nicht berühren, sind die Kapillarbrücken zu Zylindern vereinfacht. Außerdem ist das Volumen der Kapillarbrücken konstant, deshalb kann das Volumen der Brücke auch mit der Formel zur Berechnung des Zylindervolumens beschrieben werden.
Aus der Formel für das Volumen $$ V_w $$ kann außerdem der Radius des Sandes $$r_s $$ in Abhängigkeit der Höhe des Zylinders $$ h $$ bestimmt werden.
V_\text{w}=\pi{}r^2h\xrightarrow[]{}r_\text{s}=\sqrt{\frac{V_\text{W}}{\pi{}h}}
Die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders in Abhängigkeit des Radius $$ r_sd $$ der Höhe h und damit auch die Fläche die für die Oberflächenenergie wichtig ist.
$$ A_\text{O}=2\pi{}r_\text{s}h $$
Der Radius $$r_s$$ wird in die Formel für $$ A_o $$ eingesetzt.
$$ A_O = 2 \pi \sqrt{\frac{V_W}{\pi h}} h = 2\sqrt{\pi V_W} \cdot \sqrt{h} $$
Die Oberfläche AO wird in die Formel für die Kapillarkraft Fk eingesetzt, um diese zu berechnen.
$$ F_k = \frac{d(2\sqrt{\pi V_W} \cdot \sqrt{h} \cdot \sigma}{d(h)} $$
$$ 2/sqrt{\pi V_w} $$ ist eine Konstante. Deshalb kann es nach der Faktorregel aus der Ableitung rausgeschrieben werden.
$$ F_k = 2\sqrt{\pi V_W} \cdot \frac{d\sqrt{h}}{dh} \cdot \sigma $$
Der Rest der Gleichung kann abgeleitet und vereinfacht werden.
$$ F_k = 2\sqrt{\pi V_W} \cdot \frac{1}{2\sqrt{h}} \cdot \sigma = \sqrt{\frac{\pi V_W \sigma}{h}} $$
Nun kann die Formel für das Volumen VW das über den Grenzfall ermittelt wurde für VW eingesetzt werden.
$$ F_k = \sqrt{\frac{\frac{1}{12} \pi \cdot (2 r_s)^2 \cdot \sigma}{h}} $$
