Lato-Lato (10)
Thema
Unser Projekt dreht sich um die Aufgabenstellung der dritten Aufgabe des diesjährigen German Young Physicist Tournament, welche den Titel „Lato Lato“ trägt und wie folgt lautet.
Attach a ball to each end of a string and connect the center of the string to a pivot. When the pivot oscillates along the vertical direction, the balls start to collide and oscillate with increasing amplitude. Investigate the phenomenon.
Die konkreten Ziele, denen wir uns bis jetzt, aus der Aufgabenstellung abgeleitet, gewidmet haben, betreffen die Themenfelder der im System vorhandenen Energien sowie Energieumwandlungen, Kräfte, Bewegungen, Geschwindigkeiten, den zeitlichen Ablauf mit einzelnen Phasen verschiedener Zustände und die Frequenz von Anregung und Schwingung. Das Ziel war und ist dabei stets, ein möglich exaktes Verständnis des Phänomens, seiner Eigenschaften und der relevanten Parameter sowie ihres Zusammenspiels zu erlangen.
Unsere wichtigen Parameter sind hierbei der Radius der Kreisbahn $$l$$, der Radius der Kugel $$r$$ und die materialabhängige Stoßzahl $$\epsilon$$. Außerdem nutzen wir den Winkel $$\theta$$, den man aus der Abb. 1 entnehmen kann.
Theorie
Für unsere Theorie haben wir mehrere Annahmen gemacht:
1. Die Bewegung erfolgt auf einer perfekten Kreisbahn 2. Vernachlässigung von Luftwiderstand 3. Die Kugeln treffen sich im niedrigsten Punkt der Kreisbahn 4. Keine Rotation der Kugeln 5. Die Bewegung der Kugeln ist auf beiden Seiten der vertikalen Achse symmetrisch Um die grundlegenden Kräfte im System zu erklären, unterteilt man die Schwingung in drei Phasen: den Fall, den Aufprall und den Rückstoß. Hierbei wird das Oszillieren des Pendels noch nicht betrachtet.
1. Phase: Der Fall (siehe Abb. 2) Die Formel der Zentrifugalkraft und der Seilkraft ist: $$F_zentrifugal = F_Seil = m \cdot \omega^2 \cdot l$$
Die Tangentialkraft ist die resultierende Kraft im Kräfteparallelogramm der Gewichtskraft und der Seilkraft. Die Tangentialkraft kann außerdem durch trigonometrische Überlegungen dargestellt werden durch: $$F_tangetial = F_G \cdot sin(\theta) = m \cdot g \cdot sin(\theta). 2. Phase: Der Aufprall Die Kugeln erreichen kurz vor dem Aufprall ihre Maximalgeschwindigkeit $$v_Ende$$. Während des Aufpralls verformen sich die Kugeln. Durch diese Verformung wird die kinetische Energie der Kugel vollständig in Spannenergie umgewandelt. Danach formen sich die Kugeln zurück und stoßen sich ab. Da während des Stoßes Energie durch Reibung verloren geht, haben die Kugeln nicht die identische Geschwindigkeit nach dem Stoß wie vor dem Stoß. 3. Phase: Der Rückstoß [[Datei:Abb. 3- Der Rückstoß.png|mini|Abb. 3: Der Rückstoß]] Aufgrund der Trägheit schwingen die Kugeln nach dem Rückstoß weiter mit ihrer Geschwindigkeit $$v_Ende$$. Gegen diese Geschwindigkeit wirkt aber die Tangentialkraft. Diese ist wie beim Fall durch $$F_tangetial = F_G \cdot sin(\theta)$$ gegeben. Die Kugeln schwingen weiter, bis die Geschwindigkeit der Kugeln von der durch die Tangentialkraft erzeugten Beschleunigung neutralisiert worden ist. Hier wird dann die maximale Amplitude erreicht. [[Datei:Abb. 4- Potenzielle Energie.png|mini|Abb. 4: Potenzielle Energie]] Energie im System: Wenn man die Wärmeenergie vernachlässigt, sind im System nur kinetische, potenzielle und Spannenergie vorhanden. Die kinetische Energie lässt sich berechnen durch: $$\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$$. Die potenzielle Energie kann man durch Trigonometrie berechnen. Man erhält somit als Formel: $mgl(1-cos(\theta))$. Aufgrund des Energieerhaltungssatz ist im höchsten Punkt die vollständige Energie in potenzieller Energie vorhanden, da $$v=0$$ gilt. Kurz vor dem Aufprall ist die vollständige Energie in kinetischer Energie vorhanden, da wir annehmen, dass der Aufprall auf der Höhe $$0$$ passiert. Wir nutzen das für unsere folgende Berechnungen.
Stoßzahl:
Die Stoßzahl ist definiert durch $$\epsilon=\frac{v_NachStoß}{v_VorStoß}$$. Man kann die Stoßzahl außerdem durch die kinetische Energie kurz vor dem Stoß berechnen: $$\sqrt{\frac{E_kinNach}{E_kinVor}}$$. Da man aber die kinetische Energie im niedrigsten Punkt mit der potenziellen Energie gleichsetzen. Außerdem kann man die maximale potenzielle Energie durch den maximalen Winkel $$\theta$$ berechnen. Somit erhält man für die Stoßzahl: $$\epsilon=\sqrt{\frac{1-cos(\theta_maxnach)}{1-cos(\theta_maxvor)}}$$. In einem unserer Experimente messen wir diese Stoßzahl.
Anregung des Pendels:
Wenn man das Pendel in der Phase des Falls hochzieht, stoßen die Kugeln stärker. Das kann man wie folgend betrachten. Zieht man das Pendel hoch, so wirkt eine Kraft auf den Mittelpunkt des Pendels. Diese Kraft wirkt auch auf die Kugeln. Nach dem dritten Newtonschen Axiom wirkt eine Gegenkraft in die entgegengesetzte Richtung. Diese Gegenkraft wirkt somit in Richtung der Gewichtskraft. Die Kraft, die die Kugel zum Ruhepunkt zieht, ist die resultierende Kraft im Kräfteparallelogramm der Gewichtskraft und Seilkraft. Da die Gewichtskraft sich mit der Gegenkraft addiert, wird auch diese Kraft größer.
Wenn man das Pendel in der Phase des Rückstoßes runterdrückt, dann wirkt man einer zu entgegengesetzte Kraft, . Da sich und addieren, müssen und gegeneinander wirken, damit wird und die Kraft, die die Kugel zum Ruhepunkt zieht, auch. Damit kann die Kugel weiter nach oben schwingen.
Anregungsfrequenz:
Um das Pendel so anzuregen, sodass die maximale Amplitude erreicht wird, muss man das Pendel mit der Resonanzfrequenz oszillieren. Diese Resonanzfrequenz $$\omega$$ ist genauso groß wie die Eigenfrequenz des Pendels $$\omega_0$$. Wir wollen aber die lineare Frequenz berechnen, deswegen ist die Formel $$f=\frac{1}{2\pi} \cdot \sqrt{\frac{g}{l}}$$. Da die Kugeln aber nur die halbe Kreisbahn durchgehen, multipliziert die Frequenz mit $$2$$ und erhält: $$f=\frac{1}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{g}{l}}$$. Wir werden probieren diese Frequenz zu bestimmen.
Aufbau
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.
Daten
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!
Fazit
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
Erfolge
Habt Ihr an Wettbewerben teilgenommen? Wie weit seid Ihr gekommen?
Quellen
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!
