Dripping Faucet
1. Thema
Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$
2. Theorie (Aufgeteilt)
2.2 Reibung (Linus)
Um die Reibung zu berücksichtigen haben wir die Darcy-Weisbach Gleichung [4] benutzt.
$$Δp =λ \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v²$$
Dies können wir nun also in unsere Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung aus 2.1 einsetzen:
$$gh = \frac{1}{2}v²+\frac{Δp}{ρ}$$ und die Formel für $$Δp$$ einsetzen:
$$gh = \frac{1}{2}v²+λ\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v²}{2}$$
und nach einigen Umformungen erhalten wir:
$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)
$$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+λ\cdot\frac{L}{D}}}$$
Das Problem ist nur, dass $$λ$$ geschwindigkeitsabhängig ist und wir so eine implizite Gleichung haben. Um dies zu lösen bleiben wir erst einmal bei:
$$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{λ}{2}\cdot\frac{L}{D}$$)
und substituieren $$λ$$ mit Hilfe des Gesetz von Hagen-Poiseuille mit $$\frac{64}{Re}$$ wobei $$Re$$ die Reynolds-Zahl ist. Diese lässt sich in unserem Fall berechnen mit:
$$Re = \frac{ρvD}{µ}$$ so erhalten wir: $$gh = v²(\frac{1}{2}+\frac{32µL}{ρvD²})$$, was sich wieder ausmultiplizieren und vereinfachen lässt zu:
$$0 = v²+\frac{64vµL}{ρD²}-2gh$$
diese Quadratische Gleichung lässt sich für $$v$$ lösen:
$$v = \pm \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²}^{2}+2gh)}-\frac{32µL}{ρD²}$$
da wir nur positive Geschwindigkeiten betrachten, ist die Gleichung also:
$$v = \sqrt{(\frac{32µL}{ρD²}^{2}+2gh)}-\frac{32µL}{ρD²}$$
so können wir also die Geschwindigkeit nach einer heruntergeflossenen Höhe $$h$$ in Abhängigkeit der relevanten Parameter mit betrachteter Reibung berechnen.
2.4 Strahlenbildung (Linus)
2.4.1 Strahlenform
Qualitativ können wir die Strahlform dadurch erklären, dass durch beschleunigendes Wasser, die Querschnittsfläche kleiner sein muss um die Masseerhaltungsprinzipien zu erfüllen. Dies führt zu einem Strahl welcher sich zuschnürt je tierfer er Fällt.
Um die Strahlenbildung Quantitativ zu beschreiben können wir mit der Kontinuitätsgleichung beginnen:
$$\dot V = v(h)\cdot A(h)$$= v_{0}\cdot A_{0}
Diese können wir mit der Annahme, dass der Querschnitt immer ein perfekter Kreis ist vereinfachen zu:
$$r(h)²\cdot \pi = \frac{v_{0}\cdot A_{0}}{v(h)}$$
$$r(h)² = \frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}$$
$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{v(h)}}$$
$$r(h) = \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2gh+v_{0}}}$$
Da nach einer gewissen Falldistanz die Geschwindigkeitskomponente von $$2gh$$ die von $$v_{0}$$ stark übersteigt ist die Form also annäherungsweise mit der Formel:
$$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot \sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ beschreibbar. Dies ist nützlicher da wir $$\sqrt{\frac{v_{0}\cdot r_{0}^{2}}{2g}}$$ als Konstante $$k_s$$ darstellen können und so $$r(h)$$ mit: $$r(h) = h^{-\frac{1}{4}}\cdot k_s$$ darstellen können, was die Form sehr einfach beschreibt.
2.4.2 Tropfentrennung
Um nun herauszufinden wo sich die Tropfen trennen müssen wir erst einmal verstehen wie dieses Trennen funktioniert. In einem jeden Strahl bilden sich kleine Störungen diese werden über Zeit stärker durch Druckunterschiede. Sobald sie stark genug werden trennt sich der Strahl zu Tropfen auf. Da wir diese Störungen nicht genau berechnen können, werden wir versuchen die Zeit $$t$$ zu berechnen die Tropfen mit einer gewissen Startgeschwindigkeit $$v_0$$ brauchen um eine Distanz $$s$$ zu fallen. Wenn wir nun die Distanz messen, welche die Tropfen fallen können wir berechnen wie lang es gedauert hat. Unsere Annahme hier ist es, dass diese Zeit mit $$v_0$$ konstant bleibt.
Die Distanz nach Zeit $$t$$ lässt sich berechnen mit: $$s = t²\cdot \frac{g}{2}\cdot t\cdot v_{0}$$
Hier haben wir also wieder eine simple Quadratische-Gleichung, welche sich lösen lässt mit:
$$0 = t²\cdot \frac{g}{2}+t\cdot v_{0}-s$$
$$0 = t²+t\cdot \frac{2v_{0}}{g}-\frac{2s}{g}$$
3. Aufbau
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.
4. Daten (Linus)
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!
5. Fazit
Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.
6. Erfolge (Linus)
GYPT Bundesrunde (Linus Konnerth)
BeGYPT 12. Platz (Linus Konnerth)
7. Quellen (Linus)
[2] Spektrum der Wissenschaft, “Bernoulli Gleichung”
[3] LEIFIphysik, “Kontinuitätsgleichung”
[4] G.O. Brown: . In: . American Society of Civil Engineers, 2003, S. 34–43, doi:10.1061/40650(2003)4 (englisch).
[5] V. Grubelnik and M. Marhl, “Drop formation in a falling stream of liquid,”
