Rayleigh-Bénard Konvektion
Thema
Wir haben die 10 Aufgabe vom GYPT bearbeitet. Die Aufgabenstellung ist:"Uniformly and gently heat the bottom of a container containing a suspension of powder in oil (e.g. mica powder in silicon oil), cell-like structures may form. Explain and investigate this phenomenon."
Unser Experiment basiert auf dem Prinzip der Konvektion. Eine Flüssigkeit, in diesem Fall Silikonöl wird von unten homogen erhitzt. Dadurch hat die untere Schicht vom Silikonöl eine kleinere Dichte und die obere Schicht eine größere. Das verursacht eine Auftriebskraft, welche auf die untere Schicht, nach oben wirkt. Daraufhin fängt bei einem hinreichend großen $$\Delta T$$ die Konvektion an, weil ab diesem Zeitpunkt die Auftriebskraft die Viskositätskraft überwindet (die Viskosität kann man als innere Reibung in einer Flüssigkeit ansehen). Das erkennt man daran, dass die untere Schicht an manchen Punkten durch senkrechte Strömungen nach oben gelangt und sich beim Ausbreiten auf der Oberfläche abkühlt. Dort sinkt das Öl wieder wegen der größeren Dichte an den Rändern der Zellen ab. Dadurch bilden sich meist hexagonale Muster an der Oberfläche, die wir Rayleigh-Bénard-Zellen nennen.
Theorie
Die kritische Rayleigh-Zahl, bei der Konvektion anfängt, werden wir jetzt herleiten:
Dazu betrachten wir als erstes ein Modell mit unendlich langen Platten in X-Richtung und mit Abstand H in Y-Richtung.
Die obere Platte sei Luft und die untere Platte sei unser Metall, welches die Wärme transportiert.
Die Temperatur von dem Material in der oberen Schicht (Luft) und der unteren Schicht (Metall) bleibt die ganze Zeit konstant.
Dabei ist die Temperatur bei $$y = 0$$ und $$y = H$$ gleich.
Wenn jetzt die Temperatur der unteren Platte größer ist als die der oberen Platte, passiert ab einem bestimmten kritischen Temperaturunterschied Konvektion.
Wir nehmen auch an, dass die ringförmige Bewegung in X-Richtung periodisch ist und in Z-Richtung nur eine Erweiterung dieses Querschnitts ist.
Deswegen ist dies vernachlässigbar.
Beginnen wir mit den Navier-Stokes-Gleichungen, die das Verhalten einer Flüssigkeit beschreiben,
und der Wärmeleitung-Gleichung, um den Einfluss der Temperatur auf das System zu beschreiben:
1. Gleichung für Masseerhaltung (Kontinuitätsgleichung), Gleichung
\begin{align*} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho u}{\partial x} + \frac{\partial\rho v}{\partial y}= 0 \end{align*}
\begin{align*} \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2u \end{align*}
\begin{align*} \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \nabla^2v -\rho g \end{align*}
\begin{align*} \rho C_p \left( \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} \right) = k \nabla^2 T \end{align*}
In unserem Versuch ist $$\Delta T$$ so klein, dass wir eine sehr kleine Veränderung der Dichte bekommen, die wir ignorieren können.
Dadurch nehmen wir die Dichte in allen Termen als konstantes $$\rho_0$$ an. Die Ausnahme ist der Term für die Y-Richtung,
weil wir für eine Konvektion Dichteunterschiede brauchen, die von einem Temperaturunterschied herbeigeführt wurden.
Man nennt diese Approximation die Boussinesq-Approximation und wir benutzen sie, um die Gleichungen zu vereinfachen.
Dadurch bekommen wir für die Dichte:
\begin{align*} \rho = \rho_{0}(1 + \beta(T -T_{0})) \end{align*}
für den Gravitationsterm, also den Term mit dem $$g$$.
Und für alle anderen Anwendungen nehmen wir $$\rho = \rho_{0}$$ für alle anderen Terme.
Die Umformungsschritte könnt ihr im Video nachvollziehen\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=Ioy-uAMOZCg}}:
\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} &= 0 \\ \rho_{0}\left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right) &= -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u \\ \rho_{0} \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} \right) &= -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \nabla^2 u - \rho_{0}(1 + \beta(T -T_{0})) g \\ \rho_0 C_p \left( \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} \right) &= k \nabla^2 T \end{align*}
Wir betrachten jetzt einen stabilen Zustand / steady state unseres Systems,
in welchem die Temperatur nur durch die Wärmeleitung übergeben wird.
In diesem Zustand haben wir keine Bewegung, bedeutet
$$u^{ss} = 0 \text{ und } v^{ss} = 0$$ stimmt.
Temperatur linear:
\begin{align*} T^{ss} = y \frac{T_H -T_0}{H} + T_0 \end{align*}
So ist die Veränderung des Drucks auch linear:
\begin{align*} \frac{\partial p^{ss}}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial p^{ss}}{\partial y} = -g\rho_{0}(1 + \beta(T^{ss} -T_{0})) \end{align*}
Aufbau
Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.
Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.
Daten
Prandtl und grashof zahl erklärung einfügen
Um herauszufinden bei welcher Temperatur Differenz, mit zugehöriger Höhe, Rayleigh Bernard Konvektion anfängt, müssen wir die Rayleigh Zahl zu diesem Zeitpunkt messen. Diese Rayleigh Zahl ist die kritische Rayleigh Zahl für den Anfang von stabiler Konvektion. Da diese durch die Prandtl und Grashof Zahl definiert wird, ist sie universell für alle Stoffe und so zwischen unterschiedlichen Experimenten Vergleichbar.
| Parameter | Wert | Formelzeichen |
|---|---|---|
| Rayleigh-Zahl | $$Ra$$ | |
| Stoffeigenschaften von Silikonöl 50cSt | ||
| Dichte | $$960 kg/m^3$$ | $$\rho$$ |
| Spezifische Wärmekapazität | $$1,5 J/(g K)$$ | $$c$$ |
| Wärmeausdehnungskoeffizient | $$9,5 \times 10^{-4}$$ | $$\gamma$$ |
| Dynamische Viskosität | $$0,48 Pa s\mid 4,8 Pa s\mid 48 Pa s$$ | $$\eta$$ |
| Wärmeleitfähigkeit | $$15 \times 10^{-4} J/(m s K)$$ | $$k$$ |
| Erdbeschleunigung | $$9,81 m/s^2$$ | $$g$$ |
| Messwerte | Einheit | Formelzeichen |
| Temperaturunterschied | $$K$$ | $$\Delta T$$ |
| Höhe | $$cm$$ | $$h$$ |
Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!
Fazit
In unserer Untersuchung haben wir die kritische-Rayleigh-Zahl in der Theorie berechnet und gemessen. Ab diesem Punkt beginnt die Konvektion mit den Zellmustern. Dabei lässt sich die Größe und die Zellenform der die Zellen durch verschiedene Parameter beeinflussen, wie zum Beispiel durch h ,$$\Delta T$$ und andere stoffspezifische Parameter.
Erfolge
Wir haben in einem Jugend Forscht Regionalwettbewerb gewonnen und sind in die Landesrunde weiter gekommen. Außerdem haben wir in jeweils Berlin und Königs-Wusterhausen den GYPT-Regionalwettbewerb gewonnen und sind dort in die Bundesrunde weitergekommen.
Quellen
Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!
