Electrical Damping

Thema

In unserem Projekt haben wir das 2. GYPT-Projekt, Electric Damping, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:

A magnet suspended by a spring will display simple harmonic motion when displaced. If the magnet oscillates within a coil connected to a resistor, its motion will be damped. Investigate the factors that affect the damping.

Allgemeiner Aufbau unseres Projektes

Der Aufbau dieses Projekts basiert auf einem gewöhnlichen mechanischen harmonischen Oszillator, doch schwingt hier ein an Federn aufgehängter Magnet innerhalb einer Spule, die wiederum an einen variablen Widerstand angeschlossen ist. Beim Auslenken des Pendels mit geschlossenem Stromkreis tritt eine merklich stärkere Dämpfung auf, als durch die mechanischen Umstände hervorgerufen werden könnte.

Um ein solches Pendel systematisch untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da ein Setup, das eine exakte Variation von Parametern wie der Gleichgewichtslage des Magneten relativ zur Spule erlaubt, nicht einfach als Fertigset existiert, haben wir unseren experimentellen Aufbau aus modularen Stativkomponenten und Kraftsensoren selbst entworfen.

Wir betrachten das System theoretisch auf zwei Ebenen: qualitativ und quantitativ. Für den qualitativen Teil betrachten wir die grundlegenden Mechanismen der Induktion und der Energieumwandlung. Für den analytischen und quantitativen Teil leiten wir ein vollständiges elektromechanisches Modell her, welches in einem Integro-Differentialgleichungssystem mündet, um die Dämpfung in Abhängigkeit von elektrischen und geometrischen Parametern exakt beschreiben zu können.

Theorie

Qualitative Theorie

Betrachtet wird zunächst das rein mechanische Federpendel. Auf den aus der Ruhelage ausgelenkten Magneten wirkt die rückstellende Kraft der Federn sowie die Gravitation, was ohne äußere Einflüsse zu einer einfachen harmonischen Schwingung führt.

Sobald das System um die Spule und den geschlossenen Stromkreis erweitert wird, ändert die Bewegung des Magneten kontinuierlich den Magnetfluss durch die Spule. Gemäß dem Faradayschen Induktionsgesetz wird dadurch eine elektromotorische Kraft induziert. Diese ist dann maximal, wenn die Geschwindigkeit des Magneten am größten ist, also beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage.

Diese induzierte EMF treibt einen Strom durch den angeschlossenen Widerstand. Dieser Strom erzeugt wiederum ein eigenes Magnetfeld, das nach dem Lenz'schen Gesetz der ursprünglichen Bewegung des Magneten entgegenwirkt. Die mechanische Energie des Systems wird dabei irreversibel als Joule'sche Wärme im Widerstand dissipiert. Es resultiert eine elektromagnetisch gedämpfte Schwingung. Um die Stärke dieser Dämpfung in Abhängigkeit variabler Parameter exakt vorherzusagen, ist eine quantitative Analyse erforderlich.

Quantitative Theorie

Bewegungsgleichung, Definitionen und Annahmen

Für die theoretische Modellierung werden zunächst die relevanten Systemkonstanten definiert: die Masse des Magneten $$m$$, die effektive Federkonstante $$k_{eff}$$, die Windungszahl der Spule $$N$$, die Spuleninduktivität $$L$$ und der ohmsche Gesamtwiderstand $$R$$ (bestehend aus dem verstellbaren Widerstand und Innenwiderstand der Spule). Die zentrale zeitabhängige Variable ist die vertikale Auslenkung des Magneten aus der Ruhelage $$x(t)$$.

In der theoretischen Herleitung der Theorie gelten die folgenden Annahmen:
• eindimensionale Bewegung
• lineare Federn
• konstante mechanische Dämpfung
• konstante elektrische Parameter ($$R$$ und $$L$$)
• keine anderen elektromagnetischen Effekte

Als Ausgangspunkt für das gedämpfte System dient die klassische Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators: \begin{equation*} m\ddot{x} + d(x) \dot{x} + k x = 0 \end{equation*} wobei $$d(x)$$ die positionsabhängige Dämpfungskonstante, für welche gilt $$d(x) = d_{mech} + d_{em}(x)$$ ist. Durch eine Taylor-Entwicklung 0. Ordnung wird die Dämpfungskonstante als konstant approximiert. Unter dieser Annahme ergibt sich als Lösung eine exponentiell abklingende Schwingung: \begin{equation*} x(t) = Ae^{- \gamma t}cos(\omega t + \varphi) \end{equation*} Dieser Ansatz der konstanten Dämpfung ist nur für unsere späteren Messungen der Dämpfung relevant, im Folgenden wird eine ortsabhängige Dämpfung betrachtet.

Induzierte EMF und magnetischer Fluss

Für die Modellierung des elektromagnetischen Effekts muss der gesamte magnetische Fluss $$\psi = \sum_{i=1}^{N} \Phi_i$$ durch die Spule betrachtet werden: \begin{equation*} \Phi_i(x) = \int_{A_i}\vec{B}(x)\cdot d\vec{A}_i \end{equation*}

Aus dem Faradayschen Induktionsgesetz ergibt sich durch Anwendung der Kettenregel die induzierte Spannung $$\varepsilon$$ als Produkt aus der räumlichen Änderung des Flusses und der Geschwindigkeit des Magneten: \begin{equation*} \varepsilon(t) = -\frac{d}{dt}(\sum_{i=1}^{N} \Phi_i(x)) = -\frac{d\psi}{dt}\\ \varepsilon(t) = -\frac{d\psi}{dx}\dot{x} \end{equation*}

Im Folgenden definieren wir: \begin{equation*} G(x) := \frac{d\psi}{dx} \end{equation*} Sodass gilt: \begin{equation*} \varepsilon(t) = -G(x)\dot{x} \end{equation*}

System als RL - Schaltkreis

Das elektrische System lässt sich als geschlossener RL-Schaltkreis modellieren. Nach der Kirchhoff'schen Maschenregel resultiert für das aus Induktivität $$L$$ und ohmschen Widerstand $$R$$ bestehende System die folgende Differentialgleichung für den Strom $$I$$: \begin{equation*} L\frac{dI}{dt}+RI = \varepsilon(t)\\ L\frac{dI}{dt}+RI = -G(x)\dot{x} \end{equation*} Die Lösung für $$I$$ über eine Variation der Konstanten lautet: \begin{equation*} L\frac{dI}{dt}+RI = \varepsilon(t)\\ I(t)=e^{-\frac{R}{L}t}\int\frac{\varepsilon(\tau)}{L}e^{\frac{R}{L}\tau}d\tau+I_0e^{-\frac{R}{L}t} \end{equation*}

Leistungsbilanz

Die mechanische Leistung $$P_{mech}$$​, die dem Oszillator durch die elektromagnetische Gegenkraft entzogen wird, muss der elektrischen Leistung $$P_{elec}$$ entsprechen, die durch Induktion in den Stromkreis eingespeist wird. \begin{equation*} P_{mech} = P_{ges, elec}\\ F_{em} \cdot \dot{x} = I \cdot \varepsilon \end{equation*} Nach den Kirchhoffschen Regeln teilt sich diese induzierte Gesamtleistung im RL-Kreis in die thermische Verlustleistung am Widerstand ($$P_{diss} = I^2 R$$) und die magnetische Speicherleistung der Spule ($$P_{mag} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} L I^2)$$) auf. Daraus folgt für die allumfassende Energiebilanz: \begin{equation*} F_{em} \cdot \dot{x} = I^2 R + \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}LI^2\right) \end{equation*} Über das Prinzip der virtuellen Arbeit betrachten wir eine minimale Verschiebung $$\delta x$$ ohne zeitliche Änderung. Da keine Zeit vergeht, bleibt der Strom konstant, wodurch der Term der magnetischen Leistung verschwindet. Dies entspricht auch dem realen Vorgang, da im Magnetfeld keine Energie des Systems verloren geht, sondern es als Austauschschritt der Energie der mechanischen Oszillation hin zu der elektrischen Dissipation agiert. \begin{equation*} F_{em} \cdot \dot{x} = I \cdot \varepsilon\\ F_{em} = \frac{I \cdot \varepsilon}{\dot{x}} = -G(x) \cdot I \end{equation*}

Finale Bewegungsgleichung

Durch das Einsetzen unserer soeben berechneten Dämpfungskraft entsteht die folgende Bewegungsgleichung für unser System: \begin{equation*} m\ddot{x} + d(x) \dot{x} + k x = -G(x) \cdot I(t)\\ m\ddot{x} + d(x) \dot{x} + k x + G(x) \cdot I(t) = 0\\ m\ddot{x} + d(x) \dot{x} + k x + G(x) \cdot (e^{-\frac{R}{L}t}\int\frac{\varepsilon(\tau)}{L}e^{\frac{R}{L}\tau}d\tau+I_0e^{-\frac{R}{L}t}) = 0 \end{equation*}

Aufbau

Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

Daten

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Fazit

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

Erfolge

BeGYPT Teilnahme
JuFo Teilnahme

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!