Boycott Effect
Thema
Sedimentationsprozesse sind in vielen Bereichen des Lebens zu finden, da wir ständig Situationen begegnen, in denen Teilchen absinken. Zum Beispiel, wenn man morgens seinen Kaffee in der Kanne zubereitet - der Kaffeesatz sinkt in der Tasse ab, sodass wir ihn nicht mittrinken müssen. Diese Prozesse sind allerdings nicht nur zuhause beim Kaffee trinken, sondern auch zum Beispiel in der Industrie von großer Relevanz. Bei der Abwasserreinigung in Klärbecken, bei dem Untersuchen von Blut- oder Gewässerproben, sowie bei Schmelzflusselektrolysen in der Metallindustrie - bei all diesen Vorgängen findet eine Sedimentation statt. Kann man also die Absinkgeschwindigkeit erhöhen und optimieren, spart man einiges an Zeit und die Effizienz dieser Vorgänge wird deutlich gesteigert. Ein genau solche Beschleunigung kann durch das schräg halten eines Containers auftreten, aufgrund des sogenannten "Boycott Effekts". Um dieses Effekt ging es auch dieses Jahr in der 15. Aufgabe des GYPTs / IYPTs:
"If particles are suspended in a liquid that has a lower density than the particles, the particles will settle to the bottom of the container. The rate of settling can be affected by tilting the container that holds the liquid. Explain this phenomenon and investigate the effect of relevant parameters."
Angelehnt an diese Aufgabenstellung haben wir den gesagten Effekt untersucht, das Phänomen qualitativ und quantitativ theoretisch untersucht und dies zudem experimentell untersucht.
Theorie
Qualitative Erklärung
Sinken Partikel in einer gewissen Konzentration in einer Flüssigkeit ab, so hindern sie sich gegenseitig am Absinken, auf der einen Seite durch die Interaktion mit der verdrängten Flüssigkeit, auf der anderen Seite durch direkte Interaktion der Partikel. Der Effekt entsteht nun grundlegend dadurch, dass der Abstand der Wasseroberfläche zu den Wänden des Containers bei einem gekippten Container kleiner ist. Dies führt dazu, dass die Partikel schneller eine Wand erreichen, an welcher sie sich absetzten können. Haben sie diese erreicht, hindern sie weniger Partikel am Absinken und sind selbst bereits schneller abgesetzt. Zudem entsteht eine Konvektion in unserem gekippten Container, da durch die an der schrägen Wand liegenden Partikel auf der einen Seite, und die klare Flüssigkeit auf der anderen Seite eine deutliche Dichtedifferenz entsteht. Diese Konvektion als Flüssigkeitsbewegung bewirkt, dass die Partikel schneller nach unten gelangen, die Absetzrate und -geschwindigkeit wird also erhöht.
Quantitatives Modell
Parameter
Um ein umfassendes Modell entwickeln zu können, ist es entscheidend die wichtigen Parameter des Systems zu identifizieren, welche in unserem Fall folgende sind:
- Eigenschaften des Behälters (Höhe $$h_b$$, Breite $$b$$, Abkippwinkel $$\alpha$$)
- Partikeleigenschaften (Dichte $$\rho_p$$, Durchmesser $$a$$)
- Flüssigkeitseigenschaften (Dichte $$\rho_f$$, dynamische Viskosität $$\eta$$)
- Partikelkonzentration $$C$$
Partikelebene
Für einen einzelnen Partikel in Flüssigkeit sind die angreifende Kräfte auf der einen Seite die Reibungskraft $$F_D$$ und auf der anderen Seite die bereinigte Gewichtskraft $$F_W = F_G + F_A$$ wobei $$F_G$$ die Gewichtskraft und $$F_A$$ der Auftrieb nach dem archimedischen Prinzip ist. Da die absinkenden Partikel als kugelförmig angenommen werden können, kann die Reibungskraft als Stokes'sche Reibung berechnet werden. Die Maximalgeschwindgkeit der Partikels ist dann errreicht, wenn $$F_D = F_W$$, also
$$v_p = \frac{a^2\cdot (\rho_p-\rho_f)\cdot g }{18 \eta}$$
Systemebene (ganzer Container)
Betrachten man allerdings nicht nur einen einzigen Partikel sonders eine Suspension mit einer gewissen Konzentration, so ist die Absinkgeschwindigkeit aufgrund der Partikelinteraktion natürlich gleich Der, eines ungehinderten Partikels. Zur Berechnung Dieser, lässt sich eine verallgemeinerte Theorie zum Absetzen von Suspensionen nutzen. Danach gilt $$v_0=v_p(1-c)^\beta$$ wobei $$c$$ die Konzentration, $$v_p$$ die Geschwindigkeit eines Partikels (für uns bestimmt über Stokes) und $$v_0$$ die Geschwindigkeit des Systems ist. Der Parameter $$\beta$$ kann hierbei über die Reynolds-Zahl eines Partikels bestimmt werden, sowie experimentell bestimmt werden.
$$Re_p=\frac{a \cdot v_p \cdot \rho_f}{\eta_f}$$
Wenn $$Re_p < 0.5$$ dann ist $$\beta = 4.65$$. Der von uns experimentell bestimmte Wert von $$4.76$$ stimmt mit dem theoritischen Wert sehr gut überein. Hierraus lässt sich also eine proportionalität von $$v_p$$ und $$v_0$$ schließen.
Beginnt der Sedimentationsvorgang, entsteht in einem Zeitraum $$\Delta t$$ in der Theorie gleichmäßig klare Flüssigkeit [Abb. PNK - Theorie]. Allerdings bleibt die Schicht der klaren Flüssigkeit konstant gleich breit, weshalb angenommen wird, dass die hier ''produzierte'' klare Flüssigkeit sich auch oben anzusammelt. Dies führt zu einer höheren Geschwindigkeit des Fluids darunter. Durch integrieren über das geklärte Volumen, wobei $$\Delta t \rightarrow 0$$, erhält man für die Rate, mit welcher klare Flüssigkeit entsteht, folgendes: $$S(t)=v_0\cdot x_1(t)$$. Zudem gilt $$\frac{dH}{dt}=\frac{S(t)}{w(H)}$$ und $$\frac{dx_1}{dH}=tan (\alpha (H)) + \frac{dw}{dH}$$.
Hierbei ist $$H$$ die Höhe der Grenzschicht der klaren Flüssigkeit, $$w(H)$$ die Weite des Containers, $$\alpha (H)$$ der lokale Kippwinkel und $$x_1$$ die x-Koordinate der Grenzschicht.
In unserem Fall haben wir eine Sedimentation zwischen zwei parallelen Platten betrachtet, was zu einigen Vereinfachungen führt: $$\alpha$$ ist konstant, sowie auch $$w(H)$$, wobei $$w(H)=\frac{b}{cos(\alpha)} $$.
Wir können die neue Absinkgeschwindigkeit also darstellen als:
$$\frac{dh}{dt}=v_0 \cdot (1+\frac{h}{b}\cdot\sin{\alpha})$$
Wobei $$v_0$$ die Absinkgeschwindigkeit der Partikel im gleichen vertikalen Behälter ist.
Grenzen der Theorie & Anpassung
Um die Anwendbarkeit des Modells zu untersuchen und vorherzusagen, können die zwei dimensionslosen Kennzahlen Reynoldzahl und Grashof-Zahl verwendet werden. Die Grashof-Zahl gibt hierbei das Verhältnis des Auftriebs eines Fluids zur wirkenden Viskositätskraft an. Die Reynolds-Zahl stellt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften dar, und beschreibt somit das Turbulenzverhalten. Sie ist von Bedeutung, da wir eine möglichst wenig turbulente Strömung brauchen, um die PNK-Theorie anwenden zu können, da diese Verwirbelungen nicht mit in Betracht zieht.
$$Re_p = \frac{v_ph_0\rho_f}{v_f}$$
Für eine ideale Modellierung müsste gelten:
$$Re_p \longrightarrow 0$$ und $$\lambda = \frac{Gr}{Re_p} = \longrightarrow \infty$$, wobei für den Fall von kugelförmigen Partikeln
$$Re_p=\frac{2}{9}h_0a^2\frac{\rho_f(\rho_p-\rho_f)}{\eta^2}g$$
$$\lambda = \frac{9}{2}(\frac{h_0}{a})^2c_0$$
Es ist erkennbar, dass sowohl Viskosität und Dichte des Fluids, als auch die Konzentration der Partikel einen Einfluss auf die Anwendbarkeit dieser Theorie haben. Da bei den in unseren Systemen gewählten Partikeln $$a$$ sehr klein ist, sind zumindest diese beiden Anforderung annähernd erfüllt, weil $$Re_p \sim a$$ und $$\lambda \sim \frac{1}{a}$$ gilt. Allerdings gibt es noch andere zu betrachtende Faktoren, welche einen Einfluss auf die Aussagekraft der PNK-Theorie haben. So sind weitere Anforderungen die gleichmäßige Partikelkonzentration zu Beginn und das Verhalten der Suspension wie ein Newtonsches Fluid ($$c_0$$ nicht zu groß). Auch diese beiden Anforderungen sind durch unseren Versuchsaufbau erfüllt, da die Speisestärke und das Wasser vollständig vermischt sind, und ein annähernd Newtonisches Fluid vorliegt, da Wasser verwendet wird.
Da zudem auf der Makroebene Turbulenzen entstehen durch das aufwärtsströmen der klaren Flüssigkeit an der Suspensionsschicht, ist diese sind diese Regionen nicht wie in der Theorie modelliert scharf voneinander getrennt, sondern durch Turbulenzen wird der Absinkvorgang verlangsamt. Daraus folgt die neue Theorie: $$\frac{dh}{dt}=v_0 \cdot (1+\frac{h}{b}\cdot X \cdot\sin{\alpha})$$ mit $$0 < X < 1$$.
Aufbau
Um den Effekt optimal untersuchen zu können, nutzen wir zwei verschiedene Aufbauten, sowohl einen Container aus Acrylglas mit quadratischer Grundfläche, als auch einen mit Wasser befüllten Messzylinder, in welchen wir Aluminiumoxid und Tinte geben.
Aufbau 1: LEDs + LDRs
Bei dem Aufbau mit dem Container nutzen wir lichtabhängige Widerstände (LDRs) und LEDs, um die Menge an Partikeln messen zu können, die pro Zeit absinken. Als Partikel nutzen wir in Wasser gelöste Speisestärke, welche sich sehr langsam absetzt. Auf der einen Seite des Containers sind zwei LEDs mit einem Abstand von 5 cm übereinander angebracht. Auf der gegenüberliegenden Seite des Containers sind auf der gleichen Höhe, auf der die LEDs angebracht sind, zwei lichtabhängige Widerstände, ebenfalls übereinander und mit einem Abstand von 5 cm, angebracht. Die LEDs werden mit einer Spannung von drei Volt betrieben. Die lichtabhängigen Widerstände sind jeweils in Reihe mit einem Messwiderstand von $R=1 k \Omega $ verbunden. Wir nutzen einen Arduino, um die Teilspannungen über den LDRs aufzunehmen. Dieses Spannungssignal spiegelt sehr gut das Transmissionsverhalten der Suspension und damit die Menge abgesetzter Partikel wieder. Mithilfe der ebenfalls in der Abbildung gezeigten Formelumstellung und Einsetzung gemäß dem Ohmschen Gesetz können wir die Spannung messen.
Diesen Aufbau können wir nun mithilfe von Stativmaterial, in welches wir den Container einspannen, auf beliebige Winkel von 0°-60° einstellen.
Aufbau 2: Konvektion
Um nun auch die Konvektion experimentell zu untersuchen, haben wir einen Messzylinder mit einer Füllhöhe von 100 ml, sowie Wasser als Flüssigkeit, Tinte, um die Fluidbewegung sichtbar zu machen, und sinkende Partikel zur Erzeugung des Effekts genutzt. Der Messzylinder hat in 2 cm Abständen 10ml Markierungen, und einen Radius $r$ von ca. 1,3 cm. Diesen Messzylinder können wir nun sowohl vertikal als auch in einem Winkel halten, und mithilfe der Markierungen in einem Videotracking die Fluidgeschwindigkeit ermitteln.
Partikelauswahl
Neben Speisestärke haben wir die Versuche ebenfalls mit zehn verschiedenen anderen Partikeln durchgeführt, allerdings zeigte sich nur Speisestärke als geeignet für dieses Experiment. Ziel des Experiments war eine quantitative Messung der Partikel mittels einer Durchleuchtung, daher waren Kaffeepulver, Grüner Tee und Schwarzer Tee nicht geeignet, da diese das Wasser gefärbt haben, und die Durchleuchtung somit erschwert und verfälscht haben. Grießgraupen, brauner Senf, rote Linsen und dekorativer Sand sanken zu schnell ab, was dazu geführt hat, dass wir keine Messwerte aufnehmen konnten. Bei Sesam, geröstetem Sesam und Glitzer war das Problem, dass die Partikel nur teilweise abgesunken sind, und ein Großteil an der Wasseroberfläche geblieben ist, was die Messung stark verfälschen würde.
Nach weiterer Suche nach Partikeln sind wir schließlich auf Aluminiumoxid und Kaliumgel gestoßen. Hierbei war Aluminiumoxid besonders geeignet um die Konvektion in unserem Messzylinder sichtbar zu machen.
Daten
Messwerte Aufbau 1: LEDs + LDRs
Daten
Im Folgenden berechnen wir aus den Messwerten Geschwindigkeiten in Abhängigkeit von Helligkeiten. Dies liefert uns die Absinkgeschwindigkeit unseres Systems zu unterschiedlichen Zeitpunkten, da zum Beispiel eine Helligkeit am Punkt $$\frac{2}{5}/ v_{max}$$ offensichtlich vor einer Helligkeit am Punkt $$\frac{4}{5}/ v_{max}$$ erreicht wird, und bei ersterer der Absinkprozess somit weniger weit fortgeschritten ist. Ein weiterer Punkt, welcher im Vorhinein erwähnt werden sollte, ist, dass die Tatsache, dass wir lediglich Messwerte bis $$\alpha =$$ 60° haben, der Platzierung der LDRs und der offenen oberen Seite des Containers geschuldet ist. Allerdings ist dieser Messbereich für unseren Aufbau ausreichend, da durch das relativ geringe $\frac{h_0}{b}$-Verhältniss kein optimaler Winkel von $$\alpha \gtrapprox 65\% $$ zu erwarten ist. Aus unseren Messreihen ergeben sich damit für unterschiedliche Helligkeiten folgende Geschwindigkeiten in Abhängigkeit von $v_0$ und $\alpha$:
Vergleich mit Theorie
Zunächst lässt sich über die Messwerte im Vergleich zur Theorie aussagen, dass eindeutig eine Proportionalität zu bestehen scheint. Es ist allerdings auch deutlich zu sehen, dass unsere gemessenen Geschwindigkeiten weit unter den durch die ursprüngliche Theorie (grün) erwarteten liegen. Hieraus lässt sich schließen, dass bei unserem System das eben dieser Übergang von Suspension zu klarer Flüssigkeit nicht scharf verläuft. Das heißt, dass die Theorie wie im Abschnitt Theorie beschrieben wurde angepasst werden muss. Aus diesem Grund nutzen eben diese (im Graphen zu sehen in schwarz),
$$\frac{dh}{dt}=v_0 \cdot (1+\frac{h}{b}\cdot X \cdot\sin{\alpha})$$
wobei sich experimentell $$X =0,62$$. Dies haben wir über die Maximum-Likelihood Funktion ermittelt. Es ist zu sehen, dass für jede der fünf Helligkeitsabstufungen dieser neue Plot unseren Messwerten ziemlich genau entspricht, was auf eine zeitliche Unabhängigkeit des Faktors hindeutet.
Fehleranalyse
Bei den Messwerten von Versuch 1 gibt es mehrere Fehlerquellen. So haben wir eine mögliche Abweichung in dem Abstand der LDRs $s$, der Höhe des Fluids nach einer bestimmten Zeit $h$, in dem vorgegegebenen Winkel $\alpha$ und natürlich im Wert, der durch die LDRs ausgegeben wird.
$$\Delta s = \pm 0,001 m$$ bzw $$\frac{\Delta s}{s}= 2\%$$
$$\Delta h =\pm 0,005 m$$ bzw $$\frac{\Delta h}{h}= 2,5\%$$
$$\Delta \alpha =\pm 1$$° bzw $$\frac{\Delta \alpha}{\alpha} \approx 2-3\%$$
Um den von den LDRs stammenden Fehler quantifizieren zu können, haben wir diesen mithilfe von Polarisationsfiltern überprüft. Unsere gemessenen Werte wichen nur minimal von den erwarteten Werten ab, was entscheidend für die Aussagekraft unseres Experiments ist. Die tatsächliche Abweichung liegt bei $$\Delta I = \pm 20 $$ bzw. $$\frac{\Delta I}{I_0}= 2\%$$.
Eine weitere Fehlerquelle ist das Streulicht, welches bewirkt, dass das obere LED auch den unteren LDR beeinflusst und umgekehrt. Wir nehmen an, dass dieser Fehler ungefähr $$3,5\%$$ beträgt.
Betrachten wir alle diese Fehler zusammen, so haben wir einen relativen Fehler von $$\approx 10 \%$$ bezüglich der Geschwindigkeit, also entlang $$y$$-Achse, und einen relativen Fehler von $$\approx 1 \%$$ bezüglich des Winkels, also entlang der $$x$$-Achse.
Messwerte Aufbau 2: Konvektion
Daten
In dem Weg-Zeit-Diagramm, welches die Position der Tinte wiederspiegelt, ist deutlich zu sehen, dass der Anstieg bei $$\alpha = 30$$° weitaus höher ist als bei $$\alpha = 0$$°, was uns eindeutig auf eine höhere Fluidgeschwindigkeit aufgrund von Konvektion schließen lässt. Die Konvektionsgeschwindigkeit ist hierbei
$$\frac{\Delta s}{\Delta t}= \frac{0,1m}{10s}=0.01\frac{m}{s}$$
wohingegen im vertikalen Messzylinder keine Konvektion entsteht und somit auch keine Konvektionsgeschwindigkeit.
Fehleranalyse
Der Hauptfehler in diesem Experiment liegt im Tracking der Videos, also in der genauen Bestimmung der Position der Tinte. Da Orientierungslinien am Messzylinder alle 2mm zu sehen sind, approximieren wir das als maximalen Fehler. Eine weitere Fehlerquelle ist die Zeit, da bei der Videoaufnahme nur Sekundenangaben gemacht werden.
$\Delta s = \pm 0,002 m$
$\Delta t =\pm 1 s$
Fazit
Wir haben erklärt, warum die Absinkgeschwindigkeit bei schrägen Containern höher ist, verschiedene dafür verantwortliche Effekte beschrieben, und Theorien für die Absinkgeschwindigkeit vorgestellt. Diese haben wir auf Anwendbarkeit theoretisch geprüft, und die Grenzen, sowie mögliche Anpassungen, aufgezeigt. Zudem haben wir einen vermuteten idealen Winkel von 45° vorgestellt, bei dem Partikel sich am schnellsten absetzen. Dies haben wir in zwei unabhängigen Versuchsaufbauten überprüft und bestätigt. Hierfür haben wir Fehlerquellen identifiziert und das Ausmaß dieser Fehler berechnet beziehungsweise überprüft. Unser weiterer Plan bezieht sich vor allem sowohl auf die Aufnahme weiterer Messreihen, mit der Variation anderer Parameter, als auch auf eine komplette Auswertung der Ergebnisse unseres zweiten Versuches.
Erfolge
Jugend Forscht: 1. Platz Landeswettbewerb (Physik)
GYPT: Best Report, Erstplatzierung (Einzel), Silber-Medallie (Team)
Danksagung
Quellen
Xu, Z.-J., Michaelides, E.E., 2005. A Numerical Simulation of the Boycott Effect
Baranets, Vitaliia, and Natalya Kizilova. [Mathematical Modeling of Particle Aggregation and Sedimentation in the Inclined Tubes]
Stokes' law (January 12, 2022)
Reynolds number (January 03, 2022)
Konvektion (January 13, 2022)
Boycott, A. Sedimentation of Blood Corpuscles. Nature 104, 532 (1920)
Hindered settling (March 23, 2022)
