Herleitung Kapillarkraft
Herleitung Kapillarkraft $$ F_k $$
Die Kapillarkraft FK ist die Kraft, mit der die Kapillarbrücken die Sandkörner zusammenhalten.
$$ E_o=A_o\cdot \sigma $$
Die Kapillarkraft in Abhängigkeit der Steigung der Oberflächenenergie
$$ F_\text{K}=\frac{\delta{}E_\text{O}}{\delta{}h}=\frac{\delta{}Ao\cdot\sigma}{\delta{}h} $$
Solange die Sandkörner sich nicht berühren, sind die Kapillarbrücken zu Zylindern vereinfacht. Außerdem ist das Volumen der Kapillarbrücken konstant, deshalb kann das Volumen der Brücke auch mit der Formel zur Berechnung des Zylindervolumens beschrieben werden.
Aus der Formel für das Volumen $$ V_w $$ kann außerdem der Radius des Sandes $$r_s $$ in Abhängigkeit der Höhe des Zylinders $$ h $$ bestimmt werden.
$$V_\text{w}=\pi{}r^2h\xrightarrow[]{}r_\text{s}=\sqrt{\frac{V_\text{W}}{\pi{}h}}$$
Die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders in Abhängigkeit des Radius $$ r_sd $$ der Höhe h und damit auch die Fläche die für die Oberflächenenergie wichtig ist.
$$ A_\text{O}=2\pi{}r_\text{s}h $$
Der Radius $$r_s$$ wird in die Formel für $$ A_o $$ eingesetzt.
$$ A_O = 2 \pi \sqrt{\frac{V_W}{\pi h}} h = 2\sqrt{\pi V_W} \cdot \sqrt{h} $$
Die Oberfläche AO wird in die Formel für die Kapillarkraft Fk eingesetzt, um diese zu berechnen.
$$ F_k = \frac{d(2\sqrt{\pi V_W} \cdot \sqrt{h} \cdot \sigma)}{d(h)} $$
$$ 2\sqrt{\pi V_w} $$ ist eine Konstante. Deshalb kann es nach der Faktorregel aus der Ableitung rausgeschrieben werden.
$$ F_k = 2\sqrt{\pi V_W} \cdot \frac{d\sqrt{h}}{dh} \cdot \sigma $$
Der Rest der Gleichung kann abgeleitet und vereinfacht werden.
$$ F_k = 2\sqrt{\pi V_W} \cdot \frac{1}{2\sqrt{h}} \cdot \sigma = \sqrt{\frac{\pi V_W \sigma}{h}} $$
Nun kann die Formel für das Volumen VW das über den Grenzfall ermittelt wurde für VW eingesetzt werden.
$$ F_k = \sqrt{\frac{\pi \cdot (2 r_s)^2 \cdot \sigma}{12 \cdot h}} $$
