Die perfekte Sandburg

Einleitung

Wenn man Sand und Wasser mischt, hält er deutlich besser seine Form als ohne das Wasser. Er wird also stabiler. Aus dieser einfachen Beobachtung entwickelte sich unsere Aufgabenstellung:

"Beim Bauen einer Sandskulptur hängt die Stabilität unter anderem vom Feuchtigkeitsgehalt des Sandes ab. Ermittle das perfekte Verhältnis von Sand und Wasser und untersuche, welche anderen Faktoren die Stabilität des Sandes bestimmen.“

Als Stabilität betrachten wir den Zusammenhalt des Sandes unter Einfluss von verschiedenen Kräften.

Potentielle Faktoren, die die Stabilität des Sandes beeinflussen sind zum Beispiel der Wassergehalt, Form und Größe der Sandkörner und die Existenz von anderen Partikeln im Sand. Im Verlauf des Projektes haben wir zwar Messung über den Unterschied zwischen Sandarten gemacht, haben uns aber auf den Einfluss Wassergehalt fokussiert.

Theoretischer Ansatz

Kapillarbrücken

Abbildung 1: Eine Kapillarbrücke anhand von zwei Senfkörnern

Der Kapillareffekt beschreibt, wenn sich Kapillarbrücken, also Flüssigkeitsbrücken, in kleinen Hohlräumen oder innerhalb eines Granulates bilden (Spektrum – Lexikon der Physik). Der Effekt tritt zum Beispiel bei brennenden Kerzen auf, wenn der Docht flüssiges Wachs „hochsaugt“. Kapillarbrücken bilden sich aus, wenn in den Hohlräumen oder in dem Granulat, die Adhäsion (Grenzflächenspannung), also die Kraft, mit der sich zwei Phasen anziehen, zwischen der Flüssigkeit und dem Feststoff höher ist als die zwischen Flüssigkeit und umliegenden Gas. Das liegt daran, das Flüssigkeiten, genau wie alle Stoffe, versuchen den energetisch günstigsten Zustand zu erreichen, also eine möglichst geringe Oberflächenenergie(Spektrum – Lexikon der Geografie).

Abbildung 2: Links unten, mehrere Kapillarbrücken an einzelnen Senfkörnern, rechts Wassernester

Während die Adhäsion dafür verantwortlich ist, dass die Flüssigkeit an dem Festkörper haftet, ist die Kohäsion dafür verantwortlich das die Flüssigkeit konkave Brücken bildet(Spektrum – Lexikon der Biologie - Kohäsion und Spektrum – Lexikon der Biologie - Adhäsion). Die Kohäsion ist die Ursache für die Oberflächenspannung und die Oberflächenenergie ist von der Oberflächenspannung abhängig. Da ein Stoff immer den energetisch günstigsten Zustand erreichen will, der in Form der Flüssigkeitsbrücken erreicht ist, werden die Partikel zusammengehalten. Für eine Bindung zwischen Sand und Wasser wird weniger Grenzflächenenergie benötigt, als für eine Oberfläche zwischen Wasser und Luft (Schlichting, 2017). Wenn Sand mit Wasser gemischt wird, bildet das Wasser Kapillarbrücken zwischen den Sandkörnern, was dazu führt das der Sand stabiler wird. Wenn genug Wasser vorhanden ist, schließen sich die Kapillarbrücken zwischen den Partikeln außerdem zu Nestern zusammen. Dann verbindet eine Kapillarbrücke nicht mehr nur zwei, sondern viele Sandkörner miteinander (Scheel M. u.a., 2008).

Abbildung 3: Modell Kapillarbrücken als Zylinder

Modell

Für die folgenden Berechnungen wurde ein vereinfachtes Modell entwickelt. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Sandkörner perfekte und gleichgroße Kugeln sind. Die Kapillarbrücken werden zu Zylindern vereinfacht. Die Grundflächen der Zylinder sind eigentlich eingebeult, aber außer bei dem Grenzfall, dass sich die Sandkörner berühren, wird das ignoriert. Außerdem ist das Volumen der Kapillarbrücken konstant, da sich beim Zusammen- und Auseinander ziehen der Sandkörner nur die genaue Form der Körner ändert.

Volumen einer Kapillarbrücke

Abbildung 4: Grenzfall sich berührende Sandkörner

Für die weiteren Berechnungen kann das konstante Volumen von Kapillarbrücke und Sand über den Grenzfall berechnet werden. Bei diesem Grenzfall wird die Höhe des Zylinders h genauso groß wie der Durchmesser der Sandkörner, also den doppelten Radius r. Über den Radius der Sandkörner kann so über das M4: Grenzfall sich berührende Volumen der einzelnen Sandkörner gesagt werden:

$$ V_\text{Sandkorn}=\frac{4}{3}\pi{}\cdot{}r_\text{s}^3=\frac{1}{6}\pi{}\cdot(2r_\text{s})^3=\frac{1}{6}\pi{}d^3 $$

Beim Grenzfall gehen wird nicht einfach von einer Zylinderform als Kapillarbrücke ausgegangen, sondern von einem Zylinder mit Aufgeschnittenen Halbkugeln an den Grundflächen. Über das Volumen der Wasserbrücken kann dementsprechend gesagt werden

$$ V_\text{w}=(\pi{}r_\text{s}^2\cdot{}2r_\text{s})-\left(\frac{4}{3}\pi\cdot{}r_\text{s}^3\right)=\frac{2}{3}\pi\cdot{}r_\text{s}^3=\frac{1}{12}\pi{}d^3 $$

Berechnung und Limitationen

Kapillarkraft $$ F_k $$

Die Kapillarkraft FK ist die Kraft, mit der die Kapillarbrücken die Sandkörner zusammenhalten.

$$ E_o=A_o\cdot \sigma $$

Die Kapillarkraft in Abhängigkeit der Steigung der Oberflächenenergie

$$ F_\text{K}=\frac{\delta{}E_\text{O}}{\delta{}h}=\frac{\delta{}Ao\cdot\sigma}{\delta{}h} $$

Solange die Sandkörner sich nicht berühren, sind die Kapillarbrücken zu Zylindern vereinfacht. Außerdem ist das Volumen der Kapillarbrücken konstant, deshalb kann das Volumen der Brücke auch mit der Formel zur Berechnung des Zylindervolumens beschrieben werden.

Aus der Formel für das Volumen $$ V_w $$ kann außerdem der Radius des Sandes $$r_s $$ in Abhängigkeit der Höhe des Zylinders $$ h $$ bestimmt werden.

$$V_\text{w}=\pi{}r^2h\xrightarrow[]{}r_\text{s}=\sqrt{\frac{V_\text{W}}{\pi{}h}}$$

Die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders in Abhängigkeit des Radius $$ r_sd $$ der Höhe h und damit auch die Fläche die für die Oberflächenenergie wichtig ist.

$$ A_\text{O}=2\pi{}r_\text{s}h $$

Durch Einsetzen und Umstellen folgt diese Formel für die Kapillarkraft $$F_K$$:

$$ F_k = \sqrt{\frac{\pi \cdot (2 r_s)^2 \cdot \sigma}{12 \cdot h}} $$

Herleitung Kapillarkraft

Zentripetalkraft $$ F_z $$

M5: Wirkung der Zentripetalkraft1

Die Formel für die Zentripetalkraft FZ , die auf die einzelnen Sandkörner wirkt.

$$ F_Z=m \omega^2 r $$

M6: Wirkung der Zentripetalkraft

Die Kraft, die die Sandkörner auseinanderzieht, ist die Differenz der Zentripetalkraft $$F_Z$$ , da die Radien $$r_1$$ und $$r_2$$ der Sandkörner unterschiedlich sind und deshalb die auf die Sandkörner wirkende Zentripetalkraft auch unterschiedlich ist.

$$ \Delta F_Z = m \omega^2 h = m \omega^2 d $$

Die Differenz der Radien $$r_1$$ und $$r_2$$ kann auch als Höhe $$h$$ bzw. Durchmesser $$d$$ geschrieben werden.

In die Formel für die Dichte des Sandes $$\rho$$ wird die Formel für das Volumen eines Sandkorns $$V_{Sandkorn}$$ eingesetzt.

$$\rho = \frac{m}{v} = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi r_s^3}$$

So kann die Masse des Sandkorns $$m$$ in Abhängigkeit des Radius $$r_s$$ bestimmt werden.

$$ m = \rho \frac{4}{3} \pi r_s^3 $$

Durch Einsetzen und Umformen erhalten wir:

$$ \Delta F_Z = \frac{8}{3} \omega^2 \cdot \rho \cdot \pi r_s^4 $$

Kritische Winkelgeschwindigkeit $$\omega$$

Die kritische Winkelgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit direkt bevor die Sandkörner auseinandergerissen werden.

Zur Berechnung der kritischen Winkelgeschwindigkeit $$\omega$$ wird die Differenz der Zentripetalkraft $$\Delta F_Z$$ mit der Kapillarkraft $$F_K$$ gleichgesetzt, da sobald die Differenz der Zentripetalkraft $$\Delta F_Z$$ größer ist als die Kapillarkraft $$F_K$$ der Sand auseinandergerissen wird.

$$\Delta F_Z = F_k$$

Dann werden die Formeln eingesetzt und vereinfacht.

$$\frac{8}{3} \omega^2 \cdot \rho \cdot \pi r_s^4 = \sqrt{\frac{\pi^2 r_s^3}{6h} \cdot \sigma} = \frac{\pi r_s \cdot \sigma}{\sqrt{12}}$$

$$\omega^2 = \frac{1}{r_s^3} \cdot \frac{1}{\rho} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \sigma = r_s^3 \cdot \frac{\sigma}{\rho} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{12}}$$

Zum Schluss wir die Formel nach der Winkelgeschwindigkeit $$\omega$$ umgeformt.

$$\omega = r^{-\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma}{\rho}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8 \sqrt{12}}}$$

Limitationen des Modells

Bei dem Modell wird davon ausgegangen, dass der Sand aus perfekten Kugeln besteht, was in Realität nicht der Fall ist. Außerdem wird die Form der Kapillarbrücken zu Zylindern vereinfacht, obwohl die Brücken in Wirklichkeit Konkav sind und außerdem ausgebeult sind. Diese Umstände machen das Modell ungenauer, der größte Fehlerfaktor ist allerdings die Tatsache, dass sich die Kapillarbrücken ab einem bestimmten Wassergehalt zu Nestern zusammenschließen. Sobald sie das tun, ist das Modell nur noch begrenzt anwendbar. Der genaue Fehlerfaktor ist allerdings unbekannt. Der letzte Punkt ist, dass Fremdkörper im Sand ignoriert werden.

Sandarten

Um die Theorie zu bestätigen, wurden in diesem Projekt vier verschiedene Sandarten untersucht. Die Sandarten sind Vogelsand, gelber (manchmal auch roter Sand genannt), Spielplatzsand aus dem Bauhaus (Bauhaussand) und märkischer Sandboden aus Oranienburg (Sand aus der Region).

Durchschnittlicher Radius

Zur Berechnung der Kapillarkraft in dem vereinfachten Modell, wird der Radius der Sandkörner benötigt, da die Sandkörner vereinfacht als perfekte Kugeln dargestellt werden.

Messart

Zur Messung des Radius wurden Stichproben der verschiedenen Sandarten auf Millimeterfolie unter ein Mikroskop gelegt. Dann wurde mithilfe der Millimeterfolie die $$x$$- und die $$y$$-Ausdehnung jedes Sandkorns bestimmt. Von diesen beiden Werten wurde daraufhin für jedes Sandkorn das geometrische Mittel bestimmt.

($$r_\text{geoMittel}=\sqrt{xLänge \cdot yLänge}$$)

Danach wurden die Sandkörner in Größen-Intervalle eingeteilt und der Anteil der Sandkörner dieser Größe bestimmt.

Ergebnis

Abbildung 8: Radien-Verteilung und mikroskopische Aufnahmen Bauhaussand

Abbildung 9: Radien-Verteilung und mikroskopische Aufnahmen Vogelsand

Abbildung 10: Radien-Verteilung und mikroskopische Aufnahmen Sand aus der Region

Abbildung 11: Radien-Verteilung und mikroskopische Aufnahmen Vogelsand

Messungenauigkeiten entstehen aus vor allem zwei Gründen, erstens aufgrund von Ungenauigkeiten beim Millimeterpapier und beim Ablesen und zweitens da es sein könnte das der Sand vor allem bei den Sandarten mit großen Größenunterschieden bei den Sandkörnern wie Bauhaussand nicht so gut durchmischt gewesen sein könnten.

Sand - Schlamm Grenzfall

Messart

In dieser Messreihe wurde der Grenzfall bestimmt, bei dem der Sand mit Wasser gesättigt wird und zu Schlamm wird. Da Sand eine höhere Dichte als Wasser hat, steht ab einer bestimmten Wassermenge eine Schicht Wasser über dem Sand-Wasser Gemisch. Wenn Wasser auf dem Sand steht, ist das Gemisch übersättigt. In dem Versuchsaufbau wird Wasser zu einer festgelegten Menge Sand hinzugefügt, um die Menge Wasser zu bestimmen, die es braucht, das Gemisch zu sättigen. Wenn es übersättigt ist, wird überschüssiges Wasser abgeschöpft und die verbleibende Menge berechnet.

Ergebnisse

Die unten zu sehenden Werte wurden mit der oben beschriebenen Methode gemessen. Messfehler treten dabei hauptsächlich nur durch ungenaues Messen auf.

Sandart	Wassermenge in ml
Vogelsand	29
Gelber Sand	27
Bauhaussand	25
Sand aus der Region	31

Aufbau 1 - Marmeladenglas

M11: Frontansicht Aufbau 1

Aufbau

Dieser Aufbau, bei dem der befeuchtete Sand in einem Marmeladenglas rotiert wurde, hat keine auswertbaren Messdaten geliefert, da der Sand am Marmeladenglas bei einer schon geringen Wassermenge festklebte.

Aufbau 2 - Drehplatte

Aufbau

M12: Aufbau mit Drehplatte

Der zweite Aufbau ist eine Art Drehplatte. Eine Drehplatte wurde auch von Stephan Herminghaus und seinem Team verwendet (Scheel M. u.a., 2008). Das Bohrgerät wird mit einer externen Spannungsquelle verbunden und betrieben. Wenn die Spannung hochgeregelt wird, fängt der Mülleimer an, sich um sich selbst zu drehen. In die Mitte des Tellers wird das Sand-Wasser-Gemisch in mithilfe einer Zylinder-Sandkastenform platziert. Außerdem ist am Rand des Mülleimers ein Klebebandstück als Blende befestigt. Ein Lasertachometer wird so ausgerichtet, dass der Laserstrahl, wenn der Mülleimer sich dreht, einmal pro Drehung das Klebebandstück trifft und zurückreflektiert wird. Das Tachometer erfasst wie häufig das Licht zurückreflektiert wird und zeigt so die Drehfrequenz des Mülleimers an (Skizze). Für den Versuch sind zwei Spannungsquellen à 30V in Reihe geschaltet, um eine Spannung von 60V zu erreichen, da 30V zur Beschleunigung des Sandes nicht ausreichend waren. Um die Gesamtspannung besser zu regulieren ist zusätzlich ein Spannungsmessgerät angeschlossen.

Durchführung

100g Sand werden für die Messreihen mit verschiedenen Mengen Wasser (in gleichmäßigen Schritten steigend) gemischt und jeweils in einer Zylinderform auf den Teller der Drehscheibe platziert. Die Spannungsquelle beschleunigt die Drehscheibe, bis der Sand vom Teller geschleudert wird. Die Drehfrequenz, die mit dem Lasertachometer gemessen wird, wird benutzt, um die Resistenz des Sandes gegenüber Trägheitskräften bei einer Kreisbewegung zu messen. So ist es mögliche, eine Aussage über die Stabilität des Sandes zu treffen. Die Drehfrequenz kann dann später mit der berechneten kritischen Winkelgeschwindigkeit verglichen werden.

Beobachtung

Während der Durchführung ist zu beobachten, dass sich die verschiedenen Sandarten unterschiedlich verhalten, wenn man Wasser beigibt. Sand aus der Region verhält sich im Gegensatz zu den anderen Sandarten hydrophob, das Wasser sickert nicht ein, sondern perlt vom Sand ab und bildet Rinnsale. Die Messungen mussten allerdings abgebrochen werden bevor der Sand zu Schlamm geworden ist, da der Sandzylinder als ganzes vom Teller gerutscht ist.

Auswertung

Das der Sandzylinder als Ganzes vom Teller geflogen ist bedeutet, dass die Kohäsions- und Adhäsionskräfte, die den Sand am Teller halten kleiner sind als die, die innerhalb des Sandes wirken, was bedeutet des die Messreihe nicht auswertbar ist. Zur Auswertung der restlichen Messreihen, bietet es sich Fällen an, eine Ausgleichsgerade anzulegen, um den Trend der Messungen zu erkennen. Ausreißer verschieben allerdings die Ausgleichsgerade ungünstig, weshalb die größten Ausreißer in den Diagrammen rot markiert sind.

Damit die starken Ausreißer weniger Einfluss auf die Trendlinie haben wurden die Ausreißer aus den zwei Diagrammen mit größten Ausreißer gelöscht.

Das Ergebnis aller Graphen ist ein linearer streng monoton steigender Verlauf. Daraus würde folgen, dass der optimale Wassergehalt genau der ist, bevor er sich verflüssigt.

Wie man in dem Diagramm sieht, gibt es entgegen unserer Erwartung nur sehr kleine Unterschiede zwischen den verschiedenen Sandarten. Die einzige Sandart die ein wenig bessere Ergebnisse als die anderen Sandarten zeigt ist Vogelsand, das könnte aber auch an Messfehlern liegen. Die Sandart die am stabilsten wird wäre also dementsprechend die Sandart die das meiste Wasser fassen kann, bevor sie zu Schlamm wird.

Vergleich mit der Theorie

Um die Messergebnisse mit der Theorie zu vergleichen, wurden die Werte für den Radius der der Sandkörner verwendet, um die kritische Winkelgeschwindigkeit zu berechnen. Da die Sandkörner nicht alle die gleiche Größe haben wurde genauer gesagt die gewichtete kritische Winkelgeschwindigkeit berechnet. Das heißt die Winkelgeschwindigkeiten für die einzelnen Radien in der Sandart wurden im Durchschnitt der Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit der relativen Häufigkeit des jeweiligen Radius gewichtet.

Sandart	gewichtete berechnete kritische Winkelgeschwindigkeit	Letzter gemessener Wert	Letzte verwendete Wassermenge	Grenzfall
Bauhaussand	1079 $$\frac{1}{s}$$	323,6 $$\frac{1}{s}$$	21 ml	29 ml
Gelber Sand	1428 $$\frac{1}{s}$$	330 $$\frac{1}{s}$$	24 ml	23,75 ml
Samd aus der Region	6156 $$\frac{1}{s}$$	250,5 $$\frac{1}{s}$$	21 ml	28,75 ml
Vogelsand	2271 $$\frac{1}{s}$$	313,6 $$\frac{1}{s}$$	21 ml	21,5 ml

Die letzten gemessenen Werte entscheiden sich hierbei, wie man sieht um ungefähr Faktor 10-20 von der Theorie.

Probleme und Fehleranalyse

M13, Hydrophober Sand aus der Region

Es gibt mehrere Probleme, die zu den noch relativ starken Unterschieden zwischen den Theoretischen und Praktischen Ergebnissen führen könnten. Erstens gehen unsere Messergebnisse nicht bis zu dem Punkt, an dem der Sand zu Schlamm wird. Um dieses Problem zu lösen, kann der Teller im Aufbau durch eine Holzplatte ersetzt werden, in deren Mitte 3 Nägel sind. Der Sandzylinder wird dann auf die Nägel platziert damit er nicht mehr als ganzes wegrutscht. Die Nägel könnten allerdings einen ähnlichen Effekt haben wie Risse im Sand.

Eine Fehlerquelle, die unsere eigentlichen Messergebnisse ungenauer macht und deren Größenordnung nicht bekannt ist, ist das Tachometer. Es zeigt zu manchen Zeitpunkten 0 Umdrehungen pro Minute an, obwohl sich die Drehplatte offensichtlich dreht. An anderen Stellen zeigt es extrem unrealistische Werte, zum Beispiel die plötzlichen 600 Umdrehungen pro Minute bei der Messreihe gelber Sand. Letzteres kann potentiell allerdings an der Ausrichtung des Tachometers und nicht am Tachometer selbst liegen. Die anderen Fehler beim zweiten Aufbau kann man grob in zwei Kategorien unterteilen: erstens, Fehler, die über die Versuchsreihen ungefähr konstant bleiben und zweitens, Fehler, die sich innerhalb der Versuchsreihen verändern. In die erste Kategorie gehören mechanische Probleme des Aufbaus. Dazu gehört, dass die Drehachse des Mülleimers nicht perfekt senkrecht zum Boden ist und dass der Mülleimer sich nicht vollständig gleichmäßig dreht. Der zweite Messfehler kann minimiert werden, wenn die Drehscheibe gut geölt ist. In der zweiten Kategorie sind deutlich mehr Messfehler. Erstens hat der Teller nicht den gleichen Durchmesser wie der Mülleimerboden, weshalb er nicht automatisch mit dem Mittelpunkt auf dem Drehzentrum sitzt. Auch der Sandhaufen wird nicht genau auf der Drehachse platziert. Während der Sand auf den Teller platziert wird, rutscht er häufig schlecht aus der Form, weshalb der Sandhaufen manchmal Risse kriegt. Diese führen dazu, dass der Zusammenhalt des Sandes schlechter wird. Ein im Verhältnis dazu kleiner Messfehler ist, dass in die Form nicht immer exakt 100g gefüllt wird, da die steigende Wassermenge auch ein größeres Volumen der Sand-Wasser-Mischung bedeutet. Da Sand und Wasser aber vermischt werden, bleibt das Verhältnis von Sand und Wasser trotzdem gleich.

Fazit

Unsere bisherigen Messergebnisse lassen auf einen linearen Trend schließen. Da Messergebnisse in dem Bereich fehlen, in dem die Stabilität des Sandes wieder abnimmt, kann man über das Fallen der Stabilität auch nichts sagen. Im Wesentlichen decken sich allerdings unsere bisherigen Messergebnisse mit unserer Hypothese. Die verschiedenen Sandarten hatten allerdings weniger Einfluss auf die Stabilität als erwartet. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass es sich bei dem höchsten Wert in den Graphen auch einfach um den höchsten Wert handelt. In den Messreihen tauchen immer wieder Werte auf, die in keinem Zusammenhang mit den anderen Werten der jeweiligen Messreihe zu stehen scheinen und mit den bisherigen Theorien nicht erklärt werden können. Unter diesen sind auch einige die Maximalwerte, die in der jeweiligen Messreihe gemessen wurden. Obwohl unsere Messergebnisse unsere Hypothese nicht vollständig bestätigen, bestätigt unsere Theorie das die Größe der Körner eigentlich einen größeren Einfluss haben sollten.

Danksagung

Wir bedanken uns bei Dr. Falk Ebert, Anja Dücker und Timo Huber für Anregungen und Unterstützung.