Three-Sided Dice

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Dies ist die Seite des Teams "Laplace Coin Flip" bestehend aus Fabian Schmitt(16), Philipp Werner(16) und Hanyang Lu(18). Wir haben 2022 das 7. Projekt des German Young Physicists Tournament, genannt Three-Sided Dice (drei seitiger Würfel), bearbeitet.

Thema

Eine Münze kann man werfen und sie wird auf Kopf oder Zahl landen. Jedoch gibt es einen weiteren Zustand, den sie selten annehmen wird: eine Landung auf der Kante. Genau umgekehrt ist es bei einem zylindrischen Stift, welcher höchstwahrscheinlich nur auf seiner Runden Fläche landen wird und nur sehr selten auf einer seiner Grundflächen landen wird. Doch zwischen diesen beiden Extremen liegt ein Verhältnis von Höhe und Radius des Zylinders, bei dem die Wahrscheinlichkeit gleich sein sollte, auf einer Grundfläche und auf dem Mantel zu landen. Genau darum geht es in der 7. Aufgabe des German Young Physicists Tournament, das den Titel Three-Sided Dice trägt:

" To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence. What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?"

Ein Zylinder, wenn man ihn wirft, hat 3 Zustände, die er annehmen kann: er kann auf dem Mantel oder auf einer Grundfläche landen. Unsere Aufgabe ist es nun, solch einen Zylinder zu konstruieren, der gleich wahrscheinlich auf jeder Seite landet.

Theorie

Wir haben 3 theoretische Ansätze in Betracht bezogen, um sie zur Beschreibung des Phänomens zu benutzen. 2 davon waren mathematisch, nämlich der 2- und 3-dimensionale Ansatz [4], und der 3. Ansatz, die Gibbsverteilung [2], ist ein physikalischer Ansatz.

2-Dimenionaler Ansatz

2-Dimensionaler Ansatz

Man stellt sich den einen Querschnitt vom Zylinder vor, der durch die Mittelpunkte von Deck- und Grundfläche geht. Nun betrachtet man einen Kreis, der durch die Ecken des Rechtecks verläuft. Der Kreis wird durch die Schnittpunkte mit dem Rechteck in 4 Kreissegmente eingeteilt. Jedes dieser Segmente wird der Zylinderseite zugeordnet, die an den gleichen Eckpunkten starten. Beim Wurf des Zylinders würde der Kreis den Boden immer vor dem Zylinder selbst berühren unzwar in genau einem Punkt, der zu einem der Kreissegmente gehört. Wenn es eine 100% Energiedissipation gäbe, würde sich der Zylinder immer auf die Seite der Zylinders stabilisieren, die dem Kreissegment zugeordnet ist, dass den Boden als erstes berührt hat. Da wir davon ausgehen einen zufälligen Wurf zu haben, landet der Kreis ebenfalls auf einem zufälligen Punkt. Wie wahrscheinlich der Zylinder nun auf welcher Seite landet lässt sich ausrechen wie lang die jeweiligen Kreissegmente zum gesamten Umfang sind.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem Ansatz $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.

3-Dimensionaler Ansatz

3-Dimensionaler Ansatz

Der 3-Dimensionale Ansatz funktioniert analog zu dem 2-Dimensionalen Ansatz. Bei diesen Ansatz betrachten wir allerdings keinen Querschnitt vom Zylinder, sondern den ganzen Zylinder. Des Weiteren betrachten wir keinen Kreis, sondern eine Kugel, die auf den Kanten des Zylinders liegt. Dadurch wird die Kugel in 3 Kugelsegmente eingeteilt. Die Wahrscheinlichkeit auf welcher Seite der Zylinder landet kann man dann ausrechnen indem man den Flächeninhalt des Kugelsegments zu der gesamten Kugeloberfläche betrachtet.

Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis, bei dem die Wahrscheinlichkeiten identisch sind, auf dem Mantel und einer Grundfläche zu landen, ist also laut diesem 3-dimensionalen mathematischen Ansatz $$\sqrt{2}$$.

Dieser Ansatz besitzt jedoch den Mangel, dass für ihn die Rotation des Zylinders mit einberechnet wird, die letztendlich für die Wahrscheinlichkeitsverteilung egal ist, und daher ist der errechnete Wert zu groß.

Gibbsverteilung

6 Zustände eines Würfels als Netz
Zustände des Zylinders

Die Idee hinter der Gibbsverteilung ist, dass je höher die potenzielle Energie eines Zustands ist, desto geringer die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zustand angenommen wird, also für uns, dass der Zylinder ihn annimmt.

Nach der Gibbsverteilung [1] gilt:

$$p(z = i) = \frac{1}{c} \cdot \beta^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}}$$

$$c = \sum\nolimits_{i=1}^n p(z=i)$$

Hierbei ist $$\beta$$ ein Skalierungsfaktor, $$\gamma$$ ein Wert zur eleminierung der Einheit in der Potenz und $$E_{pot_i}$$ die Potenzielle Energie des Zustandes $$i$$.

Für einen Würfel gelten die folgenden Gleichungen:

$$p(z = 2,3,4,5) = p(z = 1) \cdot 4$$

$${A_2}^\alpha + {A_3}^\alpha + {A_4}^\alpha + {A_5}^\alpha = {A_1}^\alpha \cdot 4$$

$$\alpha$$ ist hierbei ein Faktor, der bestimmt wie sich die Wahrscheinlichkeit zu der Fläche eines Zustandes verhält.

Dies führt uns zu folgender Annahme: Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist proportional zu der Fläche hoch $$\alpha$$ dieses Zustandes.

Somit ergibt sich nun für unseren Zylinder folgendes:

$$p(z = i) \sim {A_i}^α · β^{\frac{-E_{pot_i}}{\gamma}} \quad i \in {1; 2; 3}$$.

Des Weiteren sei $$\gamma = E_{pot_3}$$ und $$x = \frac{h}{r}$$:

$$\Rightarrow p(z = 1) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$

$$\Rightarrow p(z = 2) \sim (2 \cdot \pi^2)^α · β^{\frac{-x}{2}}$$

$$\Rightarrow p(z = 3) \sim (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)^α · β^{-1}$$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit vom Zustand 3, also die Wahrscheinlichkeit auf dem Mantel zu landen:

$$p(z = 3) = \frac{(2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}{2 \cdot \beta^{\frac{-x}{2}} + (2 \cdot x)^\alpha \cdot \beta^{-1}}$$.

Um nun zu berechnen, welches das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis ist, müssen wir $$\alpha$$ und $$\beta$$ bestimmen.

Für das Bestimmen der optimalen $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel haben wir bestimmt, bei welchem Tupel der Graph am besten mit unseren Messwerten übereingestimmt hat.

Maximum-Likelihood-Funktion

Zur Bestimmung der optimalen Tupel haben wir die Maximum-Likelihood-Funktion benutzt [3].

Je größer $$L(\alpha, \beta)$$ ist, desto besser stimmt die Funktion mit unseren Messwerten überein.

$$L(\alpha, \beta) = \prod\limits_{j = 1}^{m} p_{j}(\alpha, \beta) \cdot (1-p_{j}(\alpha, \beta))^{\frac{N}{n_j} - 1}$$

Hierbei beschreibt $$p_{j}(\alpha, \beta)$$ die theoretische Wahrscheinlichkeit für den Zylinder $$j$$ auf der Mantelfläche zu landen für gegebene ($$\alpha, \beta$$), $$N$$ die absolute Anzahl an Würfen pro Zylinder und $$n_j$$ die Anzahl an Würfen des Zylinders, die auf dem Mantel gelandet sind.

Aufbau

Zylinder

Zunächst hatten wir Holzzylinder ausprobiert und auch Hohlzylinder, jedoch mussten wir beide Zylinderideen aufgrund von Anfertigungsmängeln verwerfen.

Um diese zu vermeiden, haben wir uns Zylinder aus Polyoxymethylene (POM) und Edelstahl mit den selben Verhältnissen von Höhe und Radius des Zylinders anfertigen lassen, jeweils 5 von jedem Material. Für sie gilt:

Zylinder
Radius $$r$$ in $$cm$$ Höhe $$h$$ in $$cm$$ $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis Material
$$0,75$$ $$0,6$$ $$0,8$$ Edelstahl / POM
$$0,75$$ $$0,75$$ $$1,0$$ Edelstahl / POM
$$0,75$$ $$0,88$$ $$1,17$$ Edelstahl / POM
$$0,75$$ $$0,96$$ $$1,28$$ Edelstahl / POM
$$0,75$$ $$1,12$$ $$1,49$$ Edelstahl / POM

Wurfmaschinen

Um unseren Zylinder immer mit ähnlichen Startbedingungen, die wir dann verändern können, zu werfen, haben wir Maschinen gebaut. Diese waren beide aus Fischertechnik und so konzipiert, den Zylinder mit einer einstellbaren Rotationsgeschwindigkeit von einer bestimmten Höhe fallen zu lassen. Außerdem sollte es einem realen Münzwurf so ähnlich wie möglich kommen.

Darstellung des Coin-Sliders
Coin-Slider

Unser erster Aufbau haben wir Coin-Slider genannt. Er besteht aus einer Rutsche, in die man den Zylinder legen konnte, und einer Klappe, die den Zylinder fallen gelassen hat. Durch das Öffnen der Klappe bekam der Zylinder eine bestimmte Rotation und fiel dann mit dieser zum Boden. Dieser Aufbau hat jedoch das Problem, dass es möglich ist, dass der Fall nicht chaotisch ist, also die Startbedingungen den Ausgang des Experiments bestimmen. Dies spiegelt keinen echten Münzwurf wieder, der immer leicht abweichende Startbedingungen wie z.B. Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit besitzt. Daher haben wir diesen Aufbau nur für 2 Messreihen verwendet.

Darstellung des Coin-Flippers
Coin-Flipper

Aufgrund der Mängel des letzten Modells haben wir ein weiteres Modell konzipiert, welches die Mängel vorbeugen sollte. Der Coin-Flipper Besitzt eine rotierende Platte, welche den Zylinder, der in eine Vorrichtung gelegt wird, in die Luft wirft und von einem Motor angetrieben wird. Daher bekommt der Zylinder eine zufällige Rotation und eine zufällige Abschussgeschwindigkeit in einem realistischen Bereich, was die Probleme des Coin-Sliders löst, immer die selbe Rotationsgeschwindigkeit und Abwurfgeschwindigkeit zu besitzen. Außerdem ist das gesamte System einem Münzwurf ähnlicher und daher werden wir es für den Großteil der nachfolgenden Messungen verwenden.

Daten

Wir haben verschiedene Messreihen aufgenommen, um den Einfluss der Parameter Untergrund, Material, Abwurfhöhe und Skalierung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen.

Unterschiedliche Höhen

Unterschiedliche Höhen

Diese Messreihe diente dazu, den Einfluss von unterschiedlichen Höhen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Dazu haben wir die Edelstahlzylinder auf Teppich mit dem Coinflipper aus Höhen von $$0,8$$ $$m$$, $$1,0$$ $$m$$ und $$1,2$$ $$m$$ geworfen.

Das Ergebnis ist:

Abwurfhöhe in $$m$$ Optimales $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel opimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
$$0,8$$ ($$1,2$$; $$30,0$$) $$1,27$$
$$1,0$$ ($$1,5$$; $$30,0$$) $$1,21$$
$$1,2$$ ($$1,7$$; $$29,8$$) $$1,16$$

Also hat die Abwurfhöhe einen klaren Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung und daher sowohl auf das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis als auch das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel. Generell ist der Trend erkennbar, dass mit zunehmender Abwurfhöhe das optimale $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis abnimmt. Das liegt daran, dass durch eine höhere Abwurfhöhe mehr Energie im System vorhanden ist und daher der Zylinder mehr springt. So besitzt er eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich auf dem Mantel zu stabilisieren. Auch bleibt das $$\beta$$ bleibt mit wachsender Abwurfhöhe relativ konstant, während das $$\alpha$$ wächst. Aus diesem Grund haben wir eine realistische Abwurfhöhe von $$1,0$$ $$m$$ für alle nachfolgenden Experimente genutzt.

Unterschiedlicher Untergrund Coin-Flipper

Unterschiedlicher Untergrund

Die nächste Messreihe wurde von uns durchgeführt, um den Einfluss des Untergrunds auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung herauszufinden. Genutzt wurde von uns ein Untergrund sowohl aus Linoleum und aus Teppich und die Edelstahlzylinder aus einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$, geworfen mit dem Coin-Flipper. Das Gleiche haben wir auch mit dem Coin-Slider gemacht. Das Ergebnis ist:

Unterschiedlicher Untergrund Coin-Slider
Oberfläche Wurfmaschine Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel Optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis
Teppich Coin-Flipper ($$1,5$$; $$30,0$$) $$1,21$$
Linoleum Coin-Flipper ($$1,8$$; $$1,6$$) $$0,80$$
Teppich Coin-Slider ($$1,4$$; $$27,2$$) $$1,20$$
Linoleum Coin-Slider ($$1,9$$; $$8,1$$) $$0,91$$

Man kann erkennen, dass die Ergebnisse des Coin-Flippers und die des Coin-Sliders sehr ähnlich sind und keine großen Unterschiede zwischen den beiden Maschinen besteht. Außerdem ist erkennbar, dass der Untergrund das $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis deutlich beeinflusst und auch das optimale $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel deutlich beeinflusst wird. Das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf Linoleum ist generell kleiner als das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis auf dem Teppich. Das liegt daran, dass auf dem Teppich der Zylinder eher von dem Mantel auf die Seite kippt und daher ein größeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis vorliegt.

Unterschiedliche Zylindermaterialien

Unterschiedliches Material des Zylinders

Die nächsten Messreihen wurden von uns durchgeführt, um den Einfluss von verschiedenen Materialien der Zylinder auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzustellen. Dazu haben wir einmal Zylinder aus POM und einmal aus Edelstahl verwendet, sie auf einen Boden aus Linoleum von 1,0 $$m$$ fallen lassen und den Coin-Flipper verwendet. Das Ergebnis ist:

Material Optimales $$ \alpha $$-$$\beta$$-Tupel Optimales $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
Edelstahl ($$1,5$$; $$3,2$$) $$0,8$$
POM ($$1,8$$; $$16,6$$) $$1,05$$

Auch das Zylindermaterial hat einen Einfluss auf das optimale $$\alpha$$-$$\beta$$-Tupel, dort vor allem auf $$\beta$$, und das optimale $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis. Das liegt vor allem an Materialeigenschaften wie der Elastizität, Reibung und der Masse. Die Edelstahlzylinder haben generell ein geringeres optimales $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis als Zylinder aus POM.

Unterschiedliche Skalierung

Messreihe Skalierung

Um unsere Theorie zu überprüfen, dass die Skalierung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, haben wir eine Messreihe aufgenommen, die den Einfluss von einer unterschiedlichen Skalierung von Zylindern mit dem selben $$ \frac{h}{r} $$-Verhältnis zeigen soll. Dazu haben wir 2x5 POM zylinder mit gleichem $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis, jedoch unterschiedlicher Höhe und Radius, aus POM gebaut und dann mit dem Coin-Flipper aus $$1,0$$ $$m$$ Höhe geworfen.

Man kann erkennen, dass sich die Messwerte nicht deutlich unterscheiden und in einem realistischen Intervall voneinander entfernt sind. Außerdem ist kein Trend erkennbar, also bestätigt diese Messreihe unsere Vermutung, dass die Skalierung irrelevant ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung, solange man in einem realistischen Intervall skaliert.

Keine Sprünge

Messreihe ohne Sprünge

Um zu testen, wie sich unser Zylinder verhalten würde, wenn er nicht mehr springen würde, haben wir folgenden Aufbau gemacht: wir haben die Edelstahlzylinder von einer Höhe von $$1,0$$ $$m$$ mit dem Coin-Flipper in ein Becken mit Wasser, welches auf einer Schicht Teppich lag, geworfen. So ist der Zylinder nach dem Aufprall auf der Seite liegen geblieben, auf der aufgeprallt ist.

Das Ergebnis zeigt sich am optimalen $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis von ca. $$1,17$$. Der Abstand von diesem zu $$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155$$ ist sehr gering und beruht vermutlich auf kleinen Fehlern im Aufbau. Daher stimmt für einen Zylinder, der nach dem ersten Aufprall auf dem Boden nicht mehr springt die Modellierung mit dem 2-dimensionalen Ansatz. Dies ergibt auch sinn, da es für einen auf die Seite fallenden Zylinder, auf die er aufgekommen ist, irrelevant ist, wie er über den Mantel gedreht wurde, sondern nur, welcher Winkel zwischen Vorderseite und Boden vorhanden ist. Daher ist es sehr logisch, dass dieser Ansatz für diesen Fall stimmt.

Fehlerbetrachtung

Um den stochastischen Fehler zu bestimmen, haben wir die Tschebyscheff Ungleichung [5] genutzt. Diese bestimmt, wie viele Messdaten außerhalb eines gewählten Vertrauensbereichs liegen dürfen, also bei wie vielen Messpunkten das Vertrauensintervall nicht den Graphen schneidet. Dafür wird die folgende Gleichung genutzt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

$$N$$ ist die gesamte Anzahl der Würfe, $$n$$ die Anzahl der Würfe auf den Mantel, $$\varepsilon$$ die Größe des Vertrauensbereiches und $$p$$ der Erwartungswert, also der Wert, den der Graph an dieser Stelle angenommen hat. Wir hatten 200 Würfe pro Zylinder, also ein $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{200}}$$ gewählt. Daher gilt:

$$ p\left(|\frac{n}{N}-p| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4 \cdot \varepsilon^2 \cdot N} $$

Fazit

Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von der Abwurfhöhe, dem Untergrund, dem Zylindermaterial und der Art des Wurfes abhängt. Diese Messwerte repräsentieren unsere Messreihen:

Zylindermaterial Abwurfhöhe in $$m$$ Untergrund Wurfgerät $$\frac{h}{r}$$-Verhältnis
POM $$1,0$$ Linoleum Coin-Flipper $$1,05$$
Edelstahl $$1,0$$ Linoleum Coin-Flipper $$0,80$$
Edelstahl $$1,0$$ Teppich Coin-Flipper $$1,21$$

Also gibt es, unterstützt durch unsere Messreihen, keinen einen Zylinder, der auf jeder Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landet, solange der Zylinder nach dem Aufprall springen kann. Wenn dies nicht gegeben ist, stimmt das theoretische Verhältnis von $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ mit der Praxis überein.

Erfolge

Wir haben folgende Erfolge errungen:

  • Jugend Forscht: 2. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Mathematik/Informatik (Fabian, Philipp, Lu)
  • GYPT Einzelplatzierungen 6 und 11 (Fabian & Philipp)
  • GYPT Gruppenplatzierung 2 und 7 (Fabian & Philipp)
  • BeGYPT Einzelplatzierungen 1 und 3 (Fabian & Philipp)
  • BeGYPT Gruppenplatzierungen 1 (Fabian)
  • Bronzemedaille im AYPT 2022 (Fabian)

Quellen

Danksagung

Wir bedanken uns bei:

  • Herrn Ebert für seine Unterstützung bei dem Finden der Theorie, seinen Hilfestellungen in Gnu Octave und seinen Vorschlägen für neue Experimente
  • Timo Huber für seine Hilfe bei der Projektplanung und der Beschaffung der POM-Zylinder
  • Anja Dücker für das Erstellen einer Abbildung und Hilfe mit der Theorie
  • DESY Zeuthen für die Bereitstellung von 5 Edelstahlzylindern
  • 2 Schüler*innen mit Hilfe bei ca. 1000 Würfen
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