Ball on a Ferrite Rod

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In diesem Artikel wird das Projekt "Ball on a Ferrite Rod" von Fabian Schmitt(17) und Philipp Werner(17) vorgestellt. Wir haben 2023 das 11. Projekt des German Young Physicists' Tournament, genannt Ball on Ferrite Rod (Ball auf einem Ferritstab), bearbeitet.

Thema

"A ferrite rod is placed at the bottom end of a vertical tube. Apply an ac voltage, of a frequency of the same order as the natural frequency of the rod, to a fine wire coil wrapped around its lower end. When a ball is placed on top of the rod, it will start to bounce. Explain and investigate this phenomenon."

Legt man einen Ball auf einen vibrierenden Ferritstab wird dieser anfangen zu springen. Dabei ist das zu beobachtende Springverhalten des Balls sehr unregelmäßig, wenn nicht sogar schon chaotisch. Nun gilt ist dieses Verhalten zu untersuchen und zu erklären.

Ferritstab

Längenänderung

Längenänderung

Zunächst gilt es zu erklären, warum der Ferritstab vibriert, also eine Auslenkung nach oben und unten Aufweist. Bei dem Anlegen eines Magnetischen Feldes in dem Ferritstab rotieren die Weiss'schen Bezirke in der Stange, weshalb sich die Länge der Stange verändert. Dieser Effekt wird Magnetostriktion genannt$$^{[1]}$$ und ist für die Längenveränderung verantwortlich. Beim Anlegen eines magnetischen Wechselfeldes mit einer Spule, welche mit Wechselspannung betrieben wird, bildet sich ein alternierendes magnetisches Feld aus. Daher verändert sich die Länge der Ferritstange periodisch.

Grundfrequenz

Um die Eigenfrequenz des Ferritstabs zu bestimmen, muss man die Längenänderung des Stabs verstehen. Diese ist nichts anderes als die Bewegung von Materie, weshalb die Geschwindigkeit dieser Bewegung der Geschwindigkeit, mit der sich Schall in diesem Material ausdehnt, gleicht. Des weiteren besitzt der Ferritstab wie jedes Material mehrere Eigenfrequenzen, aber die beste Anregung bekommt man, wenn man den Ferritstab mit seiner Grundfrequenz, welche durch $$ f = \frac{v}{2 \cdot L} $$ gegeben ist$$^{[2]}$$, wobei $$v$$ die Geschwindigkeit von Schall in dem Material ist und $$L$$ die Länge des Stabes. Somit ergibt sich für unsere Ferritstange, für welche $$v \approx 5900 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$^{[3]}$$ gilt (Literaturwert), und welche eine Länge $$L = 14.9$$cm hat, dass $$f\approx 20000$$Hz.

Schallfrequenzspektrum des Ferritstabs

Dies kann ebenfalls experimentell überprüft werden, indem man das Schallfrequenzspektrum einer Ferritstange ansieht, die mechanisch angeregt wurde.

Wie man klar erkennen kann, befindet sich ein Peak im Frequenzspektrum bei ungefähr $$f=19000$$Hz. Somit kann man davon ausgehen, dass die Berechnung für die Frequenz des Ferritstabs akkurat ist und seine Anregung tatsächlich am Besten mit seiner Grundfrequenz erreicht werden kann.

Anregung mit Schwingkreis

Um den Ferritstab mit dem periodisch wechselnden Magnetfeld zu durchsetzen, betreiben wir eine Spule in einem Schwingkreis. Dieser führt dazu, dass sich das Magnetfeld in der Spule alternierend auf- und wieder abbaut. Für einen Schwingkreis gilt$$^{[4]}$$: $$f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$$. Da die Induktivität $$I$$ der Spule aufgrund des Ferritstabes in ihr von uns nicht berechnet werden kann, müssen wir diese Messen. In Abhängigkeit dieser muss dann die Kapazität des im Schwingkreis verwendeten Kondensators angepasst werden. Also lässt sich dann aus der Induktivität der Spule und der Eigenfrequenz, welche der Schwingkreis besitzen soll, folgende Gleichung für die gewünschte Kapazität des Kondensators herleiten: $$\Leftrightarrow C &= \left( \frac{1}{f \cdot 2 \cdot \pi} \right)^2 \cdot \frac{1}{L} $$.

Aufbau

Unser Aufbau bestand aus der eben erwähnten Ferritstange mit einer Länge von $$14.9$$cm, welche von einer Spule mit $$75$$ Windungen betrieben wird und die eine Induktivität von $$I=1,1 \cdot 10^{-3}$$H besitzt, sowie einem Kondensator der Kapazität $$C=5,6 \cdot 10^{-8}$$F, welcher den Schwingkreis komplett macht. Dieser Schwingkreis wird extern mit einem Frequenzgenerator angeregt.

Bewegungen des Balls

Aufbau

Skizze des Aufbaus
Foto des Aufbaus

Unser Aufbau besteht aus einem Proxy, über welchem sich eine durchsichtige vertikale Röhre befindet, um die Flugbahn des sich in der Röhre befindenden Balles zu lenken. Die Röhre wird von zwei Klammern gehalten. Weiterhin haben wir eine Kamera mit Halterung, einen Maßstab und einen schwarzen Hintergrund für unsere Aufnahmen mit der Kamera. Die Kamera ist mit einem vernünftigen Abstand vom Proxy entfernt, sodass Parallaxe weitestgehend verhindert wird. Das bedeutet, dass die Kamera sich nicht zu nah am Aufbau befindet, um nicht nur einen kleinen Teil des Bereiches zu filmen, in welchem der Ball springt. Andererseits darf die Kamera nicht zu weit weg vom Aufbau platziert sein, um ein möglichst genaues Tracken zu ermöglichen. Hierbei ist jedoch die Parallaxe minimal. Man muss also zwischen Messbarkeit und Parallaxe abwägen.

Daten

Ermittelung des Restitutionskoeffizienten

Um den Restitutionskoeffizienten zu berechnen, haben wir 2 Videos mit jeweils 3 Sprüngen aufgenommen.

Der Restitutionskoeffizient lässt sich durch folgende Gleichung berechnen:

$$\alpha = \sqrt{\frac{h_{neu}}{h_{alt}}}\text{.}$$

Durch die Aufnahmen bekommen wir folgende Werte:

$0,48; 0,55; 0,48; 0,49; 0,53$ für $$\alpha$$.

$$\bar \alpha = \frac{0,48 + 0,55 + 0,48 + 0,49 + 0,54 + 0,53}{6} \approx 0,51$$

Somit hat $$\alpha$$ eine Standardabweichung von

$$\sqrt{\frac{2 \cdot (0,48-0,51)^2 + (0,55-0,51)^2 + (0,49 - 0,51)^2 + (0,54 - 0,51)^2 + (0,53 - 0,51)^2}{6}} \approx 0,029   \text{.}$$

Geschwindigkeiten

Nach der Theorie gilt:

$$v_{n+1} = u \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

$$v_{n+1}$$ ist hierbei maximal, wenn $$u$$ maximal ist. Somit ist der maximale Wert für $$v_{n+1}$$ in Abhängigkeit von $$u$$:

$$v_{n+1}(u_{max}) = u_{max} \cdot 1,51 - v_{n} \cdot 0,51\text{.}$$

               

Da wir die Auslenkung der Membran nicht kennen, sind wir nicht in der Lage, $$u_{max}$$ zu berechnen, dementsprechend können wir $$v_{n+1}(u_{max})$$ auch nicht berechnen.

Nach unserer Theorie formen die Werte

$$v_n(u_{max}) \quad \forall n \in  \mathbb{N}$$

eine Gerade. Dadurch sind wir in der Lage, durch Messdaten diese Gerade anzunähern, indem wir die $$x$$-Achse äquidistant einteilen und anschließend in diesen vielen kleinen Intervallen versuchen, das Maximum zu approximieren. Anschließend können wir durch all diese Maxima eine Gerade legen.

Messdaten mit nach oben abgrenzender Linie


Bei besonders kleinen Werten von $$v_n$$ werden die Maxima keine Gerade bilden, sondern eine Kurve. Das liegt daran, dass Sprünge mit einer sehr geringen Geschwindigkeit nicht in der Lage sein werden, die Membran dann zu treffen, wenn sie am schnellsten ist, denn der Ball braucht länger als eine $$\frac{3}{4}$$ Periode, um eine Strecke von $$d_{max}$$ zurückzulegen.

Vergleich von Theorie und Messdaten:

Fazit

Erfolge

Wir haben folgende Erfolge errungen:

  • Jugend Forscht: 3. Platz Regionalwettbewerb im Fachbereich Physik (Fabian, Philipp)
  • GYPT Einzelplatzierung 17 (Fabian)
  • BeGYPT Einzelplatzierung 2 (Fabian)
  • BeGYPT Gruppenplatzierung 1 (Fabian)

Quellen

Danksagung

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