Bottle Rocket (10)
Thema
Die Frage Stellung unseres Experimentes war diese: „Pump air into a plastic water bottle partially filled with water. Under certain conditions, the bottle is launched and flies into the air. Investigate how the acceleration during lift-off depends on relevant parameters.“
Das bedeutet übersetzt:
Pumpt Luft in eine Wasserflasche die Teils mit Wasser gefüllt ist. Bei besonderen Bedingungen wird die Flasche hochfliegen. Schaut euch genauer an, wie die Beschleunigung von relevanten Parametern abhängt.
Unsere wichtigen Parameter:
FS = Schubkraft der Rakete in N
FR = Luftreibung in N
p(0) = Druckdifferenz in der Flasche zur Atmosphäre in N/m²
VL = Volumen der zusammengepressten Luft in der Rakete in m³
VW = Volumen des Wassers in m³
ve = Geschwindigkeit des Austretenden Wassers in m/s
A = Fläche vom Querschnitt der Drüse in m²
mR = Masse der Rakete in kg
me = Masse des Austretenden Wassers in kg
Theorie
Den Flug der Rakete haben wir in zwei Teile unterteilen.
Der erste Teil ist, wenn das Wasser mithilfe vom Luftdruck rausgeschossen wird. Dabei haben wir angenommen, dass in diesem Teil nur Wasser rausgeschossen wird und keine Luft.
Der zweite Teil ist, wenn die verbleibene Luft entweicht.
Für unseres Projekt haben wir uns nur den ersten Teil angeschaut, also wenn Wasser aus der Rakete geschossen wird.
Durch den hohen Druck in der Rakete wird das Wasser aus der Flasche rausgedrückt. Laut dem 3. Newtonsche Gesetzt fliegt der Rest der Rakete nach oben. Gegen diese Schubkraft wirkt die Gravitationskraft der Rakete und die uftreibungskraft. Somit ist die resultierende Kraft Fres:
$$F_{\mathrm{res}} = F_S - F_G - F_R$$
Zuerst fangen wir mit dem Druck in der Rakete an. Vor dem Flug haben wir Luft in die Rakete gepumpt. Der Druckunterschied in der Rakete zum Atmosphärendruck ist p(0), also die Luft, die wir mit der Luftpumpe in die Rakete gepumpt haben, angenommen der Atmosphärendruck sei konstant. Nun steigt das Volumen der Luft in der Rakete, weil Wasser rausgedrückt wird. Somit sinkt der Druck in der Rakete mit der Zeit.
Eine gute Veranschaulichung bietet die Abbildung links.
Nun können wir uns den Druck an einem bestimmten Zeitpunkts p(t) bzw. den Druckunterschied zur Atmosphärendruck anhand des Volumen der Luft an diesem Zeitpunkt, welches wiederum von dem Volumen/der Masse des austretendem Wassers abhängt, mit folgender Formel ausrechnen. Hierbei haben wir angenommen, dass keine Luft entweicht, solange Wasser in der Rakete vorhanden ist und dass keine Energie durch Reibung mit der Flaschenwand verlorengeht, also dass die Temperatur konstant bleibt.
$$ p(t) = p(0) \cdot \left( \frac{V_A(t)}{V_A(0)} \right)^{-\lambda} $$
Dabei ist der adiabatischer Index welcher bei Luft ungefähr 1,4 entspricht. Der adiabatischer Index gibt an, was das Verhältnis von Druck zu Volumen ist.
Um die Geschwindigkeit des herausströmen Wassers ve bestimmen zu können haben wir Bernoullis Gleichung benutzt. Dafür haben wir angenommen, dass das Wasser in einem Laminar Flow fließt, also dass keine Verwirbelungen oder ähnliches auftreten.
Die Bernoulli Formel haben wir angewendet an dem Punkt in der Rakete, und an einem Punkt außerhalb der Rakete. Somit sieht die Formel so aus:
$$ p_1 + \frac{1}{2} \rho v_e^2 + \rho g h_1 = p(0) + \frac{1}{2} \rho v_in^2 + \rho g h_2 $$
Wir haben dann angenommen, dass der Höhenunterschied vernachlässigbar ist, da die Höhendifferenz zwischen dem Punkt in der Rakete und dem Punkt außerhalb der Rakete sehr klein ist. Weiterhin haben wir die Geschwindigkeit des Wassers innerhalb der Rakete, vin vernachlässigt, weil im Vergleich zu der Geschwindigkeit des austretenden Wassers ve ist diese vernachlässigbar klein. Da wir p(0) als Druck in der Rakete minus den Atmosphärendruck definert haben, ist p1:
$$ \frac{1}{2} \rho v_e^2 + = p(0) $$
Nach ve umgestellt:
$$ v = \sqrt{\frac{2p}{ \rho } } $$
Mithilfe der Geschwindigkeit des austretenden Wassers können wir den Massenstrom, welches von der Fläche der Oberfläche der Drüse abhängt, und die Masse des austretendes Wassers ausrechnen:
$$\dot{m} = \rho \cdot A \cdot v_e$$
$$m_e = \dot{m} \cdot t$$
Mithilfe der Tsiolkovsky Rocket Equation können wir die Schubkraft der Rakete ausrechnen. Da die Änderung der Masse der Rakete gleich der Masse des austretendes Wassers ist, können wir schreiben:
$$F_S = v_e \cdot \frac{\Delta m_R}{\Delta_t} \Leftrightarrow v_e \cdot \frac{\Delta m_e}{\Delta_t}$$
Gegen die Schubkraft wirken die Luftreibung und die Gewichtskraft.
Um die Luftreibung zu berechnen, haben wir erst mithilfe des Impulserhaltungssatzes die Geschwindigkeit der Rakete berechnen.
$$m_e \cdot v_e = m_R \cdot v_R \Leftrightarrow \frac{m_e \cdot v_e}{m_R} = v_R$$
Dafür haben wir angenommen, dass es sich hierbei um geschlossenes System handelt, d.h. dass keine Energie in Wärme durch Reibung verloren wird.
Diese Geschwindigkeit nutzen wir, um die Luftreibung auszurechnen:
$$F_R = \frac{1}{2} \cdot \rho_{\text{Air}} \cdot A \cdot c_W \cdot v_R^2$$
Den cW Wert haben wir im Internet recherchiert.
Gewichtskraft:
$$F_G = m \cdot g$$
Nun haben wir angenommen, dass in einem sehr kleinen Zeitabstand t sich Parameter wie Geschwindigkeit des austretendes Wassers ve, Geschwindigkeit v der gesamten Rakete und resultierender Kraft Fres konstant sind. Mit den oberen Formeln können wir dann das Volumen/Masse des Wassers und Luftdruck nach diesem kurzen Zeitabstand t ausrechnen sowie Geschwindigkeit des austretendes Wassers ve, Geschwindigkeit v der gesamten Rakete und resultierender Kraft Fres.
Dies haben wir umgesetzt mit einem Python-Code:
Nun können wir unsere gewünschten Werte eingeben und das Programm rechnet die Geschwindigkeit der Rakete und die darauf wirkende Kräfte aus. Dabei sind die Werte je genauer, desto kleiner wir den Zeitabstand t wählen. Die Werte für die gleichen Parameter wie in den Daten unseren Versuchs sehen folgendermaßen aus:
Hierbei ist der Höhepunkt nicht die höchste Gewschindigkeit der Rakete, sondern nur wenn kein Wasser mehr in der Rakete vorhanden ist. Nach dieser Phase verleiht die verbleibene Luftnach unserer Theorie der Rakete noch ein kleinen Schub, sodass die Rakete noch ein wenig beschleinigt.
Aufbau
Unser Experiment bestand aus einer Wasserflasche teils gefüllt mit Wasser, einem Korken, einer Luftpumpe, einem Lineal an der Seite für den Maßstab und einer 2. Person, die den Abhieb der Rakete auf dem Handy filmt.
Das Experiment funktioniert, indem eine Person den Korken in die Wasserflasche steckt und diesen mit der Pumpe verbindet und wir so lange Luft in die Wasserflasche, Öffnung nach unten zeigend, pumpen, bis der Korken aufgrund des Drucks abfliegt und die Rakete abhebt. Am Ende lesen wir dann von der Pumpe ab, wie viel Luft wir in die Rakete gepumpt haben.
Daten
Nach der Auswertung des Videos in der Tracker-App erhalten wir folgende Werte rechts. Dabei können folgende Fehler auftreten:
-Flugbahn der Rakete nicht komplett nach oben, Kamera nicht exakt stabil gehalten, Ungenauigkeiten bei Auswertung mit Tracker-App (grobe Fehler)
-Rakete auf dem Video ungenau/verschwommen, Ungenauigkeiten Druckzeiger der Pumpe (systematische Fehler)
-Wettereinflüsse wie z.B. Wind (zufällige Fehler)
Da die größten Abweichungen in unserem Versuch die groben Fehler sind, haben wir keine Fehlerrechnung durchgeführt. Weiterhin ist anzumerken, dass an Zeitpunkt 0 nicht genau der Zeitpunkt, andem die Rakete abhebt, und dass an Zeit 0,066 s nicht der Zeitpunkt ist, an dem das die Rakete kein Wasser mehr enthält.
Im Vergleich zu den Werten in unserer Theorie kann man feststellen, dass in beiden die Geschwindigkeit in einer Zeitspanne von ungefähr 0.033 s stark ansteigt. In der Theorie ist aber die Geschwindigkeit der Rakete deutlich schneller als in der Praxis. Dies ist aufgrund der vielen Annahmen in unserer Theorie, dass zum Beispiel keine Energie innerhalb der Rakete durch kleine Strömungen oder Wirbelungen, oder durch Reibung des Wassers verloren geht und der vielen Fehlern in unserem Experiment.
Fazit
Zusammenfassend hat unser Experiment gezeigt, dass die Beschleunigung einer Wasserflaschenrakete von mehreren physikalischen Parametern abhängt. Dazu zählen unter anderem der Anfangsdruck in der Flasche, das Volumen der Flasche, das Volumen des eingefüllten Wassers und die Größe der Düse. Mithilfe der Bernoulli-Gleichung, des Impulserhaltungssatz und der Tsiolkovsky-Raketengleichung konnten wir das Verhalten theoretisch erklären. Ansonst hat uns das Projekt geholfen, eine spielerische Aktivität aus unserer Kindheit physikalisch zu untersuchen und unsere physikalischen Kenntnisse zu vertiefen.
Erfolge
Leider haben wir an keinen Wettbewerben teilgenommen.
Quellen
Wikipedia Druck https://de.wikipedia.org/wiki/Druck_(Physik) (15.12.2024)
Wikipedia Bernoulli-Gleichung https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung (15.12.24)
Studyflix Massenstrom https://studyflix.de/ingenieurwissenschaften/massenstrom-1560/video (15.12.24)
Isentropes Gesetzt, Tsiolkovsky Raketengleichung https://www.edu.sot.tum.de/fileadmin/w00bed/edu/Schuelerkonferenz/Facharbeiten_2010/daniel_ruhstorfer_2010.pdf
