Magnetic Newton's Cradle

Thema

Worum geht es in dem Projekt? Zum Beispiel müsste hier die IYPT-Aufgabe mit Übersetzung und dem Fokus auf Eure Parameter hin. $$\sqrt{2}$$

Theorie

Qualitative Theorie

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Basic Explanation

Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.

Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.

Quantitative Theorie

Bewegungsgleichung

Definitionen

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Definitionen

Als Pendel wird im Folgenden ein  einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.

Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.

Geometrische Vorbetrachtung

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Geometrische Vorbetrachtung

Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*} d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2} \end{equation*} \left(\frac{}{}\right)

Lagrange-Ansatz

Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.

\begin{equation*} \frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0 \end{equation*}

Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1

Kinetische Energie

Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:

\begin{equation*} T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2 \end{equation*}

Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:

\begin{equation*} T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2 \end{equation*}

Potenzielle Energie

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Potenzielle Energie

Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:

\begin{equation*} V_{g,i} = mgh \\ h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\ h = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\ V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i} \end{equation*}

Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:

\begin{equation*} V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij} \end{equation*}

Und als gesamte potenzielle Energie:

\begin{equation*} V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij} \end{equation*}

Magnetisches Potential

Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:

\begin{equation*} U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x \end{equation*}

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:

\begin{equation*} U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i \end{equation*}

Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.

Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\

Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:

\begin{equation*} \mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||} \end{equation*}

Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:

\begin{equation*} \vec c(\tau)=\left(\begin{smallmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{smallmatrix}\right)

\end{equation*}

Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.

Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.

\begin{equation*} \vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau) \end{equation*}

Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:

$$\vec b_i = $$ \begin{pmatrix} l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0 \end{pmatrix}

und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:

$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:

\begin{equation*} 0 \leq u \leq 2\pi W \end{equation*}

Und somit gilt für die potenzielle Energie:

\begin{equation*} U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||} \end{equation*}

Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.

Aufbau

Mit diesem Aufbau wurden Eure Messungen durchgeführt. Dieser Abschnitt lebt von guten(!) Fotos bzw. Skizzen.

Anfängliche Aufbauten, die später verworfen wurden, können erwähnt werden aber müssen ausgiebig betrachtet werden.

Daten

Hier kommen keine Rohdaten sondern möglichst gut ausgewertete Daten rein - Graphen, Ausgleichskurven, etc. mit Fehlerbetrachtung!

Fazit

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

Erfolge

Jugend forscht:

In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.

BeGYPT:

1.Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell

Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung

GYPT:

7. Platz (Linus J. Konnerth), 12. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)

2 Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)

1 IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)

Quellen

[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf

Nov. 17, 2025.

[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)

ISBN: 978-1-009-39773-5

Nov. 17, 2025.

[3] University of Saskatchewan

http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf

Nov. 17, 2025.

[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets

Jan. 7, 2026.