Magnetic Newton's Cradle
Thema
In unserem Projekt haben wir das 15. GYPT-Projekt, das Magnetic Newton's Cradle, bearbeitet. Die Aufgabenstellung auf der GYPT-Webseite besagt:
Repulsing, non-touching magnets are used instead of colliding balls to make a new type of Newton's cradle. The new cradle can act in a similar way to a regular cradle, but can also exhibit other interesting behaviour. Explain and study the movement of this magnetic cradle.
Der Aufbau dieses Projekts ist ähnlich wie bei einem normalen Newtonpendel, doch anstatt der Kugeln an den Stabenden haben wir Magnete, die mit entgegengesetzten Polen zueinander zeigen, an den Stäben befestigt. Das hört sich zwar simpel an, aber durch einen ersten Versuch kann man bereits beobachten, dass sich viel komplexere Bewegungsmuster bilden können als bei einem gewöhnlichen Newtonpendel. Deswegen haben wir uns entschieden, dieses Pendel zu untersuchen, da es trotz der vergleichsweise einfachen Grundlagen Potenzial für eine komplexe Analyse der physikalischen Gegebenheiten bietet.
Um ein solches Pendel untersuchen zu können, müssen wir einen geeigneten Aufbau konstruieren. Da man ein Magnetpendel, das sich auch für unsere Versuche ausreichend variieren lässt, nicht einfach kaufen kann, haben wir unseren Aufbau selbst entworfen. Dafür haben wir die benötigten Bauteile entweder gekauft oder auf einem 3D-Drucker gefertigt und danach zusammengebaut.
Wir nutzen zwei theoretische Ansätze: numerisch und analytisch. Für den numerischen Teil werden wir das Pendel simulieren, eine Bewegungsgleichung mithilfe eines Lagrange-Ansatzes herleiten und auf Basis dieser Gleichung unser Pendel iterativ simulieren. Für den analytischen Teil werden wir durch mehrere Annahmen, wie eine Linearisierung von Kräften, einen Term für die Frequenz der Pendel herleiten. Mit diesen Frequenzen lässt sich die Bewegung der Pendel auch beschreiben.
Theorie
Qualitative Theorie
Man betrachte ein einziges Pendel. Auf dieses Pendel wirken die Gravitationskraft($$F_g$$) und die Normalkraft($$F_T$$) durch den Stab, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Diese beiden Kräfte resultieren in einer Tangentialbeschleunigung($$a_tan$$), die das Pendel auf einer Kreisbahn bewegt.
Weitergehend interagieren verschiedene Pendel miteinander durch abstoßende Magnetkräfte($$F_m$$). Diese sind stärker, je näher sich die Pendel kommen. So kommt es zu gekoppelten Oszillatoren, die auf dem Weg zu ihrer Äquilibriumsposition verschiedene wellenartige Muster aufweisen können, da jede Schwingung eines Pendels das nächste in die gleiche Richtung anstößt. Somit ist ein ähnliches, allerdings nicht identisches Verhalten zum Newton-Pendel zu erwarten. Um die Bewegungen genauer zu untersuchen, ist jedoch eine quantitative Analyse notwendig.
Quantitative Theorie
Bewegungsgleichung
Definitionen
Als Pendel wird im Folgenden ein einzelner Stab mit Magneten am Ende bezeichnet und nicht das gesamte Setup mit $$N$$ einzelnen Pendeln.
Um den Versuch theoretisch modellieren zu können, werden zuerst relevante Parameter und Größen definiert. Relevante Parameter des Phänomens sind die Länge des Pendels $$l$$, die Distanz zwischen Drehpunkten $$a$$, die Masse $$m$$, das Massenträgheitsmoment $$I$$, die der Bewegungsrichtung senkrechten Fläche der Pendel $$A$$, die Pendelanzahl $$N$$, das Magnetische Dipolmoment $$M$$ sowie die Reibungskoeffizienten $$\mu_f,c_w,b$$. Es sei der Auslenkungswinkel eines Pendels $$i$$ als $$\varphi_i$$ definiert. Dieser ist die wichtigste zu betrachtende Größe, um den Effekt zu beschreiben und die Position der Pendel zu untersuchen.
Geometrische Vorbetrachtung
Für die theoretische Modellierung ist im Weiteren die Distanz $$d_{ij}$$ zwischen den Mittelpunkten der Magneten zweier Pendel $$i$$ und $$j$$ erforderlich, wobei die Pendel nach rechts aufsteigend nummeriert werden. Die Distanz wird, wie in der Abbildung zu sehen, durch den Satz des Pythagoras bestimmt. Da diese Größe durch die Winkel $$\varphi_i,\varphi_j$$ und die Parameter berechnet werden kann, ist die weitere Analyse stark vereinfacht. \begin{equation*} d_{ij}=\sqrt{(l\cdot sin(\varphi_i)-l\cdot sin(\varphi_j)+a\cdot(j-i))^2+(l\cdot cos(\varphi_j)-l\cdot cos(\varphi_i))^2} \end{equation*} \left(\frac{}{}\right)
Lagrange-Ansatz
Für die Modellierung des Effekts wird ein Lagrange-Ansatz genutzt. Hierfür wird die Lagrange-Funktion $$L = T-V$$ im mechanischen Kontext betrachtet. Dieser setzt sich aus der gesamten Kinetischen Energie $$T$$ und der gesamten potenziellen Energie $$V$$ im System zusammen und wird benötigt, um die Euler-Lagrange-Gleichung für das System zu lösen.
\begin{equation*} \frac{d}{dt} \left(\frac{L}{\partial \dot\varphi_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi_i} = 0 \end{equation*}
Diese ergibt nach dem Einsetzen der Lagrange-Funktion $$L$$ eine partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung unserer Pendel vorhersagt. [1
Kinetische Energie
Da es sich beim Pendeln um eine Kreisbewegung handelt, gilt für das Pendel $$i$$:
\begin{equation*} T_i=\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2 \end{equation*}
Und da das Setup aus $$N$$ Pendeln besteht, gilt:
\begin{equation*} T=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}I\dot{\varphi_i}^2 \end{equation*}
Potenzielle Energie
Weiterhin wird die potenzielle Energie in zwei Teilen betrachtet. Die potenzielle Energie durch Gravitation sei $$V_g$$ und die potenzielle Energie durch magnetische Interaktion sei $$V_m$$. Für eines der Pendel gilt für die effektive potenzielle Energie:
\begin{equation*} V_{g,i} = mgh \\ h = l \cdot (1-\cos(\varphi_i)) \\ h_{eff} = -l \cdot \cos(\varphi_i) \\ V_{g,i} = -mgl\cos{\varphi_i} \end{equation*}
Und für die magnetische potenzielle Energie sei die potenzielle Energie zwischen den Magneten $$i$$ und $$j$$ definiert als: $$U_{ij}$$. Somit gilt:
\begin{equation*} V_{m,i}=\sum_{i\ne j}U_{ij} \end{equation*}
Und als gesamte potenzielle Energie:
\begin{equation*} V=-\sum_{i=1}^Nmgl\cos(\varphi_i)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N U_{ij} \end{equation*}
Magnetisches Potential
Um die potenzielle Energie aller Magnetpaare zu bestimmen, wird die potenzielle Energie durch das Vektorpotential im Magnetfeld des anderen Magneten betrachtet. Hierfür gilt aus [4] die Formel:
\begin{equation*} U_{ij}=-\int \mathbf A_j(\vec x_i) \cdot \mathbf J(\vec x_i) d^3 x \end{equation*}
Unter der Annahme einer gleichmäßigen Magnetisierung entlang der Längs-Achse des Magneten ist dies identisch zu:
\begin{equation*} U_{ij}=-I\int_{C_i} \mathbf A_j(\vec x) \cdot d \vec x_i \end{equation*}
Wobei $$C_i$$ ein Pfad ist, der einer Spule um den Magneten $$i$$ folgt, $$\mathbf A(\vec x_i)$$ das Vektorpotential im Magnetfeld des Magneten $$j$$ und $$\mathbf J(\vec x_i)$$ die Magnetisierungsstromdichte an Stelle $$\vec x_i(u)$$.
Hier kann man sich $$I$$ wie die Stromstärke einer äquivalenten Spule vorstellen, welche das gleiche Magnetfeld erzeugen würde.\\
Für $$\mathbf A_j(\vec x_i)$$ gilt:
\begin{equation*} \mathbf A_j(\vec r)=\frac{\mu_0 I_m}{4\pi} \cdot \int_{C_j} \frac{d\vec \ell}{||\vec r - \vec x_j||} \end{equation*}
Um den Pfad $$\vec x_i(u)$$ auf dem Pfad $$C_i$$ zu definieren, wird zunächst der Pfad einer Spule um den Magneten in einem lokalen Koordinatensystem, das in der Mitte des Magneten zentriert ist, definiert. Dieser lautet:
$$\vec c(\tau)=$$
\begin{pmatrix}\frac{h}{2\pi W}\cdot \tau -\frac{h}{2}\\ R \cdot sin(\tau)\\ R \cdot \cos(\tau)\end{pmatrix}
Wobei $$h$$ die Höhe des Magneten ist, $$R$$ der Radius und $$W$$ die Windungszahl der Spule. Hierfür werden in dieser Arbeit $$h=1.1cm$$, $$R=0.6cm$$, $$W=150$$ verwendet. Die Wahl der Windungen ist dadurch bedingt, dass mehr Windungen die Simulation genauer machen, sie dadurch allerdings auch verlangsamen.
Nun wird dieser Pfad mit dem Vektor $$\vec b_i$$ in den Mittelpunkt des Magneten und die Rotationsmatrix $$T_{\varphi_i}$$ in das globale Koordinatensystem überführt, wodurch die Pfade mehrerer Magneten vergleichbar werden.
\begin{equation*} \vec{x}_{i}(\tau)=\vec{b}_{i}+T_{\varphi_i} \times \vec{c}(\tau) \end{equation*}
Wobei für $$\vec b_i$$ gilt:
$$\vec b_i =$$
\begin{pmatrix} l\cdot \sin(\varphi_i) +a\cdot i\\ l \cdot \cos(\varphi_i)\\ 0 \end{pmatrix} und für $$\psi_i$$ gilt die übliche Rotationsmatrix für eine Rotation um die Z-Achse:
$$T_{\varphi_i}$$ = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_i) & -\sin(\varphi_i) & 0\\ \sin(\varphi_i) & \cos(\varphi_i) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
In diesem Modell ist $$u$$ auf dem Pfad beschränkt durch:
\begin{equation*} 0 \leq u \leq 2\pi W \end{equation*}
Und somit gilt für die potenzielle Energie:
\begin{equation*} U_{ij}=-\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_0^{2\pi W}\int_0^{2\pi W} \frac{d \vec x_i\cdot d\vec x_j}{||\vec x_i - \vec x_j||} \end{equation*}
Da der Pfad $$\vec x(u)$$ definiert wurde, kann die potenzielle Energie numerisch bestimmt werden und somit der Effekt ohne eine Dipol-Dipol-Annahme, die die Vorhersagen stark beeinträchtigt hätte, ermittelt werden.
Endgültige Bewegunsgleichung
Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion als:
\[L=\frac{1}{2}I\sum_{i=1}^N\dot{\varphi_i}^2+mgl\sum_{i=1}^N\cos(\varphi_i)-\sum_{i,j}U_{ij},\]
wobei $$U_{ij}$$ bekannt ist.
Es wird die adiabatische Euler-Lagrange-Gleichung betrachtet:
\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi_i}=0 .\]
Nach dem Einsetzen der hergeleiteten Lagrange-Funktion und dem trivialen Ableiten von $$T$$ und $$V_g$$ ergibt sich:
\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}=0 .\]
Diese Differentialgleichung lässt sich lösen, um den Winkel über Zeit bei gegebenen Startpositionen und Parametern adiabatisch vorherzusagen.
Reibungseffekte
Um Reibungseffekte in die Theorie zu integrieren, wird ein Term $$D$$ genutzt, der die Änderungsrate der Energie beschreibt. Dieser kann durch [3] wie folgt in die Bewegungsgleichung integriert werden:
\[I\ddot{\varphi_i}+mgl\cdot\sin(\varphi_i)+\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ij}}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot \varphi_i}=0 \]
Die Verlustfunktion lässt sich in Abhängigkeit von der Gesamtkraft, die durch Reibung entgegen unserer Bewegungsrichtung wirkt, wie folgt modellieren:
\[D=\frac{dE}{dt}=F_r \cdot \dot \varphi_i \cdot l\]
ADie Gesamtreibungskraft wird als eine Kombination aus Coulomb-Reibung, viskoser Reibung und Luftwiderstand wie folgt modelliert:
\[F_r=F_c+F_v+F_d\]
\[F_c = \mu_f mg \cdot sign(\dot \varphi_i)\]
\[F_v=b\cdot v\]
\[F_d=\frac{1}{2}\rho c_wAv^2\]
Die Reibungskonstanten $$\mu_f,b,c_w$$ müssen experimentell bestimmt werden.
Hiermit kann die Bewegungsgleichung simuliert werden. Dies wurde in der Sprache Julia mithilfe der Rodas5 Methode realisiert, nachdem die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch $$\omega_i:=\dot \varphi_i$$ in zwei Gleichungen erster Ordnung heruntergebrochen wird:
\begin{equation*} \dot{ \omega_i} = -\frac{mgl}{I}\cdot\sin(\varphi_i)-\frac{1}{I}\left(\sum_{i,j}\frac{\partial U_{ ij }}{\partial\varphi_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot\varphi_i}\right) \end{equation*}
\begin{equation*} \dot \varphi_i = \omega_i \end{equation*}
Analytische Frequenztheorie
Um die Bewegungsmuster genauer zu beschreiben vereinfachen wir nun das theorhetische Modell um diesem interessante Informationen zu entnehmen die durch eine rein numerische Analyse nicht direkt dargelegt wären. Wir linearisieren hierfür unser Modell für die Kraft zwischen Magneten unter Nutzen des Dipol-Modells, welches auf größere Distanzen noch immer sinnvolle Ergebnisse liefert und erhalten die Bewegungsgleichung
\[I\dot{\varphi_i}=mgl_c \sin{(\varphi_i)}+kl_c(\varphi_{i-1}+\varphi_i-\varphi_{i+1}),\]
für unsere Pendel, wobei die Kraft auf den Faktor $$k$$ linearisiert wird, welcher durch eine Dipolapproximation berechnet wird als:
\[k=\frac{6\mu_0\mu^2}{\pi r^5}.\]
Hier ist $$\mu$$ das Magnetische Dipolmoment, welches gegeben ist durch $$\mu = \frac{I \cdot N}{A}$$ und $$r$$ die Distanz zwischen Magneten an ihrer Äquilibriumsposition.
Nun können wir unser System als ein lineares Gleichungssystem beschreiben als:
$$\mathbf{\Phi}=$$ \begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_N \end{pmatrix}
$$\mathbf{K}=$$ \begin{pmatrix} \frac{mgl+kl}{I} & \frac{-kl}{I} & 0 & ... & 0 \\ \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & \frac{-kl}{I} ... & 0\\ 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+2k}{I} & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \frac{-kl}{I} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-kl}{I} & \frac{mgl+kl}{I} \end{pmatrix}
Dies erlaub uns unsere Bewegungsgleichungen umzuschreiben als:
\[\mathbf{\ddot\Phi} = -\mathbf{K\Phi}\]
Um nun die Normalmodi der Bewegung zu untersuchen setzten wir $$\mathbf{\Phi}=\mathbf{A} \cdot e^{i \omega t + \phi}$$ und erhalten
\[- \omega^2 \mathbf{A} = -\mathbf{KA},\]
\[(\mathbf{K}-\omega^2 \mathbf{I})\mathbf{A} = 0.\]
Somit können wir die Frequenzen der Pendel durch die Eigenwerte der Kopplungsmatrix $$K$$ bestimmen als:
\[f_p = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\omega_0^2 + \frac{24 \mu_0 \mu^2 l^2}{\pi d^5 I}\left( 1-\cos(\frac{p \pi}{N+1}) \right)},\]
mit
\[\omega_0 = \frac{g}{l_c}.\]
Wir können ebenfalls die relativen Amplituden der Pendel durch die Eigenvektoren vorhersagen als:
\[v_p = \sin(\frac{kp \pi}{N+1}),\]
was es uns erlaub Eigenmodi zu simulieren.
Aufbau
Aufbau der Pendel
Das Pendel besteht aus drei einzelnen 3d-gedruckten Teilen. Das erste Teil wird genutzt, um das Pendel mit einem Rotationssensor zu verbinden. Das zweite Teil ist ein langer Stab. Dieses Teil wurde in mehreren Längen gedruckt, damit die Länge variiert werden kann. Das dritte Teil enthält die Magneten, die manuell ausgetauscht werden können, um die Magnetisierung zu verändern. Die Magneten werden im letzten Teil mithilfe von Knete befestigt.
Das gesamte Pendel wird dann an einen Rotationssensor befestigt, welcher wiederum via Bluetooth an einen Laptop verbunden wird. Auf diesem Laptop können die Daten der Sensoren mithilfe von Vernier Graphical Analysis aufgenommen und verarbeitet werden.
Die Rotationssensoren werden an ein Gerüst aus Aluminiumstangen und Stativmaterial befestigt, damit es keine großen Einwirkungen vom Metall auf die Magneten gibt. Die Abstände zwischen den Sensoren werden per Hand mithilfe eines Lineals und einer Wasserwaage eingestellt. Dadurch können wir auch die Anzahl der Pendel in unserem System verändern.
Um bei verschiedenen Experimenten konstante Startbedingungen, insbesondere Startwinkel, zu ermöglichen, nutzen wir einen magnetic release. Dieser besteht aus einer Spule, die an einen Stromkreis angeschlossen ist. Durch Anschalten des Stromkreises wird der magnetic release aktiviert.
Magnetisierungsmessung
Zuerst bestimmt man die Magnetisierung der Magneten, welche für die spätere Simulation benötigt werden.
Um die Stärke der Magnete bestimmen zu können, wird ein Hall-Sensor, drei Lineale und ein zu untersuchender Magnet genutzt. Der Magnet wird mithilfe der Lineale und Knete fixiert. Der Position des Hall-Sensor kann verändert werden. Dieses Setup ermöglicht es, die Distanz zwischen Magnet und Hall-Sensor genau zu variieren und das Magnetfeld entlang der Achse des Magneten in verschiedenen Distanzen zu bestimmen. Ein Gerüst für den Hall-Sensor wird benutzt um diesen genau zu halten. Die Daten des Hall-Sensors können dann ausgewertet werden, um die Magnetisierung zu berechnen.
Reibungsmessung
Außerdem braucht man die Reibungskoeffizienten für die Simulation.
Um diese zu bestimmen, wird das Verhalten von einem einzigen Pendel aufgenommen und analysiert. Das Pendel wird ausgelenkt, losgelassen und mithilfe der Rotationssensoren aufgenommen. Dann wird eine Simulation für ein Pendel so gefittet, dass diese mit der echten Bewegung übereinstimmt.
Vergleich von simulierter und reeller Bewegung
Der Vergleich der simulierter und reeller Bewegung passiert mit genau 3 Pendeln. Der Grund hierfür ist, dass man die interessanten Muster hier schon erkennen kann und mehr Pendel den Vergleich erschweren. Das Pendel wird, wie im ersten Aufbau beschrieben, aufgebaut. Das erste Pendel wird zu einem bestimmten Winkel ausgelenkt und losgelassen. Durch die Rotationssensoren wird dann die Bewegung der drei Pendel geplottet. Diese kann dann mit dem Plot der Simulation verglichen werden, um die Simulation zu bewerten.
Der Versuch wird für mehrere verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt. Hierbei wird die Anfangsauslenkung, der Abstand der Pendel, die Länge der Pendel und die Magnetisierung der Pendel variiert.
Vergleich von analytischer Theorie und reeller Bewegung
Ähnlich wie beim Versuch zum Vergleich der Simulation und der echten Bewegung wird der Versuch mit 3 Pendeln aufgebaut. Das Pendel wird mit dem magnetic release aus einem bestimmte Startwinkel ausgelenkt und losgelassen. Die Bewegung wird mithilfe der Rotationssensoren aufgneommen. Anstatt die Bewegung nun mit der Simulation zu vergleichen, wird eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) angewandt. Die Bewegung jedes einzelnen Pendels besteht aus mehreren zusammengesetzten Frequenzen in einer Linear-Kombination. Die FFT ermöglicht es aus der Bewegung des Pendels, die Frequenzen und deren Anteile zu berechnen. Diese werden dann in einem Amplitude über Frequenz Graph angegeben. Somit kann man sehen, welche Frequenzen in unserem System vorhanden sind. Diese erhaltenen Frequenzen können dann mit den theoretischen Frequenzen verglichen werden, die in der analytischen Frequenztheorie berechnet wurden. Der Versuch wird für verschiedene Anfangsbedingungen wiederholt, damit man den Verlauf der Frequenzen über variierte Parameter untersuchen kann.
Daten
Magnetfeldsmessung
Um die Magnetstärke anzupassen, maßen wir für verschiedene Distanzen die Magnetfeldflussdichte und fitten eine Formfunktion an diese Messung. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurve unserer gefitteten Formfunktion.
Reibungsmessung
Um die Reibungskonstante zu ermitteln, nahmen wir den Winkel eines einzelnen Pendels über Zeit auf. Danach haben wir die Peaks betrachtet und die Reibungskonstanten gefittet. Die Punkte entsprechen den Peaks, die wir gemessen haben, und die Kurve der Formfunktion mit gefitteten Reibungskonstanten.
Vorhersage der Bewegung
In der oberen Reihe sind die Bewegung der Pendel und die simulierte Vorhersage für verschiedene Parametervariationen zu sehen. Dabei wird die Auslenkung der Pendel über die Zeit betrachtet, wobei jedes der 3 Pendel eine eigene Farbe besitzt; die Punkte entsprechen unseren Messungen und die Kurven unseren Vorhersagen. Wie zu erkennen ist, sind unsere Vorhersagen hier ziemlich genau. Unten ist ein Stresstest zu sehen. Hier variieren wir alle Parameter, um unsere Vorhersage möglichst ungenau zu machen. Wie zu sehen ist, ist die Simulation selbst hier noch vergleichsweise genau.
Vorhersage der Eigenfrequenzen
Oben sind die durch eine Fourier-Analyse ermittelten Frequenzen der Bewegung unserer Pendel zu sehen. Diese sind durch eine lokale Linearisierung und dem bestimmen der Eigenwerte der charakteristischen Bewegungsmatrix vorhersagbar. Die senkrechten Linien sind die theoretisch errechneten Werte und der Graph ist das Ergebnis des Experimentes. Man sieht, dass unsere theoretische Vorhersagen für alle drei Eigenfrequenzen sehr gute Näherungen bringen. Die sehr kleinen Peaks, die im Graphen zu sehen sind, sind ein Ergebnis von Fehlerquellen im System.
Unten ist das Verhalten von Systemfrequenzen bei verschiedenen Distanzen zwischen den Pendeln und bei verschiedenen Dipolmomenten zu sehen. Es gab in diesem Fall 3 Pendel jeweils mit einer Eigenfrequenz unterschiedlicher Farbe auf dem Graphen. Dabei entsprechen die Punkte unseren Messungen und die Kurven unseren theoretischen Vorhersagen. Auch hier stimmen unsere theoretischen Vorhersagen gut mit den tatsächlichen Frequenzen überein, doch es gibt leichte quantitative Abweichung.
Veranschaulichung
Als nächstes sind die Bewegungen von vier gekoppelten Pendeln zu sehen, wir betrachten deren maximale Auslenkungen (Peaks) und leiten so die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Pendelkette her. Diese ist mit 1.01 $$\frac{m}{s}$$ ebenfalls relativ nah an unserer theoretischen Vorhersage von 1.06$$\frac{m}{s}$$.
Fehlerbetrachtung
Theoretische Fehler
Magnetisierungsachse
Um die Formeln für die potenzielle Energie und das Vektorpotential der Magneten nutzen zu können, müssen wir annehmen, dass die Magnetisierung der Magneten entlang der Längsachse ausgerichtet ist. Dies ist für unsere Magneten ziemlich ungenau, da nach dem Umdrehen der Magnete in der Messung eine Abweichung von ca. 3-5\% gemessen wurde. Um das finale Feld zu finden, wurde der Durchschnitt dieser Beiden genutzt; allerdings führt dies zu einer ungenauen Modellierung aufgrund von imperfekten Magneten.
Linearisation bei Frequenzenbetrachtung
Um eine vernünftige Theorie für die Frequenzen zu schaffen, mussten wir annehmen, dass die Pendel lineare Kopplung besitzen (praktisch wie mit Federn), sich nur horizontal entlang einer Achse bewegen und dass sie nur mit direkten Nachbarn interagieren. Das ist eine relativ gute Näherung für kleine Auslenkungen der Pendel, führt aber trotzdem zu Ungenauigkeiten bei unseren Vorhersagen zu den Eingenfrequenzen im System.
Experimentelle Fehler
Unser Aufbau hat einige kleinere Fehlerquellen. Die Aufhängung eines der Pendel oder der Drehsensoren kippt gelegentlich sehr leicht seitlich, sodass einige Fehler auftreten. Das bewirkt, dass die Pendel in Bezug aufeinander ungleich ausgerichtet sind, was zu Abweichungen vom vorhergesagten Verhalten führt.
Fazit und Ausblick
Vergleich mit normalem Newton-Pendel
In einem normalen Newton-Pendel findet nach der Auslenkung eines Pendels die Impulsübertragung nur während eines direkten Kontakts mit einem anderen Pendel. Der Impuls wird praktisch instant übertragen und das Pendel auf der anderen Seite wird um praktisch genauso viel ausgelenkt und der Vorgang wiederholt sich, bis dies wegen der Reibung aufhört. Dabei gibt es im System keine permanente Kopplung zwischen den Kugeln.
In einem magnetischen Newton-Pendel gibt es eine konstante nichtlineare Kopplung zwischen den Magneten im System. Folglich, wie in Experimenten veranschaulicht, wird der Impuls auch permanent übertragen und es entstehen Wellen im System, was zu einem sehr interessanten Muster führt.
Die unterschiedlichen Bewegungsmuster eines normalen Newton-Pendels sollten von uns mehr untersucht werden.
Fazit
Im Zuge der Bearbeitung unseres Projekts wurde ein Setup zum Durchführen des Phänomens gebaut, eine theoretische Modellierung entworfen, die notwendigen Fitparameter gemessen und Experimente zum Verhalten des magnetischen Newtonpendels durchgeführt. Die Vergleiche von Theorie und experimentellen Daten zeigen eine quantitativ gute Übereinstimmung. Selbst bei komplexeren Bewegungsmustern sind die Fehler klein. Erklärungen für Abweichungen sowie Ziele, um diese Probleme zu beheben, wurden vorgestellt. Das Verhalten der Pendel als Teil einer Welle wurde noch nicht untersucht. Dies ist ein weiteres Forschungsziel.
Erfolge
Jugend forscht:
In der Regionalrunde haben wir als Team einen 3. Preis errungen.
BeGYPT:
1. Platz (Linus J. Konnerth), 2. Platz (Ivan Zaitsev), 3. Platz(Alexander Borodulin) individuell
Gold (Linus' Legiöner) und Bronze (CarlDasLama) in der Teamauswertung
GYPT:
Bronze (4. Platz) (The Bricked Union) in der Teamauswertung
7. Platz (Linus J. Konnerth), 10. Platz (Ivan Zaitsev), 17. Platz (Alexander Borodulin)
2x Workshop Qualifikation (Linus J. Konnerth, Ivan Zaitsev)
1x IYPT Qualifikation (Linus J. Konnerth)
Quellen
[1] Simon J.A Malham (2016). An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics
https://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf
Nov. 17, 2025.
[2] Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth ed.)
ISBN: 978-1-009-39773-5
Nov. 17, 2025.
[3] University of Saskatchewan
http://seisweb.usask.ca/classes/UPC-2022/WWW/4-Applications.pdf
Nov. 17, 2025.
[4] Yuyang Zhang and Yonggang Leng https://www.researchgate.net/publication/347023575_Comparative_study_on_equivalent_models_calculating_magnetic_force_between_permanent_magnets
Jan. 7, 2026.
