Lato-Lato Kurt

Fachliche Kurzfassung

In dieser Arbeit wird das Bewegungsverhalten vom Kinderspielzeug "Lato Lato" untersucht. Es besteht aus einem oszilierendem Pivot (Aufhängepunkt) an welchen eine Schnur mit zwei Bällen an ihren Enden gehängt wird. Den Aufbau kann man sich auch als zwei Pendel vorstellen, die an dem gleichen Pivot hängen. Durch die Ozilation des Pivots kann es zu Kollisionen kommen und verschiedene "stabile" Bewegungen entstehen ("stabil" meint dabei, dass die maximale Auslenkung des Pendels sich nicht ändert). Das Ziel dieser Arbeit ist es diese stabilen Bewegungen genauer zu untersuchen und theoretisch zu modelieren. Dazu wird zunächst eine Intuitive Erklärung des Phänomens gebeben und quantitativ theoretisch modeliert. Weiter werden auch Numerische Simulationen und ein Algorithmus vorgestellt, der diese "stabilen" Bewegungen finden kann. Weiter wird eine der "Stabilen" Bewegungen experimentell nachgestellt und mit der Theorie quantitativ verglichen. Schließlich wird ein Ausblick gegeben zu weiteren möglichen Experimenten und Erweiterung der vorgestellten Theorie.

Motivation

Die Idee zu dieser Arbeit entstand durch das Spielen mit dem Kinderspielzeug "Lato Lato". Mich hat der Einfluss des Pivots auf das Pendel fazieniert\dots

Fragestellung

Die Leitfragen dieses Projekts sind folgende:

• Wie kann man den Einfluss des Pivots auf das Pendel physikalisch erklären?
• Kann man das Lato Lato theoretisch modelieren?
• Kann man stabile Bewegungen des Lato Latos experimentell nachstellen?
• Welche Bewegungsmuster gibt es beim Lato Lato?

Theorie

Stabile Zustände

Zunächst werden die stabilen Bewegungen des Lato Latos genauer definiert. Dabei stelle man sich das Pendeln vor und betrachte den Winkel an welchem das Pendel (kurzeitig) zu Stoppen kommt. Es geht somit um den Winkel ab dem die Bälle des Pendels wieder runterfallen. Dieser Winkel wird als maximaler Winkel bezeichnet.Ist dieser maximaler Winkel jetzt über zeit konstant (das Pendel kommt an der selben stelle zum stoppen), wird die Bewegung bzw. der Zustand als stabil bezeichnet. Dabei kann es zu folgenden drei stabilen Zuständen kommen. Im ersten Zustand gibt es keine Kollisionen und die Bälle Bewegen sich mit dem Pivot nach oben und nach unten. Im zweiten Fall kollidieren die Bälle unten und lenekn sich dann bis zu einem konstanten Winkel aus an welchem sie wieder nach unten fallen. Im dritten Zustand gibt es unten und oben stets Kollisionen.

Qualitative Erklärung

Bild 1: Es bewegen sich die Bälle nach oben während der Pivot sich nach unten bewegt. Durch das Momentum der Bälle bewegen sie sich weiter nach oben, trotz der Bewegung des Pivots nach unten. Dadurch erhöht sich der Winkel in dem sie in Bild 2 zum (kurzeitigen) Stillstand kommen. Da jedoch nach diesem Stillstand nur noch die Erdbeschleunigung auf die Bälle wirkt, fallen sie wieder nach unten. Bewegt sich diesmal der Pivot nach oben wirkt die Beschleunigung des Pivots entgegen der Erdbeschleunigung, was die effektive Erdbeschleunigung der Bälle erhöht. In Bild 4 kommt es schließlich zu einer nicht perfekt elastischen Kollision, bei welcher die Kinetische Energie verringert wird. Da jedoch durch den höheren maximal Winkel und die zusätzliche Beschleunigung die Bälle vor der Kollision schneller sein können, kann so die Kinetische Energie nach der Kollision erhalten bleiben oder sich sogar erhöhen.

Quantitative Modellierung

Vorbereitende Betrachtungen

Parameterbeschreibung

Zunächst werden wie folgt die Parameter definiert: $$\theta (t)$$ stellt den Auslenkungswinkel des Pendels in Abhängigkeit zur Zeit dar (Zeitabhängige Funktion). Weiter stellt $$p(t)$$ die Höhe des Pivots in Abhängigkeit zur Zeit dar (Zeitabhängige Funktion). Das Koordinatensystem wird so definiert, dass der Pivot um den Punkt $$(0,l)$$ osziliert. Da weiter die Oszilation des Pivots als Sinusfunktion verstanden wird gilt: \begin{equation*} p(t)=a\cdot\sin(\omega t + \alpha)+l, \end{equation*} wobei $$a$$ die Amplitude des Pivots, $$\omega$$ die Kreisfrequenz des Pivots und $$\alpha$$ die Phasenverschiebung des Pivots darstellen. Weiter kann die Position der Bälle unter Nutzung von $$\theta(t)$$ und Trigonometrie, wie folgt bestimmt werden: \begin{align*} x(t)&=\sin(\theta(t))l\\ y(t)&=p(t)-\cos(\theta(t))l \end{align*}

Positionsbestimmung unter Nutzung des Auslenkungswinkels

Annahmen

Länge des Fadens über Zeit (bei gemachten Experimenten nahezu konstant)

Folgende Annahmen werden in der theoretischen Modellierung genutzt:

• Reibung ist vernachlässigbar (Kinetische Energie wird bei Kollision verhältnismäßig so viel kleiner, dass Reibung vernachlässigbar ist).
• Der Faden ist masselos.
• Die Massen der beiden Bälle ist gleich.
• Symmetrie der Beiden Bälle wird angenommen, sodass ein Freiheitsgrad $$\theta(t)$$ die Auslenkung beider Teilpendel beschreibt.
• Die Fäden deformieren nicht und haben eine konstante Länge $$l$$.

Die letzte Annahme ist nur zutreffend bei Auslenkungswinkeln bis $$90^{\circ}$$. Bis zu diesem Punkt ist die Zentripetalkraft, so groß, dass der faden straff ist. ]

Euler-Lagrangian Gleichung

Zur Modellierung des Lato Latos werden die Euler-Lagrangian Gleichung genutzt. Diese lautet für einen Freiheitsgrad $$\theta(t)$$: \begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta(t)}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta(t)}=0 \end{equation} Dabei steht $$L$$ für den Lagrangian und ist als Different zwischen Kinetischer und Potentieller Energie definiert: $$L=T-V$$.

Bestimmung der Kinetischen Energie $$T$$

Zur Übersichtlichkeit wird im Folgenden mit $$\theta$$, $$\theta(t)$$ und mit $$p$$, $$p(t)$$ gemeint. Für die Kinetische Energie gilt: \begin{equation*} T = \frac{1}{2}mv(t)^2 \end{equation*} Um die Geschwindigkeit der Bälle zu bestimmen wird über die $$x-Position$$ $$x(t)$$ und die $$y-Position$$ $$y(t)$$ zeitlich abgeleitet. Man erhält: \begin{align*} \dot{x}(t) &= l\cos\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ \dot{y}(t) &= \dot{p} + l\sin\big(\theta\big)\dot{\theta} \end{align*} Da weiter $$v(t)^2=\dot{x}(t)^2+\dot{y}(t)^2$$ gilt, folgt für $$v(t)^2$$: \begin{align*} \dot{x}(t)^2 &= l^2\cos^2\big(\theta\big)\dot{\theta}^2\\ \dot{y}(t)^2 &= \dot{p}^2 + l^2\sin^2\big(\theta\big)\dot{\theta}^2 + 2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ v(t)^2 &= l^2\cos^2\big(\theta\big)\dot{\theta}^2+\dot{p}^2 + l^2\sin^2\big(\theta\big)\dot{\theta}^2 + 2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ &=l^2\dot{\theta}^2\left(cos^2\big(\theta\big)+sin^2\big(\theta\big)\right)+\dot{p}^2 +2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ &=l^2\dot{\theta}^2+\dot{p}^2 +2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ \end{align*} Somit gilt für $$T$$: \begin{equation*} T = \frac{1}{2}mv\left(l^2\dot{\theta}^2+\dot{p}^2 +2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\right) \end{equation*}

Bestimmung der Potentiellen Energie

Für die Potentielle Energie gilt: \begin{equation*} V = mgh \end{equation*} Da die Höhe der Bälle $$y(t)$$ entspricht, gilt: \begin{equation*} V = mg\left(p-\cos(\theta)l\right) \end{equation*}

Bestimmung des effektiven Lagrangians

Für den Lagrangian gilt: \begin{align*} L &= T-V\\ &=\frac{1}{2}mv\left(l^2\dot{\theta}^2+\dot{p}^2 +2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\right)-mg\left(p-\cos(\theta)l\right)\\ &=\frac{1}{2}mvl^2\dot{\theta}^2+\frac{1}{2}mv\dot{p}^2 +mvl\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}-mgp+mg\cos(\theta)l \end{align*} Weiter wird der effektiver Lagrangian betrachtet welcher nur aus Termen besteht, die Abhängig vom Freiheitsgrad sind. Somit können alle Terme ohne $$\theta$$ und $$\dot{\theta}$$ beim effektiven Lagrangian gekürzt werden. \begin{align*} L_{eff} &=\frac{1}{2}mvl^2\dot{\theta}^2+mvl\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}+mg\cos(\theta)l \end{align*}

Auswertung der Euler-Lagrange Gleichung

Anschließend kann der effektive Lagrangian in die Euler-Lagrange Gleichung eingesetzt werden: \begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L_{eff}}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial L_{eff}}{\partial \theta}=0 \end{equation} wobei für den effektiven Lagrangian zukünfitig $$L_{\theta}$$ gilt: \begin{align*} L_{\theta}:=L_{eff} = \underbrace{\tfrac12 m l^2 \dot\theta^2}_{L_1} + \underbrace{m l\,\dot p\,\sin\theta\,\dot\theta}_{L_2} + \underbrace{m g l\cos\theta}_{L_3} \\ \end{align*} Man leite $$L_{\theta}$$ partiell nach $$\dot\theta$$ ab, indem man die Summanden einzeln partiell nach $$\dot\theta$$ ableitet und addiert: \begin{align*} \frac{\partial L_{\theta}}{\partial \dot\theta} &= \frac{\partial L_1}{\partial \dot\theta} + \frac{\partial L_2}{\partial \dot\theta} + \frac{\partial L_3}{\partial \dot\theta}. \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial L_1}{\partial \dot\theta} = \frac{\partial}{\partial \dot\theta}\bigl(\tfrac12 m l^2 \dot\theta^2\bigr) = m l^2 \dot\theta,&& \frac{\partial L_2}{\partial \dot\theta} = \frac{\partial}{\partial \dot\theta}\bigl(m l\,\dot p\,\sin\theta\,\dot\theta\bigr) = m l\,\dot p\,\sin\theta,&& \frac{\partial L_3}{\partial \dot\theta} = \frac{\partial}{\partial \dot\theta}\bigl(m g l\cos\theta\bigr) = 0 \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial L_{\theta}}{\partial \dot\theta}= m l^2 \dot\theta+ m l\,\dot p\,\sin\theta \end{align*} Man leite nun nach der Zeit ab und erhalte: \begin{align*} \boxed{\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L_{\theta}}{\partial \dot{\theta}}\Bigr)= m l^2 \ddot\theta+ m l\Bigl(\ddot p\,\sin\theta + \dot p\,\cos\theta\,\dot\theta\Bigr)} \end{align*} Man leite $$L_{\theta}$$ partiell nach $$\theta$$ ab, indem man die Summanden einzeln partiell nach $$\theta$$ ableitet und addiert: \begin{align*} \frac{\partial L_{eff}}{\partial \theta} &= \frac{\partial L_1}{\partial \theta} + \frac{\partial L_2}{\partial \theta} + \frac{\partial L_3}{\partial \theta}. \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial L_1}{\partial \theta} &= \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(\tfrac12 m l^2 \dot\theta^2\bigr) = 0, \frac{\partial L_2}{\partial \theta} &= \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(m l\,\dot p\,\sin\theta\,\dot\theta\bigr) = m l\,\dot p\,\cos\theta\,\dot\theta, \frac{\partial L_3}{\partial \theta} &= \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(m g l\cos\theta\bigr) = - m g l\sin\theta \end{align*} \begin{align*} \boxed{\frac{\partial L_{\theta}}{\partial \theta} = m l\,\dot p\,\cos\theta\,\dot\theta \;-\; m g l\sin\theta.} \end{align*}

Setzt man dies in die Euler Lagrange Gleichung ein, erhält man: \begin{align*} \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L_{\theta}}{\partial \dot{\theta}}\Bigr) - \frac{\partial L_{\theta}}{\partial \theta}=\Bigl[m l^2 \ddot\theta + m l\bigl(\ddot p\,\sin\theta + \dot p\,\cos\theta\,\dot\theta\bigr)\Bigr] - \Bigl[m l\,\dot p\,\cos\theta\,\dot\theta - m g l\sin\theta\Bigr] \\ &\quad=0. \end{align*} Die \(m l\,\dot p\,\cos\theta\,\dot\theta\)-Terme heben sich auf, sodass Folgendes gilt: \[ m l^2\ddot\theta + m l\,\ddot p\,\sin\theta + m g l\sin\theta = 0 \;\xrightarrow{\div ml}\; l\ddot\theta + \sin\theta\,( \ddot p + g ) = 0. \] Mit \(\ddot p = -a\omega^2\sin(\omega t+\alpha)\) folgt \[ \boxed{l\ddot{\theta}(t) + \sin\bigl(\theta\bigr)\bigl(g - a\omega^2\sin(\omega t+\alpha)\bigr) = 0.} \]

Kollisionsmodelierung

Bei der Kollision handelt es sich um eine nicht perfekt elastische Kollision. Somit kann durch folgende Gleichung die Geschwindigkeit direkt nach der Kollision $$t^+$$ unter Nutzung der Geschwindigkeit direkt vor der Kollision $$t^-$$ bestimmt werden: \begin{equation*} \dot{\theta}(t^+) = -\gamma\,\dot{\theta}(t^-) \end{equation*} Dabei ist $$\gamma$$ der Restetutionskoeffizient.\\ Um zu bestimmen, wann eine Kollision passiert, werden die Winkel bestimmt, bei denen sich die Bälle unten berühren $$\theta_{min}$$ und bei welchem sie sich oben berühren $$\theta_{max}$$: \begin{align*} \theta_{min} &= \arcsin\!\frac{r}{l}\\ \theta_{max} &= \pi - \arcsin\!\frac{r}{l} \end{align*}

Anwendung der Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung ist nur numerisch lösbar und wird in der Sprache Julia wird mithilfe der Tsit5 Methode implementiert. Dort wird auch die Kollisionsbedingung und deren Effekt angewendet. Dabei werden für jede numerische Berechnung die Anfangsbedingungen: der Anfangswinkel die Anfangswinkelgeschwindigkeit benötigt. Weiter wird auch ein Programm genutzt, welches stabile Zustände basierend auf der gerade vorgestellten numerischen Simulation findet. Besonderer Fokus wird auf das Finden des zweiten stabilen Zustands gelegt. Als Anfangsbedingungen für die Simulation wird dabei für den Anfangswinkel der maximale Auslenkungswinkel genutzt. Für die Anfangswinkelgeschwindigkeit wird 0 genutzt, da am Anfang als Auslenkungswinkel der maximale Winkel gegeben ist und somit die Bälle bei diesem Winkel in Stillstand sind. Iteriert man anschließend über mögliche Frequenzen, finden man schließlich eine Simulation bei der der maximale Winkel konstant bleibt.

Charakterisierung der Bewegungsmuster des Pendeln

• Index.php?title=Datei:Nice1.png

  Beschreibung1

• Index.php?title=Datei:Nice2.png

  Beschreibung2

Mithilfe der Simulation kann für ein Grid von Kreisfrequenzen und Anfangsauslenkungen die Bewegung vorhergesagt werden. Aus der Bewegung können die maximalen Auslenkungswinkel bestimmt werden und weiter verarbeitet werden. So zeigt dieses Diagramm den durchschnittlichen Wert dieser Auslenkungswinkel an. Besonders interessant ist dabei die diagonal Line die sich im Bereich von 0 bis 100 erstreckt, sowie der "gelbe" Bereich in der oberen rechten Ecke. Analog kann auch die Standardabweichung der maximalen Auslenkungswinkel zum Durschnitt bestimmt werden und ebenso geplottet werden. Die hellen Bereiche zeiogen somit auf nicht stabile Bewegungsmuster und die dunklen auf stabile. Es wird anschließend der Fokus auf das untersuchen und bestimmen der diagonalen Line im ersten Diagramm gesetzt. Diese Linie stellt den zweiten Stabilen zustand dar und wird versucht experimentell erzeugt zu werden.

Experiment

\begin{figure}[H] \centering Um einen oszilierenden Pivot zu erzeugen wird die Rotationsbewegung des Motors in lineare Bewegung mit der im Bild dargestellen Konstruktion. Diese kann anschließend durch einen Motor und Lego umgestzt werden. Auf den so gebauten Oszilator wird der Faden mit den zwei Bällen an seinen Enden angehängt. Weiter wird eine Plexiglasplatte hinter dem Pendel angebracht. Diese Plexiglasplatte ist nur während dem ersten Schritt des Experiments wichtig. In diesem variiere ich Anfangsauslenkung und die Kreisfrequenz des Motors bis das Pendel in den zweiten stabilen Zustand kommt. Dann führe ich mit dem zweiten Schrittd es Experiments fort. In diesem verändere ich die Kreisfrequnuz des Motor immer nur sehr leicht. Somit ist der stabile Zustand für die neue Freqeunz so nah an der alten, das sich das Pendel in einen neuen stabilen Zustand einpendelt. Dieser Prozess wird fortgeführt bis schließlich das ganze Spektum von Freqeunzen getestet wurde. Dabei ist dieses Spektrum durch eine Frequenz limitiert, bei der die Bälle nicht mehr messbar voneinander wegbewegen oder wo der Auslenkungswinkel über 90° geht und somit der Faden zusammenfällt. Schließlich wird die Bewegung der Bälle und des Pivots Videogetracket und deren Pfad angezeigt. \centering [[Datei:os.png]] [[Datei:Exp2.png]] \end{figure}

Ergebnisse

Durch das Tracken werden sowohl Daten über das Pendel wie über den Pivot aufgenommen. Zunächst werden die Pivotdaten genutzt, um aus Ihnen alle Parameter der Sinusfunktion zu bestimmen ($$\omega$$, $$a$$ ,$$\alpha$$). Anschließend werden aus den Ballkoordinaten der Auslenkungswinkel für jeden Datenpunkt berechnet. Diese können über Zeit geplottet werden und mit den Daten aus der Simulation verglichen werden (siehe Bild links) oder auch der maximale Winkel über die genutzten Kreisfrequenzen geplottet werden und mit den Werten aus dem vorgestellten Programm, dass stabile Zustände sucht (siehe Bild rechts). Man erkennt das die Experimente und Simulation sehr gut zusammenpassen. Die Trends im Experiment können wie folgt erklärt werden: Je kleiner die Kreisfrequenz des Pivots, desto größer die Periodenlänge des Pivots. Damit der Zustand stabil ist muss die Periodenlänge der Schwingung des Pendels der Periodenlänge des Pivots entsprechen. Da bei größeren Periodenlängen der Schwingung der maximale Auslenkung des Winkels wächst, folgt somit bei kleineren Kreisfrequenzen eine größere maximale Auslenkung. Weiter können alle Messreihen mit verschiedenen Fadenlängen wie folgt in einem Plot dargestellt werden: Dabei zeigt die Farbe der Messreihe an, wie lang der in ihr genutzte Faden ist (je heller, desto längerer Faden; siehe Colorbar im Diagramm). Hier erkennt man den Trend, das bei längerem Faden die Kreisfrequenz sinkt um einen bestimmten maximalen Auslenkungswinkel zu erreichen. Bei längerem Faden steigt die Periodenlänge der Schwingung des Pendels und somit sinkt die Kreisfrequenz, wie bereits erklärt wurde.

Fehlerquellen

Die Kamera liegt versetzt von der Kamera, sodass die Camara die Verschiebung der eigentliche Position aufnimmt.\\ Weiter kommt noch die Parallaxe ins Spiel. Diese verzerrt das Bild minimal.\\ Beide Probleme wurden zunächst nicht gelöst, jedoch können sie beide durch trigonometrische Überlegungen gelöst werden.

Vergleich zwischen Messwerten und Theorie

Vergleich zwischen numerischer Simulation (links) und experimentellen Messungen (rechts)

Vergleich zwischen numerischer Simulation (links) und experimentellen Messungen (rechts)

Zunächst können einzelne Versuche verglichen werden, indem die Auslenkung bei gegebenen Anfangsbedingungen zwishceneinander verglichen wird. Dabei erhält man sehr stark übereinstimmende Ergebnisse. Um diese systematischer auswerten zu können, wird nun das Programm genutzt, welches stabile Zustände findet. Lässt man dieses für alle Anfangswinkel in einem bestimmten Raum laufen, so erhält man für jeden Anfangswinkel eine Frequenz. Diese Graphen können nun mit dem Experiment vergilchen werden und man erhält folgende Vergleiche:

Vergleich zwischen theoretischer und simulierter Bewegung

Auf der Seite 13 sind 8 Graphen der Bewegung des Magneten zu finden. Während der Aufbau gleich blieb, wurde die Startposition des Magneten verändert. Dabei wurde so gut wie möglich versucht keine Geschwindigkeit dem Magneten zu übergeben. Da der Aufbau symetrisch ist, sollten die Graphen ähnlich sein, bzw. gleich falls die Startposition die gleiche Distanz hat. Dies ist nicht der Fall. Dies kann wie folgt erklärt werden: permanentmagneten haben nicht unbedinkt senkrechte magnetische Momente. Dadurch ist die Anziehungskraft nicht mehr symmetrisch, da durch die kleinste Neigung des magnetischen Dipols der Magnet aus einer Seite stets stärker angezogen wird. Außerdem würde dies die Drehung erklären, die beim Versuch entstand. Durch diese kleine Änderung verläuft der Magnet nicht zwingend über dem statischen, was in der Simulation passiert.

Ergebnisdiskussion

Die Analyse der experimentellen Daten zeigt fehlende symmetrien auf. Diese sind in der Theorie nicht vorhanden und haben ihre Quelle in experimentellen Fehlern. So sind diese Fehler:

Systematische Fehler

Systematische Fehler entstehen durch Ungenauigkeiten im Versuchsaufbau oder durch Kalibrierungsfehler der Messgeräte. Zu den relevanten systematischen Fehlerquellen zählen:

Statistische Fehler

Statistische Fehler resultieren aus zufälligen Schwankungen in den Messdaten. Die wichtigsten Beiträge sind:

• \textbf{Kompriemierung bei Slow Motion Videos:}

         Die begrenzte Auflösung der Kamera führt zu einer Unsicherheit von etwa $$\pm 2\,px$$ bei der Bestimmung der Positionen. 
         Zusätzlich werden Slow MOtion Videos komprimiert, um Speicherplatz zu schonen. Diese Unsicherheit wird in der Berechnung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen verstärkt.

• \textbf{Auswertungssoftware:}

         Fehler bei der Kantenerkennung oder bei der automatisierten Bestimmung von Schwerpunkten können die Genauigkeit der Positionsmessung beeinträchtigen.

Externe Einflüsse

Neben systematischen und statistischen Fehlern können externe Einflüsse die Messergebnisse verfälschen:

• \textbf{Beleuchtung:}

         Änderungen der Lichtverhältnisse während der Aufnahme könnten die Kantenerkennung erschweren und zu Fehlern bei der Positionsbestimmung führen.

• \textbf{Vibrationen:}

         Erschütterungen oder Bewegungen der Kamera (durch Bewegung im Umfeld) während der Aufnahme könnten zusätzliche Bildfehler verursachen.

Fazit und Ausblick

Fazit

In dieser Arbeit wurde das Verhalten eines magnetischen Pendels sowohl theoretisch als auch experimentell untersucht. Dabei wurde ein Modell entwickelt, das die Bewegung des Pendels unter Berücksichtigung von Gravitation, Reibung und magnetischen Kräften beschreibt. Die resultierenden Bewegungsgleichungen wurden numerisch gelöst und mit experimentellen Daten verglichen. Die theoretischen Berechnungen zeigen, dass die grundlegenden Bewegungsmuster des Pendels durch das Modell gut beschrieben werden können. Insbesondere die Einflüsse der magnetischen Kräfte und der Dämpfung wurden erfolgreich in die Simulation integriert. Der Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen offenbart jedoch Abweichungen, die auf verschiedene systematische und statistische Fehler zurückzuführen sind. Die wichtigsten Erkenntnisse dieser Arbeit sind:

• Das Modell beschreibt die grundlegenden Bewegungsabläufe realistisch, jedoch treten in der Praxis durch experimentelle Fehler asymmetrische Effekte auf.
• Der Zusammenhang zwischen Dämpfungskraft und Geschwindigkeit konnte teilweise bestätigt werden, wobei die Daten auf mehrere parallele Muster hindeuten, die durch experimentelle Unregelmäßigkeiten verursacht sein könnten.
• Die theoretischen und simulierten Bewegungen stimmen qualitativ überein, weichen jedoch quantitativ ab, insbesondere bei ungenauen Anfangsbedingungen oder nicht senkrechten magnetischen Momenten.

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die theoretischen Modelle eine gute Grundlage bieten, um die Dynamik des magnetischen Pendels zu beschreiben. Die experimentellen Daten bestätigen die grundlegenden Zusammenhänge, zeigen aber auch die Notwendigkeit, die Genauigkeit des Aufbaus und der Messungen weiter zu optimieren.

Ausblick

Aufbauend auf den Erkenntnissen dieser Arbeit ergeben sich mehrere Ansätze für weiterführende Untersuchungen:

• \textbf{Optimierung des Versuchsaufbaus:}

         Eine präzisere Kalibrierung der Kamera und die Verwendung von hochauflösenden Kameras könnten die Unsicherheiten bei der Positionsbestimmung deutlich reduzieren. Zudem sollte die Position der statischen Magneten noch genauer bestimmt und überprüft werden.
         

• \textbf{Untersuchung von Magnetfeldern:}

         Zukünftige Arbeiten könnten die magnetischen Feldverteilungen der verwendeten Magneten genauer vermessen und mögliche Abweichungen von idealisierten Dipolmomenten berücksichtigen.

• \textbf{Detaillierte Fehleranalyse:}

         Weitere Experimente sollten die Auswirkungen von asymmetrischen magnetischen Momenten und externen Störungen gezielt untersuchen. Dies könnte durch den Einsatz präziserer Messtechniken oder Simulationen mit realistischen Magnetfeldern erreicht werden.

• \textbf{Erweiterung des Modells:}

         Das theoretische Modell könnte um zusätzliche Effekte wie Drehmomente oder Nichtlinearitäten in der Dämpfung erweitert werden. Dadurch ließen sich komplexere Bewegungen, die in den Experimenten beobachtet wurden, besser erklären.

• \textbf{Anwendung auf technische Systeme:}

         Durch die BEwegung der bis jetzt statischen Magnte könnten viele Bewegungen des Magneten erzeugt werden.