Lato-Lato Kurt
Fachliche Kurzfassung
In dieser Arbeit wird das Bewegungsverhalten des Kinderspielzeugs „Lato Lato“ untersucht. Es besteht aus einem oszillierenden Aufhängungspunkt („Pivot“), an dem eine Schnur mit zwei Bällen an ihren Enden befestigt ist. Der Aufbau kann als zwei Pendel betrachtet werden, die am gleichen Pivot hängen. Durch die Oszillation des Pivots kommt es zu Kollisionen der Bälle und es entstehen verschiedene „stabile“ Bewegungszustände (stabil im Sinne einer konstanten maximalen Auslenkung). Ziel dieser Arbeit ist es, diese stabilen Bewegungszustände genauer zu untersuchen und theoretisch zu modellieren. Zu diesem Zweck wird zunächst eine intuitive Erklärung des Phänomens gegeben und anschließend eine quantitative Modellierung vorgestellt. Außerdem werden numerische Simulationen und ein Algorithmus präsentiert, der stabile Zustände identifiziert. Ein ausgewählter stabiler Zustand wird experimentell nachgestellt und mit den Simulationsergebnissen verglichen. Abschließend werden mögliche Erweiterungen und weitere Experimente skizziert.
Motivation
Bei diesem Projekt handelt es sich um die Bearbeitung des folgenden GYPT-Problems: '03 Lato Lato: Attach a ball to each end of a string and connect the center of the string to a pivot. When the pivot oscillates along the vertical direction, the balls start to collide and oscillate with increasing amplitude. Investigate the phenomenon.' Übersetzt ins Deutsche: Befestigen Sie an jedem Ende einer Schnur eine Kugel und verbinden Sie die Mitte der Schnur mit einem Drehpunkt. Wenn der Drehpunkt in vertikaler Richtung schwingt, beginnen die Kugeln miteinander zu kollidieren und schwingen mit zunehmender Amplitude. Untersuchen Sie dieses Phänomen.
Fragestellung
Die Leitfragen dieses Projekts lauten:
- Wie lässt sich der Einfluss des oszillierenden Pivots auf das Pendel physikalisch erklären?
- Kann man das Lato Lato theoretisch modellieren?
- Lässt sich ein stabiler Bewegungszustand experimentell nachstellen?
- Welche Bewegungsmuster treten beim Lato Lato auf?
Theorie
Stabile Zustände
Zunächst werden stabile Bewegungszustände definiert. Man betrachtet den maximalen Winkel innerhalb einer Periode als Maximalwinkel. Bleibt dieser Winkel über die Zeit konstant, spricht man von einem stabilen Zustand. Es lassen sich drei stabile Zustände unterscheiden:
Zustand 1 (kein Zusammenstoß): Die Bälle pendeln ohne Kollision und folgen der Pivot-Bewegung.
Zustand 2 (unterer Zusammenstoß): Kollision am unteren Umkehrpunkt; der Maximalwinkel bleibt konstant.
Zustand 3 (unterer und oberer Zusammenstoß): Kollisionen an beiden Umkehrpunkten.
Qualitative Erklärung
Beim Aufstieg der Bälle und gleichzeitigen Abwärtsbewegung des Pivots wird der Umkehrpunkt der Pendelbewegung höher erreicht (höherer Maximalwinkel).
Im Moment des Stillstandes wirkt nur die Gravitation, weshalb die Bälle nach unten fallen.
Bewegt sich der Pivot nun nach oben, erhöht sich die effektive Beschleunigung und somit die Geschwindigkeit der Bälle vor der Kollision.
Bei der nicht perfekt elastischen Kollision kann so trotz Energieverlust die kinetische Energie erhalten bleiben oder sogar zunehmen.
Quantitative Modellierung
Vorbereitende Betrachtungen
Zunächst werden wie folgt die Parameter definiert: $$\theta (t)$$ stellt den Auslenkungswinkel des Pendels in Abhängigkeit zur Zeit dar (Zeitabhängige Funktion). Weiter stellt $$p(t)$$ die Höhe des Pivots in Abhängigkeit zur Zeit dar (Zeitabhängige Funktion). Das Koordinatensystem wird so definiert, dass der Pivot um den Punkt $$(0,l)$$ oszilliert. Da weiter die Oszillation des Pivots als Sinusfunktion verstanden wird gilt: \begin{equation*} p(t)=a\cdot\sin(\omega t + \alpha)+l, \end{equation*} wobei $$a$$ die Amplitude des Pivots, $$\omega$$ die Kreisfrequenz des Pivots und $$\alpha$$ die Phasenverschiebung des Pivots darstellen. Weiter kann die Position der Bälle unter Nutzung von $$\theta(t)$$ und Trigonometrie, wie folgt bestimmt werden: \begin{align*} x(t)&=\sin(\theta(t))l\\ y(t)&=p(t)-\cos(\theta(t))l \end{align*}
Annahmen
Folgende Annahmen werden in der theoretischen Modellierung genutzt:
- Die Oszillation des Pivots wird durch $$p(t)=a\cdot\sin(\omega t + \alpha)+l$$ definiert
- Reibung ist vernachlässigbar (Kinetische Energie wird bei Kollision verhältnismäßig so viel kleiner, dass Reibung vernachlässigbar ist).
- Der Faden ist masselos.
- Die Massen der beiden Bälle ist gleich.
- Symmetrie der Beiden Bälle wird angenommen, sodass ein Freiheitsgrad $$\theta(t)$$ die Auslenkung beider Teilpendel beschreibt.
- Die Fäden deformieren nicht und haben eine konstante Länge $$l$$.
Die letzte Annahme ist nur zutreffend bei Auslenkungswinkeln bis $$90^{\circ}$$. Bis zu diesem Punkt ist die Zentripetalkraft, so groß, dass der Faden straff ist.
Euler-Lagrangian Gleichung
Zur Modellierung des Lato Latos werden die Euler-Lagrangian Gleichung genutzt. Diese lautet für einen Freiheitsgrad $$\theta(t)$$: \begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta(t)}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta(t)}=0 \end{equation} Dabei steht $$L$$ für den Lagrangian und ist als Different zwischen Kinetischer und Potentieller Energie definiert: $$L=T-V$$.
Bestimmung der Kinetischen Energie $$T$$
Zur Übersichtlichkeit wird im Folgenden mit $$\theta$$, $$\theta(t)$$ und mit $$p$$, $$p(t)$$ gemeint. Für die Kinetische Energie gilt: \begin{equation*} T = \frac{1}{2}mv(t)^2 \end{equation*} Um die Geschwindigkeit der Bälle zu bestimmen wird über die $$x-Position$$ $$x(t)$$ und die $$y-Position$$ $$y(t)$$ zeitlich abgeleitet. Man erhält: \begin{align*} \dot{x}(t) &= l\cos\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ \dot{y}(t) &= \dot{p} + l\sin\big(\theta\big)\dot{\theta} \end{align*} Da weiter $$v(t)^2=\dot{x}(t)^2+\dot{y}(t)^2$$ gilt, folgt für $$v(t)^2$$: \begin{align*} \dot{x}(t)^2 &= l^2\cos^2\big(\theta\big)\dot{\theta}^2\\ \dot{y}(t)^2 &= \dot{p}^2 + l^2\sin^2\big(\theta\big)\dot{\theta}^2 + 2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ v(t)^2 &= l^2\cos^2\big(\theta\big)\dot{\theta}^2+\dot{p}^2 + l^2\sin^2\big(\theta\big)\dot{\theta}^2 + 2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ &=l^2\dot{\theta}^2\left(cos^2\big(\theta\big)+sin^2\big(\theta\big)\right)+\dot{p}^2 +2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ &=l^2\dot{\theta}^2+\dot{p}^2 +2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\\ \end{align*} Somit gilt für $$T$$: \begin{equation*} T = \frac{1}{2}mv\left(l^2\dot{\theta}^2+\dot{p}^2 +2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\right) \end{equation*}
Bestimmung der Potentiellen Energie
Für die Potentielle Energie gilt: \begin{equation*} V = mgh \end{equation*} Da die Höhe der Bälle $$y(t)$$ entspricht, gilt: \begin{equation*} V = mg\left(p-\cos(\theta)l\right) \end{equation*}
Bestimmung des effektiven Lagrangians
Für den Lagrangian gilt: \begin{align*} L &= T-V\\ &=\frac{1}{2}mv\left(l^2\dot{\theta}^2+\dot{p}^2 +2l\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}\right)-mg\left(p-\cos(\theta)l\right)\\ &=\frac{1}{2}mvl^2\dot{\theta}^2+\frac{1}{2}mv\dot{p}^2 +mvl\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}-mgp+mg\cos(\theta)l \end{align*} Weiter wird der effektiver Lagrangian betrachtet welcher nur aus Termen besteht, die Abhängig vom Freiheitsgrad sind. Somit können alle Terme ohne $$\theta$$ und $$\dot{\theta}$$ beim effektiven Lagrangian gekürzt werden. \begin{align*} L_{eff} &=\frac{1}{2}mvl^2\dot{\theta}^2+mvl\dot{p}\sin\big(\theta\big)\dot{\theta}+mg\cos(\theta)l \end{align*}
Auswertung der Euler-Lagrange Gleichung
Anschließend kann der effektive Lagrangian in die Euler-Lagrange Gleichung eingesetzt werden: \begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L_{eff}}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial L_{eff}}{\partial \theta}=0 \end{equation} wobei für den effektiven Lagrangian zukünfitig $$L_{\theta}$$ gilt: \begin{align*} L_{\theta}:=L_{eff} = \underbrace{\tfrac12 m l^2 \dot\theta^2}_{L_1} + \underbrace{m l\,\dot p\,\sin\theta\,\dot\theta}_{L_2} + \underbrace{m g l\cos\theta}_{L_3} \\ \end{align*} Man leite $$L_{\theta}$$ partiell nach $$\dot\theta$$ ab, indem man die Summanden einzeln partiell nach $$\dot\theta$$ ableitet und addiert: \begin{align*} \frac{\partial L_{\theta}}{\partial \dot\theta} &= \frac{\partial L_1}{\partial \dot\theta} + \frac{\partial L_2}{\partial \dot\theta} + \frac{\partial L_3}{\partial \dot\theta}. \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial L_1}{\partial \dot\theta} = \frac{\partial}{\partial \dot\theta}\bigl(\tfrac12 m l^2 \dot\theta^2\bigr) = m l^2 \dot\theta,&& \frac{\partial L_2}{\partial \dot\theta} = \frac{\partial}{\partial \dot\theta}\bigl(m l\,\dot p\,\sin\theta\,\dot\theta\bigr) = m l\,\dot p\,\sin\theta,&& \frac{\partial L_3}{\partial \dot\theta} = \frac{\partial}{\partial \dot\theta}\bigl(m g l\cos\theta\bigr) = 0 \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial L_{\theta}}{\partial \dot\theta}= m l^2 \dot\theta+ m l\,\dot p\,\sin\theta \end{align*} Man leite nun nach der Zeit ab und erhalte: \begin{align*} \boxed{\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L_{\theta}}{\partial \dot{\theta}}\Bigr)= m l^2 \ddot\theta+ m l\Bigl(\ddot p\,\sin\theta + \dot p\,\cos\theta\,\dot\theta\Bigr)} \end{align*} Man leite $$L_{\theta}$$ partiell nach $$\theta$$ ab, indem man die Summanden einzeln partiell nach $$\theta$$ ableitet und addiert: \begin{align*} \frac{\partial L_{eff}}{\partial \theta} &= \frac{\partial L_1}{\partial \theta} + \frac{\partial L_2}{\partial \theta} + \frac{\partial L_3}{\partial \theta}. \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial L_1}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(\tfrac12 m l^2 \dot\theta^2\bigr) = 0,&& \frac{\partial L_2}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(m l\,\dot p\,\sin\theta\,\dot\theta\bigr) = m l\,\dot p\,\cos\theta\,\dot\theta,&& \frac{\partial L_3}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(m g l\cos\theta\bigr) = - m g l\sin\theta \end{align*} \begin{align*} \boxed{\frac{\partial L_{\theta}}{\partial \theta} = m l\,\dot p\,\cos\theta\,\dot\theta \;-\; m g l\sin\theta.} \end{align*}
Setzt man dies in die Euler Lagrange Gleichung ein, erhält man: \begin{align*} \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L_{\theta}}{\partial \dot{\theta}}\Bigr) - \frac{\partial L_{\theta}}{\partial \theta}=\Bigl[m l^2 \ddot\theta + m l\bigl(\ddot p\,\sin\theta + \dot p\,\cos\theta\,\dot\theta\bigr)\Bigr] - \Bigl[m l\,\dot p\,\cos\theta\,\dot\theta - m g l\sin\theta\Bigr] \\ &\quad=0. \end{align*} Die \(m l\,\dot p\,\cos\theta\,\dot\theta\)-Terme heben sich auf, sodass Folgendes gilt: \[ m l^2\ddot\theta + m l\,\ddot p\,\sin\theta + m g l\sin\theta = 0 \;\xrightarrow{\div ml}\; l\ddot\theta + \sin\theta\,( \ddot p + g ) = 0. \] Mit \(\ddot p = -a\omega^2\sin(\omega t+\alpha)\) folgt \[ \boxed{l\ddot{\theta}(t) + \sin\bigl(\theta\bigr)\bigl(g - a\omega^2\sin(\omega t+\alpha)\bigr) = 0.} \]
Kollisionsmodelierung
Bei der Kollision handelt es sich um eine nicht perfekt elastische Kollision. Somit kann durch folgende Gleichung die Geschwindigkeit direkt nach der Kollision $$t^+$$ unter Nutzung der Geschwindigkeit direkt vor der Kollision $$t^-$$ bestimmt werden: \begin{equation*} \dot{\theta}(t^+) = -\gamma\,\dot{\theta}(t^-) \end{equation*} Dabei ist $$\gamma$$ der Restetutionskoeffizient. Um zu bestimmen, wann eine Kollision passiert, werden die Winkel bestimmt, bei denen sich die Bälle unten berühren $$\theta_{min}$$ und bei welchem sie sich oben berühren $$\theta_{max}$$: \begin{align*} \theta_{min} &= \arcsin\!\frac{r}{l}\\ \theta_{max} &= \pi - \arcsin\!\frac{r}{l} \end{align*}
Anwendung der Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung ist nur numerisch lösbar und wird in der Sprache Julia wird mithilfe der Tsit5 Methode implementiert. Dort wird auch die Kollisionsbedingung und deren Effekt angewendet. Dabei werden für jede numerische Berechnung die Anfangsbedingungen: der Anfangswinkel und die Anfangswinkelgeschwindigkeit benötigt. Weiter wird auch ein Programm genutzt, welches stabile Zustände basierend auf der gerade vorgestellten numerischen Simulation findet. Besonderer Fokus wird auf das Finden des zweiten stabilen Zustands gelegt. Als Anfangsbedingungen für die Simulation wird dabei für den Anfangswinkel der maximale Auslenkungswinkel genutzt. Für die Anfangswinkelgeschwindigkeit wird 0 genutzt, da am Anfang als Auslenkungswinkel der maximale Winkel gegeben ist und somit die Bälle bei diesem Winkel in Stillstand sind. Iteriert man anschließend über mögliche Frequenzen, finden man schließlich eine Simulation bei der der maximale Winkel (nahezu) konstant bleibt.
Charakterisierung der Bewegungsmuster
Um das Verhalten des Pendels besser verstehen zu können, wird über ein Frequenzspektrum und ein Anfangsauslenkungsspektrum iteriert und für jede Kombination das Pendel simuliert. Nun wird aus den Auslenkungsdaten der Simulation die lokal maximalen Auslenkungen bestimmt (Maximalauslenkungen - Auslenkung, wo das Pendel kurzzeitig zum Stillstand kommt). Diese können nun in zwei verschiedenen Weisen visualisiert werden. Im ersten Diagramm wird die durchschnittliche Maximalauslenkung als Farbe dargestrellt (je heller desto größer). Weiter wird im zweiten Diagramm die Standardabweichung dieser Maximalauslenkungen analog farblich dargestellt.
Durchschnittlicher Maximalwinkel
Standardabweichung des Maximalwinkels
Beide Diagramme zeigen durch die Unterschiede auf kleinstem Raum im Auslenkungswinkel (genauer dem Durschschnitt oder Standardabweichung) die Komplexität der Bewegung. Das erste Diagramm zeigt dabei den Bereich in welchem eine doppelte Kollision möglich ist (Durchschnittlicher Maximalwinkel bei ca. 360°). Außerdem erkennt man auf der linken Seite eine farbige Linie. Dort ist eine höhere durchschnittliche Auslenkung im Vergleich zum Umfeld. Weiter wird das zweite Diagramm genutzt, um zu bestimmen, wo stabile Zustände vorkommen, indem die Standardabweichung von dem durchschnittlichen Wert betrachtet. Bei hoher Standardabweichung ist die Bewegung komplex und nicht stabil. IM Gegensatz dazu zeigt eine niedrige Standardabweichung eine stabile Bewegung. Die Standardabweichungen der Zustände, die im ersten Diagramm 'gelb' waren (hohe durchschnittliche Auslenkung) sind erst ab einer Frequenz von ca. ... niedrig genug, um eine stabile Bewegung zu ermöglich. Dies ist der 3.stabile Zustand und kann somit nur mit einer Frequenz über ca. ... erreicht werden. Dies erklärt wieso dieses Bewegungsmuster mit dem Aufbau nicht möglich war.
Experiment
Ein LEGO-basierter Oszillator wandelt die Motorrotation in eine lineare Pivot-Oszillation um. An diesem ist der Faden mit den Bällen befestigt. Zunächst wird per Hand versucht eine stabile Bewegung zu finden, indem man die Frequenz und Anfangsbedingungen variiert. Um diesen Prozess zu erleichtern wird eine Plexiglasplatte genutzt, die die Bewegung des Pendels auf eine Ebene reduziert. Anschließend wird die Frequenz schrittweise geändert, dabei ist die Änderung so klein, dass so weitere stabile Zustände erreicht werden. Dies wird fortgeführt bis das gesamte Frequenzspektrum abgearbeitet ist. Die Bewegung wird schließlich via Video-Tracking aufgezeichnet. (Anmerkung: während des manuellen Änderns der Frequenz wird das Video-Tracking gestoppt)
Ergebnisse
Tracking-Daten liefern Pivot- und Ballkoordinaten. Aus den Pivot-Daten werden ($$\omega$$, $$a$$, $$\alpha$$) bestimmt, aus den Ballkoordinaten die Auslenkungswinkel. Vergleiche mit Simulationen:
Die Ergebnisse bestätigen: Je kleiner die Kreisfrequenz, desto größer die Pendelperiode und der Maximalwinkel. Verschiedene Fadenlängen zeigen denselben Trend:
Helle Kurven stehen für längere Fäden. Mit zunehmender Fadenlänge sinkt die nötige Frequenz für einen gegebenen Maximalwinkel.
Ergebnisdiskussion
Leichte Asymmetrien zwischen Theorie und Experiment lassen sich durch folgende Fehlerquellen erklären:
Schwerpunkte der Bälle nicht exakt in der Mitte (Hakenmasse).
Fadenaufhängung um <1 mm verschoben.
Nachgiebigkeit des LEGO-Oszillators.
Video-Blur und Kompression bei Slow-Motion: ±2 px Unsicherheit.
Submillimetergenauigkeit im Tracking (Kantenerkennung).
Diese Fehler sind jedoch gering genug, um die Hauptaussagen nicht zu beeinträchtigen.
Fazit und Ausblick
Fazit
In dieser Arbeit wurde das Kinderspielzeug „Lato Lato“ theoretisch und experimentell untersucht. Ein Lagrange-Modell mit oszillierendem Pivot und nicht perfekten Kollisionen erklärt drei stabile Bewegungszustände. Numerische Simulationen und ein stabiler-Zustands-Algorithmus identifizierten insbesondere den zweiten stabilen Zustand. Experimentelle Messungen bestätigten die Vorhersagen: Bei sinkender Pivotfrequenz wächst der Maximalwinkel, bei längeren Fäden sinkt die benötigte Frequenz für denselben Winkel. Kleinere Abweichungen lassen sich durch systematische Versuchsfehler erklären.
Ausblick
Präzisere Messtechnik: Hochauflösende Kameras und verbesserte Tracking-Algorithmen reduzieren Messunsicherheiten weiter. Nutzung eines präziseren und steuerbaren Motors, sowie Nutzung eines Oszillatoren aus starrem Material wäre jedoch viel relevanter.
!!!Berechnung der Spannung im Faden um zu bestimmen ob er nicht gerade wäre
Modellerweiterung: Faden Modellieren und Untersuchen, ob Chaos vorliegt.
Weitere stabile Zustände: Experimentelle Analyse auch von Zustand 1 und 3.
Parametrische Studien: Systematische Variation von Ballradius, Restetutionskoeffizient und Pivot-Amplitude.
Anwendungen: Übertragung der Erkenntnisse auf gekoppelte Oszillatoren in der Robotik oder Schwingungstechnik.
