Teebeuteloszillator

Thema

Das Ziel meines Projektes war die Untersuchung des Effektes, bei welchem ein Teebeuteletikett beginnt sich wechselseitig ein- und auszudrehen, sobald es einem gleichmäßigen Luftstrom aussetzt wird. Dieser entsteht unter Anderem beim Herumtragen einer Teetasse. Es soll betrachtet werden, wie es zu diesem Phänomen kommt, wie die Bewegung beschrieben werden kann und von welchen Parametern sie abhängig ist.

Es wurde eine Reihe von verschiedenen Versuchen durchgeführt, wobei der Effekt sowohl an einem originalen Teebeuteletikett, als auch allgemeiner an einem vereinfachten Modellkörper (Abb. X) untersucht wurde, dessen Schnur aus nicht vorverdrilltem Nylon besteht.

Theoretischer Hintergrund

Zur Beschreibung der Drehung des Teebeutelschildchens in einem Luftstrom betrachte ich dieses als aerodynamisch angetriebenes Torsionspendel und die Aufhängeschnur als Torsionsfeder, welche um den Auslenkungswinkel mit einer Winkelgeschwindigkeit verdreht wird. Das Trägheitsmoment des Körpers stellt ebenfalls eine relevante Größe dar, die unten näher erläutert wird. Für das Torsionspendel ist bereits folgende Formel für die Periodendauer bekannt, mit welcher auch die Federsteifigkeit bestimmt werden konnte: (Vgl. [Tip24] S. 398)

$$T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D}}=\frac{2\pi}{\omega}$$ (1)

Generell gehe ich davon aus, dass wegen des auftreffenden Windes durch tangential wirkende Kräfte ein Drehmoment  entsteht und die Schnur als Torsionsfeder ein rückstellendes Drehmoment  auf das Teebeutelschildchen ausübt, welches proportional mit dem Torsionsswinkel der Schnur zunimmt. (Vgl. [Tip24] S. 398). Die allgemeine Gleichung für das Drehmoment um eine Achse lautet: (Vgl. [Tip24] S. 270)

$$M=F_{tangential}\cdot r$$ (2)

Für das Gegendrehmoment eines harmonischen Torsionspendels, gilt: (Vgl. [Tip24] S. 398)

$$M_{gegen}=-D\cdot\varphi$$ (3)

Dies trifft allerdings nur teilweise auf den untersuchten Effekt zu (siehe Abschnitt Experimente (Aufbau, Durchführung, Ergebnisse)).

Die allgemeine Gleichung für ein aerodynamisches Drehmoment lautet: (Vgl. [X])

$$M_{aero}=\frac{\rho}{2}\cdot v^2\cdot A\cdot c_M\cdot l $$ (4)

Konkrete Berechnungen zum Drehmoment wurden allerdings derzeit noch nicht durchgeführt. Wie genau es zur Entstehung des Drehmoments durch den Wind kommt, wird im Abschnitt Experimente (Aufbau, Durchführung, Ergebnisse)) untersucht werden.

Für Berechnungen und Herleitungen wurde mehrfach das berechnete Trägheitsmoment einiger Körper verwendet, jedoch auf die detaillierte Darstellung der Berechnung verzichtet. Das Trägheitsmoment  eines Körpers bezüglich einer Achse beschreibt den Widerstand, den er einer Veränderung seiner Drehbewegung um diese Achse entgegensetzt. (Vgl. [Tip24] S. 261). Hierfür wurden folgende Formeln verwendet: (Vgl. [Tip24] S. 262)

Für einen Zylinder gilt: $$J=\frac{1}{2}mr^2$$ (5)

Für einen Quader gilt: $$J=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)$$ (6)

Da es sich bei meinen Modellkörper um ein sehr dünnes Rechteck aus Pappe handelt und die Dicke  daher vernachlässigt werden kann, kann die für einen Quader geltende Gleichung zu folgender vereinfacht werden:

$$J=\frac{1}{12}mb^2$$ (7)

Der Druckbegriff ist für mein Projekt entscheidend. In der Strömungslehre wird die wirkende Normalkraft pro Fläche als Druck eines Fluids bezeichnet, es gilt also: (Vgl. [Fey15] S. 226)

(7)

.

Wichtig ist auch die Unterscheidung zwischen verschiedenen Druckbegriffen. Der statische (thermodynamische) Druck wird innerhalb eines Fluids auf dessen Seiten senkrecht zur Strömungsrichtung ausgeübt. Der dynamische Druck hingegen wird durch die Bewegung des Fluids ausgeübt und beschreibt dessen volumenbezogene kinetische Energie. Der dynamische Druck nimmt mit steigender Geschwindigkeit zu, während gleichzeitig der statische Druck abnimmt (Abb. 4). Der Schweredruck (hydrostatischer Druck) ist der Druck, welcher durch die auf das Fluid wirkenden Gewichtskraft entsteht. Als Totaldruck entlang einer Stromlinie bezeichnet man die Summe aus Schweredruck, dynamischem Druck und statischem Druck. Der Staudruck eines Fluids besitzt den gleichen Betrag wie der dynamische Druck. Jener beschreibt die Umwandlung von dynamischem in statischen Druck am Staupunkt, an dem die Staupunktstromlinie senkrecht auf eine Oberfläche trifft und die Strömungsgeschwindigkeit  wird (Abb. 5). Der statische Druck nimmt dort einen Maximalwert an und entspricht dem Totaldruck der Stromlinie, abzüglich des Schweredrucks. (Vgl. [Steph24] S. 146-149).

Dies ist ein wichtiger Bestandteil des Bernoulli-Prinzips (Abb. 4), welches zum Teil die Ursache der Drehbewegung erklären kann, auch wenn es in erster Linie für inkompressible und nichtviskose Fluide in stationärer und laminarer Strömung gilt. (Vgl. [Tip24] S. 356 und [Fey15] S. 232).

Mithilfe der Reynolds-Zahl kann das Strömungsverhalten um das Teebeuteletikett herum näherungsweise bestimmt werden: (Vgl. [Fey15] S. 253)

(8)

Dichte,
 Strömungsgeschwindigkeit,
 charakteristische Länge,
 dynamische Viskosität

,

wobei als Strömungsgeschwindigkeit meine durchschnittliche Gehgeschwindigkeit, sowie eine Lufttemperatur von 20°C angenommen wurde.

In diesem Fall liegt der Wert im Übergangsbereich zwischen turbulenter und laminarer Strömung. Das bedeutet, dass sich die Luft nicht wie eine laminare Strömung, die stationär entlang von in gleichmäßigen Schichten verlaufenden Stromlinien fließt (vgl. [Tip24] S. 362), verhält. Stattdessen bilden sich Wirbel und Querströmungen aus (vgl. [Tip24] S. 367 und [Eng19] S. 405). Laminare Strömungen treten in Gasen wie Luft nur bei langsamen Geschwindigkeiten auf (vgl. [StromJust]). Der Grundsatz des Bernoullischen Gesetzes, dass eine höhere Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids einen geringeren statischen Druck bedeutet, gilt jedoch auch hier (vgl. [Hoch21] S. 159-161 und [Tip24] S. 356f.). Die Bernoulli-Gleichung ist eine Formulierung der Energieerhaltung

statischer Druck,  Dichte,

Strömungsgeschwindigkeit,

Erdbeschleunigung, 
 Höhenlage entlang Stromlinie (vgl. [Fey15] S.233) und lautet: (Vgl. [Tip24] S. 357)

(9)

.

Es ergibt sich: (Vgl. [BerLer] und [DruckSup])

(10)

.

Der Schweredruck ist in sehr leichten Fluiden wie Luft allerdings kaum relevant, weshalb vereinfacht

(11)

geschrieben werden kann. Dass die Bedingungen für das Bernoulli-Prinzip nicht vollständig erfüllt sind, ist akzeptabel, da ich mich nur qualitativ darauf beziehe und noch keine Berechnungen vornehme.

Da mein Projekt mit einer annähernd turbulenten Luftströmung arbeitet, ist das Phänomen der Wirbelbildung von Bedeutung. In der Strömungslehre versteht man unter einem Wirbel eine Ansammlung von Fluidteilchen, welche um eine Achse rotieren. Aufgrund einer radial wirkenden Beschleunigung des Fluids nimmt der statische Druck entlang eines Druckgradienten zum Zentrum hin ab und ist dort geringer als der Umgebungsdruck. (Vgl. [Fey15] S. 239f.). Größere Wirbel rotieren häufig langsamer und erzeugen daher auch einen geringeren Unterdruck als kleinere Wirbel. (Vgl. [WirbSpek]).

Zum Verständnis wichtig ist auch die Grenzschicht zwischen einer Oberfläche und der freien Strömung. Auf Grund des Reibungswiderstandes zwischen der Oberfläche und dem strömenden Medium beträgt die Strömungsgeschwindigkeit relativ zur Oberfläche direkt an der Oberfläche . Mit der nach außen hin abnehmenden Reibung nimmt die Geschwindigkeit zu, bis die freie Strömung erreicht und praktisch keine Reibung mehr vorhanden ist. (Vgl. [Eng19] S. 404f.).

Wirbel entstehen unter anderem durch die Drehimpulserhaltung, Scherströmungen und die Ablösung der Grenzschicht an einer Kante (Abb. 6), an welcher der Strömungsverlauf nicht mehr der Form des Körpers folgen kann und sich ein verwirbelter Bereich bildet. Dieser wird Nachlauf, Totenraum oder Ablöseblase genannt. (Vgl. [Mesch15] S. 120f., 126f. und [Steph24] S. 125f.).

Ab einer Reynolds-Zahl von  kann hinter einem Körper eine energetisch günstige, wechselseitige, periodische Wirbelablösung auftreten, die Kármánsche Wirbelstraße (Abb. 7). Die Wirbel strömen mit dem Fluid davon und bewirken dabei die Ausbildung eines neuen Wirbels auf der anderen Seite. (Vgl. [Fey15] S. 255f.).

Somit bilden neben dem Torsionspendel, den Drehmomenten, dem Trägheitsmoment und der harmonischen Oszillation auch das Bernoulli-Prinzip, die Reynolds-Zahl sowie die Grenzschichtablösung, die Bildung von Wirbeln und die Kármánsche Wirbelstraße den theoretischen Hintergrund meiner Arbeit.

Experimente (Aufbau, Durchführung, Ergebnisse)

Beschreibung der Bewegung

Um den Effekt der Drehung besser verstehen und beschreiben zu können, sollte die Hypothese sowohl einer periodischen Oszillation des Teebeuteletiketts als Torsionspendel, als auch einer chaotisch wirkenden horizontalen Bewegung des Gesamtkörpers anhand des Originaletiketts und des Modellkörpers überprüft werden.

Aufbau

Methode

Um das wechselseitige Ein- und Ausdrehen bei dem Modellkörper hervorzurufen, wurde ein Ventilator mit einem Windkanal verwendet (Abb. X). Für die Untersuchung des originalen Etiketts habe ich mit LEGO MINDSTORMS einen Aufbau entwickelt, welcher das Bewegen des Teebeuteletiketts durch eine ruhende Luftschicht beim Herumtragen einer Teetasse und die so entstehende laminare Anströmung simuliert. Gefilmt wurden die Körperunterseiten mit einer Handykamera (200 fps). Die dort zur Markierung des Winkelscheitelpunktes (blau) und eines Schenkels (rot) angebrachten farbigen Punkte (Abb. 18) konnten anschließend in der Software „Tracker–Video Analysis and Modeling Tool“ (vgl. [Tracker]) verfolgt werden (Abb. 19). Für die Untersuchung der Drehung wurde ein anderes Video verwendet als für die der horizontalen Bewegung.

Ergebnisse

Das Diagramm (Abb. 20) stellt den Torsionswinkel φ der Nylonschnur im Gradmaß im Verlauf der Zeit in Sekunden dar. Die Länge beträgt in diesem Fall . Die blauen Punkte zeigen die originalen Daten, die vom Winkelmesser in Tracker aufgenommen wurden. Nun lässt sich eine näherungsweise periodische Kurve erkennen, die sich durch die in rot dargestellte Sinusfunktion modellieren lässt, wobei die Abweichungen vermutlich aus Imperfektionen im Windkanal resultieren. Die Kurve dient der Erkenntnis, dass es sich um eine annähernd harmonische Oszillation handelt, was meine Vermutung eines periodischen Vorgangs bestätigt. Die Näherungsfunktion besitzt folgende Funktionsgleichung:

(12)

.

Der Graph basiert auf der Mitte der Bewegungssequenz, da sich das Torsionspendel nach Einschalten des Luftstroms zunächst nur abwechselnd in beide Richtungen dreht, ohne dass eine volle Umdrehung zustande kommt. Die Auslenkung verstärkt sich, bis die annähernd harmonische Oszillation einsetzt.

Aus dem Diagramm (Abb. 20) lassen sich weitere Informationen über die Drehung entnehmen. Die relevanten Größen verdeutlicht Abbildung 21. So hat der Graph beispielsweise immer dort ein Extremum, wo sich die Richtung der Drehung ändert. Dies verdeutlicht auch, dass die hier relevante Winkelgeschwindigkeit  nicht konstant ist. Die Winkelgeschwindigkeit  wäre in diesem Fall die Ableitung der obigen Funktion nach der Zeit. Diese nimmt nach anfänglicher Beschleunigung auf Grund des proportional zu φ zunehmenden Gegendrehmoments  der Torsionsfeder (3) immer weiter ab, bis der Punkt erreicht ist, an dem  ist. Dort überwiegt das Gegendrehmoment  das Drehmoment  des Windes und die Drehrichtung kehrt sich um, wobei es zunächst wieder zu einer Beschleunigung kommt. Wenn  am Wendepunkt maximal ist, ist auch der Punkt erreicht, an dem die Torsionsfeder (die Teebeutel-/Nylonschnur) vollständig entdreht ist. Durch das Trägheitsmoment  des Körpers wird die Drehung über diesen Punkt hinweg weiter ausgeführt, sodass es zu einem erneuten Eindrehen der Schnur kommt und der Vorgang sich wiederholt.

Der Wind bewirkt dabei durch das stetige Hervorrufen eines Drehmoments , dass keine gedämpfte Oszillation auftritt, d. h., dass die Amplitude konstant bleibt und sich die Schnur immer wieder erneut verdreht.

Neben der oszillierenden Drehbewegung führt das Teebeutelfähnchen auch eine Schwingung auf horizontaler Ebene aus, die als Pfad von Punktmasse A während einer Zeit von 12 Sekunden dargestellt ist (Abb. 22). Wie hier zu sehen ist, handelt es sich bei der Bewegung des gesamten Pappstückchens anders als bei der Torsionsbewegung nicht um einen periodischen Vorgang, da die Bahn einen unregelmäßigen Verlauf zeigt. Es ist zwar eine Abfolge ellipsenähnlicher Bahnen zu erkennen, diese fallen jedoch sehr unterschiedlich groß und unregelmäßig aus. Außerdem sind sowohl Zacken als auch kleinere Bewegungssequenzen zu beobachten.

Zusammengefasst lässt sich die horizontale Bewegung des Modellkörpers daher als nicht periodisch und stark ungleichmäßig beschreiben. Die Untersuchung der zugrundeliegenden physikalischen Ursachen ist eins meiner zukünftigen Ziele. Vermutlich liegen jene aber in der Überlagerung mehrerer Einflussfaktoren wie beispielsweise Unregelmäßigkeiten im Luftstrom und dessen Angriffsfläche.

3.4. Experiment zur Periodendauer

Um den Zusammenhang zwischen der Periodendauer  des Ein- und Ausdrehens eines Drehfederpendels, wie mein Teebeutelschildchen eines ist, und der Länge  der Aufhängungsschnur festzustellen, habe ich mehrere Messungen der Periodendauer für verschiedene Längen an einem zylindrischen Probekörper vorgenommen.

Aufbau

Für den Probekörper: Trägheitsmoment , Masse , Radius

Methode

Zur Messung der Periodendauer für verschiedene Längen der stets verwendeten Nylonschnur, habe ich den Zylinder zunächst manuell eingedreht, ihn losgelassen und die Periodendauer, d. h. die benötigte Zeit für ein Aus- und ein erneutes Eindrehen der Schnur, mit einer Stoppuhr gemessen. Die Messung wurde jeweils mehrfach durchgeführt und der Mittelwert sowie die Standardabweichung der Einzelwerte gebildet (Abb. 24, nächste S.).

Ergebnisse

Auf Hinweis meines Betreuers hin habe ich angenommen, dass für die Periodendauer  eine Gleichung der Form

(13)

gilt, weshalb ich für die im Folgenden beschriebene Auswertung der Messdaten diese logarithmiert habe (Abb. 25). Wendet man nun die Logarithmengesetze an, erhält man eine Gleichung (14) ähnlich der Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Im Sinne der Übersichtlichkeit wird hier die Schreibweise  und  anstelle der mathematisch korrekten Form  und  verwendet.

(14)

Stellt man die zuvor gemessen Werte in einem doppelt-logarithmischen Diagramm dar (Abb. 25), so hat deren Ausgleichsfunktion folgende Gleichung:

(15)

.

Es kann bei der Steigung der Ausgleichsgeraden von einem Wert von 0,5 ausgegangen werden, da theoretisch eine Wurzelabhängigkeit zu erwarten ist und die Abweichung vermutlich auf Messungenauigkeiten basiert.

Aus der erhaltenen Funktionsgleichung (15) lässt sich Folgendes ableiten:

(16)

.

Nun werden noch die Einheiten zu (16) hinzugefügt, welche zuvor im Sinne des mathematisch korrekten einheitslosen Logarithmierens entfernt wurden. Um Sekunden  als Einheit zu erhalten, liegt Folgendes nahe:

(17)

.

Diese Gleichung (17) für  gilt für alle Längen der verwendeten Nylonschnur, jedoch nicht für alle Massen und auch nicht für den Modellkörper des Teebeuteletiketts, da das Trägheitsmoment einer jeden Masse verschieden ist und sich für den körperspezifischen Vorfaktor  so ein anderer Wert ergeben würde. Allgemein lässt sich daher für die Periodendauer  für diese Nylonschnur in Abhängigkeit von der Länge   die Gleichung

(18)

aufstellen. Diese lässt auf eine längere Periodendauer  für eine größere Schnurlänge  schließen. Es gilt:

(19)

.

Mit den Ergebnissen für den Probezylinder war es möglich, eine allgemeine Formel für die Federsteifigkeit  dieser Nylonschnur in Abhängigkeit von ihrer Länge  zu finden, welche mir später auch helfen wird, den Wert von  für meinen Modellkörper und dessen Periodendauer  zu berechnen.

3.5. Bestimmung Federsteifigkeit  und Anschluss an Experiment zur Periodendauer

Methode

Da sich aus dem vorherigen Abschnitt für den zylindrischen Probekörper die Formel für die Periodendauer  in Abhängigkeit von der Länge  (17) ergibt, ist es nun möglich, einen allgemeinen Zusammenhang für die Federsteifigkeit der verwendeten Nylonschnur in Abhängigkeit von ihrer Länge zu bestimmen.

Hieraus folgend kann auch die Formel für die Periodendauer  (18) auf den Modellkörper angepasst werden.

Ergebnisse Federsteifigkeit

Aus der Theorie für ein Torsionspendel geht für den Zusammenhang von Periodendauer , Trägheitsmoment  und Federsteifigkeit  die Gleichung (1) hervor, welche umgestellt nach der Federsteifigkeit  folgendes ergibt:

(20)

.

In diese Gleichung können nun die eben erhaltene Gleichung (17) und das für den Zylinder berechnete Trägheitsmoment  eingesetzt werden:

(21)

,

was sich zu folgender Gleichung zusammenfassen lässt, welche für die Federsteifigkeit dieser speziellen Nylonschnur als Torsionsfeder gilt, unabhängig von der angehängten Masse:

(22)

.

Die massenunabhängige Gültigkeit von Gleichung (22) ergibt sich, da der Quotient aus dem Trägheitsmoment  einer Masse multipliziert mit  und dem für jenes spezifischen Faktor  immer näherungsweise die Konstante  ergeben wird. Somit lässt sich allgemein schreiben:

.

(23)

Für die Federsteifigkeit  der Nylonschnur in Abhängigkeit von ihrer Länge gilt der Zusammenhang

.

(24)

Ergebnisse Periodendauer  für den Modellkörper

Nun soll noch die Formel (18) für die Periodendauer  auf den Modellkörper, das Papprechteck, angepasst werden, indem Faktor a bestimmt wird. Dazu habe ich Gleichung (23) nach  umgestellt:

(25)

.

Für den Modellkörper konnte ein Trägheitsmoment von  berechnet werden, welches eingesetzt in Gleichung (24) das Ergebnis  liefert. Somit gilt für mein Modell:

(26)

.

Aus Gleichung (26) oder indem man Gleichung (22) und das berechnete Trägheitsmoment , sowie die Länge  in Gleichung (1) einsetzt, erhält man für den Modellaufbau eine Periodendauer von . Beim Vergleich mit dem durchschnittlich gemessenen Wert  von Abbildung 20 tritt eine Abweichung von ca.  auf. Diese ist aber durch Messfehler und vereinfachte Annahmen erklärbar, da das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz (vgl. [Mesch15] S. 9) im betrachteten Fall eine Unsicherheit von  für die Periodendauer vorhersagt.

Verwendete Formelzeichen

$$A$$ Fläche

$$c_M$$ Momentbeiwert

$$D$$ Federsteifigkeit

$$F$$ Kraft

$$g$$ Ortsfaktor

$$J$$ Trägheitsmoment

$$l$$ Länge

$$L$$ charakteristische Länge

$$p$$ statischer Druck

$$r$$ Radius

$$T$$ Periodendauer

$$v$$ Strömungsgeschwindigkeit

$$\eta$$ dynamische Viskosität

$$\rho$$ Dichte

$$\varphi$$ Auslenkungs-/Torsionswinkel

$$\omega$$ Winkelgeschwindigkeit

Fazit

Eine kurze Zusammenfassung eurer Erkenntnisse.

Erfolge

Jugend Forscht: Regional- und Landessieg (Physik), Teilnahme am Bundeswettbewerb 2026

Quellen

Eure wichtigsten verwendeten Quellen mit Verweisen im Text!