Teebeuteloszillator
Thema
Das Ziel meines Projektes war die Untersuchung des Effektes, bei welchem ein Teebeuteletikett beginnt sich wechselseitig ein- und auszudrehen, sobald es einem gleichmäßigen Luftstrom aussetzt wird. Dieser entsteht unter Anderem beim Herumtragen einer Teetasse. Es soll betrachtet werden, wie es zu diesem Phänomen kommt, wie die Bewegung beschrieben werden kann und von welchen Faktoren sie abhängig ist. Zu den relevanten Parametern gehören die Windgeschwindigkeit, die Länge der Schnur, deren Federsteifigkeit, das Trägheitsmoment und die Masse des Etiketts.
Es wurde eine Reihe von verschiedenen Versuchen durchgeführt, wobei der Effekt sowohl an einem originalen Teebeuteletikett, als auch allgemeiner an einem vereinfachten Modellkörper, bestehend aus einem Papprechteck, untersucht wurde, dessen Schnur aus nicht vorverdrilltem Nylon besteht.
Theoretischer Hintergrund
Zur Beschreibung der Drehung des Teebeutelschildchens in einem Luftstrom betrachte ich dieses als aerodynamisch angetriebenes Torsionspendel und die Aufhängeschnur als Torsionsfeder, welche um den Auslenkungswinkel mit einer Winkelgeschwindigkeit verdreht wird. Das Trägheitsmoment des Körpers stellt ebenfalls eine relevante Größe dar, die unten näher erläutert wird. Für das Torsionspendel ist bereits folgende Formel für die Periodendauer bekannt, mit welcher auch die Federsteifigkeit bestimmt werden konnte: (Vgl. [Tip24] S. 398)
$$T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D}}=\frac{2\pi}{\omega}$$ (1)
Generell gehe ich davon aus, dass wegen des auftreffenden Windes durch tangential wirkende Kräfte ein Drehmoment entsteht und die Schnur als Torsionsfeder ein rückstellendes Drehmoment auf das Teebeutelschildchen ausübt, welches proportional mit dem Torsionsswinkel der Schnur zunimmt. (Vgl. [Tip24] S. 398). Die allgemeine Gleichung für das Drehmoment um eine Achse lautet: (Vgl. [Tip24] S. 270)
$$M=F_{tangential}\cdot r$$. (2)
Für das Gegendrehmoment eines harmonischen Torsionspendels, gilt: (Vgl. [Tip24] S. 398)
$$M_{gegen}=-D\cdot\varphi$$. (3)
Dies trifft allerdings nur teilweise auf den untersuchten Effekt zu (siehe Abschnitt Experimente (Aufbau, Methode, Ergebnisse)).
Die allgemeine Gleichung für ein aerodynamisches Drehmoment lautet: (Vgl. [AeroDreh])
$$M_{aero}=\frac{\rho}{2}\cdot v^2\cdot A\cdot c_M\cdot l $$. (4)
Konkrete Berechnungen zum Drehmoment wurden allerdings derzeit noch nicht durchgeführt. Wie genau es zur Entstehung des Drehmoments durch den Wind kommt, wird im Abschnitt Experimente (Aufbau, Methode, Ergebnisse)) untersucht werden.
Für Berechnungen und Herleitungen wurde mehrfach das berechnete Trägheitsmoment einiger Körper verwendet, jedoch auf die detaillierte Darstellung der Berechnung verzichtet. Das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer Achse beschreibt den Widerstand, den er einer Veränderung seiner Drehbewegung um diese Achse entgegensetzt. (Vgl. [Tip24] S. 261). Hierfür wurden folgende Formeln verwendet: (Vgl. [Tip24] S. 262)
Für einen Zylinder gilt: $$J=\frac{1}{2}mr^2$$. (5)
Für einen Quader gilt: $$J=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)$$. (6)
Da es sich bei meinen Modellkörper um ein sehr dünnes Rechteck aus Pappe handelt und die Dicke daher vernachlässigt werden kann, kann die für einen Quader geltende Gleichung zu folgender vereinfacht werden:
$$J=\frac{1}{12}mb^2$$. (7)
Der Druckbegriff ist für mein Projekt entscheidend. In der Strömungslehre wird die wirkende Normalkraft pro Fläche als Druck eines Fluids bezeichnet, es gilt also: (Vgl. [Fey15] S. 226)
$$p=\frac{F_n}{A}$$. (8)
Wichtig ist auch die Unterscheidung zwischen verschiedenen Druckbegriffen. Der statische (thermodynamische) Druck wird innerhalb eines Fluids auf dessen Seiten senkrecht zur Strömungsrichtung ausgeübt. Der dynamische Druck hingegen wird durch die Bewegung des Fluids ausgeübt und beschreibt dessen volumenbezogene kinetische Energie. Der dynamische Druck nimmt mit steigender Geschwindigkeit zu, während gleichzeitig der statische Druck abnimmt (Abb. X). Der Schweredruck (hydrostatischer Druck) ist der Druck, welcher durch die auf das Fluid wirkenden Gewichtskraft entsteht. Als Totaldruck entlang einer Stromlinie bezeichnet man die Summe aus Schweredruck, dynamischem Druck und statischem Druck. Der Staudruck eines Fluids besitzt den gleichen Betrag wie der dynamische Druck. Jener beschreibt die Umwandlung von dynamischem in statischen Druck am Staupunkt, an dem die Staupunktstromlinie senkrecht auf eine Oberfläche trifft und die Strömungsgeschwindigkeit $$v=0$$ wird. Der statische Druck nimmt dort einen Maximalwert an und entspricht dem Totaldruck der Stromlinie, abzüglich des Schweredrucks. (Vgl. [Steph24] S. 146-149).
Dies ist ein wichtiger Bestandteil des Bernoulli-Prinzips (Abb. 4), welches zum Teil die Ursache der Drehbewegung erklären kann, auch wenn es in erster Linie für inkompressible und nichtviskose Fluide in stationärer und laminarer Strömung gilt. (Vgl. [Tip24] S. 356 und [Fey15] S. 232).
Mithilfe der Reynolds-Zahl kann das Strömungsverhalten um das Teebeuteletikett herum näherungsweise bestimmt werden: (Vgl. [Fey15] S. 253)
$$Re=\frac{\rho\cdot v\cdot L}{\eta}=\frac{1,204\frac{kg}{m^3}\cdot 1,1\frac{m}{s}\cdot 0,03m}{1,81\cdot 10^{-5}Pa\cdot s}\approx 2.200$$, (9)
wobei als Strömungsgeschwindigkeit meine durchschnittliche Gehgeschwindigkeit, sowie eine Lufttemperatur von 20°C angenommen wurde.
In diesem Fall liegt der Wert im Übergangsbereich zwischen turbulenter und laminarer Strömung. Das bedeutet, dass sich die Luft nicht wie eine laminare Strömung, die stationär entlang von in gleichmäßigen Schichten verlaufenden Stromlinien fließt (vgl. [Tip24] S. 362), verhält. Stattdessen bilden sich Wirbel und Querströmungen aus (vgl. [Tip24] S. 367 und [Eng19] S. 405). Laminare Strömungen treten in Gasen wie Luft nur bei langsamen Geschwindigkeiten auf (vgl. [StromJust]). Der Grundsatz des Bernoullischen Gesetzes, dass eine höhere Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids einen geringeren statischen Druck bedeutet, gilt jedoch auch hier (vgl. [Hoch21] S. 159-161 und [Tip24] S. 356f.). Die Bernoulli-Gleichung ist eine Formulierung der Energieerhaltung (vgl. [Fey15] S.233) und lautet: (Vgl. [Tip24] S. 357)
$$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=konstant\,(Stromlinie)$$. (10)
Es ergibt sich: (Vgl. [BerLer] und [DruckSup])
$$p_{statisch}+p_{dynamisch}+p_{Schwere}=konstant\,(Stromlinie)$$. (11)
Der Schweredruck ist in sehr leichten Fluiden wie Luft allerdings kaum relevant, weshalb vereinfacht
$$p_{statisch}+p_{dynamisch}=konstant\,(Stromlinie)$$. (12)
geschrieben werden kann. Dass die Bedingungen für das Bernoulli-Prinzip nicht vollständig erfüllt sind, ist akzeptabel, da ich mich nur qualitativ darauf beziehe und noch keine Berechnungen vornehme.
Da mein Projekt mit einer annähernd turbulenten Luftströmung arbeitet, ist das Phänomen der Wirbelbildung von Bedeutung. In der Strömungslehre versteht man unter einem Wirbel eine Ansammlung von Fluidteilchen, welche um eine Achse rotieren. Aufgrund einer radial wirkenden Beschleunigung des Fluids nimmt der statische Druck entlang eines Druckgradienten zum Zentrum hin ab und ist dort geringer als der Umgebungsdruck. (Vgl. [Fey15] S. 239f.). Größere Wirbel rotieren häufig langsamer und erzeugen daher auch einen geringeren Unterdruck als kleinere Wirbel. (Vgl. [WirbSpek]).
Zum Verständnis wichtig ist auch die Grenzschicht zwischen einer Oberfläche und der freien Strömung. Auf Grund des Reibungswiderstandes zwischen der Oberfläche und dem strömenden Medium beträgt die Strömungsgeschwindigkeit relativ zur Oberfläche direkt an der Oberfläche . Mit der nach außen hin abnehmenden Reibung nimmt die Geschwindigkeit zu, bis die freie Strömung erreicht und praktisch keine Reibung mehr vorhanden ist. (Vgl. [Eng19] S. 404f.).
Wirbel entstehen unter anderem durch die Drehimpulserhaltung, Scherströmungen und die Ablösung der Grenzschicht an einer Kante (Abb. 6), an welcher der Strömungsverlauf nicht mehr der Form des Körpers folgen kann und sich ein verwirbelter Bereich bildet. Dieser wird Nachlauf, Totenraum oder Ablöseblase genannt. (Vgl. [Mesch15] S. 120f., 126f. und [Steph24] S. 125f.).
Ab einer Reynolds-Zahl von $$Re>40$$ kann hinter einem Körper eine energetisch günstige, wechselseitige, periodische Wirbelablösung auftreten, die Kármánsche Wirbelstraße (Abb. 7). Die Wirbel strömen mit dem Fluid davon und bewirken dabei die Ausbildung eines neuen Wirbels auf der anderen Seite. (Vgl. [Fey15] S. 255f.).
Somit bilden neben dem Torsionspendel, den Drehmomenten, dem Trägheitsmoment und der harmonischen Oszillation auch das Bernoulli-Prinzip, die Reynolds-Zahl sowie die Grenzschichtablösung, die Bildung von Wirbeln und die Kármánsche Wirbelstraße den theoretischen Hintergrund meiner Arbeit.
Experimente (Aufbau, Methode, Ergebnisse)
Beschreibung der Bewegung
Um den Effekt der Drehung besser verstehen und beschreiben zu können, sollte die Hypothese sowohl einer periodischen Oszillation des Teebeuteletiketts als Torsionspendel, als auch einer chaotisch wirkenden horizontalen Bewegung des Gesamtkörpers anhand des Originaletiketts und des Modellkörpers überprüft werden.
Aufbau
Methode
Um das wechselseitige Ein- und Ausdrehen bei dem Modellkörper hervorzurufen, wurde ein Ventilator mit einem improvisierten Windkanal verwendet (Abb. X). Für die Untersuchung des originalen Etiketts habe ich mit LEGO MINDSTORMS einen drehbaren Aufbau entwickelt, welcher das Bewegen des Teebeuteletiketts durch eine ruhende Luftschicht beim Herumtragen einer Teetasse und die so entstehende laminare Anströmung simuliert. Gefilmt wurden die Körperunterseiten mit einer Handykamera (200 fps). Die dort zur Markierung des Winkelscheitelpunktes (blau) und eines Schenkels (rot) angebrachten farbigen Punkte (Abb. 18) konnten anschließend in der Software „Tracker–Video Analysis and Modeling Tool“ (vgl. [Tracker]) verfolgt werden (Abb. 19). Für die Untersuchung der Drehung wurde ein anderes Video verwendet als für die der horizontalen Bewegung.
Ergebnisse
In den Diagrammen (Abb. X und X) ist der Torsionswinkel der jeweiligen Schnur im Gradmaß im Verlauf der Zeit in Sekunden dargestellt. Nun lässt sich in beiden Fällen eine näherungsweise periodische Kurve erkennen, die sich durch die in rot dargestellten Sinusfunktionen modellieren lässt, wobei die Unregelmäßigkeiten in der Periodendauer des Modellkörpers vermutlich aus Imperfektionen im Windkanal resultieren. Die Kurve dient der Erkenntnis, dass es sich um eine annähernd periodische Oszillation handelt, was die zu überprüfende Hypothese bestätigt. Die Näherungsfunktion für den Modellkörper besitzt folgende Funktionsgleichung:
$$φ(t)=\hatφ\cdot sin\left(\frac{2π}{T}(t-t_0)\right)+\barφ=161,24^\circ\cdot sin\left(4,83s^{-1}(t+0,23s)\right)$$. (13)
Betrachtet man den Torsionswinkelverlauf für das Originaletikett, so ist auffällig, dass die realen Messdaten eine höhere Am
plitude aufweisen als die Näherungsfunktion. Dies ist vermutlich durch die extrem geringe Federsteifigkeit von dessen Schnur zu erklären, welche zu Beginn der Drehung vernächlässigbar sein könnte. Dies führt zu dem zunächst annähernd linear verlaufenden Anstieg des Torsionswinkels, welcher erst nach einiger Zeit in eine Sinuskurve übergeht. Der Modellkörper scheint auf Grund der steifen Nylonschnur jedoch annähernd harmonisch zu oszillieren.
Die Graphen basieren jeweils auf der Mitte der Bewegungssequenz, da sich das Torsionspendel nach Einschalten des Luftstroms zunächst nur abwechselnd in beide Richtungen dreht, ohne dass eine volle Umdrehung zustande kommt. Die Auslenkung verstärkt sich, bis die annähernd periodische Oszillation einsetzt.
Aus dem Diagramm (Abb. 20) lassen sich weitere Informationen über die Drehung entnehmen. Die relevanten Größen verdeutlicht Abbildung 21. So hat der Graph beispielsweise immer dort ein Extremum, wo sich die Richtung der Drehung ändert. Dies verdeutlicht auch, dass die Winkelgeschwindigkeit nicht konstant ist. Diese wäre im Fall des Modellkörpers die Ableitung der obigen Funktion nach der Zeit. Diese nimmt nach anfänglicher Beschleunigung auf Grund des (für den Modellkörper) proportional zu φ zunehmenden Gegendrehmoments der Torsionsfeder (3) immer weiter ab, bis der Punkt erreicht ist, an dem ist. Dort überwiegt das Gegendrehmoment das Drehmoment des Windes und die Drehrichtung kehrt sich um, wobei es zunächst wieder zu einer Beschleunigung kommt. Wenn am Wendepunkt maximal ist, ist auch der Punkt erreicht, an dem die Torsionsfeder (die Teebeutel-/Nylonschnur) vollständig entdreht ist. Durch das Trägheitsmoment des Körpers wird die Drehung über diesen Punkt hinweg weiter ausgeführt, sodass es zu einem erneuten Eindrehen der Schnur kommt und der Vorgang sich wiederholt. Die Amplitude nach dem Wendepunkt ist im Falle der Originalschnur nicht symmetrisch, da sie wegen ihrer Vorverdrillung zwei stark verschiedene Werte für die Federsteifigkeit aufweist.
Der Wind bewirkt dabei durch das stetige Hervorrufen eines Drehmoments , dass keine gedämpfte Oszillation auftritt, d. h., dass die Amplitude annähernd konstant bleibt und sich die Schnur immer wieder erneut verdreht.
Neben der oszillierenden Drehbewegung führt das Teebeutelfähnchen auch eine Schwingung auf horizontaler Ebene aus, die als Pfad von Punktmasse A für den Modellkörper während einer Zeit von 12 Sekunden dargestellt ist (Abb. 22). Wie hier zu sehen ist, handelt es sich bei der Bewegung des gesamten Pappstückchens anders als bei der Torsionsbewegung nicht um einen periodischen Vorgang, da die Bahn einen unregelmäßigen Verlauf zeigt. Es ist zwar eine Abfolge ellipsenähnlicher Bahnen zu erkennen, diese fallen jedoch sehr unterschiedlich groß und unregelmäßig aus. Außerdem sind sowohl Zacken als auch kleinere Bewegungssequenzen zu beobachten.
Zusammengefasst lässt sich die horizontale Bewegung des Modellkörpers daher als nicht periodisch und stark ungleichmäßig beschreiben. Vermutlich liegen jene aber in der Überlagerung mehrerer Einflussfaktoren wie beispielsweise Unregelmäßigkeiten im Luftstrom und dessen Angriffsfläche. Dieses Phänomen hat allerdings nicht den Schwepunkt meiners Projektes gebildet.
Experiment zur Periodendauer
Um anhand des Modellkörpers den Zusammenhang zwischen der Periodendauer dies aerodynamisch angetriebenen Torsionspendels und der Länge der Aufhängungsschnur festzustellen und zu überprüfen, ob Gleichung (1) auch auf jenes zutrifft, habe ich mehrere Messungen der Periodendauer für verschiedene Längen an einem zylindrischen Probekörper vorgenommen.
Aufbau
Für den Probekörper: Trägheitsmoment $$J=6,05\cdot 10^{-6}kgm^2$$, Masse $$m=0,1kg$$, Radius $$r=0,011m$$
Methode
Zur Messung der Periodendauer für verschiedene Längen der für den Modellkörper verwendeten Nylonschnur, habe ich den Zylinder zunächst manuell eingedreht, ihn losgelassen und die Periodendauer, d. h. die benötigte Zeit für ein Aus- und ein erneutes Eindrehen der Schnur, mit einer Stoppuhr gemessen. Die Messung wurde jeweils mehrfach durchgeführt und der Mittelwert sowie die Standardabweichung der Einzelwerte gebildet (Abb. 24, nächste S.).
Ergebnisse
Auf Hinweis meines Betreuers hin habe ich angenommen, dass für die Periodendauer eine Gleichung der Form
$$T=a\cdot l^x$$ (X)
gilt, weshalb ich für die im Folgenden beschriebene Auswertung der Messdaten diese logarithmiert habe (Abb. 25). Wendet man nun die Logarithmengesetze an, erhält man eine Gleichung (14) ähnlich der Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Im Sinne der Übersichtlichkeit wird hier die Schreibweise $$\log_{10}(l)$$ und $$\log_{10}(T)$$ anstelle der mathematisch korrekten Form $$\log_{10}(\frac{l}{1m})$$ und $$\log_{10}(\frac{T}{1s})$$ verwendet.
$$T=a\cdot l^x \mid \log_{10}(\cdot)$$
$$\log_{10}(T)=\log_{10}(a\cdot l^x)$$
$$\log_{10}(T)=\log_{10}(a)+x\cdot \log_{10}(l)$$. (X)
Stellt man die zuvor gemessen Werte in einem doppelt-logarithmischen Diagramm dar (Abb. 25), so hat deren Ausgleichsfunktion folgende Gleichung:
$$f(x)=0,46x+1,36$$. (X)
Es kann bei der Steigung der Ausgleichsgeraden von einem Wert von 0,5 ausgegangen werden, da theoretisch eine Wurzelabhängigkeit zu erwarten ist und die Abweichung vermutlich auf Messungenauigkeiten basiert.
Aus der erhaltenen Funktionsgleichung (15) lässt sich Folgendes ableiten:
$$\log_{10}(T)=0,5\cdot \log_{10}(l)+1,36$$
$$\log_{10}(T)=\log_{10}(l^{0,5})+\log_{10}(10^{1,36})$$
$$\log_{10}(T)=\log_{10}(l^{0,5}\cdot 10^{1,36})$$
$$10^{\log_{10}(T)}=l^{0,5}\cdot 10^{1,36}$$
$$T\approx 22,91\cdot\sqrt{l}$$. (X)
Nun werden noch die Einheiten zu (16) hinzugefügt, welche zuvor im Sinne des mathematisch korrekten einheitslosen Logarithmierens entfernt wurden. Um Sekunden als Einheit zu erhalten, liegt Folgendes nahe:
$$T=22,91\cdot\sqrt{\frac{l}{1\frac{m}{s^2}}}$$
$$T=22,91s\cdot\sqrt{\frac{l}{1m}}$$. (X)
Diese Gleichung (17) für gilt für alle Längen der verwendeten Nylonschnur, jedoch nicht für alle Massen und auch nicht für den Modellkörper, da das Trägheitsmoment einer jeden Masse verschieden ist und sich für den körperspezifischen Vorfaktor so ein anderer Wert ergeben würde. Allgemein lässt sich daher für die Periodendauer für diese Nylonschnur in Abhängigkeit von der Länge die Gleichung
$$T=a\cdot\sqrt{\frac{l}{1\frac{m}{s^2}}}=a\cdot 1s \cdot \sqrt{\frac{l}{1m}}$$ (X)
aufstellen. Diese lässt auf eine längere Periodendauer für eine größere Schnurlänge schließen. Es gilt:
$$T\sim \sqrt{l}$$. (X)
Mit den Ergebnissen für den Probezylinder war es möglich, eine allgemeine Formel für die Federsteifigkeit dieser Modellnylonschnur in Abhängigkeit von ihrer Länge zu finden, welche mir später auch helfen wird, den Wert von $$a$$ für meinen Modellkörper und dessen Periodendauer zu berechnen.
Bestimmung der Federsteifigkeit und Anschluss an den Versuch zur Periodendauer
Methode
Da sich aus dem vorherigen Abschnitt für den zylindrischen Probekörper die Formel für die Periodendauer in Abhängigkeit von der Länge (17) ergibt, ist es nun möglich, einen allgemeinen Zusammenhang für die Federsteifigkeit der verwendeten Nylonschnur in Abhängigkeit von ihrer Länge zu bestimmen.
Hieraus folgend kann auch die Formel für die Periodendauer (18) auf den Modellkörper angepasst werden.
Ergebnisse Federsteifigkeit
Aus der Theorie für ein Torsionspendel geht für den Zusammenhang von Periodendauer, Trägheitsmoment und Federsteifigkeit die Gleichung (1) hervor, welche umgestellt nach der Federsteifigkeit folgendes ergibt:
$$D=4π^2\frac{J}{T^2}$$ (X)
In diese Gleichung können nun die eben erhaltene Gleichung (17) und das für den Zylinder berechnete Trägheitsmoment $$J=6,05\cdot 10^{-6} kgm^2$$ eingesetzt werden:
$$D=\frac{4π^2\cdot 6,05\cdot 10^{-6} kgm^2}{(22,91)^2s^2\cdot \frac{l}{1m}}$$, (X)
was sich zu folgender Gleichung zusammenfassen lässt, welche für die Federsteifigkeit dieser speziellen Nylonschnur als Torsionsfeder gilt, unabhängig von der angehängten Masse:
$$D\approx 4,55\cdot 10^{-7}\frac{kgm^2}{s^2}\cdot \frac{1m}{l}=4,55\cdot 10^{-7}Nm\cdot \frac{1m}{l}$$. (X)
Die massenunabhängige Gültigkeit von Gleichung (22) ergibt sich, da der Quotient aus dem Trägheitsmoment einer Masse multipliziert mit und dem für jenes spezifischen Faktor $$a$$ immer näherungsweise die Konstante $$$$ ergeben wird. Somit lässt sich allgemein schreiben:
$$D=4,55\cdot 10^{-7}\frac{kgm^2}{s^2}\cdot \frac{1m}{l}=\frac{4π^2J}{a^2\cdot 1s^2}\cdot \frac{1m}{l}$$. (X)
Für die Federsteifigkeit der Nylonschnur in Abhängigkeit von ihrer Länge gilt der Zusammenhang
$$D \sim \frac{1}{l}$$. (X)
Ergebnisse Periodendauer für den Modellkörper
Nun soll noch die Formel (18) für die Periodendauer auf den Modellkörper, das Papprechteck, angepasst werden, indem Faktor $$a$$ bestimmt wird. Dazu habe ich Gleichung (23) nach $$a\cdot 1s$$ umgestellt:
$$a\cdot 1s=\sqrt{\frac{4π^2J}{4,55\cdot 10^{-7}\frac{kgm^2}{s^2}}}$$. (X)
Für den Modellkörper konnte ein Trägheitsmoment von $$J\approx 9,1\cdot 10^{-8}kgm^2$$ berechnet werden, welches eingesetzt in Gleichung (24) das Ergebnis $$a\cdot 1s\approx 2,81s$$ liefert. Somit gilt für mein Modell:
$$T=2,81s\cdot\sqrt{\frac{l}{1m}}$$. (X)
Aus Gleichung (26) oder indem man Gleichung (22) und das berechnete Trägheitsmoment $$J\approx 9,1\cdot 10^{-8}kgm^2$$, sowie die Länge $$l=0,24m$$ in Gleichung (1) einsetzt, erhält man für den Modellaufbau eine Periodendauer von $$T\approx 1,38s$$. Beim Vergleich mit dem durchschnittlich gemessenen Wert $$T\approx 1,3s$$ von Abbildung 20 tritt eine Abweichung von ca. $$6\%$$ auf. Diese ist aber zum einen im Rahmen des Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetzes (vgl. [Mesch15] S. 9), welches im betrachteten Fall eine Unsicherheit von $$\Delta T\approx 0,08s$$ für die Periodendauer vorhersagt, erklärbar, und zum anderen durch die Vernächlässigung des Einflusses, den die Windgeschwindigkeit aller Wahrscheinlichkeit auf die Periodendauer hat. Grundsätzlich scheint die Gesetzmäßigkeit (X) jedoch auch für mein aerodynamisches Torsionspendel zu gelten.
Experiment zur Drehrichtung und Körperausrichtung
Die Beschreibung des Oszillationsbeginns stellt einen wichtigen Aspekt meines Projektes dar. Als Ursache für ein wirkendes Drehmoment wurde die Abweichung von einer senkrechten oder perfekt parallelen Orientierung des Etiketts zur Strömungsrichtung angenommen. Um dies zu überprüfen und die Richtung der Drehung bei einer solchen Lage festzustellen, wurde das nun dargestellte Experiment durchgeführt.
Aufbau
Methode
Zur Überprüfung meiner Theorie einer Schrägstellung des Teebeutelfähnchens als Ursache für dessen Drehung habe ich eine Kartonplatte mit denselben Seitenverhältnissen wie der Modellkörper verwendet. Diese war mit drei Gummibändern an einem Stativ befestigt und zunächst parallel zu ihren Befestigungsstäben ausgerichtet (Abb. 8). Der Aufbau wurde nun in schräger Anströmung dem Luftstrom aus dem Ventilator ausgesetzt.
Ergebnisse
Es war zu beobachten, dass die Platte stets eine senkrechte Ausrichtung zum Luftstrom anstrebt, da dies auch im Vergleich zur parallelen Ausrichtung den stabilsten Zustand darstellt und dort ein Kräftegleichgewicht herrscht. Ein Drehmoment entsteht und die windfernere Seite beginnt sich entgegen der Strömungsrichtung zu drehen, bis dieser Zustand erreicht ist (Abb. 9). Dies ist allerdings nur der Fall, wenn der Körper nicht entweder bereits senkrecht zur Strömungsrichtung oder perfekt parallel zum Luftstrom ausgerichtet ist.
Dieser Versuch konnte meine Hypothese bestätigen, dass eine Schrägstellung des Teebeutelfähnchens für die Entstehung eines Drehmoments relevant ist. Die genaue Ursache hierfür wird im Weiteren erläutert.
Experiment zur Ursache der Oszillation
Ein Hauptaspekt meiner Untersuchung war, die Ursache zu finden, wieso das Teebeutelfähnchen überhaupt beginnt, sich im Luftstrom zu drehen. Ich habe vermutet, dass Druckunterschiede in der Strömung, sowie die Bildung von unterschiedlichen Wirbeln hinter dem Etikett der Grund dafür sein könnten, da die Reynolds-Zahl auf Turbulenzen hinweist und bei schräger Ausrichtung des Körpers zur Windrichtung ein Drehmoment wirkt, wie das vorherige Experiment gezeigt hat. Um diese Hypothese zu überprüfen, wurde der beschriebene Versuch durchgeführt.
Aufbau
Methode
Es war das Ziel, die Luftströmung um das Teebeutelschildchen sichtbar zu machen. Dafür wurde Wasser in einem Topf zum Kochen gebracht, bis Dampf aufgestiegen ist. Auf der Hälfte des Topfes war eine schwarze Platte als Hintergrund befestigt und der Großteil des restlichen Topfes abgedeckt, damit der Dampf nur noch aus einem Spalt aufsteigen konnte. In einem abgedunkelten Raum wurde nun ein auf einen Schaschlikspieß geklebtes Papprechteck als Probekörper schräg in den Dampf gehalten, um das Auftreffen des Windes auf das Teebeuteletikett zu simulieren. Für eine bessere Sichtbarkeit wurde der Dampf mit einer Taschenlampe beleuchtet (Abb. 10).
Ergebnisse
In Abbildung 11 ist zu erkennen, dass der Dampf sich an die Schräge anpasst. Wie in Abbildung 12 und 13 zu sehen ist, bilden sich tatsächlich Wirbel hinter dem Pappviereck, was meine Vermutung bestätigt. Die Wirbel schienen sich bei steileren Anströmungswinkeln wechselseitig an den Kanten abzulösen. Interessant zu beobachten ist auch, dass der Wirbel hinter der strömungszugeneigten Kante größer ist als der hinter der dampfabgeneigten Seite entstehende Wirbel.
Abbildung 14 soll die Schlüsse, die ich aus diesem Experiment und den zuvor im Abschnitt „Hintergrund und theoretische Grundlagen“ dargelegten physikalischen Grundlagen, sowie aus einer qualitativ verwendbaren Simulation (vgl. [FluidSim]) gezogenen habe, als Momentaufnahme des nun für eine stark schräge Anströmung des Schildchens beschriebenen Prozesses verdeutlichen. Die im Folgenden verwendeten Orts- und Richtungsangaben beziehen sich auf diese Grafik (Abb. 14), welche das Teebeutelschildchen von unten darstellt.
Meine Vermutung war, dass es bei schräger Ausrichtung des Teebeutelfähnchens zur Strömungsrichtung dahinter zur Bildung von unterschiedlichen Wirbeln kommt. Dies ließ sich durch das durchgeführte Experiment bestätigen, welches zudem gezeigt hat, dass die Strömung entlang der Schräge des Körpers fließt und sich die Wirbel bei großen Anströmungswinkeln wechselseitig an den Kanten abzulösen schienen.
In der Grafik (Abb. 14) ist das anzunehmende Strömungsverhalten des Windes um das Etikett in Stromlinienform dargestellt. Auch wenn es sich bei dem Luftstrom des Ventilators nicht um eine perfekt laminare und stationäre Strömung handelt, kann dennoch vereinfacht von einer gleichmäßigen Anströmung des Körpers ausgegangen werden. Dieser wird frontal angeströmt, wobei am Staupunkt der statische Druck des Luftstroms maximal ist und die darunter auftreffende Strömung auf Grund der Schräge entlang eines Druckgradienten in Richtung der windabgeneigten Seite abgelenkt wird. Dabei nimmt wegen zunehmender Verdichtung der Stromlinien die Strömungsgeschwindigkeit und damit der dynamische Druck zu, während zugleich der statische Druck abnimmt, wie auch die Simulation (Abb. 15) zeigt. Dies geht aus der qualitativen Anwendung des Bernoulli-Prinzips (9) hervor. Über dem Staupunkt findet dagegen nur eine geringe Ablenkung und Beschleunigung der Strömung statt, weshalb sich der statische Druck hier nur wenig ändert und somit höher ist als im Bereich unter dem Staupunkt.
An den Kanten des Teebeuteletiketts kommt es zu einer Ablösung der Grenzschicht, da sich die Stromlinien wegen der vergleichsweise hohen Strömungsgeschwindigkeit der Luft hier nicht mehr an die Form des Etiketts anpassen können. Dies führt zur Bildung von Wirbeln in der Nachlaufzone auf beiden Seiten hinter dem Körper, welche jeweils einen Unterdruck in ihrem Zentrum erzeugen.
Abbildung 16 zeigt die gemittelte Druckverteilung nahe den Oberflächen des Teebeutelfähnchens für verschiedene Anströmungswinkel im Laufe der Torsionsbewegung. Die Daten basieren auf denen des qualitativen Dichtesensors der Onlinesimulation, welche auf Grund der Proportionalität von Druck und Dichte für diesen Zweck verwendbar sind. Allen schrägen Ausrichtungen des Körpers ist ein deutliches Druckgefälle an der windzugewandten Oberfläche gemein, während das Unterdruckprofil im Nachlauf je nach Anströmungswinkel variiert. Neben der Strömungsgeschwindigkeit an den Kanten scheint auch deren Schärfe Einfluss auf die Turbulenzintensität der Wirbel und deren statischen Druck zu nehmen. Zudem ist anzunehmen, dass der Nachfluss von Strömung mit Umgebungsdruck nach einer Wirbelablösung, besonders an der weniger scharfen unteren Kante, die mittlere Druckverteilung beeinflusst. Allgemein lässt sich feststellen, dass bei schräger Anströmung des Etiketts ein deutlich asymmetrisches Druckprofil auf dessen Vorderseite entsteht, während das Druckgefälle auf der Rückseite geringer ausfällt und daher vermutlich keinen dominanten Einfluss auf die Richtung des Drehmoments nimmt. Jedoch dürfte es die wirkenden Gesamtkräfte verstärken (Abb. 16, 2. von links) oder abschwächen (Abb. 16, 3. von links).
Die Simulation zeigt erweiternd zum durchgeführten Versuch, dass sich die Wirbel in einer Kármánschen Wirbelstraße von den Kanten des Körpers ablösen, sofern das Etikett mit einem Winkel von 90° bis schätzungsweise 30° angeströmt wird, und dass sich bei jedem Anströmungswinkel Wirbel hinter dem Körper bilden. Es wird jeweils eine ausreichend hohe Windgeschwindigkeit vorausgesetzt. Die Grenzwerte für die Windgeschwindigkeit lassen sich aktuell allerdings noch nicht quantitativ bestimmen, da die Simulation nur relativ zueinander vergleichbare, qualitative Daten liefert. Für meinen Versuchsaufbau weist die berechnete Reynolds-Zahl jedoch auf eine stetige Wirbelbildung hin.
Infolge der Schrägstellung des Etiketts führt das asymmetrische Strömungsfeld zu einer Druckdifferenz auf den Oberflächen des Teebeutelfähnchens. Dies ruft unterschiedliche Flächenkräfte hervor (grau dargestellt für Abbildung 14), die auf Grund der Kräfteverteilung ein effektives Drehmoment erzeugen. Das Drehmoment wirkt im abgebildeten Fall im Uhrzeigersinn. Dies passt zu meiner Beobachtung aus dem vorherigen Experiment, dass das Teebeutelfähnchen stets eine senkrechte Ausrichtung zur Strömungsrichtung anstrebt.
Abhängigkeit des aerodynamischen Drehmoments vom Anströmungswinkel
Da aus dem vorherigen Abschnitt bekannt war, wie ein asymmetrisches Strömugsfeld ein aerodynamisches Drehmoment hervorruft, soll dessen Stärke nun in Abhängigkeit vom Anströmungswinkel untersucht werden.
Aufbau
Methode
Um auf die Stärke des aerodynamischen Drehmoments bei verschiedenen Anströmungswinkeln zu schließen, wurde der bereits zur Bestimmung der Drehrichtung verwendete Aufbau genutzt (Abb. X). Die an den Gummibändern befestigte Pappe wird aufgrund von deren hoher Federsteifigkeit nur bis zu einem bestimmten Winkel <90° ausgelenkt, bevor sich ein Gleichgewicht zwischen $$M_{aero}$$ und $$M_{gegen}$$ einstellt. Dieser Torsionswinkel ist proportional zum wirkenden Drehmoment, und dessen Messung lässt somit auf den Zusammenhang zwischen diesem und dem Anströmungswinkel schließen. Die jeweiligen Winkel wurden mit dem Videoanalyseprogramm Tracker (vgl. [Tracker]) gemessen.
Ergebnisse
Wie aus dem Diagramm (Abb. X) abzulesen ist, stehen das aerodynamische Drehmoment und damit auch die aus dem Wind resultierende Gesamtkraft in linearem Zusammenhang zum Anströmungswinkel und sind maximal für $$\theta\approx 0$$ (minimale Abweichungen vom instabilen Gleichgewicht bei 0° Anströmung), wohingegen bei dem angestrebten stabilen Gleichgewicht bei einem Anströmungswinkel von 90° kein aerodynamisches Drehmoment wirkt. Dieser Zusammenhang deckt sich mit meinen Erkenntnissen über die Druckverteilungen für die verschiedenen Anströmungswinkel und kann in Verbindung mit dem Gegendrehmoment der Torsionsfeder (X) allgemein durch folgende Gleichung (X) beschrieben werden:
$$M_{ges}=M_0\cdot\left(\frac{\frac{\pi}{2}-(\theta\mod\pi)}{\frac{\pi}{2}}\right)-D\cdot\varphi$$. (X)
Dieser Gleichung und dem bisherigen Erkenntnisstand zufolge, sollte die Drehung wie in Abbildung X dargestellt verlaufen. Aufgrund des Trägheitsmoments wird das stabile Gleichgewicht bei 90° zwar überschwungen, allerdings wird nur der anfängliche Anströmungswinkel als Amplitude erreicht, da sich hinter dem stabilen Gleichgewicht das Vorzeichen des aerodynamischen Drehmoments umkehrt und es nun der Torsionsbewegung entgegengerichtet ist. Das Überwinden eines Torsionswinkels von 180° wäre somit unmöglich.
Offene Punkte und Ideen
Da das bestehende Modell einige Phänomene wie das Auftreten von Amplituden von über 800° für das Originaletikett (vgl. Abb. X) nicht zu erklären vermag, muss es erweitert werden. Eine plausible Erklärung würde darin bestehen, dass ein hinter dem Körper bei schräger Anströmung entstehender Wirbel so lange bestehen bleibt, dass der Körper dessen erzeugten Unterdruck folgen und somit zusätzlichen Schwung erhalten kann, sodass der Vorzeichenwechsel des aerodynamischen Drehmoments an Bedeutung verliert, die 180°-Marke überquert und ein neuer Drehzyklus begonnen werden kann (Abb. X).
Zudem habe ich eine Zunahme der Amplitude bei Erhöhung der Windgeschwindigkeit beobachten können und auch die Periodendauer scheint von dieser abzuhängen, da die Dauer einer Umdrehung mit quadratisch zur Windgeschwindigkeit zunehmender Stärke des aerodynamischen Drehmoments (X) abnimmt. Gleichzeitig kommt es jedoch zu einer höheren Anzahl von Umdrehungen insgesamt und dieses Verhältnis ist aufgund von fehlenden Messdaten bisweilen unbekannt.
Das Abweichen der Schwingung von einer Sinusfunktion lässt sich zum einen durch die aus der extrem geringen Federsteifigkeit resultierende, beinenahe lineare Zunahme des Torsionswinkels für das Originaletikett erklären (Abb. X), zum anderen sind zuweilen Fragmente des Beginns des Extremums einer Sinusfunktion zu erkennen (Abb. X und X), von welchen die Schwingung jedoch noch einmal abweicht, wenn es in einem neuen Drehzyklus anfänglich zu einer erneuten Beschleunigung kommt.
Da Dämpfung durch Luft- und interne Reibung noch nicht betrachtet worden ist, es jedoch anfänglich zu einem Aufschwingen kommt, wäre ein Verhalten ähnlich eines Van-der-Pol-Oszillators möglich, welcher bei einer bestimmten Amplitude ein Gleichgewicht zweichen Dämpfung und aerodynamischem Antrieb erreicht:
$$M(\theta)=d_0\cdot (1-\theta^2)\cdot \dot{\theta}-D\cdot \theta$$. (X)
Fazit
In diesem Projekt habe ich mich mit der Frage beschäftigt, aus welchem Grund sich das Schildchen eines Teebeutels in einem Luftstrom wechselseitig ein- und ausdreht, wie diese Bewegung beschrieben werden kann und von welchen Faktoren sie abhängig ist.
Diese Fragen konnten zu einem grundlegenden Teil beantwortet werden. Das Teebeutelschildchen kann als aerodynamisch angetriebenes Torsionspendel betrachtet werden, welches annähernd periodisch oszilliert. Dessen Drehung resultiert zusammengefasst aus einer Schrägstellung des Körpers, den deshalb auftretenden Druck- und Geschwindigkeitsunterschieden in der Luftströmung, der Bildung und von Luftwirbeln hinter dem Körper und den dadurch auftretenden unterschiedlichen Flächenkräften, welche ein effektives Drehmoment hervorrufen. Dieses aerodynamische Drehmoment steht in linearem Zusammenhang mit dem Anströmungswinkel und erreicht sien Maximum bei $$\theta\approx 0°$$ Der Körper strebt eine senkrechte Ausrichtung zur Strömungsrichtung an, wo ein stabiles Gleichgewicht herrscht. Zudem wurde der Einfluss der meisten Parameter untersucht, indem ich die Periodendauer und die Federsteifigkeit der Schnur in Abhängigkeit von der Länge dieser untersucht und dabei auch das Trägheitsmoment und die Masse des aufgehängten Körpers verwendet habe.
Allerdings gibt es noch einige offene Punkte, für die zwar bereits einige theroretische Ansätze, jedoch keine quantitativen Messdaten existieren.
Ziel meines Projektes war es, ein alltägliches Phänomen und damit die uns umgebende Welt ein Stück weit besser zu verstehen.
Verwendete Formelzeichen
$$A$$ Fläche
$$c_M$$ Momentbeiwert
$$D$$ Federsteifigkeit
$$F$$ Kraft
$$g$$ Ortsfaktor
$$J$$ Trägheitsmoment
$$l$$ Länge
$$L$$ charakteristische Länge
$$p$$ statischer Druck
$$r$$ Radius
$$T$$ Periodendauer
$$v$$ Strömungsgeschwindigkeit
$$\eta$$ dynamische Viskosität
$$\theta$$ Anströmungswinkel
$$\rho$$ Dichte
$$\varphi$$ Auslenkungs-/Torsionswinkel
$$\omega$$ Winkelgeschwindigkeit
Quellen
Literaturangaben
Monographien und Sammelbände
[Eng19]: Engmann, Klaus (Hg.): Technologie des Flugzeuges. 7., neu bearbeitete und erweiterte Auflage, Würzburg 2019
[Fey15]: Feynman, Richard P., Robert B. Leighton und Matthew Sands: Feynman-Vorlesungen über Physik 4. Struktur der Materie. New Millennium Edition. 6. Auflage, Berlin und Boston 2015
[Hoch21]: Hoche, Detlef, Josef Küblbeck, Lothar Meyer und Gerd-Dietrich Schmidt (Hg.): Duden Physik. Schulwissen 5. bis 10. Klasse, Berlin 2021
[Mesch15]: Meschede, Dieter (Hg.): Gerthsen Physik. 25. Auflage, Berlin und Heidelberg 2015
[Steph24]: Stephan, Markus, Bernd Bachert und Matevz Dular: Wiley-Schnellkurs Strömungsmechanik. Weinheim 2024
[Tip24]: Tipler, Paul A., Gene Mosca und Peter Kersten (Hg.): Tipler Physik. Für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. 9. Auflage, Berlin und Heidelberg 2024
Lexikonartikel
[BerLer]: "Bernoullisches Gesetz". In: Lernhelfer. Schülerlexikon. Duden Lernattack. Online-Version. http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik-abitur/artikel/bernoullisches-gesetz. Abgerufen am 22.12.2025.
[AeroDreh]: "Momentbeiwert". Steinfieber, Karl-Wilhelm. In: Techniklexikon. Lexikon der Technik. http://www.techniklexikon.net/d/momentenbeiwert/momentenbeiwert.htm. Abgerufen am 17.5.2026.
[DruckSup]: "Statischer Druck vs. Dynamischer Druck vs. Gesamtdruck". In: Supmea Automation. 2023 https://de.supmeaauto.com/training/static-pressure-vs-dynamic-pressure-vs-total-pressure. Abgerufen am 23.12.2025
[StromJust]: „Stromfäden (Laminare Strömung)“. In: Justus-Liebig-Universität Giessen. https://www.uni-giessen.de/de/fbz/fb07/fachgebiete/physik/institute/zentral/exphysa/demoexp/abc/stromfaede. Abgerufen am 26.1.2026
[WirbSpek]: "Wirbel". In: Spektrum. Lexikon der Physik. Heidelberg 1998. Online-Version. https://www.spektrum.de/lexikon/physik/wirbel/15650. Abgerufen am 22.12.2025
Bildnachweis
Abb. 1: Foto, Kari Linnea Geisinger, 3.4.2026
Abb. 2: Foto, Kari Linnea Geisinger, 11.12.2025
Abb. 3, 4: Grafik, Kari Linnea Geisinger
Abb. 5: Grafik, File:FlowWtStagnationPressure.svg, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:FlowWtStagnationPressure.svg&oldid=768369606. Abgerufen am 6.3.2026
Abb. 6, 7: Grafik, Kari Linnea Geisinger
Abb. 8: Foto, Kari Linnea Geisinger, 16.1.2026
Abb. 9, 10: Grafik, Kari Linnea Geisinger
Abb. 11, 12, 13: Foto, Kari Linnea Geisinger, 14.12.2025
Abb. 14: Grafik, Kari Linnea Geisinger
Abb. 15: Bildschirmfoto, Simulation [FluidSim], 19.2.2026
Abb. 16: Grafik, Cursor Version 3.0.9 (Universal), VSCode Version 1.105.1, Python, 1.4.2026
Abb. 17, 18: Foto, Kari Linnea Geisinger, 11.12.2025
Abb. 19: Bildschirmfoto, Programm [Tracker], 21.12.2025
Abb. 20: Grafik, Cursor Version 3.0.9 (Universal), VSCode Version 1.105.1, Python, 2.4.2026
Abb. 21: Grafik, Kari Linnea Geisinger
Abb. 22: Grafik, ChatGPT Version 5.2 Pro, 21.12.2025
Abb. 23: Grafik, Kari Linnea Geisinger
Abb. 24, 25: Grafik, Cursor Version 3.0.9 (Universal), VSCode Version 1.105.1, Python, 1.4.2026
Methodenquellen
[FluidSim]: Schroeder, Dan: Fluid Dynamics Simulation, Weber State University. https://physics.weber.edu/schroeder/fluids/. Abgerufen am 2.3.2026
[Tracker]: Tracker. Video Analysis and Modeling Tool. Version 6.3.3 für MacOS
Erfolge
Jugend Forscht: Regional- und Landessieg (Physik), Teilnahme am Bundeswettbewerb 2026
